La cromodinámica cuántica tras 25 años de métodos numéricos

Andreas S. Kronfeld, “Twenty-five Years of Lattice Gauge Theory: Consequences of the QCD Lagrangian,” ArXiv,8 Jul 2010, nos recuerda brevemente los grandes éxitos de la cromodinámica cuántica por ordenador en los últimos 25 años. Permitidme un breve resumen. Por cierto, los interesados en el problema del confinamiento de los quarks disfrutarán con M. Shifman, “Understanding Confinement in QCD: Elements of a Big Picture,” ArXiv, 4 Jul 2010.

La cromodinámica cuántica (QCD) es la teoría moderna de la fuerza nuclear fuerte dentro del modelo estándar de la física de partículas elementales. La versión mínima de esta teoría viene descrita por el siguiente lagrangiano

donde F^{\mu\nu} es el campo de gluones (el equivalente al campo electromagnético pero para la carga de color), / \kern-0.65em D=\gamma_\mu(\partial^\mu+A^\mu),
\psi_f son los campos de cada uno de los 6 quarks indexados por el índice de sabor f. La cromodinámica tiene 1+n_f+1 parámetros: la constante de acoplamiento g^2, las masas m_f de los n_f quarks, y el coeficiente que multiplica la interacción que viola la simetría CP, llamado \bar\theta. La constante de acomplamiento g^2(E) disminuye conforme la energía crece (la así llamada “libertad asintótica” de la teoría). Este lagrangiano (teoría) mínimo se puede generalizar añadiendo una matriz de masas \bar{\psi}_am_{ab}\psi_b, cuyos autovalores sean m_f; en dicho caso, el término que multiplica a \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\mbox{tr}[F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}] se cambia por \bar{\theta}=\theta-\arg\det m. En el modelo estándar, \theta es puramente cromodinámico, pero m_{ab} surge como acoplamiento entre los estados de los quarks y el campo del bosón de Higgs. Experimentalmente, solo la diferencia \bar{\theta} es observable.

La evidencia experimental apunta a la existencia de 6 quarks con lo que la QCD tiene 8 parámetros libres, como mínimo. Estos parámetros han de ser determinados experimentalmente, pero como la carga de color de los quarks y gluones está confinada (solo se pueden observar estados “incoloros”), la única manera de determinar estos parámetros es gracias al estudio de los hadrones (partículas “incoloras” formadas por 3 quarks (bariones) o por un par quark-antiquark (mesones), como el protón, el neutrón, los piones, etc.). Por tanto, los 8 parámetros de la QCD han de ser determinados a partir de las masas de los hadrones que se observan en los aceleradores de partículas. El problema es que realizar estos cálculos teóricamente es muy difícil, sino imposible, y se requiere del uso de métodos numéricos (QCD en redes o lattice QCD). Incluso así, los cálculos son tan complicados que se requieren superordenadores y solo en el último lustro se han obtenido valores fiables para estos parámetros.

La violación de la simetría CP en la cromodinámica es muy débil. El neutrón debería tener un momento dipolar eléctrico pero experimentalmente no se observa. Usando el mejor límite experimental se acota \bar{\theta}<10^{-11}. Nadie sabe por qué este valor es tan pequeño, es el llamado problema CP fuerte. Gracias a ello, en la mayoría de los cálculos se toma \bar{\theta}=0 para simplificar. Por tanto, solo hay que determinar 1+n_f parámetros.

Las técnicas de QCD en redes tratan de integrar numéricamente la formulación en integrales de camino de la QCD utilizando métodos de tipo Montecarlo. Sin entrar en detalles técnicos, lo más importante que hay que saber es que no existe el mejor método numérico, sino que los cada método numérico se comporta mejor que los demás en ciertos problemas y peor en otros. Además, el costo computacional suele ser alto sino se realizan ciertas simplificaciones, plausibles, pero que pueden sesgar los resultados. Tras 25 años practicando la QCD hoy en día podemos asegurar que entendemos bien dichos métodos numéricos y que podemos confiar en que sus resultados describen correctamente las predicciones de la QCD.

La teoría QCD en redes ha permitido obtener una estimación teórica de la masa de todos los hadrones. En la figura se muestra la obtenida en 2009 por la Colaboración BMW, publicada en Science. Se muestra el espectro de los hadrones más ligeros (el protón y el neutrón, es decir, el nucleón corresponde a la N). Las líneas horizontales son los valores experimentales. Los resultados de QCD en redes son los círculos rojos y las barras de error verticales representan la combinación de las estimaciones del error estadístico y del error sistemático. El pión y el kaón (los dos primeros por la izquierda) no tienen barra de error porque sus valores no se han calculado sino que se han usado para ajustar las masas de los tres quarks más ligeros. Como se observa los resultados tienen errores de pocos tantos por ciento.

Lo más curioso de las simulaciones QCD en redes es que la suma de la masa de los quarks de un protón solo da cuenta del 3’5% de su masa. Prácticamente la totalidad de la masa de un protón (y neutrón) es energía de ligadura debida al campo de gluones. Normalmente se dice que la masa del protón es resultado de la famosa fórmula de Einstein E/c². El 96’5% de nuestra masa es energía.

El gran problema de la QCD en redes es que no podemos medir directamente la masa de los quarks (como medimos la masa de un electrón) porque están confinados en los hadrones. Solo la masa de los quarks más pesados se puede medir con precisión en los experimentos. Para verificar la exactitud de las simulaciones de QCD en redes se requiere estimar de alguna forma la masa de los quarks menos pesados y los experimentos no ayudan porque cada uno ofrece un valor ligeramente diferente. La siguiente tabla muestra la diversidad de los valores asignados a las masas de estos quarks en diferentes simulaciones QCD publicadas recientemente.

En resumen, la teoría QCD es muy complicada y está repleta de conjeturas (gracias a la intuición de los físicos). Las técnicas numéricas de QCD en redes han permitido extender nuestro conocimiento sobre estas conjeturas e incrementar la certeza de muchas de ellas. Aún así, todavía nos queda mucho por descubrir en los recovecos más oscuros de esta teoría.