Si te gusta el croché, atrévete con el caos y la variedad estable en el origen del atractor de Lorenz

Amazings.es es el proyecto de tres amigos Antonio Martínez (Fogonazos), Miguel Artime (Maikelnai’s) y Javier Peláez (La Aldea Irreductible) que han unido sus fuerzas para realizar una web que pretende aglutinar los mejores contenidos científicos y las perlas más selectas de la red.” Y perlas selectas en la blogosfera en español son también sus colaboradores.

Ha refrescado mi memoria la entrada de Maikelnai, “El verdadero “tejido” del tiempo,” Amazings.es, 16 de Julio, 2010. Me ha recordado la maravillosa incursión en el mundo del croché y del caos de Hinke Osinga y la variedad invariante del origen en el sistema de Lorenz. Hinke Osinga y Bernd Krauskopf decidieron construir un programa de ordenador que indicara las instrucciones exactas necesarias para elaborar con croché la variedad invariante del origen del sistema de ecuaciones de Lorenz, famosas por su atractor extraño con forma de “mariposa.” Osinga necesitó 85 horas de trabajo y tuvo que hacer 25511 puntos de croché para lograr su obra. Y logró su momento de gloria. Fue portada de revistas de matemáticas, fue invitada a todas las conferencias de dinámica no lineal y entrevistada en radio y televisión. Todo un éxito en los medios que quizás muchos ya han olvidado. ¿Te gustan el croché y las matemáticas? No podrás evitarlo, tienes que tricotar tu propia versión (aprovecha el verano, ¡ánimo!). Las instrucciones detalladas para desarrollar la obra aparecen en el artículo Hinke Osinga and Bernd Krauskopf, “Crocheting the Lorenz manifold,” Bristol Univ. Applied Nonlinear Mathematics Preprint, march 2004 (el artículo se publicó en The Mathematical Intelligencer 26: 25-37, 2004). Bueno, quizás quieras empezar por algo más fácil. Tricotar el plano hiperbólico. En dicho caso te recomiendo el artículo de David W. Henderson y Daina Taimina, “Crocheting the hyperbolic plane,” The Mathematical Intelligencer 23: 17-28, 2001. No tienes excusa. Si te gustan el croché y las matemáticas, no tienes excusa.

El siguiente vídeo de youtube muestra el atractor de Lorenz junto a la variedad invariante del origen. El sistema de Lorenz es un sistema dinámico tridimensional (tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas) que tiene tres puntos fijos, el origen y dos puntos simétricos (los “ojos” del atractor de Lorenz). La estabilidad de estos puntos fijos o de equilibro se determina evaluando los autovalores del jacobiano del sistema en dichos puntos. El origen es un punto hiperbólico que tiene un autovalor positivo (inestable) y dos autovalores negativos (estables). Los autovectores del autovalor positivo se prolongan como curvas que se alejan del origen y se “enrollan” alrededor del atractor extraño de Lorenz (se ve en negro en el vídeo de abajo). Los autovectores de los otros dos autovalores negativos definen localmente un plano en el origen en el que las trayectorias que se inician en dicho plano convergen al origen. Cuando dicho plano se prolonga se obtiene una superficie, la variedad estable del origen, también llamada variedad de Lorenz, que Osinga ha tricotado y que en el vídeo de abajo podéis ver en colores. Cualquier condición inicial que esté exactamente en dicha variedad (que se enrolla por dentro del atractor de Lorenz) converge irremisiblemente al origen. Un punto cercano, por muy cercano que esté, pero fuera de esta superficie, converge hacia el atractor de Lorenz. Como esta variedad del origen no tiene volumen (pero sí área) con probabilidad uno toda condición inicial para el sistema de Lorenz converge al atractor (extraño) de Lorenz. Por ello, determinar la variedad invariante (estable) del origen es difícil numéricamente. Pero no imposible y se han publicado varios algoritmos para lograrlo. El vídeo de abajo os muestra el resultado del trabajo de Alexander Vladimirsky y John Guckenheimer (ambos en la Universidad de Cornell, Ithaca, estado de New York, EEUU).

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Los otros dos puntos fijos (o de equilibrio) del atractor de Lorenz son los responsables últimos de la aparición del atractor de Lorenz gracias a una bifurcación de Hopf. Hay un autovalor estable cuya variedad estable es unidimensional y corta transversalmente al atractor de Lorenz (es curioso que normalmente no se suele dibujar pues es fácil de calcular). Y hay dos autovalores complejos estables (parte real negativa) que colapsan a cierto valor crítico de los parámetros del sistema de Lorenz y se vuelven inestables, lo que da origen al atractor extraño de Lorenz. Cualquier curso de dinámica no lineal presenta todos los detalles a los interesados. Un resumen muy breve aquí. Detalles del análisis dinámico del sistema de Lorenz y de su atractor extraño.

“Vino y queso” … agua de borrajas

Marco Verzocchi (DZero) lo tiene muy claro. El que quiera saber sobre el futuro de la búsqueda del bosón de Higgs que le pregunte a Paul, el pulpo. Ni él, ni Tom Wright (CDF) nos han contado nada relevante. Todos estábamos expectantes por el rumor. Seguimos estándolo. Tom ha afirmado que los datos combinados CDF+DZero sobre el Higgs se están cociendo ahora mismo y que se espera que estén listos para la semana que viene. Ya nos enteraremos en el ICHEP 2010. Pero no se esperan sorpresas. Los rumores tienen eso…

Por supuesto, los rumores no quitan que se hayan presentado resultados interesantes, como la figura de abajo, para el canal ZH en la búsqueda del Higgs. Por supuesto, el resultado, que apunta a un Higgs de baja masa, está dentro de los límites asociados a fluctuaciones estadíticas y por ahora no es más que una mera anécdota.

Bueno, poco más tengo que decir al respecto … este “wine & cheese seminar” ha sido bastante más flojo de lo que esperaba. Quizás esperaba demasiado. Quizás haya que poner la foto de Tom para que no diga que le dejamos en un segundo plano (junto al resultado más interesante que ha contado, en mi opinión, aparte de la nueva estimación para la masa del quark top, que ya fue noticia la semana pasada).

No sé si habrá alguien interesado en descargarse las transparencias de estas dos charlas, pero por si acaso, aquí van los enlaces: Marco Verzocchi, “D0 results for ICHEP 2010,” and Tom Wright, “CDF’s New Results for ICHEP,” 16 July 2010.

PS: No soy el único que opina que este “wine & cheese” ha sido muy insulso: “Nothing Cool Happening At Fermilab,” Wash Park Prophet, 16 July 2010.