Gran avance matemático español: Se demuestra la generación de singularidades splash en la superficie libre de un fluido 2D

Javier, muchas gracias por indicarme que Diego Córdoba ya ha dado a luz su nuevo artículo, el que anunció en “Los Problemas del Milenio,” Barcelona: Ángel Castro, Diego Córdoba, Charles Fefferman, Francisco Gancedo y Javier Gómez-Serrano, “Splash singularity for water waves,” ArXiv, 10 Jun 2011.

En presencia de tensión superficial es bien conocido que la superficie de un fluido puede generar singularidades. Sin embargo, para avanzar hacia la demostración del problema del milenio sobre las ecuaciones de Navier-Stokes hay que estudiar su posible generación en ausencia de tensión superficial. Diego Córdoba y sus colegas han logrado demostrar un teorema que asegura que se puede producir un nuevo tipo de singularidad (que ellos llaman tipo splash) en la superficie de un fluido 2D incompresible, irrotacional y no viscoso (la interfase entre este fluido y el vacío) bajo el único efecto de la gravedad. En el punto donde se produce la singularidad la vorticidad se hace infinita en un tiempo finito. Hace un año este resultado parecía imposible de obtener. La figura que abre esta entrada ilustra de forma cualitativa el proceso. El artículo también presenta nueva evidencia numérica sobre dichas singularidades (como muestra la figura de abajo), aunque lo más importante es la demostración matemática del teorema de estabilidad, que en el draft disponible en ArXiv se encuentra esbozada. Un gran trabajo del grupo de Diego, sin lugar a dudas.

Supongo que si has leído hasta aquí te apetecerá ver la formulación de las ecuaciones de este problema. Así que para abrir boca a los más osados que quieran adentrarse en el artículo técnico, sin más dilación aquí están. Las ecuaciones del movimiento en \mathbb{R}^{2} para la densidad \rho = \rho(x,t), la velocidad v = (v^{1},v^{2}) y la presión p = p(x,t) del fluido, donde x\in\mathbb{R}^2t \geq 0, son las siguientes

\rho\,(v_t+v\cdot\nabla v) = -\nabla p-(0,\rho),

\rho_t + v\cdot\nabla\rho =0,

\nabla\cdot v = 0.

En estas ecuaciones adimensionales, la aceleración de la gravedad se ha tomado igual a la unidad. La superficie libre del fluido se modela mediante una curva diferenciable

\partial \Omega^j(t)=\{z(\alpha,t)=(z_1(\alpha,t),z_2(\alpha,t)):\alpha\in\mathbb{R}\},

donde las regiones \Omega^{j}(t) están definidas por el campo de densidad

\rho(x_1,x_2,t)=0, para x\in\Omega^1(t),

\rho(x_1,x_2,t)=1, para x\in\Omega^2(t)=\mathbb{R}^2 - \Omega^1(t).

En estas ecuaciones se asume que el fluido es irrotacional (la vorticidad \nabla^{\bot}\cdot v = 0, en el interior de cada dominio \Omega^j, j=1,2). ¿Cómo es posible entonces que la vorticidad aparezca de la nada y crezca hasta infinito generando la singularidad de splash? La vorticidad se supone que no es nula en la interfaz entre los dos medios de diferente densidad, es decir, la vorticidad tiene como soporte una curva en el plano, sea z(\alpha,t), y toma la forma

\nabla^{\bot}\cdot v(x,t)=\omega(\alpha,t)\delta(x-z(\alpha,t)).

Por tanto, la vorticidad es una función generalizada o distribución (en realidad basta que sea una medida de Dirac) definida en la curva z por

\langle\nabla^{\bot}\cdot v,\eta\rangle=\int_{\mathbb{R}}\omega(\alpha,t)\eta(z(\alpha,t))d\alpha,

donde \eta(x) es una función de prueba (test) adecuada.

El trabajo de Diego y sus colegas se basa en las ecuaciones para la vorticidad, ya que el campo de velocidad se puede recuperar completamente a partir de ésta gracias a la fórmula de Biot-Savart

v(x,t)=\nabla^{\bot}\Delta^{-1}(\nabla^{\bot}\cdot v)(x,t),

v(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \frac{(x-z(\alpha,t))^{\bot}}{|x-z(\alpha,t)|^2}\omega(\alpha,t)d\alpha,

donde x\neq z(\alpha,t).

Si eres un valiente que aún continuas leyendo esta entrada es el momento de descargarte el pdf desde ArXiv y continuar leyendo.

Para los demás pido disculpas por haber formulado el problema, sin haber presentado la solución (el enunciado del teorema y su demostración). Nos llevaría demasiado lejos y para eso está el paper técnico de Diego y sus colegas.

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