Nota dominical: Quién descubrió los atractores extraños veinte años antes que Edward Lorenz

El meteorólogo Edward Lorenz (1917-2008) es famoso por descubrir en 1963 el “efecto mariposa” y mostrar la primera figura de un atractor extraño, por ello es considerado el descubridor de la teoría del caos (determinista). Sin embargo, el primer atractor extraño fue descubierto por la matemática británica Mary L. Cartwright (1900-1998), junto a John E. Littlewood (1885-1977), en la ecuación de van der Pol, que describe las oscilaciones de un amplificador no lineal. Freeman Dyson recuerda que asitió una conferencia de ella en 1943 en la que habló de este tema [1]. Esta ecuación fue muy importante durante la II Guerra Mundial porque describe el comportamiento errático (hoy decimos que caótico) de los amplificadores de potencia en los primeros sistemas de radar. La Fuerza Aérea británica culpó a los fabricantes por proveer componentes defectuosos y Cartwright estudió el problema; ella descubrió que los fabricantes no tenían la culpa, sino la ecuación de van der Pol, cuyas soluciones tenían el comportamiento caótico motivo de las quejas de la Fuerza Aérea.

Balthasar van der Pol (1889-1959) fue un ingeniero de los Laboratorios de Investigación de Philips que trabajó en el estudio de osciladores basados en amplificadores a válvulas termoiónicas (también llamadas válvulas de vacío o incluso tubos de vacío; los lectores de mayor edad las habrán conocido en los televisores de los 1970). En 1927 descubrió el comportamiento caótico (llamado “ruidoso” en aquella época) de este oscilador [2]. En enero del 1938, el Radio Research Board (RRB) del Ministerio de Ciencia e Industria británico envió una carta a la Sociedad Matemática de Londres solicitando la colaboración de matemáticos puros en el análisis de las soluciones de ciertas ecuaciones no lineales que aparecían en el estudio de los amplificadores a válvulas; en problemas de alta potencia, en el desarrollo del radar, era necesario utilizar un modelo no lineal de los tubos de vacío. El objetivo del RRB era determinar los valores de los parámetros del circuito que presentaban soluciones periódicas o casi periódicas, así como determinar su frecuencia.

Cartwright se sorprendió de que van der Pol citaba en sus trabajos a J. Henri  Poincaré (1854-1912), pero omitía referencias a trabajos posteriores de George D. Birkhoff (1884-1944) o Ivar O. Bendixson (1861-1935). Junto con Littlewood, que conoció  a Cartwright cuando fue miembro de su tribunal de tesis doctoral en junio de 1930, ella decidió aplicar el teorema de Poincaré-Bendixson y la teoría ergódica de Birkhoff a la ecuación de van der Pol con y sin forzamiento; algunas de estas técnicas ellas las había estudiado en un curso impartido por el propio Littlewood.

Cartwright y Littlewood estudiaron la ecuación de van der Pol con oscilaciones forzadas [3]

\ddot{x}-k(1-x^2)\dot{x}+x=b\,k\,\lambda\,\cos(\lambda\,t).

Sin forzamiento (b=0) demostraron que presenta un ciclo límite y estudiaron sus propiedades. Pero el caso interesante, con forzamiento, que presentaba las oscilaciones caóticas que habían observado los ingenieros, presentó enormes dificultades por lo que tuvieron que inventar nuevas técnicas matemáticas para su estudio, los primeros métodos topológicos para el estudio de la dinámica de sistemas no autónomos. Su estudio demostró que existe lo que hoy llamamos un atractor extraño. Sus trabajos tuvieron un gran eco entre los matemáticos y fueron avanzados por matemáticos de Estados Unidos, como Lefschetz y Levinson, y matemáticos soviéticos como Krylov, Bogoliubov y Mitropolski. Por sorprendente que pueda parecer, algunos de estos trabajos matemáticos, dada su importancia aplicada en la tecnología del radar, fueron clasificados como material confidencial (“restricted material“) durante la década de los 1940 [3].

La colaboración entre Cartwright y Littlewood comenzó justo antes de la Segunda Guerra Mundial y duró unos diez años; juntos publicaron cuatro artículos, aunque también publicaron otros de forma individual basados en su trabajo común. En 1959, Norman Levinson le describió el trabajo de Cartwright y Littlewood a Stephen Smale, pero esa es otra historia (en las playas de Río).

Por cierto, el caos en el oscilador de van der Pol se puede escuchar: MP3 con solución periódica (k=6), MP3 con solución caótica (k=8,53), y MP3 con solución periódica (k=10).

[1] Freeman Dyson, “Birds and Frogs,” Notices of the AMS 56: 212-223, 2009 [recomiendo a todos disfrutar con la lectura de este interesante artículo].

[2] Takashi Kanamaru, “Van der Pol oscillator,” Scholarpedia 2: 2202, 2007.

[3] M. L. Cartwright and J. E. Littlewood, “On non-linear differential equations of the second order: I. The equation y” − k (1−y²) y’ + y = b λ k cos(λ t + a); k large,” Journal of the London Mathematical Society 20: 180-189, 1945.

[3] Shawnee L. McMurran and James J. Tattersall, “The Mathematical Collaboration of M. L. Cartwright and J. E. Littlewood,” The American Mathematical Monthly 103: 833-845, 1996; “Cartwright and Littlewood on Van der Pol’s equation,” pp. 265-276 in “Harmonic Analysis and Nonlinear Differential Equations: A Volume in Honor of Victor L. Shapiro,” edited by Lapidus, Harper & Rumbos, Contemporary Mathematics, 1997.

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3 pensamientos en “Nota dominical: Quién descubrió los atractores extraños veinte años antes que Edward Lorenz

  1. A mi entender el padre de la teoría del caos fue decididamente Jules Henri Poincaré, por sus conclusiones en el problema de los tres cuerpos y su trabajo de órbitas homoclínicas.

    • Por supuesto, Leo, pero recuerda que Poincaré descubrió el llamado “caos estocástico” o “caos hamiltoniano.” No hizo aportaciones a lo que ahora llamamos “caos” o “caos determinista” (caos en sistemas disipativos); los atractores extraños aparecen en el sistemas disipativos y los atractores que aparecen en el caos hamiltoniano no se llaman “extraños” (para estos atractores se aplica la teoría KAM y sus variantes).

      Muchas veces la gente llama “caos” a todo y mete todo el “caos” en el mismo saco sin hacer distinción, pero hay grandes diferencias que los libros de texto de dinámica de sistemas no lineales suelen aclarar bastante bien.

  2. El sistema de clasificacion de orbitas periódicas inestables para atractores caóticos es el mismo introducido por Poincarè para sistemas simplécticos, y por ende el caos disipativo y el hamiltoniano tienen el mismo origen, aunque en apariencia y topología sean diferentes.

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