Los ángulos asociados a los quarks y a los neutrinos en las matrices CKM y PMNS

Uno de los lectores de este blog, Aitor, me pedía que explicara los ángulos de la matriz PMNS (Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata) asociados al fenómeno de la oscilación de los neutrinos. Este blog no pretende ser un buen sustituto de un libro de texto y hay muchas fuentes en la web que explican este asunto muy bien, pero trataré de hacer una excepción, aunque mi exposición será concisa y con la mínima matemática posible.

Hay muchos experimentos que indican que los neutrinos y los antineutrinos cambian de identidad en el vacío, un fenómeno llamado oscilación de los neutrinos. Hay tres tipos (“sabores”) de neutrinos asociados  al electrón, al muón y al tauón, llamados neutrino electrónico, mu (muónico) y tau (la palabra “tauónico” no gusta a muchos físicos). La oscilación de los neutrinos significa que un neutrino electrónico puede transmutarse en un neutrino mu, un neutrino mu puede transmutarse en un tau y, como ha verificado fuera de toda duda el experimento Daya Bay (situado en la Bahía de Daya, a 52 km de Hong Kong, en el sur de China) [noticia en este blog], un neutrino electrónico puede transmutarse en un tau. Asociado a cada una de estas transmutaciones hay un parámetro real adimensional, un ángulo, llamado θ12, θ23 y θ13, respectivamente. En grados estos ángulos valen unos θ12=45 grados, θ23=34 grados y θ13=8,8 grados. Hay un cuarto parámetro, otro ángulo llamado δ, asociado a la posible violación de la simetría CP (la asimetría entre materia y antimateria) en la física de los neutrinos. Este cuarto ángulo aún no ha sido medido y podría ser nulo, pero  la mayoría de los físicos cree que no es así, por que el modelo estándar de la física de partículas contiene menos violación (según los experimentos) de la simetría CP de la necesaria para explicar la asimetría entre la materia y la antimateria, por lo que debe haber fuentes escondidas (aún no descubiertas en los experimentos). La física de los neutrinos podría ser una de estas fuentes. Además de los cuatro ángulos anteriores, si los neutrinos son partículas de Majorana, habría dos ángulos más (dos fases de Majorana); si los neutrinos son partículas de Dirac, aunque solo se han observado neutrinos con helicidad izquierda, deben existir neutrinos con helicidad derecha cuya masa sea tan enorme que está fuera de la detección de los experimentos actuales (el mecanismo del “balancín” (seesaw en inglés) según el cual la pequeña masa de los neutrinos levógiros es debida a la gran masa de los neutrinos dextrógiros).

La matriz PMNS que describe la oscilación de los neutrinos (si son partículas de Dirac) se escribe en analogía con la matriz CKM (Cabibbo–Kobayashi–Maskawa) que describe la masa de los quarks arriba (u, c y t) a partir de la masa de los quarks abajo (d, s y b). Los estados cuánticos de los quarks según la cromodinámica cuántica (QCD) están desacoplados, el estado |u> y el |d> no están relacionados entre sí y la interacción fuerte no puede permitir que un quark |d> se transforme en un quark |u>, incluso a sabiendas que el |d> tiene mayor masa que el |u>. Sin embargo, los estados cuánticos de los quarks según la teoría electrodébil (EWT) están acoplados entre sí y esta interacción permite que un quark abajo se desintegre en un quark arriba (si lo permite la ley de conservación de la masa) y viceversa; pero no es posible que un quark tipo abajo se desintegre en otro quark tipo abajo y tampoco puede ocurrir con los quarks tipo arriba. Estas desintegraciones con cambio de sabor indican que los estados cuánticos de los quarks tipo abajo según la EWT (llamados |d’>, |s’> y |b’>) , los que están asociados a los quarks arriba (|u>, |c> y |t>), son una mezcla de los estados de los quarks tipo abajo (|d>, |s> y |b>). La conservación cuántica de las probabilidades requiere que la matriz que transforma los estados tipo abajo en los estados tipo arriba sea una matriz unitaria (una matriz de números complejos cuya inversa es igual a su traspuesta conjugada), con lo que la transformación toma la forma

La matriz CKM es una matriz 3×3 formada por 9 números complejos (18 números reales) que al ser una matriz unitaria U(3) solo tiene 9 parámetros reales libres (los números de la diagonal tienen que ser reales y los números por encima de la diagonal determinan los que están por debajo de ella). Ahora bien, las probabilidades asociados a un estado cuántico, sea |u>, no dependen de la fase (solo dependen de <u|u>=||u||² que es independiente de la fase), por lo que 6-1=5 de los parámetros de la matriz se pueden absorber redefiniendo las 6 fases de los quarks (una de estas fases queda libre por no ser observable). Como resultado quedan 9-5=4 parámetros reales libres en la matriz CKM. Cuando se factoriza la matriz CKM en “rotaciones” complejas se requieren 3 ángulos (de Euler), llamados ángulos de mezcla, y queda un parámetro libre que se puede escribir como una fase compleja asociada a uno de estos ángulos que representa la posible violación de la simetría CP. Cada una de estas rotaciones “elementales” se escribe con un coseno y un seno (normalmente escritos como c12 = cos θ12 y s12 = sin θ12). En una matriz 3×3 el ángulo δ debe estar en la tercera componente, pues la submatriz 2×2 en la parte superior izquierda no debe incluirlo, con lo que la matriz CKM se escribe de la siguiente forma.   

En general, los N² parámetros reales de una matriz unitaria U(N) se reducen a solo (N−1)² gracias a la absorción por 2N−1 fases; de estos (N−1)² parámetros, N(N−1)/2 son ángulos de mezcla asociados a rotaciones complejas y los restantes (N−1)(N−2)/2 son fases complejas asociadas a la violación de la simetría CP.

En el caso de que los neutrinos sean partículas de Dirac, la matriz PMNS es del todo similar a la matriz CKM que he mostrado arriba y está caracterizada por 4 ángulos,  θ12, θ23, θ13 y δ. Si los neutrinos son partículas de Majorana, hay dos ángulos adicionales, porque en dicho caso las fases de los espinores no pueden absorber todos los parámetros. El resultado es la siguiente matriz PMNS.

Los valores de los ángulos δ, α1 y α2, no han sido determinados todavía por ningún experimento. Si δ no es nulo significará que el fenómeno de la oscilación de los neutrinos es diferente a la oscilación de los antineutrinos, introduciendo una asimetría entre materia y antimateria en la física de los neutrinos. En el caso de que los neutrinos sean partículas de Majorana, los neutrinos y los antineutrinos serán la misma partícula (el neutrino será su propia antipartícula).

Hay muchas más cosas que se pueden decir, pero creo que este es un buen aperitivo para que los interesados busquen más información sobre la física de la oscilación de los neutrinos. En los libros se suele discutir en más detalle la razón por la cual una matriz U(3) está caracterizada por solo 4 ángulos, realizando todas las operaciones trigonométricas oportunas.

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3 pensamientos en “Los ángulos asociados a los quarks y a los neutrinos en las matrices CKM y PMNS

  1. Nota: las fases no son directamente medibles, sólo las diferencias de fase. Por tanto, para tres familias ligeras de neutrinos ( las conocidas), el número de diferencias de fase (“fases” de Majorana medibles) es igual a 1.

  2. Francis muchísimas greacias por el artículo. No había podido leerlo antes porque estaba de examenes (precisamente de Mecánica Cuántica y debo confesar que lo que estudie para el examen me sirvió mucho para entender esta entrada). Cuando llegue a casa lo leeré con más calma. De nuevo muchas gracias, sobre todo por escribirlo de una manera tan clara.

  3. Buenas tardes. Me gustaría comentar con vosotros si no consideráis una injusticia que no le dieran también el premio Nobel a Nicola Cabibbo cuando se lo dieron a Nambú, Kobayashi y Maskawa. Gracias.

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