Publicado en PRL: Nuevo récord en el empaquetamiento aleatorio de tetraedros gracias a la ayuda de escolares y dados del juego Dragones y Mazmorras

Dados de Dragones y Mazmorras utilizados, y volumen normalizado de agua necesario para rellenar un recipiente esférico relleno de dados D4 y esferas del mismo radio. (C) PRL

Hay dados del juego de rol Dragones y Mazmorras que tienen 4, 6, 8, 12 y 20 caras. Los dados D4 son tetraedros cuyas caras son triángulos equiláteros. Paul M. Chaikin, profesor de física de la Universidad de Nueva York, ha comprado 1000 dados D4 y ha puesto a varios escolares de secundaria a rellenar peceras (esféricas), bidones (cilíndricos) y otros recipientes. Gracias a este trabajo colaborativo ha batido el récord mundial en empaquetamiento aleatorio de tetraedros, alcanzando una fracción del 76±2 %, trabajo que ha publicado en Physical Review Letters. Este récord es mejor que el mejor empaquetamiento posible de esferas (74% cuando se colocan todas ordenadas como naranjas en una caja del supermercado). ¿Cómo ha medido la densidad de empaquetamiento? Rellenando el recipiente con agua para comprobar el volumen necesario para alcanzar una altura determinada. ¿Cómo están empaquetados los tetraedros? De forma completamente aleatoria, como ha mostrado utilizando imagen por resonancia magnética nuclear. ¿Se puede mejorar este rércord? En teoría sí que se puede, ya que el récord teórico es del 85’6%, encontrado por Elizabeth R. Chen, Michael Engel, y Sharon C. Glotzer, “Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra,” ArXiv, 5 Jan 2010. Aún así, y como es obvio, todo el mundo se ha hecho eco de este espectacular trabajo colaborativo. Nos lo contó Kenneth Chang, “Packing Tetrahedrons, and Closing In on a Perfect Fit,” The New York Times, January 4, 2010 (visto en Stefan, “Physics Bits and Bites,” Backreaction, May 04, 2010), y nos lo ha vuelto a contar Daan Frenkel, “The tetrahedral dice are cast … and pack densely,” Physics 3: 37, May 3, 2010, siendo el artículo técnico (de acceso gratis) Alexander Jaoshvili, Andria Esakia, Massimo Porrati, Paul M. Chaikin, “Experiments on the Random Packing of Tetrahedral Dice,” Phys. Rev. Lett. 104: 18550. 3 May 2010.

Fracción de volumen normalizada para el empaquetamiento de dados D4 cilindros en función del radio del bidón, y corte transversal por resonancia magnética nuclear mostrando la distribución de los dados D4. (C) PRL

Aristóteles se equivocó hace 2300 años. Pensaba que el empaquetamiento de tetraedros regulares idénticos era perfecto, ocupando el 100% del volumen, sin dejar ningún hueco, como en el caso del empaquetamiento de cubos idénticos. Quizás por ello, el empaquetamiento de tetraedros no ha tenido interés hasta muy recientemente. El empaquetamiento de esferas idénticas obviamente deja huecos y colocadas como naranjas en una caja del supermercado se logra una densidad del 74’05 %, como ya conjeturó Johannes Kepler en 1611. Demostrarlo costó cuatro siglos y requirió el uso de ordenadores, pero se logró en 1998 gracias al trabajo de Thomas C. Hales, matemático de la Universidad de Pittsburgh, EEUU.

El mejor empaquetamiento posible con tetraedros no es fácil de imaginar, pero basta pensar un poco para darse cuenta de que no empaquetan de forma perfecta. En 1900, David Hilbert propuso el empaquetamiento denso de tetraedros regulares como un caso particular de su problema número 18 (en su famosa lista de 23 problemas que dictó en París). En 1972, Stanislaw Ulam conjeturó que el mejor empaquetamiento con objetos convexos idénticos era el de las esferas. En el año 2000, Betke y Henk desarrollaron un algoritmo por ordenador eficiente para el cálculo de empaquetamientos densos de cuerpos convexos y se lo aplicaron a todos los sólidos regulares arquimedianos. En el año 2006, el famoso matemático John H. Conway y el químico Salvatore Torquato, utilizaron dicho programa de ordenador para buscar teóricamente el mejor empaquetamiento posible de tetraedros asumiendo que formaban “moléculas” de 2 tetraedros (similares al icosaedro) y encontraron que podían rellenar menos del 72% del espacio (algo menos que con esferas). Lo publicaron en PNAS. Este trabajo parecía confirmar la conjetura de Ulam. Sin embargo, como Aristóteles, Conway también se equivocó. 

El matemático Jeffrey C. Lagarias de la Universidad de Michigan puso a trabajar en este problema a su alumna de doctorado Elizabeth Chen quien descubrió un empaquetamiento teórico de tetraedros regulares que alcanzaba casi el 77’86 % (Chen dice que Lagarias no se lo creía). Su “molécula” estaba formada por 9 tetraedros formando dos dipirámides pentagonales que compartían un tetraedro. Lo publicó en Elizabeth R. Chen, “A Dense Packing of Regular Tetrahedra,” Discrete and Computational Geometry 40: 214-240, 2008. La carrera por la búsqueda del mejor empaquetamiento de tetraedros había dado comienzo. En pocos meses aparecieron empaquetamientos mejores alcanzando el 78’20%, 78’37%, 78’58%, 82’23 %, 83’88 %, … el año 2009, sin lugar a dudas, fue el año de los empaquetamientos de tetraedros.

Sharon C. Glotzer, ingeniera química de la Universidad de  Michigan, desarrolló un nuevo programa de ordenador para simular empaquetamientos de tetraedros en cristales líquidos y cuasicristales que le permitió descubrir un empaquetamiento aún mejor, que superaba el 85’03 % (una locura, en sus propias palabras). Mientras escribía un artículo para Nature, descubrió que un grupo de Cornell usando un método diferente había logrado un empaquetamiento ligeramente mejor, alcanzando el 85’47% (Yoav Kallus, Veit Elser, Simon Gravel, “Dense periodic packings of tetrahedra with small repeating units,” Discrete and Computational Geometry, Published online 03 March 2010, como ArXiv preprint, 27 Oct 2009). Pero en diciembre de 2009, el Dr. Torquato y su estudiante de doctorado Yang Jiao, encontraron un empaquetamiento aún mejor, que alcanza el 85’55 % (S. Torquato, Y. Jiao, “Analytical Constructions of a Family of Dense Tetrahedron Packings and the Role of Symmetry,” ArXiv, 21 Dec 2009). ¡Alucinante!

Sin embargo, Chen todavía no había defendido su tesis doctoral. Quería incluir el mejor empaquetamiento conocido. ¿Cómo lograrlo? Lo mejor, formar equipo con el grupo de Glotzer. Juntas lograron en enero de 2010 el actual récord, una densidad del 85’63% (como ya hemos dicho, publicado en Elizabeth R. Chen, Michael Engel, y Sharon C. Glotzer, “Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra,” ArXiv, 5 Jan 2010). El récord utiliza un “molécula” de 16 tetraedros, que se muestra con dados amarillos en la figura. Esta “molécula” se repite para obtener el empaquetamiento óptimo. Chen ya ha defendido su tesis doctoral este año. Enhorabuena, Dra. Chen, y bienvenida al club, has entrado por la puerta grande.

¿Se puede hacer mejor? Es difícil, pero quizás no es imposible, aunque yo no espero que se mejore mucho el 85’63%. ¿Se publicará en 2010 algún empaquetamiento de tetraedros mejor? Quien lo logre lo publicará en Nature o en Science. En este blog estaremos al tanto de esta interesante cuestión matemática, que tiene aplicaciones obvias en química y ciencias de los materiales.