El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills

Al finalizar la charla de Óscar García Prada sobre la “Existencia de Yang-Mills y del salto de masa” uno de los asistentes preguntó cuál era la relación entre el bosón de Higgs y el problema del salto de masa. Óscar es experto, pero no me gustó su respuesta, creo que no estuvo del todo clara. ¿Nos podemos olvidar del bosón de Higgs si se resuelve el problema del milenio? Obviamente, no. Quizás la palabra “masa” en la frase “salto de masa” genera cierta confusión y creo que sería bueno aclarar este asunto. Me quedé con la mosca en la oreja y me siento obligado escbirir una breve entrada al respecto. Resumiendo mucho, el problema del salto de masa (mass bandgap) trata de explicar por qué la interacción fuerte (modelada por la cromodinámica cuántica o QCD) es una interacción de corto alcance, sin embargo, el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría mediado por el campo de Higgs trata de explicar por qué los bosones vectoriales débiles tienen una gran masa en reposo (la razón por la cual la interacción débil es de muy corto alcance). El salto de masa también se debería dar en la interacción débil, pero su efecto en el alcance de esta interacción es ridículo comparado con el efecto debido a la masa de los bosones vectoriales W y Z. No sé si me he explicado bien. Permitidme unos párrafos adicionales.

Lo primero, ¿qué es el problema del salto de masa? Las ecuaciones de Yang-Mills para un grupo de simetría G (un grupo de Lie simple) presentan un único parámetro libre, la constante adimensional de acoplamiento (g) que determina la intensidad de la interacción y cuyo valor depende de la energía. Las soluciones de estas ecuaciones son campos gauge clásicos que se pueden interpretar como partículas elementales, los bosones vectoriales gauge. En las ecuaciones de Yang-Mills clásicas estas partículas (bosones gauge) tienen que tener masa en reposo nula, ya que un término de masa viola la simetría gauge del grupo G; exactamente nula si la teoría es correcta. Hay que destacar que un término de masa en las ecuaciones requiere un parámetro adicional, la masa en reposo de la partícula gauge, un parámetro que no es adimensional.

En la electrodinámica cuántica (que no es una teoría de Yang-Mills porque está basada en el grupo de Lie U(1) que es abeliano), el fotón tiene una masa en reposo nula y por ello el electromagnetismo es una fuerza de largo alcance. De hecho, el mejor límite experimental para la masa del fotón indica que es menor de una millonésima de la billonésima de electrónvoltio (eV), un número ridículo (y hay estimaciones muchos órdenes de magnitud más bajas, ver el PDG).

En la cromodinámica cuántica, que sí es una teoría de Yang-Mills, basada en el grupo G=SU(3), los 8 gluones (bosones vectoriales) tienen masa en reposo nula; exactamente nula si la teoría es correcta. La evidencia experimental está de acuerdo con este hecho, aunque las grandes dificultades prácticas para medir la masa de los gluones hace que la incertidumbre en su masa (el límite superior para dicha masa) sea bastante malo y hoy en día se cree que los experimentos son compatibles con una masa para los gluones de hasta unos pocos megaelectrónvoltio (MeV). Aún así, hoy en día todo el mundo cree que la masa de los gluones es exactamente nula. ¿Cómo es posible entonces que la interacción fuerte sea de corto alcance? La explicación será la solución del problema del salto de masa.

Otra interacción de corto alcance es la interacción débil, que es una teoría de Yang-Mills basada en el grupo G=SU(2), pero en ella los 3 bosones vectoriales (W y Z) tienen una gran masa en reposo (los dos bosones W tienen una masa de 80,4 GeV/c² y el bosón Z una masa de 91,2 GeV/c²). Un término de masa, como ya he dicho, viola la simetría gauge de la teoría. Un gran problema cuya solución fue el uso de la ruptura espontánea de la simetría, mediada por el campo de Higgs. Sin entrar en detalles técnicos, a alta energía (por encima de unos 250 GeV, la energía a la que se produce la ruptura espontánea de la simetría) hay un grupo de simetría con 4 partículas gauge sin masa; por debajo de la energía de ruptura espontánea de la simetría, el grupo se rompe en un producto SU(2)xU(1) y los bosones vectoriales W y Z adquieren una masa en reposo no nula, pero el fotón mantiene su masa nula, lo que deja un residuo en el campo de Higgs que se traduce en la predicción de una nueva partícula llamada el bosón de Higgs (aún no descubierto).

Una solución del problema del salto de masa para la interacción débil no es capaz de explicar su corto alcance a baja energía, si pudiera explicarlo la interacción tendría que tener un alcance mucho menos corto del que se ha observado en los experimentos. El problema del salto de masa podría explicar el alcance corto de la interacción débil por encima de la energía de ruptura espontánea de la simetría, pero no por debajo de ella. Estas energías no han sido exploradas (estudiar la física de neutrinos con estas escalas de energía está fuera del alcance de los aceleradores actuales). La hipótesis de facto de la mayoría de los físicos es que la interacción débil a alta energía es una interacción de corto alcance, como la cromodinámica cuántica, pero no hay evidencia experimental al respecto. De hecho, la mayoría de los físicos cree que una teoría de Yang-Mills basada en un grupo de Lie simple siempre es de corto alcance (algo que tendrá que probar o desmentir quien resuelva el problema del milenio).

Lo segundo, ¿por qué una teoría de Yang-Mills con un grupo de Lie G no abeliano presenta el salto de masa? Como aún no se ha resuelto el problema del milenio, la respuesta no se conoce, aunque se intuye. Una teoría de Yang-Mills clásica no permite explicar este fenómeno, pero en la versión cuántica se cree que la interacción no lineal entre los bosones vectoriales (los gluones en el caso de la QCD) provoca la aparición del fenómeno de la libertad asintótica que conduce a una interacción de corto alcance. Los gluones se comportan como si tuvieran una “masa” efectiva que acorta el alcance de la interacción. La aparición “dinámica” de un nuevo parámetro (la masa efectiva de los gluones) en la versión cuántica de una teoría clásica que no presenta dicho parámetro es algo que ha sido observado en teorías modelo de baja dimensión, lo que ofrece certeza al respecto de una solución positiva a este problema del milenio.

Y tercero, ¿por qué el premio del milenio requiere demostrar que existe una teoría de Yang-Mills cuántica? Las técnicas que usan los físicos para cuantizar una teoría clásica (cuantización canónica, cuantización por integrales de camino, etc.) son técnicas “formales” (no rigurosas desde el punto de vista matemático) y  presentan ciertas dificultades (aparición de infinitos, series asintóticas no convergentes, etc.). Dotar de rigor a estas técnicas se cree que será un paso previo obligado a la resolver el problema del salto de masa, sin embargo, por si acaso, la descripción del premio incluye esta demostración de forma explícita. Hoy en día, utilizando teorías de Yang-Mills en retículos (lattice YM), es decir, métodos numéricos en supercomputadores, se pueden calcular los resultados de las interacciones (colisiones) en QCD, pero en ciertos rangos de parámetros (energía de la colisión) aún hay mucha incertidumbre. Muchos físicos creen que una versión rigurosa de la cuantización de la QCD permitirá desarrollar nuevas técnicas de cálculo que ampliarán el rango de problemas en los que podemos obtener respuestas con gran precisión. Por eso, la existencia de una teoría cuántica de Yang-Mills es parte íntegra e indisoluble del problema del milenio.

Para más detalles recomiendo leer las notas de Óscar García Prada, “Existencia de Yang-Mills y del salto de masa.” Yo lo hubiera contado de una forma muy diferente, pero sus notas están muy bien.

3 pensamientos en “El bosón de Higgs y el problema del salto de masa para las ecuaciones de Yang-Mills

  1. En Argentina decimos “bosones de gauge”, no “bosones gauge” : P. Nada, sólo esa pavada, pero me resulta raro leerlo así.

  2. Muy buen intento Francis de explicar el boson de Higgs por el salto de masa, pero lo complica un poco por la teorìa de Yang-Mills sobre el particular, no se, me pierdo un poco en eso.

  3. Se qué tal vez ya es muy tarde para comentar en este post pero tengo una duda (te agradecería mucho Francis si pudieras escribir un poco al respecto)

    Mi duda esta repleta de ignorancia: bien si es que se diera el caso de que alguien pudiese formalizar los métodos clásicos de cuantización es decir librar de infinitos a la QCD entonces eso nos llevaría a poder describir al campo gravitatorio de manera cuántica. Seguro me equivoco pero hasta dónde yo tengo entendido el problema con el que se enfrentaron las técnicas clásicas son la aparición de múltiples infinitos en la interacción mutua de dos gravitones.

    Por favor Francis soy tu asiduo lector y me gustaría que explicaras cuales fueron los problemas por los cuales los métodos de cuantización canónica fallaron

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