VIII Carnaval de Matemáticas: El número pi oculto en el desarrollo de las neuronas de la corteza visual

 

Imagina que haces un experimento para calcular cierta magnitud y obtienes el valor 3’14. ¿Qué es lo primero que te viene a la mente? El número pi (π), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Arquímedes, el gran científico de la antigua Grecia, realizó el primer cálculo sistemático del valor de π y obtuvo dicho valor. Veinte y tres siglos después, los científicos siguen maravillados cuando π les aparece de forma inesperada. Matthias Kaschube y sus colegas han encontrado que ciertas características en la distribución de las neuronas en la corteza visual del cerebro tienen una densidad cercana a 3’14 (π). ¿Por qué? Han desarrollado un modelo de autómatas celulares que permite explicar dicho número y que sustenta su hipótesis de que dicha distribución de neuronas no tiene un origen genético (aunque se preserva en el árbol evolutivo), sino que debe ser el resultado de la autoorganización de estas neuronas durante el desarrollo de la corteza visual. Nos lo ha contado Kenneth D. Miller, “Neuroscience: π = Visual Cortex,” Science 330: 1059-1060, 19 November 2010, haciéndose eco del artículo técnico de Matthias Kaschube et al., “Universality in the Evolution of Orientation Columns in the Visual Cortex,” Science 330: 1113-1116, 19 November 2010. Este artículo será mi segunda contribución para el VIII Edición del Carnaval de Matemáticas albergado este mes por Juan Martínez-Tébar, autor de Los Matemáticos no son Gente Seria

La corteza visual primaria (llamada V1) está formada por una fina lámina de seis capas de neuronas. Las neuronas V1 son altamente selectivas a los bordes entre luz y oscuridad y a la orientación de estos bordes (algunas a la orientación vertical, otras a la horizontal y otras a diagonales con diferentes ángulos). Estas neuronas están organizadas en “columnas,” de modo que las neuronas debajo de una dada prefieren la misma orientación que las de más arriba. Las técnicas de imagen de la estructura neuronal del córtex permiten visualizar el “mapa” de la orientación que prefiere cada neurona a través del córtex visual (ver la figura que abre esta entrada). Estos mapas de orientación tienen una estructura cuasiperiódica: las orientaciones preferidas cambian continuamente a través del córtex, repitiéndose cada cierto número de neuronas con un “periodo” denotado por λ. Los mapas también contienen “nodos” o “molinetes,” puntos en los que convergen todas las orientaciones posibles. Kaschube y sus colegas han comparado (con una precisión sin precedentes) la densidad y disposición de los “molinetes” en tres mamíferos: el galago, un primate, la musaraña arbórea, relacionada de forma estrecha con los primates, y el hurón, un carnívoro relacionado lejanamente con ellos. Esta medición precisa de la distribución de “molinetes” ha requerido el desarrollo de nuevos filtros para “suavizar” el ruido en las imágenes del córtex; no entraré en los detalles.

Lo más sorprendente que han encontrado Kaschube y sus colegas es que la densidad media de molinetes por λ² es constante para estas tres especies, un número curioso, π, con un error del orden del 1%. El promedio es de 3’14 y el intervalo de valores observado es [3’08, 3’20] con un nivel de confianza del 95%; este intervalo corresponde a π ± 2%. El análisis de mapas de orientación generados de forma aleatoria indica que el valor esperado debería ser 3’50, mucho mayor que 3’14. ¿Qué es lo que significa que la densidad sea π? y ¿por qué la densidad de “molinetes” es π? Kaschube y sus colegas han encontrado una respuesta matemática realmente hermosa. Fred Wolf, autor principal del artículo, lleva muchos años desarrollando un modelo matemático para la formación de los patrones observados en el mapa de orientación neuronal utilizando autómatas celulares. Sistemas basados en reglas en las que una neurona elige su orientación preferida en función de lo que elige las neuronas que tiene a su alrededor. El modelo se basa en dos parámetros la orientación preferida y la selectividad. Estas variables se desarrollan a través de interacciones mutuas entre neuronas vecinas. Para obtener un valor de pi es necesario incorporar una interacción de largo alcance (entre neuronas alejadas por una distancia mayor que el periodo λ); estas interacciones existen en la región V1 y corresponden a conexiones sinápticas de larga distancia entre las neuronas. No entraré en los detalles de las reglas que resultan en que la distribución de “molinetes” presenta una propiedad de universalidad caracterizada por una densidad igual a π (en las simulaciones numéricas es un valor próximo). La universalidad observada en la organización de las neuronas del córtex visual aparece en líneas evolutivas divergentes; sin embargo, los mapas de orientación varían aparentemente al azar de una célula a otra, por lo que su origen exclusivo en la genética no parece razonable.

Por supuesto, estos modelos teóricos para el desarrollo de patrones en el neurocórtex están todavía en sus primeras fases de desarrollo y hay muchas incógnitas aún por resolver para que se pueda afirmar que se entienden en completo detalle desde el punto de vista matemático. La demostración experimental definitiva de que estos modelos son correctos requiere que se eliminen de alguna forma las conexiones de largo alcance entre neuronas durante el desarrollo del cerebro y que se pueda observar cómo entonces los patrones que se observan en lugar de tener un distribución determinada por el número pi adquieran un valor más próximo a 3’50. Por ahora parece difícil que se pueda lograr en los próximos años. Los alardes técnicos que se requieren parecen excesivos. Aún así, Wolf, Kaschube y sus colegas no cejaran en su empeño en demostrar que pi forma parte de nuestra manera de ver el mundo mucho más allá de lo que podemos imaginar.

3 pensamientos en “VIII Carnaval de Matemáticas: El número pi oculto en el desarrollo de las neuronas de la corteza visual

  1. Con todo respeto, sin ser especialista en la materia, he leído este interesante trabajo y quisiera hacer un par de preguntas.
    Ciertamente es muy notable el descubrimiento de Arquímedes sobre el factor “Pi=3.1415..” como la razón de la circunferencia de un círculo sobre su diámetro. Luego, a partir de eso, no menos notable es encontrar que Pi interviene en las diversas fórmulas sobre cálculo de áre y volumen de formas geométricas que contienen patrones circulares. Por tanto, cuando Kaschube et al. dicen “…que la corteza visual cerebral tiene una densidad aproximada de 3.14..”, la pregunta es si la arquitectura de tales neuronas no tendrá un patron circular, y asimismo, con una razón de circunferencia/diámetro que es lo que reulta igual a Pi?
    La segunda es acerca de que “…sistemas neuronales basados en que una neurona en particular selecciona su orientación en función de la orientación de las otras neuronas a su alrededor…” parece que hay un efecto recíproco entre todas las neuronas, pero no obstante, no será que hay un fector externo que induce a una primera neurona a adoptar una orientación determinada, y a partir de ella se da el efecto en cadena hacia las demás neuronas?
    Me gustaría que me aclararan estas dudas.
    Muchas gracias y disculpen si dije tonterías, ya que soy neofito en la materia.

    Saludos.

Los comentarios están cerrados.