XIV Carnaval de Física: Vórtices y turbulencia en películas de jabón verticales, el arte y la ciencia de Maarten Rutgers

La XIV Edición del Carnaval de la Física tiene como anfitrión al joven eulez euleriano al que le “cierran la Facultad dos semanas debido a los recortes presupuestarios…;” yo no soy tan joven pero a mí también me la cierran. Como anfitrión de la edición número 14 del Carnaval de Física que se celebra este mes de diciembre. Supongo que tendré que escribir una entrada para celebrar la ¡Feliz Newtondad!, pero hasta entonces voy a tratar un tema que me toca de cerca, hojas líquidas planas, o si preferís, películas de jabón verticales. Por cierto, os recuerdo que “las reglas para participar en el Carnaval son las habituales, hay que escribir alguna cosa divulgativa (del tipo que sea) sobre Física en el blog de cada uno antes del 27 de diciembre y hay que avisar de que se ha hecho dejando un comentario en su blog.”

La estela de un objeto muestra la turbulencia en toda su belleza gracias a los vórtices de von Karman. Vórtices de vórtices a diferentes escalas que interactúan entre sí conformando figuras fractales. En la foto izquierda se muestran los vórtices de von Karman en la estela de la punta de una hoja de cuchillo que corta una película fluida (mostrada en la foto más a la derecha). La foto central muestra múltiples vórtices en interacción producidos por un peine de barritas transversales que cruzan la hoja líquida. Estos trabajos de Maarten Rutgers entre el arte y la ciencia, se han podido disfrutar en muchos museos en vivo y en directo. Fabricar estas películas de jabón gigantes es más fácil de lo que parece, como nos cuenta Maarten A. Rutgers en “Soap Films Made Easy.” Os recomiendo visitar su página web. Para abriros la boca permitidme algunos retazos.

Una pompa de jabón es una lámina muy delgada de agua entre dos capas de moléculas de jabón. Estas moléculas surfactantes tienen la forma de un renacuajo, con una “cabeza” hidrófila, que gusta del agua, y una “cola” hidrófoba, que rehuye el agua. Estas moléculas disueltas en agua se colocan en su superficie y hacen que una pompa de jabón, o una película de jabón, sean estables. En los experimentos en el laboratorio de Rutgers se producen películas de jabón planas guiadas por hilos de nylon por un procedimiento muy similar al utilizado por los artistas ambulantes que producen pompas de jabón en las calles de nuestras ciudades (en Málaga a mi hijo le encanta jugar con estas pompas de jabón, pero acaba bien mojado). Rutgers deja fluir el líquido de jabón por dos hilos de nylon en los que cuelga un peso. Una vez están bien mojados “abre” (separa) los dos hilos (ver las flechas rojas en la figura de arriba) de tal forma que se despliega la hoja líquida. Una válvula permite controlar la velocidad de la película y su espesor. Para una hoja líquida de 3 metros de longitud con un flujo de líquido a 3 metros por segundo, ningún punto de la película está en contacto con el aire más de un segundo, por lo que se evita que la evaporación rompa la hoja líquida. Sorprende lo fácil que es lograr películas de espesor muy uniforme y gran robustez. Rutgers ha logrado que sus hojas líquidas sean estables durante un día entero sin romperse. Así es muy fácil obtener fotografías preciosas de los vórtices y medidas experimentales muy precisas.

Introduciendo objetos que atraviesen la hoja líquida se observa la producción de estelas y vórtices de von Karman. Si hay más de un objeto estos vórtices interactúan entre sí produciendo patrones de gran belleza y de gran interés científico. Observando las fotografías y los vídeos de Rutgers me siento como mi hijo pequeño alucinando con pompas de jabón. Los patrones que Rutgers y sus colegas observan son muy similares a los obtenidos mediante simulaciones numéricas (el campo de investigación al que yo me dedico; mi grupo de investigación estudia hojas líquidas planas y chorros líquidos anulares).

La gran ventaja de las hojas líquidas es que son un medio bidimensional (el grosor transversal es despreciable) por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes para la vorticidad del fluido, ω(z,t)= ∇×v(z,t), son muy sencillas  ∂ω(z,t)/∂t + v·∇ω(z,t) = νΔω(z,t); he escrito la velocidad v para simplificar la escritura, ya que la expresión integral de v en función de ω hace que las ecuaciones no parezcan tan sencillas. En 3D las ecuaciones también son sencillas, pero solo en apariencia, ∂ω(z,t)/∂t – ω·∇v(z,t) + v·∇ω(z,t) = νΔω(z,t). En apariencia por la presencia del término no lineal ω·∇v(z,t) que introduce un mecanismo de realimentación que permite que la vorticidad crezca y se produzca un comportamiento turbulento. No se sabe si el crecimiento (inestabilidad) de la vorticidad tiene límite, ya que no se conoce ningún mecanismo obvio que detenga su crecimiento en 3D. Por ello no se sabe si las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3D son únicas y suficientemente diferenciables (regulares). Un millón de dólares espera a quien sea capaz de resolver este complejo problema matemático que ya estudió en toda su crudeza Jean Leray en los 1930 (sin éxito, claro). Quizás exista una solución de las ecuaciones que presente una singularidad en tiempo finito (que “explote” o que haga “blow-up”), lo que indicaría que no existe ningún mecanismo que acote el crecimiento de la vorticidad. Un millón de dólares que parece fácil de obtener, pero que no lo es. El Instituto Clay de Matemáticas puede estar tranquilo, en mi opinión,este Premio del Milenio tardará décadas en ser resuelto.

Retornando a las hojas planas, el movimiento de fluidos en 2D presenta gran número de diferencias respecto al caso tridimensional; la simplicidad de la ecuación de la vorticidad y el uso de la teoría de los vórtices de Helmholtz y Kirchhoff (que reduce la ecuación en derivadas parciales a un sistema finito de ecuaciones diferenciales ordinarias) permiten un análisis muy detallado de la producción y evolución dinámica del campo de vórtices. La “turbulencia” en el caso 2D es mucho más sencilla que en el caso 3D y presenta la cascada de energía inversa de Onsager, en la que la energía de los vórtices más pequeños se acumula en vórtices más grandes. No se sabe si un mecanismo similar actúan en 3D. No os aburro más con detalles técnicos sobre vórtices en 2D… si queréis más información os recomiendo el artículo de C. Eugene Wayne, “Vortices and Two-Dimensional Fluid Motion,” Notices of the AMS 58: 10-19, January 2011 [recordad que el acceso es gratuito].