Carnaval de Matemáticas 2.2: Las derivadas parciales mixtas de la función 1/r en coordenadas esféricas

Calcular las derivadas de una función puede parecer una operación sencilla y directa, pero muchas veces no lo es. Como ejemplo presentaré el cálculo de las segundas derivadas mixtas de la función 1/r en coordenadas esféricas, donde r^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2. Sin utilizar el formalismo matemático de las funciones generalizadas dicho cálculo no es posible, pero incluso esto no es suficiente, además hay que utilizar la técnica de regularización (esférica en este caso).

Recordemos el valor del laplaciano aplicado a esta función

\nabla^2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} =\left(\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_1^2}+\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_2^2}+\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_3^2}\right) \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} = -4\pi \delta(r),

donde \delta(r)=\delta(x_1)\delta(x_2)\delta(x_3) es la delta de Dirac tridimensional.

¿Cuánto valen las segundas derivadas mixtas de la función 1/r? Puede parecer una pregunta obvia, pero no lo es. Para ilustrarlo, calcularemos las segundas derivadas parciales mixtas \partial^2 \phi({ r})/\partial x_i\partial x_j de la siguiente función

\phi({ r})=\int {\rm{d}}^3r'\, \frac{\displaystyle \rho({ r}')}{\displaystyle R}, \qquad R=|{ r}-{ r}'|,

donde la función \rho({ r}) se comporta bien (es diferenciable) en el origen. La manera correcta de calcular estas derivadas parciales es

\frac{\displaystyle \partial^2 \phi({ r})}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j} =\lim_{\epsilon\to 0} \int_{R>\epsilon}{\rm{d}}^3r'\, \rho({r}')\frac{\displaystyle\partial^2}{\displaystyle\partial x_i \partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R}-\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\rho({ r})\delta_{ij},

es decir,

\frac{\displaystyle \partial^2 \phi({ r})}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j} = \lim_{\epsilon\to 0} \int {\rm{d}}^3r'\,\rho({ r}')\frac{\displaystyle 3(x_i-x_i')(x_j-x_j')-R^2\delta_{ij}}{\displaystyle R^5}\,\Theta(R-\epsilon)-\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\rho({ r})\delta_{ij},

donde \Theta(\cdot) es la función escalón de Heaviside.

Esta expresión se puede escribir de forma compacta como

\frac{\displaystyle \partial^2 \phi({ r})}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j}=\int {\rm{d}}^3r' \rho({ r}')\frac{\displaystyle\bar{\partial}^2}{\displaystyle\partial x_i\partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R},

si se define

\frac{\displaystyle \bar{\partial}^2}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R}\equiv \lim_{\epsilon\to 0}\frac{\displaystyle 3(x_i-x'_i)(x_j-x'_j)-R^2\delta_{ij}}{\displaystyle R^5}\, \Theta(R-\epsilon)-\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\delta({ r}-{ r}')\delta_{ij},

en lugar de lo que uno obtendría derivando directamente

\frac{\displaystyle \partial^2}{\displaystyle \partial x_i\partial x_j}\,\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle r} = \frac{\displaystyle 3x_ix_j-r^2\delta_{ij}}{\displaystyle r^5} -\frac{\displaystyle 4\pi}{\displaystyle 3}\,\delta( r)\delta_{ij}.

Esta última expresión se dice que no está regularizada.

La regularización de la derivada de una función generalizada en varias dimensiones depende del tipo de coordenadas utilizadas y el resultado es diferente en coordenadas esféricas, cilíndricas, etc.

Esta es mi primera entrada para laEdición 2.2 (año 2, edición 2) del Carnaval de Matemáticas que se celebra del 14 al 25 de marzo de 2011 en el blog Gaussianos. El resumen de esta Edición 2.2 se publicará en Gaussianos el lunes día 28 de marzo de 2011. ¿Cómo se puede participar? Pues tan sencillo como escribiendo un post cuyo contenido esté relacionado con las matemáticas en tu blog. ¿Que no tienes blog, pero quieres participar? No hay problema. Te registras en la nueva web del Carnaval de Matemáticas y allí mismo escribes tu artículo. ¿Cómo indico que mi entrada es una contribución para esta edición del Carnaval? Pues diciéndolo en el propio artículo y colocando en algún lugar del mismo un enlace a la nueva web del Carnaval y otro al blog anfitrión, Gaussianos en este caso. ¿Cómo aviso de que he publicado una entrada para el Carnaval? Pues de alguna de estas tres maneras: (1) escribiendo una reseña de tu entrada en la propia web del Carnaval; (2) escribiendo una reseña de tu entrada en la página de Facebook del Carnaval; y (3) mandando un tweet con el enlace al Twitter del Carnaval: @CarnaMat.