Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras

Un millón de dólares le espera a quien resuelva el problema del “salto de masa” en las ecuaciones de Yang-Mills (YM) puras en 4D (3+1). La teoría de la interacción fuerte entre quarks y gluones, la cromodinámica cuántica (QCD) es una YM en 4D basada en el grupo SU(3), pero no es pura, porque tiene fermiones (los quarks); una teoría QCD pura solo tendría gluones. Para merecer el millón de dólares habrá que construir con rigor matemático una versión cuántica de una teoría de YM en 4D según la teoría cuántica constructiva de campos (por ejemplo, en la axiomática de Wightman). Una vez logrado habrá que estudiar si dicha teoría presenta un salto de masa, es decir, si todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa (como muchos físicos creen) o no la tienen (como ocurre en la versión clásica de dicha teoría). Los gluones no tienen masa en una teoría YM con fermiones, pero hay indicios númericos (lattice QCD) de que sí la tienen en una YM pura.

El salto de masa es un fenómeno cuántico no perturbativo, lo que significa que no se puede calcular utilizando los diagramas de Feynman (la herramienta perturbativa por excelencia) que usan los físicos para calcular las predicciones de la QCD en las colisiones de partículas del LHC en el CERN. Muchos físico-matemáticos creen que entender el salto de masa tendrá aplicaciones prácticas para los físicos, pero nadie lo sabe con seguridad. Mi experiencia hablando con físicos es que muchos no entienden lo que es el problema del salto de masa (y la mayoría de los matemáticos tampoco). Unos y otros disfrutarán con la charla de Edward Witten sobre este problema que abre esta entrada, “What One Can Hope To Prove About Three-Dimensional Gauge Theory,” Simons Center Workshop “Mathematical Foundations of Quantum Field Theory,” Jan. 17, 2012 [Slides pdf; video mp4].

Puedes consultar el enunciado oficial del Problema del Milenio de Arthur Jaffe y Edward Witten, así como un informe breve de Michael Douglas sobre el estado en abril de 2004 de este problema. No son presentaciones muy técnicas y no se ha avanzado mucho desde 2004. Yo no soy experto en estos asuntos, pero hace unos 10 años (cuando era más joven e intrépido) leí bastante sobre este tema. Mi guía básica era el libro de James Glimm yArthur Jaffe, “Quantum Physics. A Functional Integral Point of View,” 2nd ed., Springer, 1987 (referencia obligada para quien se inicie en la axiomática de Arthur S. Wightman, que fue director de la tesis doctoral de Arthur M. Jaffe en 1966). Al final llegué a la conclusión de que era un problema demasiado difícil para mí.

Una teoría QCD en 4D con fermiones sin masa no tiene salto de masa, como demostró (aunque no de forma rigurosa) el Premio Nobel Gerardus ‘t Hooft utilizando un argumento basado en anomalías triangulares en “Which topological features of a gauge theory can be responsible for permament confinement?,” Lecture II, Recent developments in gauge theories, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on recent developments in gauge theories, Cargèse, Corsica, August 26 – September 8, 1979, (1980), pp. 117-133. Otra demostración similar aparece en Cumrun Vafa, Edward Witten, “Eigenvalue inequalities for fermions in gauge theories,” Comm. Math. Phys. 95: 257-276 (1984).

Hay varias confusiones muy extendidas entre los físicos al respecto del problema del “salto de masa” que conviene comentar. La primera confusión proviene del uso del mismo término para dos cosas diferentes. El problema matemático del “salto de masa” se refiere a que el espectro cuántico del operador hamiltoniano H de la teoría aplicado al vacío H |Ω> tiene un ínfimo mayor de cero; en la teoría clásica el espectro tiene un ínfimo nulo y no hay salto de masa (demostrarlo es casi trivial), por lo que el origen del salto de masa es cuántico; además la versión cuántica perturbativa de la teoría tampoco tiene salto de masa, por lo que su origen además de cuántico es no perturbativo. Para muchos físicos, sin embargo, el “salto de masa” se refiere a la posibilidad de que haya agregados de gluones, neutros a la carga de color, que tengan una masa finita no nula, llamados glubolas (glueballs); según ellos bastaría probar que la menor masa posible para una glubola es mayor que cero para resolver el problema del milenio, lo que no es verdad y ha llevado a algunos físicos a afirmar que han resuelto el problema del milenio, cuando en realidad han resuelto un problema completamente distinto. No sé muy bien de donde parte la confusión, pero hay un famoso artículo de Richard P. Feynman que incurre en ella, “The qualitative behavior of yang-mills theory in 2 + 1 dimensions,” Nuclear Physics B 188: 479-512 (1981).

La segunda confusión entre los físicos también ha llevado a que se hayan publicado varias demostraciones incorrectas. En concreto, me refiero al problema del límite infrarrojo para el propagador del gluón en QCD. La masa efectiva del gluón es cero en el límite ultravioleta (energías grandes o distancias cortas), pero puede ser finita en el límite infrarrojo (energías pequeñas o distancias grandes). Para este problema, Marco Frasca ha publicado una solución matemática cerrada en “Infrared Gluon and Ghost Propagators,” Phys. Lett. B 670: 73-77, 2008 [arXiv:0709.2042], y en “Mapping a Massless Scalar Field Theory on a Yang-Mills Theory: Classical Case,” Mod. Phys. Lett. A 24: 2425-2432, 2009 [arXiv:0903.2357]; una demostración parecida de que el límite infrarrojo da una masa mayor que cero ha sido publicada por Alexander Dynin, “Energy-mass spectrum of Yang-Mills bosons is infinite and discrete,” arXiv:0903.4727, Subm. 27 Mar 2009. La técnica utilizada por estos autores , construir una solución exacta (trivial) de las ecuaciones de Yang-Mills basada en una solución para un campo escalar phi-4 (teoría cuya versión cuántica presenta “salto de masa” como se demuestra en el libro de Glimm y Jaffe), permite determinar el límite infarrojo para el propagador del gluón, pero no resuelve el problema del milenio. El problema que han resuelto es un problema diferente (lo que no quita que sea un resultado físico interesante y haya merecido su publicación en revistas internacionales). Aunque Frasca reclama su millón de dólares, nunca lo recibirá (por estos resultados, claro).

La tercera confusión común entre los físicos es la equivalencia entre el problema del “salto de masa” y el del confinamiento de quarks y gluones (el hecho de que en la Naturaleza solo observan estados neutros para la carga de color, por lo que estas partículas con carga de color no se pueden observar de forma libre, como se puede obsever un electrón o un fotón). Estos dos problemas abiertos en la QCD no tienen nada que ver el uno con el otro, por lo que resolver uno de ellos no ofrecerá (a priori) información sobre el otro. Los primeros indicios numéricos (lattice QCD) de la existencia del salto de masa provienen de estudios del problema del confinamiento, por lo que muchos físicos ven una asociación íntima entre estos dos problemas, pero hoy en día la opinión de los expertos es que no hay relación entre ambos.

Y la cuarta confusión entre muchos físicos es creer que el salto de masa ha sido “demostrado” de forma numérica (utilizando L-QCD por “lattice QCD”) y está fuera de toda duda. En una YM 4D la constante de acoplamiento es adimensional y no hay ningún parámetro con unidades de masa, por lo que la versión cuántica debe sufrir una “transmutación dimensional” (un proceso dinámico por el que un parámetro adimensional se vuelve dimensional y adquiere dimensiones de masa). Sin embargo, en L-QCD hay un parámetro dimensional natural, el espaciado de la red Δx que discretiza el espaciotiempo (también llamado a en la literatura física). Esta parámetro de longitud corresponde a un parámetro de masa (sería la longitud de onda de Compton de un gluón con cierta masa), por tanto, toda teoría L-QCD presenta un salto de masa de manera natural. El problema del milenio equivale a demostrar que el límite cuando Δx→0 de este salto de masa es finito (en lugar de nulo). Obviamente, nadie lo ha podido demostrar y la evidencia numérica actual es “pobre” (usar Δx muy pequeños es muy costoso e incluso con supercomputadores se han de usar valores demasiado grandes), aunque mucha gente “observa” en las gráficas que parece que hay un “salto de masa.”

¿Realmente está demostrado que hay un “salto de masa” o podría ocurrir que no existiera? La evidencia en L-QCD es realmente concluyente solo en las teorías YM 2D (1+1), donde por cierto la constante de acoplamiento tiene unidades de masa y no es necesaria la transmutación dimensional para que la teoría cuántica tenga un parámetro de masa. En teorías YM 2D, aunque no hay demostración rigurosa para los matemáticos, el problema se puede considerar resuelto. Sin embargo, en las teorías YM 3D (2+1), donde la constante de acomplamiento al cuadrado tiene unidades de masa y tampoco es necesaria la transmutación dimensional, las pruebas en L-QCD no son concluyentes. Pero, aunque mis palabras puedan sorprender a algunos físicos no muy puestos en este tema, para el problema realmente importante, las teorías YM 4D (3+1), que requiere transmutación dimensional, no hay indicios L-QCD sobre la existencia del “salto de masa” pues los valores del espaciado de la red estudiados son muy limitados y extrapolar su comportamiento para Δx→0 está más allá de todo lo razonable.

Bueno, no aburro más. Mañana habrá otra entrada más sobre estos asuntos. Los que se hayan quedado con ganas de más y no quieran esperar a mañana pueden leer sobre los objetivos de la teoría cuántica constructiva de campos y el problema del salto de masa en Arthur Jaffe, “Quantum Theory Relativity,” August 2007, pdf gratis.

En este blog también puedes leer “El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills,” 4 junio 2011; y “Me ha defraudado Óscar García Prada en su charla sobre la “Existencia de Yang-Mills y del salto de masa”,” 2 junio 2011. También te interesará leer “La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares,” 17 noviembre 2009.

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9 pensamientos en “Confusiones típicas de los físicos sobre el problema del salto de masa en teorías de Yang-Mills puras

  1. “Los gluones no tienen masa en una teoría YM con fermiones, pero hay indicios númericos (lattice QCD) de que sí la tienen en una YM pura”

    Creo que eso es incorrecto. Los gluones no tienen mansa en ningún caso. El problema es que un gluon no es realmente un estado de la teoría cuantica. Dicho de otra forma, no vas a ver nunca un gluón propagandose. Lo que se propagan son “glueballs”. Compuestos de varios gluones que pueden tener masa o no. La pregunta del millon (nunca mejor dicho) es demostrar que en el caso de YM en 4D, TODAS los estados (singletes de color) son masivos, a pesar de estar hechos de gluones sin masa.

    Cuando añades fermiones la cosa sigue igual en lo que respecta a los gluones y los gueballs, al menos si no añades *muchos* fermiones (en este caso la toería podria pasar a ser conforme y dejar de tener un “salto de masa”). Pero incluso con pocos fermiones (QCD) hay sutilezas. Por ejemplo si un par de quarks tienen masa nula, habra un estado sin masa: el pion. Al romperse espontaneamente la simetría quiral aparecen bosones de Goldstone (claro que demostrar que se rompe la simetría quiral tampoco es sencillo.)

    Resumen: Los gluones no tienen masa en ningún caso (simetría gauge no rota), pero no son estados de la teoría cuántica (debido al confinamiento). Los estados deben ser singlétes de color. La pregunta es ¿Tienen masa todos los estados (singletes de color)?. La respuesta parece ser que si. Desde luego este es el caso en QCD (si no la interacción fuerte tendria un efecto residual de alcance infinito, y el universo sería muy distinto). Metodos numericos parecen decir que es el caso también en YM en 4D, pero demostrarlo es harina de otro costal… Hay que construir la teoria cuantica, demostrar que hay confinamiento, demostrar que los singletes de colro son masivos… pffff…

    Quizas uno podria apoyarse en simulaciones numericas, pero para eso habria que demostrar que el limite continuo de lattice QCD existe, algo que tampoco parece facil…

  2. “Pero, aunque mis palabras puedan sorprender a algunos físicos no muy puestos en este tema, para el problema realmente importante, las teorías YM 4D (3+1), que requiere transmutación dimensional, no hay indicios L-QCD sobre la existencia del “salto de masa” pues los valores del espaciado de la red estudiados son muy limitados y extrapolar su comportamiento para Δx→0 está más allá de todo lo razonable.”

    Y bueno, ya que estamos, te voy a dar un pequeño tiron de orejas ;).

    1) Los valores del espaciado de red son del orden de 2-3GeV^(-1). Es decir que el espaciado es muy pequeño comparado con la escala tipica de las interacciones fuertes (700MeV, o Lambda_QCD si quieres). Por lo tanto la extrapolación al contiuo es no solo razonable, sino desde un punto de vista intuitivo, segura. Seria una chamba tremenda que algo que pasa a energias mayores de 3-4GeV (en una teoria asintoticamente libre con una escala tipica 5 veces más pequeña) afectase los resultados de manera significativa.

    2) Normalmente se consideran 3 valores del espaciad de red, y se demuestra que la cantidad que extrapolas es lineal en el espaciado de red (o el cuadrado, depende de la acción que uses). Es decir, se comprueba que estamos en la región en la que la teoría escala, de acuerdo con las predicciones del grupo de renormalización de Wilson. De nuevo seria una chamba ver un comportamiento lineal con 3-5 espaciados de red, y que de repente la prediccion lineal se rompe por algo que pasa a energias de 10GeV, que esta muy lejos de la región que parece relevante para las interacciones fuertes.

    3) L-QCD no introduce ninguna escala en su teoría. Dicho de otra forma, la acción que simulas es completamente adimensional. El espaciado de la red solo se puede determinar a posteriori, y a base de comparar los resultados con datos experimentales (ej. quiero reproducir la masa del proton), mediante un proceso que se llama “scale setting”. La escala tipica de las interacciones surge puramente debido a la interaccion cuantica, y es completamente analogo a los exponentes criticos en mecanica estadistica.

    4) L-QCD esta lejisimos de ayudar a *demostrar* que hay un salto de masa. Basicamente habria que demostrar que el limite continuo existe (matematicamente hablando), lo cual no creo que se sepa ni por donde empezar. Pero es que esto es parte (y quizas la dificil) del problema del millon de dolares: crear una teoria (con interacciones) de forma rigurosa. Pero la física esta bien clara, y creer en los resultados generales de lattice es apuesta segura. Puede ser que los errores esten infravalorados, y en realidad sean algo más grandes, o algo parecido, pero que la estrategia general es muy razonable, correcta y además con muchisimas predicciones (flavour, masa de hadrones, etc…) correctas.

  3. Gracias, V, por tus comentarios. Deduzco que eres físico, como yo.

    Mañana habrá más. Esta es la primera entrada de una serie.

  4. No entiendo muy bien algunas de las afirmaciones que haces… Yo entiendo que el salto de masa *es* precisamente el espectro de glueballs. En una teoría de YM rigurosa típicamente uno esperaría tener los verdaderos grados de libertad de la teoría aislados y bien definidos. El espectro de gluones es sólo una aproximación que uno utiliza en ciertos regímenes para hablar de scattering (y bueno, de más cosas), pero el espectro asintótico *real* de YM no puede contener gluones.

    Creo que lo que afirmas en la “primera confusión” es erróneo. ¿Te has basado en alguna referencia en particular? Un saludo.

    PD: suscribo todo lo dicho por V.

    • Creo que a lo que se refiere Francis es a que no es *suficiente* demostrar que los glueballs tienen masa. También hay que demostrar que el espectro de H solo contiene singletes de color (es decir, que hay que demostrar que YM en 4D confina).

      Como bien dices, el espectro asintotico real de YM no puede contener gluones (u otros estados con color), pero hay que demostrarlo para llevarse el millon de $!.

      Saludos!

    • Estoy de acuerdo contigo que el espectro asintótico *real* de YM no puede contener gluones (ni otros estados que no sean singletes de color), pero eso hay que demostrarlo, y es parte del problema. Creo que eso es a lo que se refiere Francis…

      Hay que demostrar que YM en 4D confina, y despues hay que demostrar que todos los singletes de color tienen M>0. No se que es más difícil…

  5. No me he enterado de nada. Pero vamos siendo un problema del milenio tampoco me preocupa.

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