Ricardo Pérez Marco, el escéptico transalgebraico y la hipótesis de Riemann

Para los que no trabajamos en problemas tan trascendentes como la hipótesis Riemann, la charla de Ricardo Pérez Marco en las Jornadas Científicas “Los Problemas del Milenio” ha sido todo un placer. Ricardo ha tratado de contarnos cuál era la motivación de Riemann a la hora de proponer que los ceros de la función zeta se encuentran en la línea crítica y lo ha hecho recurriendo a la historia, avanzando hasta Ramanujan, reculando hasta Galois, repasando a Hardy, admirando a Euler y en resumen recorriendo los senderos transalgebraicos entre el análisis en variable compleja y la teoría de números algebraicos. Discurso fluido, sincero y escéptico que le ha llevado a recomendar a los jóvenes lo mismo que se recomendaba John F. Nash a sí mismo: nunca confíes en los surveys sobre la conjetura de Riemann, todos están equivocados, no ha habido progresos hacia la demostración de la conjetura desde hace muchas décadas (tampoco confíes en el survey escéptico del propio Ricardo “La hipótesis de Riemann”). Ni Deligne, ni Bombieri, ni santas pascuas (y no digamos nada de De Branges, Connes y otros “aficionados al bombo”). Según Ricardo debemos ser honestos y confesar que ni tenemos ni idea sobre el camino para demostrar la hipótesis de Riemann ni tenemos ni idea sobre su significado transalgebraico. ¡Me ha gustado el palabro “transalgebraico”! ¡Se nota, eh!

La charla de Ricardo ha estado repleta de conceptos, elementales en apariencia, que yo desconocía y que, por la cara de muchos de los asistentes, también desconocía la mayoría de ellos. Por ejemplo, ¿cuál es la gran diferencia entre π² y π³? O en general, entre una potencia par de π y una potencia impar de este número transcendente. La diferencia ya la conocía Euler y desde entonces, según Ricardo, no se ha avanzado nada al respecto. ¿Cuál será? π² es un número transalgebraico que tiene una función entera minimal \sin(\sqrt{z})/\sqrt{z}. Esta función entera minimal equivale al polinomio mínimo asociado a todo número algebraico. Nadie sabe cuál es la función entera minimal de π, ni de cualquiera de sus potencias impares; además,  según Ricardo, debería ser tan sencilla que si no conoce es porque no existe. Si quieres saber más al respecto, te recomiendo la lectura de sus notas “La hipótesis de Riemann.” Siempre se ha dicho que un director del CNRS tiene que ser así y Ricardo no defrauda.

¿Aproximaciones físicas a la hipótesis de Riemann? Según Ricardo son otro callejón sin salida. La función zeta de Riemann es tan sencilla (transalgebraicamente hablando) que si modela un sistema físico éste tiene que ser tan sencillo que ya habría sido descubierto y la hipótesis de Riemann habría sido probada. Como no se ha dado lo segundo, lo primero no implica ningún tipo de progreso. Aún así, y como yo soy físico, me gustaría recordar que la función zeta de Riemann aparece en muchos problemas de física, desde la mecánica clásica a la física de la materia condensada. A los interesados les recomiendo el interesante artículo (para mí, supongo que para Ricardo no lo será) de Daniel Schumayer, David A. W. Hutchinson, “Physics of the Riemann Hypothesis,” Review of Modern Physics 83: 307-330, 2011 [gratis en ArXiv].

¿Estás interesado en la hipótesis de Riemann? Según Ricardo deberías empezar leyendo a Aleksandar Ivić, “On some reasons for doubting the Riemann hypothesis,” ArXiv, 11 Nov 2003 [“creer o no creer en la validez de la hipótesis de Riemann, that’s the question!”]. Y ni se te ocurra leer a Enrico Bombieri en su descripción del problema del Milenio (“The Riemann hypothesis,” porque dicen que la mejor manera de provocar que toques algo es poner un cartel que diga que no lo toques). ¿Qué deberías leer entonces? Según Ricardo a E. Landau, 2Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,” 2nd Edition, Chelsea, New York, 1953, y a H. M. Edwards, “Riemann’s Zeta Function,” Dover Publications, New York, 2001.

La hipótesis de Riemann

Los números primos \mathcal{P} son los números naturales \mathcal{N} que no son divisibles salvo por ellos mismos y por la unidad. Hay infinitos primos, pero los detalles de su distribución aún están ocultos. Euler demostró con 1737 que

\sum_{p \in\mathcal{P}}{\frac{1}{p}} = \infty,

lo que indica que los números primos son muy frecuentes entre los números naturales; recuerda que

\sum_{n \in\mathcal{N}}{\frac{1}{n^k}} < \infty, \qquad k>1.

Euler fue más allá y demostró usando el teorema fundamental de la aritmética que

\zeta(k) =\sum_{n \in\mathcal{N}}{\frac{1}{n^{k}} } = \prod_{p\in\mathcal{P}}{\left ( 1- \frac{1}{p^{k}}\right )^{-1}},

expresión matemática bien definida para k>1. La función \zeta(k) no tiene ceros reales para k>1.

Bernhard Riemann aplicó las herramientas del análisis en variable compleja a la función zeta y la extendió a todos los números complejos como

\zeta (s) = \sum_{n\in\mathcal{N}}{\frac{1}{n^{s}}},

función que puede ser continuada analíticamente para todo el plano complejo s excepto para s=1. Esta función de variable compleja s=\sigma+it, donde \sigma y t son números reales, y i=\sqrt{-1}, es la llamada función zeta de Riemann y presenta cierta simetría alrededor de la línea crítica \sigma= 1/2 dada por la ecuación funcional

\pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma \!\left ( \frac{s}{2} \right ) \zeta (s) = \pi^{-\frac{1-s}{2}} \Gamma \!\left ( \frac{1-s}{2} \right ) \zeta (1-s),

que permite demostrar que tiene ceros (llamados triviales) en todos los números enteros negativos \sigma =-n y $t=0$. Además, si la función tiene un cero \sigma+it, con 0<\sigma<1/2 también tendrá como cero el número simétrico con 1/2<1/2+\sigma<1 y sus dos simétricos respecto al eje t=0.

Riemann conjeturó como hipótesis razonable que todos los ceros no triviales de la función \zeta(s) son de la forma $s=1/2+it$, es decir, se encuentran en la línea crítica. En 1900, Hilbert consideró la hipótesis de Riemann como el octavo problema de su famosa lista, y de ahí acabó como uno de los problemas del milenio del Instituto Clay de Matemáticas dotado con un millón de dólares. Durante el s. XX ha habido ciertos avances menores en la demostración de la conjetura, como cuando Hardy demostró en 1914 que hay infinitos ceros de la función \zeta(s) en la línea crítica, pero esto no basta para demostrar la hipótesis de Riemann (hoy sabemos gracias a Conrey, 1989, que al menos dos tercios el 40% de los ceros se encuentran en ella). Todos lo ceros deben estar en ella.

Y no digo más al respecto… porque no quiero que leas a J. Brian Conrey, “The Riemann Hypothesis,” Notices of the AMS, March 2003, que si no Ricardo me va a pegar un tirón de orejas.

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15 pensamientos en “Ricardo Pérez Marco, el escéptico transalgebraico y la hipótesis de Riemann

  1. Eres un crack, mulita :D

    Gracias por toda la información que brindas, que de otra manera tendríamos que buscar por fuentes dispersas.

    Saludos.

  2. Bravo francis, juegas con las letras tan bien como con las matemáticas (por no decir de nuestras mentes) que me has hecho descargar todos los documentos que mencionas, (funcionó el rótulo de no le toques eh) intentaré leerlos (conste que no soy matemático de filas sino de afición), gracias por las referencias y benditos links, si aquellos que en un post viejo consideraste no poner más, gracias por seguir con los links, y según recuerdo te gusta jugar con pompas de jabón =)

  3. Qué recuerdos de Ricardo.
    Di una charla en la Univ. Carlos III de Madrid invitado expresamente por él… y no lo pasé peor en mi vida.
    Nada más escr4ibir la primera definición (ojo, definición!!!) ya me empezó a poner pegas.

    Aún era joven e inexperto… y lo pasé bastante mal ese día. Pero ahora lo veo como una experiencia enriquecedora para mí. Aprendí que a una charla se va con todos los cabos atados: los que debes tenrlos y algunos más.

  4. Precioso artículo. Por cierto, a mí también me ha gustado mucho lo de “transalgebraico”, pasa a formar parte de mi colección junto a “austrohúngaro” y algunas más.

  5. Mi inglés es pésimo fuera de temas informáticos, por lo que del documento de J. Brian Conrey sólo he mirado las figuras (bueno si, y el texto un poco por encima).

    Y los análisis numéricos por ordenador que hace, me han recordado lo impresionado que estoy desde hace tiempo con figuras como Euler (sobre todo Euler). Pues ellos, con sólo su mente y algún raquítico carboncillo o pluma (¡es que ni Bic tenían!) eran capaces de mirar en el horizonte de los números como quien mira desde la cima de una montaña.

    Es decir, ellos veían los números con mucha mayor claridad que hoy con todos nuestros ordenadores.

    Y si no, ¿de donde carajo sacaban esas fórmulas? (Euler y Ramanujan tienen unas cuantas…).

    Fantástico el artículo.

  6. No estoy de acuerdo con el análisis hecho por D. Ricardo: antes me doy con un canto entre los dientes que ir diciendo que todas las demostraciones de Riemann que circulan por Internet son falsas. Esto es, ¿cómo tengo conocimiento de tantos intentos y de ninguna refutación? Mi respuesta (en base a mi experiencia) apunta a una dirección triste: porque no se revisan.

    Que muchas serán falsas, bien. Que haya afirmaciones rarillas en la hipótesis de Riemann, vale; pero no tienen porqué usarse para demostrar su veracidad o falsedad…, ¿y si todo se redujera a hacer un simple límite? ¿O quizá si fuera tan simple como un problema de modelos combinatorios (tan típicos en informática)?

    Prefiero no opinar…

  7. La verdad es que uno no puede evitar sentir una sana envidia de Francis: en Barcelona asistiendo a unas conferencias sobre el estado de varios de los problemas más trascendentes de la historia de la humanidad y además con tiempo para tomarse después unos vinitos y unas cervecillas. Como dicen por ahi arriba es de agradecer las explicaciones y los comentarios que estás poniendo sobre estos problemas. La hipótesis de Riemann es probablemente el más difícil y quizás trascendente problema de toda la historia de las matemáticas, intentar resolverlo se ha cobrado la salud mental de muchos matemáticos como Jhon Nash (representado por Russell Crowe en la película “Una mente maravillosa”). Cientos de papers matemáticos sobre teoría de números y otros campos tienen como condición que la hipótesis de Riemann sea cierta.
    Lo malo es que parece que seguimos tan lejos de su demostración como hace 50 años por lo que probablemente este problema permanecerá por muchos años.
    Para los no matemáticos que quieran saber más sobre este tema recomiendo el libro “La música de los números primos” de Marcus Du Sautoy que es sin duda uno de los mejores libros que he leído.

  8. Queria apuntar un par de cosas: en algun momento hablas de teoria de numeros algebraicos, mejor seria teoria algebraica de numeros algebraicos (lo digo para poder considerar la teoria de cuerpos de clases locales y globales).
    Tecnicismos al margen, se suele decir que con estos grandes problemas (como lo fue hasta hace poco el ultimo de teorema de Fermat) se gana mucho por el camino, es decir, que aunque no se consiga resolver nada o incluso se llegue a callejones sin salida que no llevan a ninguna parte, se suelen conseguir construcciones por el camino que acaban siendo inesperadamente útiles para otros campos. Un ejemplo clasico es precisamente el ultimo teorema de Fermat. Y es que grandes matematicos como dedekind, hasse o tate (hasta wiles) han desarrollado toda una serie de matematicas nuevas que luego han servido para muchas otras cosas (los anillos de dedekind o los de artin son consecuencia de estas investigaciones, o la reaparicion inesperada de los anillos de hensel).
    Lo mismo pasa con muchos otros problemas, como las conjeturas de Weil, las cuales dieron lugar a la teoria de variedades abelianas, esquemas aritmeticos o la cohomologia etale (entre otros).

    Tal vez el problema que tienen los premios del instituto clay es que olvidan que en las matematicas el camino a veces es tan (o mas) importante que la meta (aunque hay que reconocer que en el caso de la hipotesis de Riemann la trascendencia de su demostracion es muy grande).

    PS: Iras a la conferencia sobre Swinerton-Dyer? Estaria bien que la comentaras ;)

  9. Saludos! Muy interesante entrada!

    Tengo una duda de principiante que agradecería mucho que alguien me pudiera aclarar: la ecuación funcional empleada para prolongar analíticamente la función zeta para todo complejo diferente de 1 relaciona zeta(s) con zeta(1-s). La pregunta es, ¿cómo se extrae de esa ecuación el valor de la función para s real entre 0 y 1, teniendo en cuenta que 1 – s también es un real entre 0 y 1?

    Muchas gracias!

      • Hola! Muchas gracias, ha sido el típico error de principiante: consultar la wikipedia y no buscar más fuentes, ya que resulta que en la wikipedia se especifica que:

        “La función zeta de Riemann se puede prolongar analíticamente para todo número complejo excepto s=1, mediante la siguiente ecuación funcional…”

        Lo cual me parece que no acaba de ser correcto del todo, ya que la ecuación funcional no define por sí misma a la función en la banda crítica, de ahí mi duda.

  10. Disculpad otra vez, pero es posible que haya un error en el texto. Donde dice “hoy sabemos gracias a Conrey, 1989, que al menos dos tercios de los ceros se encuentran en ella” (en la línea crítica), ¿no debería decir “al menos un 40 %”?

    • Gracias, Optimus, tienes razón. Lo he cambiado en la entrada.

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