Numerología en acción: la predicción de la masa de quarks y leptones

Nadie sabe cuál es la masa de los quarks, ya que ningún quark puede ser observado de forma libre. Solo conocemos de forma precisa la masa del quark top (cima), ya que su gran masa hace que el error relativo en la medida permita un error absoluto pequeño. Sin embargo, muchos proclaman el descubrimiento de fórmulas matemáticas que permiten calcular la masa de todas (o casi todas) las partículas elementales (leptones y quarks). Quizás la más famosa de todas estas fórmulas es la de Koide (1981),

m_e + m_\mu + m_\tau = \frac{2}{3}(\sqrt{m_e} + \sqrt{m_\mu} + \sqrt{m_\tau})^2, \qquad m_\tau = 1776.97\,{\rm MeV},

que está justo en el borde de lo permitido por los límites actuales para la masa del tauón, que son

m_\tau = 1776.82 \pm 0.16 \, {\rm MeV}.

En 1992, Królikowski publicó la siguiente fórmula para calcular la masa de los leptones (electrón, muón y tauón),

m_N = \rho_N \,\theta\! \left(\!N^2 + \frac{\varepsilon -1}{N^2}\! \right) \,,

donde m_e \equiv m_1\;,\; m_\mu \equiv m_3\;,\; m_\tau \equiv m_5, \rho_1 = \frac{1}{29} \;,\; \rho_3 = \frac{4}{29} \;,\; \rho_5 = \frac{24}{29} y la fórmula tiene dos parámetros libres \{\theta, \varepsilon\}. Esta fórmula permite obtener

m_\tau = \frac{6}{125} \left(351m_\mu - 136 m_e\right) = 1776.80\;{\rm MeV},

valor que aún se encuentra bien centrado dentro de los márgenes de error experimentales. Para muchos será un gran logro (numerológico). Para otros pura casualidad (numerológica). Tres masas determinadas con dos parámetros. Una masa (del tauón) predicha usando dos masas conocidas (del eletrón y muón).

¿Se puede extender la fórmula de Królikowski a la masa de los quarks? Con solo dos parámetros es imposible recuperar valores razonables para las masas de los seis quarks (incluso teniendo en cuenta que la masa de los quarks más ligeros tiene una gran incertidumbre). Królikowski acaba de publicar un artículo en el que afirma que con seis parámetros, y la misma idea, sí es capaz de lograrlo (Wojciech Krolikowski (Universidad de Varsovia, Polonia), “Predictive empirical mass formula for up and down quarks of three generations,” ArXiv, 4 Nov. 2010). ¡Seis parámetros para determinar las seis masas de los seis quarks! Bueno, no nos alarmemos. Conjetura una relación que permite calcular con cinco parámetros las seis massas de los seis quarks. ¡Ah, bueno!

La nueva fórmula para la masa de los quarks es

m^{(u,d)}_N = \rho_N \;\theta^{(u,d)} \left[N^2 + \frac{\displaystyle\varepsilon^{(u,d)}-1}{displaystyle N^2} - (4\pm \omega)(N-1) \right],

donde m_{u,d} \equiv m^{(u,d)}_1 \;,\; m_{c,s} \equiv m^{(u,d)}_3 \;,\; m_{t,b} \equiv m^{(u,d)}_5 \,. Estas fórmulas tienen seis parámetros para predecir las seis masas de los quarks, que son

m_{u,d} \!=\!\! \left\{ \begin{array}{rrrr}\!\!1.7\!\! & \!\!{\rm to}\!\! & \!\!3.3\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\!\\ \!\! 4.1\!\! & \!\!{\rm to}\!\! & \!\!5.8\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right. \!\!\rightarrow\!\! \left\{ \begin{array}{rr}\!\!2.5\!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \\5.0 \!\! & \!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right.\,,

m_{c,s} \!=\!\! \left\{\begin{array}{lr}\!\!1.27^{+0.07}_{-0.09}\!\! & \!\!{\rm GeV}\!\! \\ \!\!101^{+29}_{-21}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\rm MeV}\!\! \end{array}\right.\,,

m_{t,b} \!=\!\! \left\{\begin{array}{l}\!\!172.0\pm 2.2\;\, {\rm GeV}\!\! \\ \!\!4.19^{+0.18}_{-0.06}\;\,{\rm GeV}\!\! \end{array}\right..

¿Seis parámetros para predecir seis masas? ¡Qué chorrada! Bueno, resulta que (quizás por casualidad) dos de los seis parámetros son casi iguales. Gracias a ello, Krolikowski conjetura que cinco parámetros permiten determinar las seis masas de los quarks. Podemos determinar la masa de un quark (cualquiera) a partir de la masa de los cinco restantes. Krolikowski elige la masa del quark extraño (¿ha probado con todos? o ¿elige éste porque es el quark en el que mejor “funciona” su conjetura?). Su fórmula para la masa del quark extraño es

m_s = \frac{\displaystyle 25\,(4+9\,\omega)\,m_b+24\,(108+41\,\omega)\,m_d}{\displaystyle 108\,(56 + 25\omega)} = 101\;{\rm MeV},

que es una buena aproximación al mejor valor experimental actual

m_s = 101^{+29}_{-12}\,{\rm MeV}..

Lo dicho. Para muchos será un gran logro (numerológico). Para otros pura casualidad (numerológica). Para mí, una curiosa curiosidad que no me resisto a reportar.

Lo confieso, lo confieso, … hace años, jugando, desarrollé un programa en Mathematica para buscar automáticamente relaciones numerológicas aproximadas. Un completo fracaso. Todos tenemos algún secreto inconfesable… que algún día hay que confesar.

20 pensamientos en “Numerología en acción: la predicción de la masa de quarks y leptones

  1. ¡Me has alegrado el dia! Confieso que soy culpable de animar a Krolikowski, una vez, a que revisara sus cuentas, aunque mi programa era hacer un “general review” de todas estas relaciones.
    Respecto a Koide, hay que hacerle justicia en dos puntos: primero, que saco su formula antes de que se hubiera medido correctamente la masa del tau (de hecho ¡metio un termino de correccion que luego años mas tarde tuvo que poner a cero!). Segundo, que cualquier relacion con particulas cargadas no puede intentar ir mas alla del 0.1%, porque siempre habra correcciones de orden alpha.
    Tercero, que aunque ni Koide ni nadie quieran reconocerlo, la relacion tambien predice la masa del proton. El punto es que tambien se puede escribir como
    m_n= M (1+ sqrt(2) cos(2 n pi/3 + F))^2,
    utilizar entonces m_1 y m_2 para despejar M y F, y luego calcular m_3. La formula original sale si se despeja la M (sumando la raiz positiva de las tres igualdades) y la F (sumando sin tomar la raiz y desarrollando los cosenos).
    Vista de esta manera, M resulta que es igualica igualica que la masa constituyente, vestido, de un quark: 313 MeV. Es tan absurdo que en cinco o seis años que conozco la formula, no me habia dado cuenta. Habria que hacer algo asi como una diagonal entre SU(3) de QCD y un SU(3) de familia.

    Por cierto, ¿encontraste alguna relacion con tu programa? y en tal caso, ¿llegaste a mandarnosla a la coleccion de physicsforums?

    • Otra forma mas informatica de escribir el resultado de despejar M seria
      M = cuadrado(promedio(raiz(m))),
      con m la 3-tupla obvia.

  2. Ni de coña. Apuntar “exactamente” querria decir que tu pones cualquier otra constante C en vez del 3/2, aplicas la relacion de Koide, y te saldria C donde a él le sale 3/2. Entiendo que la tuya es una de una serie de formulas que intentan sacar una serie indefinida de masas a base de interpretar las generaciones como niveles de energia que solucionan alguna ecuacion. Barut, vamos.

  3. Vamos a ver, por ejemplo otro amigo de las conjeturas me acaba de pasar ahora mismo un puntero a un paper de G Rosen, donde:
    – aparece la formulilla de marras para el electron vs el muon, con el alpha y el 3/2
    – se dice que esa formula lleva corriendo por el mundo desde 1952, con referencias a Rosen, a Barut y al propio Nambu.
    – se justifica ese 3/2 (que no el de Koide) a partir de Dirac 1938, “radiation reaction interval”.

    Estas ideas aparecieron (y deberias citarlas o conocerlas) cuando solo se conocia el muon, y las hubo bastante serias, usando grupo de renormalizacion y todo eso. La cosa se quedo derrotada primero cuando aparecio el tau, pues habia que corregirlas y la tuya es una correccion entre muchas, y segundo cuando se cerro que la cantidad de generaciones ligeras era de tan solo tres, eliminando los modelos que generaban una torre completa de masas.

  4. La unica pregunta que queda es si tu argumento para la “energia relativista en aproximacion newtoniana” tiene alguna relacion con los otros dos, sea el de Koide (sin la alpha) o el Dirac (con ella). Pues no lo se.

  5. De todas formas, Albert, lo que me quedo preguntandome es si todos estos, llamalos como quieras, crakpots, cargo-fisicos, especuladores, empiricistas,… que aparecen por la red simplemente no conocen el trabajo previo o lo ignoran a proposito, y en este segundo caso por qué lo hacen, a no ser que sea por gastar una broma (que te juro es lo que pensaba que estabas haciendo al principio, puesto que la estructura general de la formula me sonaba como conocida). En tu caso, ¿conocias ya trabajos previos al tuyo?

  6. Aha. Probablemente todo el mundo lo descubrio empiricamente, y luego lo atacaron con mas o menos suerte. Tambien nada menos que Georgi y Glashow tienen un “Attempts to Calculate the Electron Mass”, en 1973. Como te digo, poco despues se descubriria la tercera generacion y entre eso y que no hay mas que 3 que sean menores de 45 GeV (la mitad de la masa del Z0, vamos), se le paso a la gente la gana de seguir intentandolo.

  7. En cuanto a mi preprint, fue mas por escribir algo junto con Gsponer, y por hacerle algo de propaganda a Koide, pero no aporté nada. Aunque luego de ahi salio mi idea del sBootstrap.

  8. De nada :-) Y bueno, Francis ya sabia a que se arriesgaba al sacar este post. De todas formas hemos sacado unas cuantas referencias historicas interesantes, que no me habria motivado a buscar si no hubiese sido por algo concreto. ¡Nos vemos!

  9. Gracias a los dos por vuestros comentarios.

    BTW “¿encontraste alguna relacion con tu programa?” No, no encontré nada, pero aprendí a manejar con soltura árboles de expresiones en Mathematica.

  10. Celebrando el primer aniversario de este post… Un tal “humanino”, que al parecer es el partner susy de un “human” -y no me pregunteis por qué los humanos son bosones-, me reenvio el otro dia a los ultimos trabajos de Gribov, y podria ser que por ahi hubiera una explicacion de la formulilla de Koide. El caso es que si lo vemos con optimismo, hay dos pistas en Koide que apuntan a QCD: los 313 MeV de la unidad basica de masa y la cercania pion-muon. Y aunque Gribov usa siempre el octete de SU(3) sabor, seria posible (quizas un poco forzado, dado la masa del bottom) usar SU(5) sabor, y ver que pasa con esos seis estados de carga -1 que contiene la representacion correspondiente.

  11. “Lo confieso, lo confieso, … hace años, jugando, desarrollé un programa en Mathematica para buscar automáticamente relaciones numerológicas aproximadas. Un completo fracaso. Todos tenemos algún secreto inconfesable… que algún día hay que confesar.”

    Bueno, confesemos nuestros pecados……

    No os riais, yo mismo me he reído de mi ‘big-hallazgo’ (Es una completa chorrada, pero la muy maldita, encaja).

    Hace ya casi 30 años, me acababan de contar la teoría de la relatividad en la universidad, y empecé a jugar con el principio de equivalencia de Einstein, se me ocurrió una cosa.

    Si son equivalentes, ¿Que pasará cuando la gravedad alcance ‘c’?, ¿Hay algo que encaje con ese ‘tiempo’ en la forma en que se mueve un planeta?.

    Preguntas de chaval de 17 años, ruego disculpas.

    Planteamiento:
    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    Dado un planeta con gravedad máxima (En su superficie, como sabéis) de valor g_p, calculad el tiempo que con esa aceleración uniforme, se tardaría en alcanzar la velocidad ‘c’.

    Llamemos a ese tiempo, T_g_p = c / g_p (Simple movimiento uniformemente acelerado, elemental).

    Bien, obtengamos ahora, de los datos astronómicos, el tiempo de revolución de ese astro, alrededor de la estrella que gira:

    Llamemos a ese tiempo, T_anual.

    Haced una tabla, para los planetas del sistema solar, de ambos tiempos.

    El cálculo lo limito a los planetas donde ambos tiempos son comparables (Sino, como con Urano o Neptuno, la proporción es tan pequeña que siempre es fácil encontrar fracciones, por ejemplo 1/80, o 1/79, pero eso no revela nada) y que no sean gaseosos (Pues en ellos lo de que ‘g’ es máxima en su superficie, es dudoso, depende del perfil de densidad con la profundidad).

    Nos quedan Mercurio, Venus, La tierra, y Marte.

    Presentad en la columna final de esa tabla (4 planetas) la relación entre ambos tiempos :

    Km = [ T_g_p./ T_anual ] (Para cada uno de los 4 planetas).

    Veréis los resultados, son para reírse, por lo irónica que parece ser la naturaleza.

    _____________________________________________________________________________
    Planeta | Gravedad (m/s^2) | Tiempo anual (seg) | T_g_p.(seg) | [T_g_p/ T_anual ]
    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    Mercurio | 3.7 | 59.354.208 | 81.081.081 | 1.36
    Venus | 8.87 | 19.414.080 | 33.821.871 | 1.74
    Tierra | 9.81 | 31.557.600 | 30.581.040 | 0.96
    Marte | 3.71 | 59.354.208 | 80.862.534 | 1.36
    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    Es decir, en el caso de la Tierra, casi encajan al 1 ambos tiempos.
    En el caso de mercurio y Marte, casi son la fracción 4/3 (1.3333333).
    Y en el de Venus, casi la fracción 7/4 (1.75).
    ……………………….

    Por favor, no se rían sus señorías………

    Debíamos hacer un AB_IN_Nobel (Absolutly innoble), dar el premio a la mayor chorrada encontrada en la naturaleza (Por supuesto, sin trampas, lo único que no admito en Ciencia).

    En fin, lo dicho, corrían los años 1976 y yo jugaba con mi Texas- Instrument 58 (Que aún conservo operativa).

    Best Regards.

    • Esta gracioso para usarlo en alguna charla: se puede decir que la velocidad de la luz es más o menos -clasicamente- la que llevaria alicia si hubiera estado cayendo a lo largo del pozo durante un año entero. O un bibliotecario suicida de la biblioteca de Borges.

  12. Novedades respecto a Koide: ahora ya predice tau, charm, strange. bottom y top. La premisa es que la tripleta para s-c-b es casi ortogonal a la de los leptones y que en el limite ortogonal la masa del electron es cero y la de strange y muon coinciden. Eso fija la proporcionalidad entre la tuplas de leptones y la s-c-b a exactamente un factor 3. Y como a principios de año alguien advirtio que c b t tambien cumplia la sum rule, se puede encadenar hasta el top.

    En resumen. Inputs:

    electron=0.510998910
    muon=105.6583668

    outputs, o predicciones o como quieras llamarlas

    tau=1776.9689 MeV
    strange=92.27475 MeV
    charm=1359.5642 MeV
    bottom=4197.575 MeV
    top=173.26394 GeV

      • Que lio lo de insertar latex, no te digo nada en el prezi :-D
        En cuanto a lo de los signos, nada como una cuadratica para esconderlos. De hecho, si partes de las masas medidas del top y del bottom y te limitas a resolver Koide sucesivamente, siempre tomando el mismo signo de la solucion, se van produciendo solicos todos los valores de las masas. Eso lo cuento en el preprint. Si lo quieres ver en plan ascendente, pues tambien es obvio que si para la tripleta de leptones todos los signos eran positivos, la unica forma de conseguir algo cercano a la ortogonalidad es que haya uno negativo en la otra tripleta.

      • Albert, que quieres que te diga… su metodo de palo y zanahoria incluye muchos palos a cualquier cosa que circule por internet y que, en su opinion, pueda por su influencia o sus contenidos ser perjudicial al desarrollo de la ciencia, o mas bien a su vision sobre ello. Eso significa que practicamente se pone a palos con todos los blogs de habla inglesa; en ese contexto uno o dos ataques a la formula de Koide (y dos o tres personales a mi mismo, claro) le dan visibilidad mas que dañar la reputacion.

        Otra cuestion es por que, como físico, lanza ese ataque. Si se mira detalladamente el post que hizo, se ve que no ha leido realmente ni el estado actual ni los articulos publicados, se ha limitado a clasificarlo en el amplio espectro de cuadradores de circulos que visitan todas las facultades de cuando en cuando, y si le ha dedicado un poco mas de atencion es porque le ha preocupado no encontrar los flaws obvios (cantidades usadas donde no corresponden, inconsistencias de unidades, etc).

        Se dice que en general un arte del fisico profesional es saber leer a traves del Arxiv para sacar el grano de la paja. Ese arte incluye, lamentablemente, lo de tomar decisiones sobre no leer determinados temas, y solo corregirlas si te encuentras con que tu propio trabajo te presiona para que los leas.

      • Jerzy Kocik comento algo sobre la relacion con la formula de Descartes, al final lo subio al arxiv en enero de este año, esta en arXiv:1201.2067. Echale un vistazo a ver si dice mas o menos lo mismo. Creo que hablaba tambien de dimensiones genericas pero no consideraba fractalidad.

        No obstante, hay dos puntos a tener en cuenta:
        – el hecho de que las formulas de Koide admiten generalizacion al menos “en cascada”, usease que se pueden interpretar como series de tres o como series en las que los los terminos mas pequeños podrian despreciarse o encajarse igualmente.
        – la ortogonalidad (al menos para angulo de cabibbo=15, como en Harari et al, de la tripleta de leptones y la de strange-charm-bottom

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