Tras 23 años, el “teorema a” parece que ya tiene demostración

Hace 23 años, el físico teórico John Cardy conjeturó una propiedad que debía cumplir toda teoría cuántica de campos que describa partículas a alta y a baja energía, a la que denominó “teorema a.” Pensó que sería fácil demostrarla, pero no ha sido así. Una demostración se publicó en ArXiv en julio de 2011, gracias a Zohar Komargodski y Adam Schwimmer, dos físicos teóricos del Instituto Weizmann, en Israel. ¿Es correcta esta demostración? Tras varios meses de estudio, el consenso se resume en las palabras de Nathan Seiberg, físico teórico del Instituto de Estudio Avanzado de Princeton, Nueva Jersey: “Creo firmemente que es correcta.” Nos lo cuenta Eugenie Samuel Reich, “Proof found for unifying quantum principle. Twenty-three-year-old conjecture set to guide future quantum field theories,” Nature News, 14 November 2011; la demostración, solo para expertos, es Zohar Komargodski, Adam Schwimmer, “On Renormalization Group Flows in Four Dimensions,” ArXiv, 20 Jul 2011 (last revised 22 Aug 2011). Yo me enteré de este resultado gracias a Matt Strassler, físico teórico de la Universidad de Rutgers, New Brunswick, Nueva Jersey, bloguero que ya se hizo eco de este consenso en “A Day At Stony Brook,” Of Particular Significance, Nov. 9, 2011 (en las Jornadas CPAN en Barcelona me hablaron maravillas de Strassler, a quien yo consideraba erróneamente como “otro físico de cuerdas metido a bloguero”).

Las teorías cuánticas de campos en 4D no pueden ser resueltas de forma exacta (salvo en ejemplos triviales), por lo que es imposible saber qué predicen en detalle para las propiedades de las partículas que describen. Por ejemplo,  no conocemos todo lo que predice la cromodinámica cuántica (QCD), la teoría de la interacción fuerte que describe las interacciones entre quarks y gluones (las partículas que constituyen los protones y los neutrones de los núcleos de los átomos). Gracias a la propiedad llamada “libertad asintótica” esta teoría a alta energía (o distancias muy cortas) es mucho más sencilla que a baja energía y hemos podido verificar sus predicciones en el LHC del CERN y en el Tevatrón del Fermilab. Pero a baja energía sus predicciones aún son una gran incógnita (por ejemplo, todavía no se sabe si la QCD predice correctamente muchas de las propiedades conocidas del protón y del neutrón, aunque todo el mundo cree que así es y hay ciertas indicaciones al respecto gracias a las simulaciones de supercomputadores que utilizan la QCD en redes).

El “teorema a” de Cardy es un principio general que relaciona el comportamiento de una teoría a gran energía (distancias cortas) con dicha teoría a baja energía (distancias grandes). Este principio es uno de los pocos principios generales que se conocen en teorías cuánticas de campos. Cardy demostró el “teorema a” en una teoría cuántica de campos 2D (1+1) y conjeturó que también se cumpliría en 4D (3+1). Pero en 2008 se descubrió un contraejemplo, una teoría cuántica de campos que no cumplía el “teorema a”  (Alfred D. Shapere, Yuji Tachikawa, “A counterexample to the a-‘theorem’,” Journal of High Energy Physics 12(2008)020); pero resultó que el contraejemplo contenía un fallo (Davide Gaiotto, Nathan Seiberg, Yuji Tachikawa, “Comments on scaling limits of 4d N = 2 theories,” Journal of High Energy Physics 01(2011)078). Tras dos años pensando que el “teorema a” era incorrecto se reavivó el interés en demostrarlo.

Schwimmer y Komargodski publicaron una (posible) demostración del “teorema a” este pasado verano. La demostración no es perfecta y según los expertos algunas partes deben ser clarificadas y algunos pasos necesitan ser inspeccionados con mayor atención (sobre todo porque el contraejemplo de 2008 le puso la mosca en la oreja a muchos expertos). Sin embargo, el consenso ahora mismo es que la idea de la demostración, de gran belleza argumental, es correcta y que todos los pequeños defectos se podrán superar sin dificultades. Ya se sabe que la belleza matemática es una de las grandes guías para establecer el consenso sobre la validez de una demostración. El artículo está en proceso de revisión por pares y se espera que cuando acabe publicando todos los pequeños problemas observados hayan sido resueltos.

¿Para qué sirve el “teorema a”? Uno de los grandes problemas de las teorías cuánticas de campos supersimétricas es que no sabemos cuáles son sus predicciones generales, las cosas que predice toda teoría supersimétrica por ser supersimétrica. En la actualidad para buscar la SUSY en el LHC hay que estudiar las predicciones de un modelo concreto (sea MSSM, cMSSM, mSUGRA, etc.). El “teorema a” nos ofrece una predicción general de la supersimetría a baja energía que podría ser confirmada o refutada por los grandes colisionadores; caso de que esta propiedad fuera confirmada en el LHC tendríamos una prueba general indiscutible de la supersimetría, independientemente de que conozcamos o no la teoría supersimétrica correcta que describe el universo. El “teorema a” podría ser la luz en el camino, la guía que nos permita encontrar las señales de la física supersimétrica a baja energía (por ahora todo indica que las energías que puede explorar el LHC son “baja energía” para la SUSY).

Por supuesto, el “teorema a” tiene muchas otras aplicaciones en teoría cuántica de campos, por ejemplo, en física de la materia condensada, donde permite describir nuevas fases de la materia. Ahora bien, en estas teorías se requiere usar el “teorema a” en 3D (2+1), pero solo se ha demostrado en 2D y en 4D. ¿Quién logrará la demostración en 3D? ¿Será válido el “teorema a” en 3D? La demostración del “teorema a” en un número impar de dimensiones requiere técnicas matemáticas muy diferentes de las utilizadas por Komargodski y Schwimmer, por lo que algunos expertos opinan que serán necesarios otros 20 años de trabajo para lograr obtenerla. Incluso hay quien duda de que sea aplicable en 3D. Esperemos que se equivoquen.

¿Qué afirma el “teorema a”? Yo no soy experto, así que explicar este teorema sin usar matemáticas (que es lo más fácil para mí, pues basta copiarlas de cualquier artículo) es muy difícil para mí. Pero bueno, trataré de hacerlo. John L. Cardy en “Is there a c-theorem in four dimensions?,” Physics Letters B 215: 749-752, 1988, se preguntó si un resultado previo, el “teorema c” de Zamolodchikov válido en 2D se podía extender a un espaciotiempo con dimensión par (por ejemplo a 4D). Su conjetura estaba justificada porque el “teorema a” parecía cumplirse en la cromodinámica cuántica (QCD). La idea es estudiar la evolución de los grados de libertad de la teoría entre el límite ultravioleta (UV), distancias cortas, y el límite infrarrojo (IR), distancias grandes. El grupo de renormalización de la teoría evoluciona durante este proceso como el agua que cae por un montaña cuesta abajo y acaba en un lago situado en el valle. La montaña es rugosa, está llena de piedras y de irregularidades, y el agua ha de moverse entre ellas, con un flujo muy irregular. Sin embargo, el agua en el lago del valle está plano y libre de irregularidades. Los grados de libertad UV (“el grano fino”) se suavizan hasta desaparecer en el límite IR (“el grano grueso”) durante la evolución del grupo de renormalización. El “teorema a” afirma que toda teoría cuántica de campos en 4D tiene asociada una magnitud (llamada “a” por razones históricas), relacionada con la traza del tensor de energía-esfuerzo de la teoría, que decrece bajo la evolución del grupo de renormalización, es decir, en el paso del límite UV al límite IR, de las distancias cortas a las distancias grandes. En cierto sentido esta magnitud “cuenta” el número de grados de libertad de la teoría. La importancia de este teorema, aparte de su generalidad, es que la magnitud “a” está relacionada con la libertad asintótica en la teoría, con el fenómeno del confinamiento de las cargas libres y con la hadronización en QCD. Si el “teorema a” es válido, toda teoría gauge tendrá propiedades similares a la QCD. Su importancia en relación a la supersimetría se debe a que la mangitud “a” en una teoría supersimétrica es fácil calcular a partir de las cargas R de la teoría. En teorías de campos conformes también es fácil de calcular esta magnitud (de ahí si importancia en relación a la correspondencia AdS/CFT de Maldacena y el principio holográfico). Bueno, no sé si he aclarado mucho lo que significa el “teorema a,” pero se trata de una cuestión técnica que yo no entiendo lo suficientemente bien como para explicarla mucho mejor.

7 pensamientos en “Tras 23 años, el “teorema a” parece que ya tiene demostración

  1. Muy interesante, la verdad es que no había oido hablar del “teorema a” (cada día me impresiona más el poder de las matemáticas más abstractas para describir el mundo). Lo importante ahora es demostrar la teoría para 3D, esto nos daría una posibilidad de demostrar las predicciones generales de la supersimetría. Por lo poco que he leido sobre el tema la disminución de los grados de libertad del sistema al aumentar la energía (libertad asintótica) hace que el sistema sea más fácil de explicar a alta energía, por esto, a través de la dualidad ADS/CFT propiedades de sistemas a muy alta energía con acoplamiento fuerte como el plasma quark-gluon pueden ser descritas por las herramientas matemáticas de la teoría de cuerdas y objetos exóticos como agujeros negros que surgen de limitar al
    máximo las libertades del sistema. Esto lo leí hace tiempo en el artículo de Lubos:”Perfect fluids, string theory, and black holes”.
    Por cierto Lubos acaba de publicar un post donde se rumorea que en un par de dias OPERA publicará los resultados de la velocidad de los neutrinos con pulsos cortos: la velocidad sigue siendo superlumínica, el error no es consecuencia de la longitud del pulso de neutrinos (perdón otra vez por el off-topic).

  2. No me resisto a comentar que las dos imágenes que ilustran el post son de 10, he visto en el Guggenheim “obras de arte” muchiiisimo peores…..

  3. Yo no sabía nada del Teorema a, no contaron nada de él en mi Máster!!! He tenido que estudiarlo en los últimos días. Es muy interesante. Si el teorema a es correcto, y Myers en el PI de Canadá ha mencionado que hay razones sólidas para pensarlo, es algo importante esta demostración ( no definitiva aún). Otra pista para la Nueva Física que sólo arañamos todavía.

    • Por cierto, Myers en sus últimos y recientes artículos propone de hecho cuál es la versión del teorema-a para dimensiones espacio-tiempo impar. Incluye un término constante y no logarítmico para la entropía de entrelazamiento, con la que al final se demuestra que están relacionados los observables “a” para cualquier QFT. El formalismo me sugiere una conexión profunda con el approach de Entropic Gravity/Forces…

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