La “menopausia” en gusanos puede ayudar a estudiar la menopausia de las mujeres

En los gusanos Caenorhabditis elegans la calidad de los huevos se garantiza mediante el control de anormalidades en los cromosomas regulados por rutas de señalización específicas (que involucran la insulina y el factor TGF-β). Con la edad esta regulación falla y la calidad de los huevos sufre mermas. Si un mecanismo similar opera en los mamíferos, esta línea de investigación podría ayudar a retrasar la menopausia en la mujeres. Según nos aclaran Kevin Flurkey y David E. Harrison, “Reproductive ageing: Of worms and women,” Nature 468: 386–387, 18 November 2010, haciéndose eco del artículo técnico de S. Luo et al., “TGF-β and insulin signaling regulate reproductive aging via oocyte and germline quality maintenance,” Cell 143: 299-312, 15 Oct. 2010.

El nuevo artículo de Luo et al. extiende trabajos previos con resultados muy interesantes. En los gusanos, una mutación que reduce la función de un gen llamado daf-2, involucrado en la ruta de señalización de la insulina de tipo IGF-I, retrasa la senescencia reproductiva. Más aún, ciertas mutaciones en la actividad de la ruta de señalización TGF-β Sma/Mab, que regula el tamaño corporal y el desarrollo de rasgos de los machos, extiende la vida reproductiva de los gusanos. El nuevo trabajo de Luo et al. demuestra que intervenir decreciendo la actividad de ambas rutas incrementa la vida reproductiva y retrasa los efectos de la senescencia, como reducir el número de huevos, la fertilidad de los ovocitos y el número de embriones que fracasan, al mismo tiempo que disminuye el incremento con la edad del número de alteraciones cromosómicas. Los autores proponen que C. elegans es un organismo modelo para describir la regulación neuroendocrina de la menopausia en las mujeres. Estas ideas pueden tener relevancia clínica si los mecanismos de regulación neuroendocrina de la menopausia en humanos son similares a los de los gusanos. Los resultados de Luo et al. para humanos son todavía muy provisionales pero según los autores son una vía prometedora para el futuro.

Garrett Lisi, el físico surfero, logra publicar un artículo en Scientific American sobre su teoría graviGUT basada en E8

El físico surfero A. Garrett Lisi es el rey Midas de la física matemática. Todo lo que toca lo vuelve oro. Muchísimos blogs de divulgación científica y no científica del mundo entero se hacen eco de cada uno de sus artículos, aunque no ha logrado publicar (¿aún?) en ninguna revista de prestigio (como Physical Review Letters). Ahora nos sorprende con un nuevo artículo en el número de diciembre de 2010 de Scientific American (aparecerá en español en Investigación y Ciencia en febrero de 2011). Un artículo de 8 páginas titulado “A Geometric Theory of Everything,” que ha escrito junto a James Owen Weatherall. El artículo repasa las ideas más elementales sobre la aplicación de la teoría de grupos a la física de partículas elementales y de pasada menciona las teorías de tipo graviGUT más recientes (entre ellas la suya). La suya tiene la ventaja de que está muy bien adornada con sus “preciosistas” gráficos. Garrett ya ha publicado parte de su teoría (dos artículos) en el Journal of Physics de la IOP, y antes de descubrir la teoría que la ha convertido en rey Midas fue coautor de un artículo en Physical Review E. En este blog ya hemos hablado múltiples veces de Garrett, por ejemplo, en “Nuevo artículo de Garrett Lisi, el físico surfero, sobre su teoría de todo excepcionalmente simple basada en E8,” 28 Junio 2010; “El estado actual de la teoría de todo excepcionalmente simple del físico surfero Garrett Lisi,” 30 Mayo 2010; “La respuesta de Garrett Lisi a la crítica de Distler y Garibaldi a su teoría de todo basada en E8,” 3 Abril 2010; “Duro revés para la “teoría de todo” basada en E8 de Garrett Lisi, se siente amigo, así es la vida,” 24 Mayo 2009; “La belleza de la teoría de grupos en física de partículas (o más sobre Garrett Lisi y E8),” 28 Octubre 2008; y “Garrett Lisi y su nueva teoría algebraica sobre todo (o a la Lisimanía le falta la geometría y la física cuántica),” 24 Octubre 2008.

El nuevo artículo de Garrett va en la línea de mi breve entrada “¿Por qué se utiliza la teoría de grupos en física de partículas elementales?,” 27 Octubre 2008, aunque obviamente 8 páginas dan para mucho más. El artículo nos cuenta lo que son los grupos de Lie, los haces fibrados, las conexiones, y cómo se aplican en el Modelo Estándar y en la Teoría de la Relatividad General. La búsqueda una teoría unificada que aúna las simetrías SU(3)xSU(2)xU(1) del Modelo Estándar y el grupo de Lorentz Spin(3,1) de la Relatividad General le lleva a Garrett a introducir un grupo de Lie suficientemente grande. Esta idea, las graviGUT, las concreta en su artículo en dos casos partículares: su propia teoría (faltaría más) que usa el grupo de Lie excepcional E8 y la teoría de Nesti y Percacci que usa un grupo de Lie mucho más pequeño SO(3,11). Ambas teorías tienen grandes problemas técnicos, como ya hemos discutido en este blog y no podemos esperar que ninguna de las dos describa correctamente la realidad que nos rodea. Recomiendo la relectura del artícuo “Duro revés…” en el que nos hicimos eco de las dificultades encontradas por Garibaldi (matemático experto en grupos de Lie) y Distler (físico matemático experto en grupos de Lie). Ni Garrett ni ningún otro físico o matemático han sido capaces de resolver dichas dificultades, que según Garibaldi y Distler son imposibles de resolver. Pero ya se sabe, nunca digas nunca jamás…

Aún así, muchísimos blogs se han hecho eco del artículo como Peter Woit, “A Geometric Theory of Everything,” Not Even Wrong, November 17th, 2010; y Tommaso Dorigo, “A Geometric Theory of Everything,” A Quantum Diaries Survivor, Nov. 18th, 2010. Pero hay muchísimos otros más, … incluso la Mula Francis. ¿Cómo es posible? ¡Qué tendrá el Rey Midas de la Física Matemática para atraer la atención de todos hacia sus “grandes” logros científicos! ¡O hacia sus grandes logros divulgativos!

VIII Carnaval de Matemáticas: El número pi oculto en el desarrollo de las neuronas de la corteza visual

 

Imagina que haces un experimento para calcular cierta magnitud y obtienes el valor 3’14. ¿Qué es lo primero que te viene a la mente? El número pi (π), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Arquímedes, el gran científico de la antigua Grecia, realizó el primer cálculo sistemático del valor de π y obtuvo dicho valor. Veinte y tres siglos después, los científicos siguen maravillados cuando π les aparece de forma inesperada. Matthias Kaschube y sus colegas han encontrado que ciertas características en la distribución de las neuronas en la corteza visual del cerebro tienen una densidad cercana a 3’14 (π). ¿Por qué? Han desarrollado un modelo de autómatas celulares que permite explicar dicho número y que sustenta su hipótesis de que dicha distribución de neuronas no tiene un origen genético (aunque se preserva en el árbol evolutivo), sino que debe ser el resultado de la autoorganización de estas neuronas durante el desarrollo de la corteza visual. Nos lo ha contado Kenneth D. Miller, “Neuroscience: π = Visual Cortex,” Science 330: 1059-1060, 19 November 2010, haciéndose eco del artículo técnico de Matthias Kaschube et al., “Universality in the Evolution of Orientation Columns in the Visual Cortex,” Science 330: 1113-1116, 19 November 2010. Este artículo será mi segunda contribución para el VIII Edición del Carnaval de Matemáticas albergado este mes por Juan Martínez-Tébar, autor de Los Matemáticos no son Gente Seria

La corteza visual primaria (llamada V1) está formada por una fina lámina de seis capas de neuronas. Las neuronas V1 son altamente selectivas a los bordes entre luz y oscuridad y a la orientación de estos bordes (algunas a la orientación vertical, otras a la horizontal y otras a diagonales con diferentes ángulos). Estas neuronas están organizadas en “columnas,” de modo que las neuronas debajo de una dada prefieren la misma orientación que las de más arriba. Las técnicas de imagen de la estructura neuronal del córtex permiten visualizar el “mapa” de la orientación que prefiere cada neurona a través del córtex visual (ver la figura que abre esta entrada). Estos mapas de orientación tienen una estructura cuasiperiódica: las orientaciones preferidas cambian continuamente a través del córtex, repitiéndose cada cierto número de neuronas con un “periodo” denotado por λ. Los mapas también contienen “nodos” o “molinetes,” puntos en los que convergen todas las orientaciones posibles. Kaschube y sus colegas han comparado (con una precisión sin precedentes) la densidad y disposición de los “molinetes” en tres mamíferos: el galago, un primate, la musaraña arbórea, relacionada de forma estrecha con los primates, y el hurón, un carnívoro relacionado lejanamente con ellos. Esta medición precisa de la distribución de “molinetes” ha requerido el desarrollo de nuevos filtros para “suavizar” el ruido en las imágenes del córtex; no entraré en los detalles.

Lo más sorprendente que han encontrado Kaschube y sus colegas es que la densidad media de molinetes por λ² es constante para estas tres especies, un número curioso, π, con un error del orden del 1%. El promedio es de 3’14 y el intervalo de valores observado es [3’08, 3’20] con un nivel de confianza del 95%; este intervalo corresponde a π ± 2%. El análisis de mapas de orientación generados de forma aleatoria indica que el valor esperado debería ser 3’50, mucho mayor que 3’14. ¿Qué es lo que significa que la densidad sea π? y ¿por qué la densidad de “molinetes” es π? Kaschube y sus colegas han encontrado una respuesta matemática realmente hermosa. Fred Wolf, autor principal del artículo, lleva muchos años desarrollando un modelo matemático para la formación de los patrones observados en el mapa de orientación neuronal utilizando autómatas celulares. Sistemas basados en reglas en las que una neurona elige su orientación preferida en función de lo que elige las neuronas que tiene a su alrededor. El modelo se basa en dos parámetros la orientación preferida y la selectividad. Estas variables se desarrollan a través de interacciones mutuas entre neuronas vecinas. Para obtener un valor de pi es necesario incorporar una interacción de largo alcance (entre neuronas alejadas por una distancia mayor que el periodo λ); estas interacciones existen en la región V1 y corresponden a conexiones sinápticas de larga distancia entre las neuronas. No entraré en los detalles de las reglas que resultan en que la distribución de “molinetes” presenta una propiedad de universalidad caracterizada por una densidad igual a π (en las simulaciones numéricas es un valor próximo). La universalidad observada en la organización de las neuronas del córtex visual aparece en líneas evolutivas divergentes; sin embargo, los mapas de orientación varían aparentemente al azar de una célula a otra, por lo que su origen exclusivo en la genética no parece razonable.

Por supuesto, estos modelos teóricos para el desarrollo de patrones en el neurocórtex están todavía en sus primeras fases de desarrollo y hay muchas incógnitas aún por resolver para que se pueda afirmar que se entienden en completo detalle desde el punto de vista matemático. La demostración experimental definitiva de que estos modelos son correctos requiere que se eliminen de alguna forma las conexiones de largo alcance entre neuronas durante el desarrollo del cerebro y que se pueda observar cómo entonces los patrones que se observan en lugar de tener un distribución determinada por el número pi adquieran un valor más próximo a 3’50. Por ahora parece difícil que se pueda lograr en los próximos años. Los alardes técnicos que se requieren parecen excesivos. Aún así, Wolf, Kaschube y sus colegas no cejaran en su empeño en demostrar que pi forma parte de nuestra manera de ver el mundo mucho más allá de lo que podemos imaginar.

VIII Carnaval de Matemáticas: La paradoja de Banach-Tarski y el axioma de elección

Esta tira cómica de Xkcd nos ilustra la paradoja de Banach-Tarski y nos recuerda la necesidad de usar el axioma de elección en su demostración. Sin embargo, el teorema de Banach-Tarski se puede demostrar sin utilizar el axioma de elección, basta usar el teorema de Hahn-Banach, que equivale a una especie de versión débil del axioma de elección. Os recuerdo a los despistados que el teorema de Banach-Tarski afirma que se puede dividir una esfera en un conjunto finito de partes disjuntas (conjuntos no medibles según Lebesgue) que pueden ser rotadas, trasladadas y vueltas a unir para dar lugar a dos esferas idénticas a la original. Este teorema se suele demostrar utilizando el axioma de elección. Los interesados pueden encontrar una demostración magistralmente simple del genial Terence Tao en su exposición “The Banach-Tarski Paradox,” Classroom Notes, UCLA, 2004. Sin embargo, el axioma de elección no es necesario. Se puede demostrar el teorema de Banach-Tarski utilizando el teorema de Hahn-Banach como demostró Janusz Pawlikowski (1991) como corolario trivial de la demostración de Matthew Foreman y Friedrich Wehrung (1991) de que dicho teorema implica la existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue. Quizás debemos recordar que el axioma de elección implica el teorema de Hahn-Banach, que se puede demostrar utilizándolo, pero no al contrario, ya que el teorema de Hahn-Banach puede ser demostrado sin utilizar el axioma de elección. No he podido resistir la tentación de hablar del teorema de Banach-Tarski como mi contribución a la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas organizado este mes por Juan Martínez-Tébar, “Los Matemáticos no son Gente Seria.” Quizás es una contribución muy técnica, pero es que Claudi y Tarski me recuerdan (gracias a Google) el artículo Enric Trillas y Clausi Alsina, “Logic: going farther from Tarski?,” Fuzzy Sets and Systems 53: 1-13, 1993 (el título promete más de lo que ofrece el artículo pero eso es lo de menos aquí).

El axioma de elección nos dice que si tenemos un conjunto no vacío, X, entonces para cada subconjunto no vacío S de X es posible elegir algún elemento s de S. Esto es, existe una función f que asigna a cada conjunto no vacío S de X un representante f(S) en S. Puede parecer un resultado matemático “obvio” (o intuitivo), pero cuando hablamos de conjuntos arbitrarios, cuyo cardinal puede ser infinito, lo obvio a veces no es tan obvio. Lo más curioso es que es un resultado matemático que no se puede demostrar (salvo a partir de algún resultado equivalente, como que todo espacio vectorial tiene una base). Por ello se denomina axioma. Más aún, este axioma es independiente del resto de los axiomas de la matemática (la aritmética de Zermelo-Fraenkel, por ejemplo), como demostró Paul J. Cohen en 1963 (Medalla Fields en 1966 por ello) utilizando ideas previas de Kurt Gödel (circa 1935-1938). Los matemáticos constructivistas prescinden del axioma de elección y desarrollan una matemática completa y consistente sin utilizarlo para nada, una matemática que, para sorpresa de muchos, es casi idéntica a la matemática que lo utiliza. Aún así, muchos creen que para todo teorema demostrado utilizando el axioma de elección, si existe su demostración sin dicho axioma, esta última es mucho más complicada que la primera. Aunque no siempre es así.

Antes de presentar la prueba de Terence Tao, un breve comentario sobre Terry. Tao obtuvo la Medalla Fields en 2006 en el ICM de Madrid y sigue siendo una referencia todoterreno en la matemática actualidad. Terry es el matemático bloguero por excelencia y su blog “What’s New” es editado todos los años en forma de libro por la American Mathematical Society. Si eres matemático, te recomiendo dicho blog, la mayoría de las veces muy técnico, pero siempre con grandes ideas de las que disfrutar.

Al grano. El grupo de Lie de las rotaciones en el el espacio tridimensional, SO(3), es un grupo continuo cuyo cardinal es infinito no numerable (hay tantas rotaciones en el espacio como valores reales posibles para tres ángulos). SO(3) contiene subgrupos G cuyo cardinal es infinito numerable (cuyas rotaciones tienen un subíndice natural, un número como 1, 2, 3, …). La primera versión del teorema de Banach-Tarski afirma que existe un subgrupo numerable G de SO(3) que se puede partir en cuatro trozos (subconjuntos disjuntos), convenientemente rotados, permiten construir dos copias idénticas de G cada una formada solo por dos de dichos trozos. En símbolos podemos escribir el siguiente teorema

Teorema: Existe un subgrupo numerable G of SO(3) con una partición G=G1∪G2∪G3∪G4, y dos rotaciones A,B en SO(3) tales que G=G1∪ AG2 y G=G3∪ BG4.

Demostración: Lo primero que se necesitan son dos rotaciones A y B tales que el subgrupo G de SO(3) generado por las cuatro rotaciones A, B, A-1, B-1 sea un subgrupo de cardinal numerable no finito; este subgrupo está formado por I, A, B, A-1, B-1, AB, AB-1, BA, BA-1, B-1A, B-1A-1,AAB, AAB-1, etc., por todas las “palabras” con un número arbitrario de “letras” formadas por las cuatro “letras” A, B, A-1, B-1. Es muy fácil encontrar dos rotaciones tales que no hay dos “palabras” iguales en este conjunto de “palabras” (los detalles y el álgebra los postergaremos al final de esta entrada para no “ensuciar” la demostración).

Llamemos G(A) a todos las “palabras” de G que empiezan con A (es decir, por I, A, AB, AB-1, AAB, AAB-1, ABA, ABA-1, etc.); ídem para G(B), G(A-1) y G(B-1). Obviamente, el grupo G se puede partir de la forma G={I}∪G(A)∪G(B)∪G(A-1)∪G(B-1), donde por {I} se denota el grupo trivial formado solo por el elemento identidad. Ahora viene la sorpresa. El grupo G también se puede escribir como G=G(A)∪ AG(A-1), ya que todas las “palabras” de G empiezan por A o son una palabra que se obtiene de quitarle la A-1 inicial a una palabra de G(A-1), es decir, pertenecen a G(A) o a AG(A-1).  De igual forma G=G(B)∪ BG(B-1).

Casi hemos acabado, pero no hemos acabado aún, ya que hemos partido G en 5 partes y hemos obtenido dos copias de G usando solo cuatro de dichas partes, pero queríamos partir G en cuatro partes. Necesitamos añadir la identidad a G(A) para que se transforme en G1. Piensa un poco, si quieres, pero la respuesta es muy fácil, bastan palabras por la inversa de A, de tal forma que G1=G(A)∪{ I, A-1, A-2, A-3, …}, y G2=G(A-1)\{A-1, A-2, A-3, …} (el operador \ es la diferencia de conjuntos). Obviamente, G3=G(B), G4=G(B-1), y ya hemos acabado la demostración.

El teorema anterior no requiere el axioma de elección, pero el siguiente corolario, que extiende dicho resultado del grupo de rotaciones numerable G a la esfera S² sí requiere su uso.

Corolario (paradoja de Hausdorff):  Existe un subconjunto numerable C de la esfera S² y una descomposición S²\C = Ω1∪ Ω2 ∪ Ω3∪ Ω4 tal que S²\C = Ω1∪ AΩ2 ∪ Ω3∪ BΩ4, para dos matrices de rotación A, B en SO(3).

Demostración: Sean A, B, G, G1, G2, G3, y G4 los mismos que en el teorema anterior. Cada rotación en G tiene dos puntos fijos en la esfera S² (la intersección en S² de su eje de rotación); sea C la unión de todos estos puntos fijos (obviamente un subconjunto numerable de S²). El grupo de rotación G actúa de forma libre sobre S²\C  (es decir, para todo x en dicho conjunto y g en el grupo, la ecuación gx=x tiene como única solución g=I, la identidad). Tomemos el subconjunto X de S²\C obtenido tomando un representante en S²\C de cada órbita del grupo G, entonces el axioma de elección nos permite obtener un recubrimiento S²\C = ∪x Gx (donde la unión es para todos los x en X); recuerda que la órbita Gx son todos los elementos que se obtienen de aplicar cualquier elemento g de G a x. Ahora tomando por definición Ωi = ∪x Gix, el corolario queda demostrado a partir del teorema anterior.

El conjunto numerable C puede ser eliminado utilizando el siguiente lema.

Lema. Sea C un subconjunto numerable de la esfera S². Entonces existe una descomposición S² = Σ1 ∪ Σ2, tal que S²\C = Σ1 ∪ R Σ2, para alguna rotación R en SO(3).

Demostración: Tomemos una rotación aleatoria R. Como C es numerable, podemos asegurar con probabilidad igual a la unidad que cualquier par de elementos de C pertenece a R-órbitas diferentes, es decir, Ri ∩ Rj = Ø, para i ≠ j. Eligiendo Σ2= C ∪ RC ∪ R²C ∪ …, y Σ1= S²\Σ2, obtenemos el resultado que queríamos demostrar.

Combinando este lema con el corolario anterior obtenemos un nuevo corolario.

Corolario. Existe una partición de S² = Γ1 ∪ Γ2 ∪ … ∪ Γ8, y matrices de rotación R1, R2, … R8 de SO(3) tales que S² = ∪i Ri Γi = ∪j Rj Γj donde i=1,2,3,4 y j=5,6,7,8.

Finalmente, como la bola (esfera sólida) B³ (la bola sin su punto central) en coordenadas polares corresponde al producto de la esfera S² y el intervalo (0,1], se puede concluir lo siguiente.

Corolario (paradoja de Banach-Tarski). Existe una partición de la bola B³ = E1 ∪ E2 ∪ … ∪ E8, y matrices de rotación R1, R2, … R8 de SO(3) tales que B³ = ∪i Ri Ei = ∪j Rj Ej donde i=1,2,3,4 y j=5,6,7,8.

En la demostración original de la paradoja de Banach-Tarski se elimina el problema de que el centro de la bola no esté incluido gracias al uso de traslaciones, además de rotaciones (los llamados movimientos en el espacio). Tao nos deja completar la prueba para este caso como ejercicio. Ahora bien, os lo ahorraré ya que para la “duplicación” de la calabaza en la tira cómica de Xkcd basta este resultado (las calabazas de Halloween son huecas).

Este resultado matemático puede resultar paradójico pero es importante recordar que alguno de los conjuntos Ei tiene que ser no medible según Lebesgue, lo que quiere decir que es un conjunto similara a un fractal, un conjunto muy intrincado y difícil (si no imposible) de imaginar. Los conjuntos que no son medibles según Lebesgue son “bestias” o “monstruos” más allá de lo que nuestra imaginación (no matemática) puede alcanzar.

Ahora para acabar nos quedaría demostrar que existen la rotaciones A,B en SO(3) que utilizamos en el teorema. Lo más sencillo es escribir dos ejemplos concretos de forma explícita: A será la matriz de rotación respecto al eje z con un ángulo θ tal que cos(θ)=3/5 y sin(θ)=4/5; y B es la matriz de rotación respecto al eje x también con un ángulo  θ tal que cos(θ)=3/5 y sin(θ)=4/5; sus inversas  A-1 y B-1 son obviamente las matrices correspondientes a un ángulo -θ (las matrices 3×3 traspuestas de las anteriores). Es fácil demostrar que ninguna composición no trivial de estas cuatro matrices da la identidad; el secreto es que los números 3, 4 y 5 son primos entre sí. Eliminando el denominador común, basta probar que ninguna composición no trivial de 5A, 5B, 5A-1 y 5B-1 da una matriz divisible entre 5. Un resultado casi obvio que dejamos al lector, para que piense un poco.

Con esto damos por terminada nuestra pequeña incursión matemática en la paradoja de Banach-Tarski. Espero no haber aburrido a los que odian la matemática porque no la entienden y tampoco a los que la aman porque las demostraciones hayan sido demasiado técnicas. Pero un Carnaval de Matemáticas bien merece algún que otro artículo que haga una incursión técnica en las paradojas para la intuición que atesora el Gran Libro de las demostraciones de Erdös.