Carnaval de Matemáticas 2.4: Las matemáticas que llegan hasta el corazón

¿Sabes quién es Manfredo Do Carmo? Clara Isabel Grima Ruíz, profesora de matemáticas de la Universidad de Sevilla, ganadora del concurso de entradas del Carnaval de Matemáticas 2.3, aparece junto a él en la entrada en la que anuncia que hospedará en su blog seispalabras la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas en (2+4)palabras. Puedes contribuir desde el día  15 al 25 de Mayo; el resumen saldrá publicado el  día 27 del mismos mes. Para ello, basta con dejar una reseña en la web del Carnaval, o en la página de Facebook del Carnaval, o bien mandando un tweet con el enlace al Twitter del Carnaval: @CarnaMat. Cuando se publique el resumen podréis votar la entrada que más os haya gustado que recibirá el prestigioso trofeo diseñado por Carolina (@OKInfografia) de Ok Infografía. He escrito de todo corazón mi primera entrada para el Carnaval sobre el corazón…

La medicina y la biología pueden parecer muy alejadas de la labor del matemático, pero no es así. La biología matemática y la fisiología (o medicina) matemática son hoy en día fundamentales para entender muchos procesos que ocurren en nuestro cuerpo y que tienen consecuencias en nuestra salud. La cardiología matemática estudia los problemas cardíacos que pueden ser estudiados utilizando ecuaciones diferenciales que han de ser resueltas mediante ordenadores. Nuestro corazón bombea sangre a nuestro cuerpo gracias al movimiento del músculo cardíaco, inducido por la propagación de señales eléctricas a su través en forma de ondas espirales. Los cardiólogos llevan estudiando la actividad eléctrica de nuestro corazón gracias al electrocardiograma (ECG) desde hace muchas décadas. En la actualidad se utilizan modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias, para estudiar la actividad eléctrica de una célula, como en derivadas parciales, para estudiar la de un tejido. La razón última de la existencia de estas corrientes eléctricas es la presencia de sales disueltas en nuestro cuerpo con iones cargados de sodio, potasio y calcio. Estos iones atraviesan las membranas de las células produciendo una diferencia de potencial a través de la membrana y una corriente eléctrica que se transmite de unas células a otras. La electrofisiología matemática todavía presenta gran número de problemas abiertos de interés matemático, problemas en los que están trabajando gran número de investigadores (matemáticos, biólogos, ingenieros y médicos). Nos presenta una breve introducción a este campo el artículo de John W. Cain (Virginia Commonwealth University, USA), “Taking Math to Heart: Mathematical Challenges in Cardiac Electrophysiology,” Notices of the AMS 58: 542-549, April 2011.

Simulación de la taquicardia ventricular que presenta una espiral.

La electrofisiología nació con el trabajo de George Ralph Mines (1886–1914), un brillante fisiólogo que estudió en su laboratorio las arritmias del corazón (murió a los 29 años por una accidente en su laboratorio). La electrofisiología matemática nació en 1952 cuando Alan Hodgkin y Andrew Huxley obtuvieron un modelo matemático de la propagación eléctrica en el axón de una neurona de un calamar gigante (recibieron por ello el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1963). El modelo más utilizado para modelar el potencial eléctrico en el corazón se basa en las ecuaciones de FitzHugh-Nagumo (1961), aunque hay modelos mucho más detallados de la corriente iónica (un listado en formato CellML). En estos modelos matemáticos la parte más complicada es como describir las corrientes de iones y su interacción con la membrana celular, que actúa como un circuito RC. Actúa como una resistencia (R) variable porque hay canales que se abren y se cierran que regulan el flujo de corriente hacia afuera y hacia adentro, y como una capacitancia o condensador (C) porque soporta la diferencia de carga entre ambos lados de la membrana.

 

Comportamiento caótico durante la fibrilación ventricular.

Los modelos de ecuaciones en derivadas parciales que describen la propagación de ondas eléctricas en el corazón presentan soluciones no lineales de muchos tipos (ondas solitarias, generación de patrones y/o comportamiento caótico), pero las más famosas son las ondas espirales (2D) y de tipo scroll (3D). El estudio realista de estas ondas y su interacción mutua requiere el desarrollo de métodos numéricos específicos como las técnicas de contornos sumergidos (Inmersed Boundary Method introducidas por Charles S. Peskin). El dominio 3D que representa la geometría del corazón es muy complicado, presentando varias cavidades (dos ventrículos y dos aurículas), conectadas por válvulas auriculoventriculares, venas y arterias; además, la geometría cambia conforme el corazón realiza su función cardíaca. Una complicación adicional es que la conductividad eléctrica del tejido cardíaco cambia según la región (auricular, ventricular o fibras de Purkinje) y requiere utilizar un tensor de conductividad dependiente de la posición.

En la actualidad la matemática cardiovascular está muy avanzada, aunque sus aplicaciones clínicas tendrán todavía que esperar algunos años. Te recomiendo visionar la conferencia de Alfio Quarteroni en el ICM 2006 de Madrid. Si tienes una hora libre y entiendes bien el inglés hablado por un italiano, disfrutarás de lo lindo. También puedes descargar las transparencias en pdf si lo prefieres.

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