VI Carnaval de Matemáticas: Cómo recordar la fórmula para las 3 raíces de un polinomio cúbico

Todo el mundo conoce la fórmula para las dos raíces de un polinomio cuadrático. Casi todo el mundo ignora la fórmula para las tres raíces de un polinomio cúbico. Hace años, yo adjuntaba ciertos exámenes con dicha fórmula (y la del polinomio cuártico) para que los alumnos pudieran usarla, caso necesario, sin recordarla de memoria. Pocos alumnos se atrevían con el problema (si lo había) que requería su uso. Obviamente, ya dejé de hacerlo hace años. Hoy en día cualquiera puede recurrir a Mathematica, Maple, Matlab, etc. que la recuerda por nosotros.

Ahora bien, también hay frikis (o geeks) a los que les gustaría presumir de que recuerdan dicha fórmula. Hay varias reglas nemotécnicas, pero quizás la mejor que yo conozco ha sido obtenida por Andreas Caicedo. Una regla nemotécnica que desarrollada conduce a la fórmula usual que aparece en todos los libros de tablas matemáticas. La he visto en Alexandre Borovik, “Andreas Caicedo: the best way of remembering the cubic formula,” Mathematics under the Microscope, May 4, 2010.

Al grano que estarás impaciente (si no has abandonado el blog o has pasado a otra entrada).

Mediante una traslación el polinomio

a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0 = 0,

se puede transformar en el polinomio

x^3 + a x^2 + b = 0,

que podemos reescalar para que tome la forma

x^3 - \frac{3}{4} x - \frac{c}{4} = 0,

que será verdad cuando

x=\cos (\theta)

si y sólo si 

c=\cos (3\theta).

La fórmula de Euler permite obtener la solución ya que 

y=e^{\mbox{i}\cdot {3\theta}}, con \mbox{i}=\sqrt{-1},

es raíz de la ecuación cuadrática

y^2 - 2 c y +1 = 0,

por lo que 

e^{i \theta}

es la raíz cúbica

z = \sqrt[3]{y},

y finalmente

x=\cos (\theta) = (z+1/z)/2.

That’s all folks!

Esta entrada iba a ser mi participación en la V Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión era el blog Ciencia por Barcedavid. Pero al final se me pasó el deadline. No sé si se organizará la VI Edición del Carnaval de Matemáticas. En su caso, quien la organice que tome esta entrada como mi participación en el mismo.

Qué hacemos con la universidad

Andrés Ollero Tassara, aparte de Catedrático de Filosofía del Derecho de la Universidad Rey Juan Carlos de Madrid (desde 1999, hasta entonces lo era de la Universidad de Granada), escribió al cumplir 25 años de experiencia universitaria, en 1985, recién aprobada la LRU (Ley Orgánica de Reforma Universitaria) un libro titulado “Qué hacemos con la Universidad,” editado por el Instituto de Estudios Económicos. Permitidme unos extractos, sesgados, como no, con la idea de generar polémica y de oir vuestra opinión en los comentarios.

1. “¿Cabe concebir una sociedad en la que todos “sepan” leer, escribir e incluso hablar?”

2. “¿Todo universitario debe “saber” leer, escribir e incluso hablar?”

3. “¿Debe un alumno “perder el tiempo en mejorar la Universidad”? El recelo hacia la participación, endémico en no pocos universitarios, traiciona uno de los aspectos decisivos de una formación que merezca el nombre de universitaria.”

4. “¿Debe un profesor organizar seminarios para alumnos escogidos entre los que asisten a sus clases? La libertad goza hoy de mala prensa en nuestra sociedad… si un profesor logra convencer a sus alumnos de que sólo aspira a contagiar su gusto y familiaridad con los problemas de la asignatura a un grupo de alumnos libremente interesados en compartir sus manías, tendrá que explicar qué inconfesables motivos se ocultan bajo tan absurda iniciativa. Organizar un “seminario” entre los alumnos de un curso masificado no es dedicarse al sospechoso cultivo de las semillas selectas, destinadas a no se sabe qué artero guiso, sino intentar que, al menos una parte de los alumnos, puedan experimentar la dimensión humana de su trabajo, antes de lanzarse al abordaje de un título a codazos con la masa.”

La asimetría entre materia y antimateria

El modelo estándar no explica adecuadamente la asimetría entre materia y antimateria que el modelo de la gran explosión predice. La parte explorada experimentalmente del modelo estándar muestra una violación de la simetría CP que no es suficiente para explicarla. Sin embargo, todavía quedan muchos recodos en el modelo estándar que no han sido explorados con detalle donde se podría ocultar más violaciones de dicha simetría y quizás allí se encuentre la razón por la cual existimos y no nos hemos aniquilado en el pasado al confrontarnos con la antimateria primordial que se generó en la gran explosión. En los últimos años nuestro conocimiento de la asimetría CP en el modelo estándar ha dado pasos de gigante gracias a los resultados de los experimentos con fermiones, Belle, Babar y CLEO-c, y con hadrones, CDF y DZero, como nos resume Michal Kreps (KIT), “Beauty physics (experiment),” 11 June 2010 [slides pdf]. Una presentación bastante buena del problema es James M. Cline, “El origen de la materia. Aún no sabemos por qué la materia dominó a la antimateria en la formación del universo,” Investigación y Ciencia, 49-57, junio, 2005. Permitidme el lujo de extraer algunos párrafos de dicho artículo. Los amantes de información más técnica pueden recurrir al interesante curso de James M. Cline, “Baryogenesis,” ArXiv, 15 Sep 2006 (63 pages), Lectures at Les Houches Summer School, 7-11 Aug. 2006. Los que tengan mejor memoria auditiva que visual seguramente necesiten a alguien que se lo cuente en vivo y en directo. Os recomiendo las dos charlas de Hitoshi Murayama (University of California, Berkeley) “Baryon Asymmetry of the Universe,” Academic Training Lecture Regular Programme, CERN 2009-2010 [Primer Video y Segundo Video]. Por cierto, en el primer vídeo saltaros los primeros 9:00 minutos en los que Murayama hace publicidad de su propio instituto en Japón.

“Se cree que había la misma cantidad de materia y de antimateria en los primeros momentos tras la gran explosión (big bang). Como la materia y la antimateria se aniquilan la una a la otra, ¿por qué prevaleció la materia y llegó a dominar el universo? La materia de que estamos hechos consta sobre todo de protones y neutrones, llamados bariones, que se componen de partículas menores, los quarks. Faltan bariones en el universo. Por cada barión hay diez mil millones de fotones (partículas de luz). La asimetría bariónica del universo es el número de bariones dividido por el número de fotones y vale (6’21±0’16)×10–10 (según WMAP-7). Este pequeño número se calcula gracias a las mediciones precisas de las pequeñas fluctuaciones de la temperatura de la radiación cósmica de microondas. La asimetría bariónica permanece constante a lo largo del tiempo, pese a que el universo se va expandiendo y diluyendo.

La inflación es una variante de la teoría de la gran explosión del universo, corroborada por las mediciones del fondo cósmico de microondas. La inflación consistió en un período de expansión exponencialmente rápida en los primeros momentos del universo. La inflación explica por qué las fluctuaciones de temperatura del fondo de microondas son pequeñas (del orden del 0,001 por ciento), pero no exactamente cero: fluctuaciones cuánticas de este tamaño se producen de manera natural durante la inflación. Para que la asimetría barión-antibarión se hubiese creado antes de la fase final de la inflación, o “recalentamiento”, su valor inicial tendría que haber sido enorme: 1069. La inflación hace muy probable que la asimetría bariónica requiera una explicación dinámica.

Se sabe que la asimetría bariónica del universo no puede explicarse en el marco de las teorías hoy aceptadas. Algo sucedió en el universo primitivo que provocó esta diferencia. A medida que el universo se enfrió tras la inflación, los protones y los neutrones se fueron uniendo y formaron los núcleos atómicos de los elementos ligeros: el helio, el litio y el deuterio, isótopo del hidrógeno. Se formaron a los pocos minutos de la gran explosión, en la etapa que recibe el nombre de “nucleosíntesis de la gran explosión”. La teoría de la gran explosión predice correctamente, una vez se ha elegido un valor para la asimetría bariónica del universo, las proporciones de todos los elementos ligeros que se generaron durante la nucleosíntesis (primordial) de la gran explosión.

Los físicos rusos Andrei Sajarov y Vadim Kuzmin identificaron entre 1967 y 1970 las condiciones que una explicación de la asimetría entre materia y antimateria debe satisfacer. Las  tres condiciones que deben satisfacerse para que la bariogénesis tenga lugar son: (1) el número bariónico no se debe conservar (debe haber interacciones que cambien el número del bariones del universo); (2) deben violarse dos simetrías que relacionan partículas con antipartículas; y (3) debe haber una pérdida de equilibrio termodinámico.

La primera ley de Sajarov, la violación del número bariónico, se puede dar de varias formas. Lo más sencillo es que existan partículas hipotéticas cuya probabilidad de desintegración en cierta forma es distinta entre la partícula y su antipartícula. La evidencia experimental actual afirma que no existen en el modelo estándar tales partículas (aunque los mesones B neutros y los mesones T neutros podrían serlo). Más allá del modelo estándar hay muchas posibilidades. Las teorías de gran unificación o GUT predicen la existencia de los bosones X. Si la partícula X sigue un cierto proceso de desintegración el 51 % de las veces, mientras que su antipartícula solo el 49 %, esta asimetría provocaría rápidamente un exceso de bariones. Sin embargo, ¿hay alguna explicación que no requiera nuevas partículas dentro del modelo estándar? Sí, oculta en el modelo estándar también existe física que viola el número bariónico, pero es algo muy técnico que no se ha confirmado experimentalmente, aunque pocos teóricos dudan de su validez. El número bariónico se viola en el modelo estándar de la física de partículas por medio de cierto proceso, el esfalerón (del griego “caer”). Cierta interacción predicha por el modelo estándar que involucra nueve quarks y tres partículas ligeras de la clase de los leptones. Fue descubierto como resultado matemático en 1984 por Frans Klinkhamer y Nicholas Manton, pero su existencia no está confirmada en los grandes aceleradores de partículas.

La segunda ley de Sajarov indica que no basta con la violación de un tipo de simetría sino dos. Una de las simetrías (discretas) de las partículas es la conjugación de carga (C), la transformación de una partícula en su antipartícula. Otra es la paridad (P), que transforma una partícula dextrógira en una partícula levógira y, por lo tanto, con espín opuesto (matemáticamente esta operación cambia el signo de las coordenadas espaciales de un sistema y crea una imagen especular). La combinación de las dos transformaciones se conoce como CP. Si la simetría CP se hubiese satisfecho durante toda la historia del universo, la única asimetría de partículas que crearíamos sería entre quarks levógiros y antiquarks dextrógiros, más una asimetría igual y opuesta entre quarks dextrógiros y antiquarks levógiros. Por desgracia, la asimetría total entre quarks y antiquarks sería aún nula. Hasta 1964 se creía que CP era una simetría exacta. Se descubrió que dos partículas supuestamente distintas resultaron ser una misma, el kaón. Se demostró que el kaón neutro se desintegraba en estados con diferentes valores de CP. Esta violación de CP en las desintegraciones de los kaones es tan débil que ni siquiera puede crear una asimetría bariónica tan pequeña como la que se observa. Se espera que se descubran fuentes mayores de violación de CP en el modelo estándar en los mesones B (pares de quark-antiquark bottom) y en los mesones T (pares de quark-antiquark top).

La tercera ley de Sajarov es la más técnica y quizás la más difícil de explicar. La teoría electrodébil a altas temperaturas indica que en el universo primitivo se formaron burbujas a medida que el universo se enfriaba. Fuera de las burbujas las partículas carecían de la masa que tienen de ordinario. Solo dentro de las burbujas las partículas recuperaban sus masas y generan la física que conocemos. Las burbujas se expandieron hasta que por fin eliminaron la fase exótica sin masa mediante una “transición de fase de primer orden”. Los esfelarones, la fuente de la violación del número bariónico dentro del modelo estándar, son mucho más débiles dentro de las burbujas (en el reino de la física ordinaria) que a extramuros de las mismas. La violación bariónica es fuerte fuera de las burbujas y mucho más débil dentro. Los esfalerones quedan fuera del equilibrio en el interior de la burbuja porque actúan con lentitud mayor dentro de la burbuja que fuera de ella. Si no ocurriera así los esfalerones del interior de la burbuja destruirían la asimetría bariónica creada por los que están fuera. La intensidad de la transición de fase depende, en el modelo estándar, de la ligereza de ciertas partículas: el bosón de Higgs y el quark “cima”. Pero son partículas bastante pesadas; en consecuencia, la transición de fase electrodébil resulta demasiado débil para explicar la bariogénesis, a no ser que se añadan nuevos principios físicos hipotéticos.

Las tres condiciones de Sajarov no pueden satisfacerse dentro del modelo estándar (quizás dos de ellas, pero no las tres). Se necesita física más allá, como la supersimetría, o SUSY, que nació en 1970. SUSY extiende las simetrías que caracterizan las familias de partículas del modelo estándar y establece que, para cada clase conocida de partícula (los quarks y los leptones) existe una supercompañera. No se han descubierto aún tales partículas; por tanto, se cree que tienen masas grandes. SUSY logra explicar la pequeñez de la masa de la partícula de Higgs. Además, las nuevas partículas predichas por la supersimetría aumentan la intensidad de la transición de fase electrodébil en el interior de cada burbuja de fase masiva. SUSY proporciona nuevas fuentes de violación de CP, más intensas que los procesos demasiado débiles del modelo estándar. Aún así, la mayoría de los expertos considera hoy que la versión mínima de la bariogénesis electrodébil basada en la supersimetría es muy improbable.

Hay otras posibilidades como la bariogénesis vía leptogénesis. Aunque la teoría electrodébil no puede satisfacer fácilmente con bariones las tres condiciones de Sajarov, no resulta difícil adaptar el argumento para crear una asimetría de otras clases de partículas, en concreto la de los leptones, que incluye electrones, muones, partículas tau y neutrinos. Se puede establecer una asimetría entre neutrinos y antineutrinos. En los esfalerones participan tanto leptones como quarks. Por esta razón, es casi imposible crear una asimetría leptónica a altas temperaturas sin que se convierta, al menos parcialmente, en una asimetría bariónica. Los neutrinos tienen masas no nulas. Las masas conocidas de los neutrinos podrían cumplir los requisitos de la leptogénesis. Si hay una asimetría entre ciertos leptones y sus antipartículas, los procesos esfalerónicos pueden convertir la asimetría leptónica en una asimetría bariónica. La interacción esfalerónica vendría a ser como abrir una válvula que igualase la asimetría leptónica y la bariónica. Los estudios relativos a los neutrinos, los leptones más fantasmagóricos, han aportado pruebas de que tienen masa, lo que ha alimentando el interés en la leptogénesis en cuanto clave de la bariogénesis. En tal caso, los objetos de mayor masa del universo se habrían originado gracias a las partículas más etéreas que se conocen.”

El espacio-tiempo, el tiempo-espacio, el cronotopo y la novela

TED Talks: Natalie Merchant revive viejos poemas.

“El cronotopo (literalmente, tiempo espacio) es la conexión intrínseca de las relaciones temporales y espaciales que se expresa artísticamente en una novela. Este término, introducido como parte de la Teoría de la Relatividad de Einstein, se ha incorporado a la literatura y al análisis de textos. Expresa la inseparabilidad del tiempo y del espacio (el tiempo como cuarta dimensión del espacio) y constituye la columna vertebral de cualquier narración. El cronotopo es el lugar en que los nudos de la narración se atan y se desatan. Puede decirse sin ambages que a ellos pertenece el sentido que da forma a la narración. El tiempo se vuelve efectivamente palpable y visible; el cronotopo hace que los eventos narrativos se concreticen, los encarna, hace que la sangre corra por sus venas.”

“El concepto de cronotopo se puede extender más allá de la literatura, pues existen cronotopos de la vida real, es un elemento fundamental de la vida social. El presente, y sobre todo el pasado, son enriquecidos a expensas del futuro. El cronotopo puede representarse como un camino que integra perfectamente el tiempo y el espacio en una sola línea continua. El camino implica un recorrido, y ese recorrido es tan lineal como él mismo: se parte de un extremo del camino (el inicio) para llegar a otro (la meta). La fuga al futuro.”

Traducción de Mijail Bajtin, “Forms of Time and of the Chronotope in the Novel. Notes towards a Historical Poetics”, en “The Dialogical Imagination. Four Essays by M. M. Bakhtin,” University of Texas Press, pp. 84-258 (1981). Traducción de Federico Navarrete Linares, “Diálogo con M. Bajtin sobre el cronotopo.”

La materia oscura y su búsqueda en el LHC del CERN

TED Talks: Patricia Burchat arroja luz sobre la materia oscura.

Sabemos mucho sobre la materia oscura. Sabemos que forma el 23’2 ± 1’3 % del universo. Sabemos que el Modelo Estándar de la física de partículas elementales no la explica. Sabemos con bastante seguridad que no es materia bariónica y que no son MACHOS (Macroscopic Astrophysical Halo Objects). Creemos que la materia oscura está formada por partículas elementales más allá del modelo estándar. Podría ser materia oscura caliente, partículas elementales de baja masa que se mueven a velocidad próxima a la velocidad de la luz, como neutrinos estériles, gravitinos, etc., pero la evidencia apunta más hacia la materia oscura fría, partículas elementales de gran masa, como los WIMPs (LSP, LKP, etc.), axiones, etc. La mayoría de los físicos teóricos y experimentales apuesta por las WIMP (Partículas Masivas Débilmente Interactivas) con una masa en la escala de energías de la ruptura de la simetría electrodébil, la escala de energías que será explorada por el LHC del CERN. Por ello muchos físicos creen que el LHC acabará encontrando nuevas partículas candidatas a ser materia oscura, pero como nos recuerda Graciela Gelmini, “Theory of dark matter,” Physics at the LHC, June 12, 2010 [vídeo y slides pdf], el LHC del CERN no ha sido diseñado para buscar la materia oscura y hay muchos experimentos actualmente en desarrollo (como CDMS, XENON, DAMA, etc.) que están realizando una búsqueda directa de la materia oscura (Laura Baudis (Univ. Zurich) en “Direct dark matter searches,” Physics at the LHC, June 12, 2010 [vídeo y slides pdf], nos resume los resultados de estos experimentos a fecha de principios de 2010 y los experimentos planificados para el futuro cercano) y muchos otros experimentos (como HESS, VERITAS, PAMELA, ATIC, AMS, etc.) que están realizando búsquedas indirectas (Werner Hofmann (MPI Heidelberg) en “Highlights from astroparticle physics,” Physics at the LHC, June 12, 2010 [vídeo y slides pdf], nos resume los resultados de estos experimentos a fecha de principios de 2010).