La fórmula de Stirling para el factorial

¿Cuánto vale 100!, el factorial de 100? Para saberlo lo más fácil es utilizar la fórmula de Stirling, 

cuyos coeficientes a_k se denominan coeficientes de Stirling. Veamos un ejemplo,

10! = 3'6288\times 10^6 \sim 3'5987\times 10^6,\quad 3'62868\times 10^6,\quad 3'62881\times 10^6,\quad \ldots,

donde a la derecha aparecen las tres primeras aproximaciones de Stirling, las que usan a_0, a_1, a_2, \ldots. Como vemos, en la práctica, se obtiene una buena aproximación utilizando sólo el término principal de la fórmula de Stirling.

¿Hay alguna fórmula que nos permita calcular los coeficientes de Stirling? Una fórmula explícita es la siguiente

Los interesados en una demostración de esta fórmula pueden recurrir al artículo de 5 páginas de Gergö Nemes, “On the coefficients of the asymptotic expansion of n!,” ArXiv 15 Mar 2010, que aplica un teorema de Howard a la fórmula de los coeficientes de Stirling demostrada por Brassesco y Méndez.

¿Cómo podemos evaluar estos coeficientes en Mathematica? Obviamente, a nadie se le ocurre escribir la fórmula de Nemes, digo yo. Lo más fácil es pedirle a Mathematica que evalúe directamente la fórmula de Stirling.

fact[n_,k_]:=Series[ n!,{n,Infinity,k}] //Normal

coef[k_]:=Coefficient[ fact[n,k]/fact[n,0],n,-k]

Table[coef[k],{k,0,8}]

Más información en la entrada de la wikipedia “Fórmula de Stirling,” la entrada de ^DiAmOnD^, “La fórmula de Stirling,” Gaussianos, 14 de Noviembre de 2006, y el artículo de Herbert Robbins, “A Remark on Stirling’s Formula,”  by Herbert Robbins, 1955, entre otros muchos.

4 pensamientos en “La fórmula de Stirling para el factorial

  1. Desde luego es una fórmula que siempre me ha llamado mucho la atención. Sobretodo para usarla en el cálculo de límites. Resulta que si tomamos el logaritmo neperiano ln del factorial de n, ln (n!) y pasamos al límite cuando n tiende a infinito, el límite es n ln n. Por ejemplo, para el cálculo de entropías necesitamos obtener el ln del numero de estados (llamado normalmente omega). Entonces si el número de estados es n! y n es muy grande (por ejemplo 10^60) entonces la entropia resulta ser k 10^60 . 60 ln 10, o sea tomando la constante de Boltmann k = 1, aproximadamente la entropia es del orden de 2.3 (60. 10^60) es decir que el ln n! viene a ser con n grande igual a 138×10^60. Siguiendo un criterio “numerológico” cuando el número de estados es muy grande, (y con k = 1), la entropia del sistema es aproximadamente la inversa de la constante de estructura fina, 137, multiplicada por el número 10^60.

    Este ejemplo sirve para aplicarlo al Universo. Parece que el número de estados en este caso es del orden de 10^120 , y esta es aproximadamente (x 281) la entropía del Universo ( del orden de 10^122).

    • Cierto, Antonio, log(n!) = n(log(n)-1) + (log(2*pi)+log(n))/2 + O(1/n).

  2. Esta fórmula de Stirling me salvó de muchos “problemas” en la asignatura de Física Estadística. Quizá por eso es de las que me parecen más afables, si se puede decir eso de una ecuación.

    Ahora bien, siento decir que no he entendido bien lo que ha comentado Antonio Alfonso. Creo que no tengo el nivel… :S

    Saludos!

Los comentarios están cerrados.