Los primeros paralelepípedos perfectos: sus 3 aristas y sus 10 diagonales son números enteros

Un paralelepípedo tiene 3 aristas diferentes y 10 diagonales también diferentes, dos en cada una de sus tres caras y cuatro que lo cruzan en diagonal por el interior. Un paralelepídeo perfecto cumple que todos estos 13 números son enteros. ¿Existen los paralelepípedos perfectos? El primero se encontró el año pasado y aparece en la figura. Sus caras son dos rombos de lados 103 y 106, separados una distancia de 271. Las diagonales de los rombos son 101 y 183, las de las caras laterales 266 y 312, y 323 y 255. Y sus diagonales interiores son 374, 300, 278 y 272. Trece números enteros. Había matemáticos que pensaban que no podía existir ningún ejemplo. Clifford Reiter (Lafayette College, Easton, Pensilvania) y su estudiante Jorge Sawyer emprendieron una búsqueda sistemática por ordenador y encontraron nada más y nada menos que 30 ejemplos. Una gran sorpresa, pues no pensaban que fueran a encontrar ninguno. Ahora la atención se centra en los cuboides perfectos, paralelepípedos en los que las 4 diagonales interiores son iguales (requieren 7 números enteros, 3 para las aristas, 3 para las diagonales de las caras y 1 para la diagonal interior). ¿Existen los cuboides perfectos? Las búsquedas por ordenador aún no los han encontrado (han estudiado todas las posibilidades con lados menores o iguales a 10 mil millones). Nos lo contó Barry Cipra, “Perfection in a Box,” Science 327: 942-943, 19 February 2010.

Si te apetece jugar un rato haciendo cuentas sencillas con números, ¿te atreves a calcular los 10 números enteros asociados a las 10 diagonales del siguiente paralelepípedo perfecto?

 

Por qué la transformada de Laplace es como es

Arthur Mattuck (MIT) nos cuenta por qué la transformada de Laplace es como es aludiendo a una analogía discreta en series de potencias, es decir, con la transformada z (aunque él no lo menciona explícitamente). Los que tengan problema con el inglés oído pero no con el inglés escrito aquí tienen una transcripción de la charla. Me ha resultado curioso aunque cualquiera que haya estudiado la historia del cálculo operacional sabe que la razón histórica es otra muy diferente. Aunque bien pensado el cálculo operacional de Heaviside no es más que un cálculo formal con series de potencias.

Qué pasaría si el espaciotiempo tuviera n dimensiones espaciales y m dimensiones temporales

Buena pregunta. El artículo de Max Tegmark, “On the dimensionality of spacetime,” Class. Quantum Grav. 14: L69–L75, 1997 [gratis en el MIT y en ArXiv], estudia esta cuestión en el contexto de la clasificación de ecuaciones en derivadas parciales en elípticas, hiperbólicas y ultrahiperbólicas. Su respuesta: la propagación de ondas solo puede estar descrita por ecuaciones covariantes hiperbólicas (las elípticas no lo permiten y las ultrahiperbólicas están mal puestas). Además, si requerimos que el espaciotiempo tenga una complejidad mínima para permitir la existencia de seres conscientes, tenga un futuro que sea predecible y permita la existencia de movimientos orbitales estables, necesariamente debe tener tres dimensiones espaciales y una temporal, espaciotiempo 3+1. Obviamente, este artículo ha sido objeto de comentarios en blogs por doquier. Pondré un solo ejemplo, Bee, “Why do we live in 3+1 dimensions?,” Backreaction, May 8, 2006. Bee nos enlaza a otros blogs y a otros artículos sobre el mismo tema, como Andreas Karch, Lisa Randall, “Relaxing to Three Dimensions,” Phys. Rev. Lett. 95: 161601, 2005 [ArXiv preprint].

Antes de continuar y para entender la figura debemos recordar que una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, como la que corona la figura, donde la matriz A es simétrica, sin pérdida de generalidad, se puede clasificar en función del signo de sus autovalores (todos son reales por ser simétrica) como elíptica si todos tienen el mismo signo (todos positivos o todos negativos), parabólica si alguno es cero y el resto tienen el mismo signo (sea positivo o negativo), hiperbólica si uno es positivo y el resto son negativos (o viceversa), y finalmente ultrahiperbólica en el resto de los casos (al menos dos son positivos y al menos dos son negativos).

Vivimos en un espaciotiempo con (3+1) dimensiones, es decir, tridimensional en espacio y unidimensional en tiempo. ¿Qué pasaría si viviéramos en un espaciotiempo con (n+m) dimensiones? Recuerda, n son las dimensiones espaciales y m las temporales. ¿Puede un espacio tiempo (n+m) dimensional contener observadores conscientes como nosotros? Max Tegmark afirma que sólo es posible en un espaciotiempo con cierta complejidad, predictibilidad y estabilidad. La física es impredecible si m·n=0, es decir, si las ecuaciones en derivadas parciales que describen el universo son elípticas, como la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson. En ese caso el universo es inmutable y no hay futuro posible que predecir. Para n=1 o m=1, la ecuación es hiperbólica.  Para n=1 y m>3, o n>3 y m=1, fallaría la estabilidad, como ya observó Enhrenfest en 1917: el problema de dos cuerpos (puntuales) en un potencial que sea solución la ecuación de Laplace (como lo es para el potencial electrostático y el gravitatorio) es inestable porque dicha ecuación en dimensión n tiene una función de Green que decae como r2-n. Ni los átomos (mecánica cuántica) ni las órbitas planetarias (mecánica clásica) podrían ser estables. ¿Qué pasaría en el caso n<3? Básicamente falla el requisito de la complejidad mínima. Seres “conscientes” en planilandia (2D) sufrirían terribles problemas topológicos, por ejemplo, a la hora de conectar su cerebro con el resto del cuerpo vía terminaciones nerviosas. Más aún, como ya aclaró Wheeler, la fuerza gravitatoria en relatividad general no puede existir para n < 3. Tegmark tiene muy claro que un mundo con n=2, 1 y 0 no puede permitir seres conscientes como nosotros. El caso n,m≥2, es decir, si son ultrahiperbólicas, lo estudiaremos en el próximo párrafo.

Veamos en más detalle el caso ultrahiperbólico en el que el número de dimensiones temporales, m>1. Para Tegmark, un universo con m>1, con dos o más tiempos, no prohibe que los observadores estén limitados a percibir la realidad sólo con un único tiempo, por lo que no genera necesariamente problemas de causalidad (la nieta que mata a su abuela antes de parir a su madre). Sería un mundo muy extraño, por ejemplo, en mecánica relativista la energía sería un vector de m dimensiones, en lugar de una constante, pero estas ideas difícilmente rebaten la posible existencia de seres conscientes. Para Tegmark la clave está en la ultrahiperbolicidad de las ecuaciones covariantes que describan los campos físicos en dicho universo.

La realidad que conocemos está modelada por campos descritos mediante ecuaciones covariantes como la ecuación de onda u_{;\mu\mu}=0 y la ecuación de Klein-Gordon u_{;\mu\mu} + \hat{m}^2 u=0. Por ejemplo, los fermiones (electrones, positrones, quarks, …) están descritos por la ecuación de Dirac cuyas soluciones también cumplen la ecuación de Klein-Gordon. Otro ejemplo, los bosones vectoriales (fotón, gluones, bosones W y Z, …) en el gauge de Lorentz cumplen la ecuación de onda (la luz se propaga como una onda). Estas dos ecuaciones covariantes cumplen con la propiedad de que el signo de los autovalores de la matriz A tienen el mismo signo que la signatura de la métrica del espaciotiempo. En 3+1 dimensiones, con (n,m)=(3,1), tienen la signatura (+–––), o si se prefiere (–+++). Una ecuación elíptica correspondería a una signatura euclídea para la métrica (+++++) y una ultrahiperbólica a una signatura como (++––-). El tipo de la ecuación en derivadas parciales determina la estructura causal de las soluciones posibles (cómo las condiciones de contorno especifican el problema). Un problema está bien puesto si las condiciones de contorno determinan una solución única que depende de forma continua con los datos del contorno. En un problema mal puesto, un observador tendría que medir los datos iniciales y de contorno con precisión infinita para poder determinar (predecir) la solución. Dado un punto p del espaciotiempo podemos definir su cono de luz como la hipersuperficie que recorrería un haz de luz que partiera de p (hipersuperficie nula). El interior del cono de luz son los puntos del espaciotiempo separados de p por intervalos temporales y el exterior los separados espacialmente. En una ecuación ultrahiperbólica si la condición inicial está dada en una hipersuperfice que contiene intervalos espaciales y temporales respecto a un punto p, el problema de Cauchy está mal puesto.

No sabes como demostrar un resultado matemático, pídele ayuda a otros matemáticos en MathOverflow

Me enteré de la existencia de MathOverflow gracias a Scott Aaronson. Él necesitaba demostrar un lema para un artículo. No sabía cómo. Pidió ayuda en su blog. Uno de sus lectores envió la pregunta a MathOverflow y 11 minutos más tarde Scott ya tenía la respuesta correcta. Desde entonces es un fan de MathOverflow. Si no eres matemático o no necesitas la matemática para tu trabajo actual quizás te resulte inútil, pero merece la pena realizar una visita de vez en cuando. Te enterarás de muchas curiosidades. Por ejemplo, ¿cuál fue la demostración matemática que duró más tiempo sin que se supiera que era incorrecta? La pregunta fue formulada hace 26 minutos. La primera respuesta, hace 16 minutos, fue “la demostración de Kempe del teorema de los cuatro colores, publicada en 1879, fue considerada correcta hasta que Heawood encontró un contraejemplo en 1890.” No está nada mal. Visto en Scott Aaronson, “Prove my lemma, get acknowledged in a paper!,” Shtetl-Optimized, December 14th, 2009. Por cierto, quizás la respuesta no sea la mejor ya que la segunda demostración fallida y famosa del teorema de los cuatro colores, la de Tait, se publicó en 1880 y también contenía un error sutil que descubrió Petersen en 1891 (también 11 años más tarde). Visto en Robin Thomas, “An Update on the Four-Color Theorem,” Notices of the AMS 45: 848-859, August 1998.

Por qué nos mareamos en un barco o en un coche cuando hay curvas

El quinesiólogo Thomas A. Stoffregen de la University of Minnesota estudia el mareo utilizando a estudiantes en ayunas (por razones obvias) como conejillos de indias. Se montan en una plataforma que vibra. A ciertas frecuencias prácticamente todos acaban mareados. Nos mareamos porque nuestro cerebro se siente incapaz de controlar los movimientos de nuestro cuerpo en un entorno cambiante. En los oídos tenemos sensores tanto de movimiento angular (canales semicirculares) como lineal (otolitos). Cuando estos sensores envían al cerebro información en contradicción que con lo vemos y sentimos con nuestros músculos, nos mareamos. El cerebro constante recibe información redundante, pero cuando esta información es contradictoria, no sabe qué señal sensorial es “errónea” y cual “correcta.” Una manera de reducir el mareo e incluso eliminarlo es elegir una postura del cuerpo más estable, por ejemplo, abriendo las piernas y estabilizandola cabeza y el torso. Esta técnica se llama rehabilitación vestibular. Más información en Brendan Borrell, “Finding Balance. Is poor posture control the real cause of motion sickness?,” Scientific American, April 2009; María Francisca del Pilar Alonso Sánchez, “Rehabilitación vestibular para el vértigo: Una revisión bibliográfica,” Medicina Naturista 4: 2-8, 2010; y en Tomás Smith, “La rehabilitación vestibular es una terapia efectiva para los mareos crónicos en atención primaria,” Evid. actual. práct. ambul. 8: 72, 2005 (comentario de L. Yardley, M. Donovan-Hall, et al. “Effectiveness of primary care-based vestibular rehabilitation for chronic dizziness,” Ann Intern Med. 141: 598-605, 2004). 

Actualmente el vértigo es el síntoma más común del mundo, es el tercero en consultas médicas, está presente entre el 5% y 10% de la población, afecta al 65% de adultos mayores y posee un gran impacto en la calidad de vida. El tratamiento del vértigo se basa principalmente en el uso de medicación dirigida a la supresión vestibular o al control de los síntomas como las náuseas o para procesos específicos de enfermedad. Sin embargo, ninguna medicación en uso actual tiene valor curativo o profiláctico establecido o es conveniente para el uso paliativo de largo plazo.

La rehabilitación vestibular consiste unos ejercicios especializados diseñados para cada caso individual a través de movimientos repetitivos y maniobras sistemáticas que van dirigidas a eliminar o disminuir los síntomas de mareos y a estabilizar el control postural y equilibrio. Incluye además ejercicios visuales de adaptación para estabilizar el sistema visual-motor. La terapia vestibular es una alternativa que ofrece múltiples ventajas: es un método no invasivo, sin medicamentos ni efectos secundarios; el paciente no tiene que acostumbrarse a vivir con mareos; con un periodo corto de terapias aproximadamente de 6-8 terapias promedio, muchas veces requiere una sola intervención; y recobra las actividades diarias.

Se esperan grandes cambios en el ránking mundial de universidades publicado por Times

Lo ha anunciado Phil Baty ayer, 12 de agosto de 2010, algunas de las universidades del mundo con mayor renombre podrían bajar muchos puestos en el nuevo ránking mundial de universidades publicado por Times (llamado “THE World University Ranking”). ¿Por qué? Porque la clasificación que se publicará este otoño estará menos basada en la opinión subjetiva de los evaluadores y más en pruebas objetivas y bibliométricas. El ránking de Times se basaba en gran parte (un 40%) en una encuesta de opinión entre los académicos de las universidades más importantes del mundo y (un 10%) en la opinión de profesionales de empresas que atesoren un postgrado. Según publican en su web el cambio es porque quieren perfeccionar su ránking. Las malas lenguas dicen que la Universidad de Harvard iba a perder el puesto número 1. Ya veremos qué pasa este año. En el ránking del año pasado, 2009, la única universidad española entre las 200 primeras fue la Universidad de Barcelona (puesto 171 y puesto 186 en 2008). ¿Se colará alguna universidad española en el nuevo ránking? Habrá que esperar a que se publique para saberlo. Pero todo el mundo espera cambios, muchos cambios. Thomson Reuters (es decir, el índice de impacto de revistas) está detrás de todos estos cambios. Visto en “World University Rankings 2010. Times Higher Education’s annual World University Rankings are changing” y en Phil Baty, “THE World University Rankings. We can expect some big-name institutions to take a hit in the new World University Rankings,” 12 August 2010.

Elecciones en Australia: “We will do the right thing”

En Australia han convocado elecciones anticipadas. La primera mujer en Australia que ocupa el cargo de primera ministra, Julia Gillard, tres semanas después de tomar posesión del cargo convocó a elecciones generales anticipadas. Los comicios se realizarán el próximo 21 de agosto. Gillard es del Partido Laborista. Su rival, Tony Abbott, es del Partido Conservador. El cambio climático será uno de los temas dominantes en estas elecciones. Obviamente junto con la economía, la reforma de la salud y la educación. Me ha llamado la atención lo del cambio climático y el vídeo de más abajo. Leído en “Australia: convocan a elecciones anticipadas,” Redacción, BBC Mundo, 17 de julio de 2010. El vídeo de abajo lo he visto en “The Time Warp, Starring Tony Abbott,” Moth Incarnate, August 11, 2010.