Los octoniones y el secreto de la teoría de supercuerdas

Se sabe desde 1977 que la versión clásica de una teoría cuántica de Yang-Mills supersimétrica sólo puede ser construida en un espaciotiempo con D = 2, 4, 6 y 10 dimensiones [1]; recuerda que D=10 significa 9+1, o nueve dimensiones espaciales y una dimensión temporal. Se sabe desde 1984 que la versión clásica de una teoría de cuerdas supersimétricas (supercuerdas) sólo puede ser construida en un espaciotiempo con D = 3, 4, 6 y 10 dimensiones [2]. En 1984 también se descubrió que la versión cuántica de estas teorías de supercuerdas presentan anomalías salvo en D=10 dimensiones [3]. 

¿Qué tienen de peculiar estos números? D=1+2, 2+2, 4+2 y 8+2. Una cuerda es un objeto unidimensional en espacio cuyo movimiento en su tiempo propio se describe mediante una hoja espaciotemporal en 1+1 dimensiones (en inglés se llama worldsheet), es decir, una cuerda requiere 2 dimensiones (en la figura en azul). ¿Qué tienen de peculiar los números 1, 2, 4 y 8? Los números reales y los números complejos forman un álgebra de división normada, podemos sumarlos, multiplicarlos, dividirlos y podemos calcular su valor absoluto. Kervaire (1958) y Bott y Milnor (1958) demostraron que sólo existen 4 álgebras de división normadas que corresponden a los números reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones, con dimensión 1, 2, 4 y 8, respectivamente.

Los números 1+2, 2+2, 4+2 y 8+2, o sea, 3, 4, 6 y 10, recuerdan a las dimensiones del espaciotiempo de la versión clásica de una teoría de supercuerdas. Más aún D=8+2=10 es la dimensión del espaciotiempo en una teoría de supercuerdas cuántica. ¿Pura casualidad? ¿Son los octoniones el secreto de la teoría de cuerdas?

¿Qué pasa con respecto a la teoría M? Según Baez y Huerta, en la teoría M se trabaja con membranas 2+1 dimensionales por lo que la dimensión “natural” para dicha teoría es 8 + 3 = 11, lo que sugiere que los octoniones también son el secreto de la teoría M. En realidad, la teoría M tiene 11 dimensiones porque su versión clásica es la supergravedad y el mayor número posible de dimensiones para una versión supersimétrica de la gravedad es 11 si no acepta la existencia de partículas con espín mayor de 2 (el espín del gravitón).

¿Oculta la relación entre las supercuerdas y los octoniones algo profundo? John C. Baez y John Huerta, “The Strangest Numbers in String Theory,” Scientific American, May 2011, nos proponen como conjetura que el secreto de la teoría de supercuerdas son los octoniones, aunque todavía nadie ha sido capaz de escribir la teoría de cuerdas como una teoría de campos octoniónica. Como es de esperar, publicar esta idea en Scientific American ha generado cierto revuelo en la blogosfera (Baez y Huerta ya la habían publicado con anterioridad sin lograr mucha atención aquí y aquí): Peter Woit, “This Week’s Hype,” Not Even Wrong, April 28th, 2011; Philip Gibbs, “Octonions in String Theory,” viXra log, April 29, 2011; Lubos Motl, “John Baez, octonions, and string theory,” The Reference Frame, April 29, 2011; un resumen del artículo de Baez y Huerta en Francis, “Baez & Huerta in Scientific American: “The Strangest Numbers in String Theory”,” Francis’ world inside out, April 30, 2011.

Os recuerdo a los despistados. En 1843, William Rowan Hamilton descubrió en Dublin los cuaterniones, números de la forma a + b i + c j + d k, donde i²=j²=k²=–1, y a, b, y c son números reales. Los números i, j y k son raíces cuadradas de −1. Los cuaterniones permiten describir las rotaciones en el espacio tridimensional, fueron usados por James Clerk Maxwell para escribir la forma original de sus ecuaciones del campo electromagnético y se utilizan mucho en gráficos por ordenador, juegos por ordenador y robótica para interpolar rotaciones (interpolar matrices de rotación, que son ortogonales, requiere conservar la ortogonalidad, detalle técnico que no es necesario con cuaterniones). Arriba tenéis una figura que representa la tabla de multiplicar de los cuaterniones, cuya clave es que i j = k, y que i j = − j i.

John Graves, amigo de Hamilton, descubrió en diciembre de 1843 que los cuaterniones se podían generalizar a los octoniones, números con 8 componentes y 7 raíces cuadradas de −1 (ei, con i=1, 2, …, 7)  y descubrió la tabla de multiplicar que aparece en la figura de arriba. Esta tabla es difícil de recordar aunque puede ayuar la figura en forma de triángulo en la parte superior derecha. La multiplicación de los números complejos es conmutativa y asociativa, la de los cuaterniones es asociativa pero no es conmutativa, y la de los octoniones ni es conmutativa ni es asociativa. Los octoniones son un sistema de números que no tiene aplicaciones en física (más allá de la propuesta de Baez y Huerta) por lo que son poco conocidos y han sido poco estudiados. Baez, gran amante de los octoniones, afirma que la conexión con la teoría de cuerdas es la aplicación natural de los octoniones en la física teórica y en la física matemática.

En mi opinión (no soy experto), por más que nos pueda parecer sugerente la conexión entre octoniones y el número de dimensiones del espaciotiempo subyacente en la teoría de supercuerdas (D=10) o en la teoría M (D=11), esta conexión es pura casualidad. Mientras no haya una versión octoniónica de estas teorías, me aventuro a creer que esta conexión es pura coincidencia (la tesis doctoral de Huerta, bajo la dirección de Baez, no ha sido capaz de lograrlo, aunque presenta argumentos a favor). Aún así, si te parece una idea prometedora te recomiendo empezar leyendo a John C. Baez, “The Octonions,” May 16, 2001 [la parte histórica del artículo de Scientific American está copiada de este artículo].

Yo estoy interesado en los octoniones por su relación con el grupo de Lie excepcional G2, el más pequeño (dim(G2)=14) de los grupos de Lie excepcionales y cuya álgebra de Lie g2 está relacionada con las derivaciones de octoniones Der(O); Cartan descubrió en 1914 que g2=Der(O). Te recuerdo que en 1887 Wilhelm Killing afirmó haber clasificado todas las álgebras de Lie simples; además de las álgebras clásicas A(n), B(n), C(n) y D(n), las álgebras de Lie asociadas a los grupos de Lie llamados SO(n), SU(n) y Sp(n), encontró 6 nuevas álgebras de Lie excepcionales. En 1894 Élie Cartan en su tesis doctoral demostró que en realidad sólo había 5 álgebras de Lie excepcionales E6, E7, E8, F4 y G2.

¿Por qué me interesa G2? Esa es otra historia. Brevemente, para quemar el gusanillo de los curiosos, me interesa en relación a la conjetura de Ziller sobre espacios naturalmente reductivos (un tipo sencillo de variedad riemanniana homogénea conexa). Pero lo dicho, esa es otra historia.

[1] Lars Brink, John H. Schwarz, Joël Scherk, “Supersymmetric Yang-Mills theories,” Nuclear Physics B 121: 77-92, 28 March 1977.

[2] Michael B. Green, John H. Schwarz, “Properties of the covariant formulation of superstring theories,” Nuclear Physics B 243: 285-306, 3 September 1984.

[3] Michael B. Green, John H. Schwarz, “Anomaly cancellations in supersymmetric D = 10 gauge theory and superstring theory,” Physics Letters B 149: 117-122, 13 December 1984.