Carnaval de Matemáticas (3): Conferencia TED sobre “Simetría y la Alhambra” de Marcus du Sautoy

A la hora de preparar mi entrada en este blog para celebrar el Carnaval de Matemáticas organizado Tito Eliatron, decidí preparar varios borradores. Al final, acabó en el carnaval una entrada sobre esferas exóticas. Hoy rescato otro de mis borradores, que descubrí tras leer el libro de Marcus du Sautoy titulado “Simetría. Un viaje por los patrones de la naturaleza.” Una conferencia TED que podrás encontrar con subtítulos en español en “Marcus du Sautoy: Simetría, el acertijo de la realidad.”

Permitidme una transcripción/traducción de la charla realizada por Virginia Gill y revisada por Raul Saavedra.

“El 30 de mayo de 1832, se oyó un disparo resonando por todo el distrito 13 en París. (Disparo) Un campesino, que estaba caminando hacia el mercado esa mañana corrió hacia el sitio de donde había provenido el disparo, y encontró a un hombre joven retorciéndose de dolor en el suelo, claramente herido por un disparo del duelo. El nombre de este hombre joven era Evariste Galois. Era un famoso revolucionario en París en ese momento. Galois fue llevado al hospital local donde murió al día siguiente en los brazos de su hermano. Y las últimas palabras que le dijo a su hermano fueron: “No llores por mí, Alfred. Necesito todo el coraje que pueda reunir para morir a los 20 años”.

No fue, de hecho, la política revolucionaria por lo que Galois fue famoso. Pero unos años antes, mientras aún estaba en la escuela, él de hecho había descifrado uno de los grandes problemas matemáticos del momento. Y le escribió a los académicos en París, tratando de explicar su teoría. Pero los académicos no pudieron entender nada de lo que había escrito. (Risas) Así es como escribió la mayoría de su matemática.

Entonces, la noche anterior a ese duelo, se percató de que posiblemente esta fuera su última oportunidad para tratar de explicar su gran avance. Entonces se quedó toda la noche despierto, escribiendo y escribiendo, tratando de explicar sus ideas. Y cuando amaneció y Galois fue a encontrarse con su destino, dejó esta pila de papeles en la mesa para la próxima generación. Tal vez haberse quedado despierto toda la noche haciendo cálculos matemáticos fuera la razón de haber tenido tan mala puntería esa mañana y de haber terminado muerto.

Pero esos documentos contenían un nuevo lenguaje, un lenguaje para entender uno de los conceptos fundamentales de la ciencia — la simetría. Ahora, la simetría es casi el lenguaje de la naturaleza. Nos ayuda a entender tantos pedazos distintos del mundo científico. Por ejemplo, la estructura molecular. Por qué son posibles los cristales lo podemos entender a través de la matemática de la simetría.

En microbiología realmente no se quiere obtener un objeto simétrico porque por lo general son bastante malos. El virus de la gripe porcina es, por el momento, un objeto simétrico, y utiliza la eficiencia de la simetría para poder propagarse a sí mismo tan eficazmente. Pero en una escala biológica mayor, la simetría es muy importante, porque comunica información genética.

He tomado estas dos fotografías y las he hecho artificialmente simétricas. Y si les preguntara cuál de estos personajes les parece más bello, probablemente se sentirían atraídos por los dos de abajo. Porque es difícil hacer simetría. Y si puedes hacerte simétrico a tí mismo, estás enviando una señal diciendo que tienes buenos genes, que tienes una buena crianza y por ello serás una buena pareja. Entonces, la simetría es un lenguaje que puede ayudar a comunicar información genética.

La simetría también puede ayudarnos a explicar qué está sucediendo en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) en el CERN. O qué no está sucediendo en el Gran Colisionador de Hadrones en el CERN. Para poder hacer predicciones sobre las párticulas fundamentales que podamos ver allí, pareciera que todas son facetas de alguna extraña forma simétrica en un espacio dimensional superior.

Y creo que Galileo resumió muy bien el poder de las matemáticas, para entender el mundo científico que nos rodea. Escribió: “El universo no puede ser leído hasta que hayamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos, y otras figuras geométricas, sin cuyos medios es humanamente imposible comprender una sola palabra”.

Pero no son sólo los científicos quienes están interesados en la simetría. A los artistas también les encanta jugar con la simetría. También tienen una relación un poco más ambigua con ella. Este es Thomas Mann hablando de simetría en “La montaña mágica”. Tiene un personaje que describe el copo de nieve. y dice que “…se estremecía ante su perfecta precisión, le parecía mortal, la misma médula de la muerte”.

Pero lo que los artistas gustan de hacer es crear expectativas de simetría y luego quebrarlas. Y un hermoso ejemplo de esto lo encontré, de hecho, cuando visité a un colega mío en Japón, el profesor Kurokawa. Y me llevó a los templos en Nikko. Y justo luego de que esta foto fuera tomada subimos las escaleras. Y el portal que ven detrás tiene ocho columnas, con bellos diseños simétricos en ellas. Siete de ellas son exactamente iguales, y la octava está puesta al revés.

Y le dije al Profesor Kurokawa, “¡Ah!, los arquitectos deben haber querido patearse reprochándose al darse cuenta de que habían cometido un error y habían puesto esta columna al revés.” Y él dijo: “No, no, no. Fue una acción deliberada.” Y me remitió a esta encantadora cita de los “Ensayos en ociosidad”, japoneses, del siglo catorce. En los cuales, el ensayista escribió: “En todo, la uniformidad es indeseable. Dejar algo incompleto lo hace interesante, y le da a uno la impresión de que hay espacio para el crecimiento”. Incluso construyendo el Palacio Imperial, siempre dejan un lugar inacabado.

Pero si tuviera que elegir un edificio en el mundo para que lo pusieran en una isla desierta, donde pasar el resto de mi vida, siendo un adicto a la simetría, probablemente elegiría la Alhambra en Granada. Este lugar es un palacio que celebra la simetría. Recientemente llevé a mi familia — hacemos esta especie de viajes matemáticos de “cerebritos”, que mi familia adora. Este es mi hijo Tamer. Como pueden ver, está realmente disfrutando de nuestro viaje matemático a la Alhambra. Pero quería tratar de enriquecerlo. Creo que uno de los problemas de la matemática en las escuelas es que no considera cómo la matemática está integrada en el mundo en el que vivimos. Así que, quería abrirle los ojos con respecto a cuánta simetría fluye a través de la Alhambra.

Ya lo ves. Inmediatamente, cuando entras, la simetría reflectiva en el agua. Pero es en las paredes donde suceden todas las cosas excitantes. A los artistas moros se les negó la posibilidad de dibujar cosas con almas. Entonces exploraron un arte más geométrico. Y entonces ¿qué es la simetría? La Alhambra de algún modo hace todas estas preguntas. ¿Qué es la simetría? Cuando hay dos de estas paredes, ¿siempre tienen las mismas simetrías? ¿Podemos decir si descubrieron todas las simetrías en la Alhambra?

Y fue Galois quien produjo un lenguaje para poder responder algunas de estas preguntas. Para Galois, la simetría — a diferencia de Thomas Mann, para quien era algo quieto y sepulcral — para Galois, la simetría era todo sobre el movimiento. ¿Qué puedes hacerle a un objecto simétrico, moverlo de algún modo, de modo que se ve de la misma manera como se veía antes de que lo movieras? Me gusta describirlo como pases mágicos. ¿Qué puedes hacerle a algo? Cierras los ojos. Hago algo, vuelvo a bajarlo. Se ve igual que antes de que comenzara.

Entonces, por ejemplo, las paredes en la Alhambra, puedo tomar todos estos azulejos, y fijarlos en el lugar amarillo, rotarlos noventa grados, volver a bajarlos y encajan perfectamente. Y si abrieran sus ojos nuevamente, no sabrían que se habían movido. Pero es el movimiento lo que realmente caracteriza la simetría dentro de la Alhambra. Pero es también sobre producir un lenguaje para describir esto. Y el poder de las matemáticas a menudo es convertir una cosa en otra, convertir la geometría en lenguaje.

Por eso voy a llevarlos, tal vez exigirles un poquito matemáticamente — entonces prepárense — exigirles un poco para que entiendan cómo funciona este lenguaje, que nos permite captar qué es la simetría. Así que, tomemos estos dos objetos simétricos. Tomemos la estrella de mar de seis puntas retorcidas. ¿Qué puedo hacerle a la estrella de mar que haga que se vea igual? Bueno, ahí la giré un sexto de vuelta, y aún se ve como se veía antes de que comenzara. Podría rotarla un tercio de vuelta, o media vuelta, o bajarla nuevamente sobre su imagen, o dos tercios de vuelta. Y una quinta simetría, puedo rotarla cinco sextos de vuelta. Y esas son cosas que le puedo hacer al objeto simétrico que hacen que se vea como se veía antes de que comenzara.

Ahora, para Galois, de hecho había una sexta simetría. ¿Puede alguien pensar qué más podría hacerle a esto que lo dejaría tal y como estaba antes de comenzar? No puedo darle la vuelta porque le he puesto un pequeño retorcimiento, ¿o no? No posee simetría reflectiva. Pero lo que podría hacer es simplemente dejarla donde está, levantarla, y volver a bajarla. Y para Galois esto era como la simetría cero. De hecho la invención del número cero era un concepto muy moderno, siglo siete d.C., por los Indios. Parece disparatado hablar sobre nada. Y esta es la misma idea. Esto es un — Así que todo tiene simetría, cuando simplemente lo dejas donde está.

Entonces, este objeto tiene seis simetrías. ¿Y qué tal el triángulo? Bueno, puedo rotarlo un tercio de vuelta en el sentido de las agujas del reloj o un tercio de vuelta en el sentido contrario. Pero ahora esto tiene algo de simetría reflectiva. Puedo reflejarlo en la línea que pasa a través de la X, o la línea a través de la Y, o la línea a través de la Z. Cinco simetrías y luego, claro, la simetría cero donde sólo lo levanto y vuelvo a dejarlo donde estaba. Entonces, ambos objetos tiene seis simetrías. Ahora bien, yo soy un gran creyente de que la matemática no es un deporte para espectadores, y tienes que hacer algo de matemáticas para realmente entenderlas.

Por lo que tengo una pequeña pregunta para ustedes. Y voy a dar un premio al final de mi charla a la persona que se acerque más a la respuesta. El cubo de Rubik. ¿Cuántas simetrías tiene un cubo de Rubik? ¿Cuántas cosas puedo hacerle a este objeto y bajarlo de modo que siga viéndose como un cubo? ¿De acuerdo? Quiero que piensen sobre ese problema mientras seguimos, y cuenten cuántas simetrías hay. Y al final habrá un premio para la persona que se acerque más.

Pero volvamos a las simetrías que tengo para estos dos objetos. De lo que Galois se dio cuenta: no son sólo las simetrías individuales, sino cómo interactúan entre ellas lo que realmente caracteriza la simetría de un objeto. Si hago un pase mágico, seguido por otro, la combinación es un tercer pase mágico. Y aquí vemos a Galois comenzando a desarrollar un lenguaje para ver la sustancia de las cosas que no pueden verse, el tipo de idea abstracta de la simetría que subyace bajo este objeto físico. Por ejemplo, ¿qué sucedería si giro la estrella un sexto de vuelta, y luego un tercio de vuelta?

He puesto nombres. Las letras mayúsculas, A, B, C, D, E, F, son los nombres para las rotaciones. B, por ejemplo, rota el pequeño punto amarillo a la B en la estrella de mar. Y así sucesivamente. Entonces, ¿Qué sucede si hago la rotación B, que es un sexto de vuelta, seguida de la C, que es un tercio de vuelta? Bueno, hagamos eso. Un sexto de vuelta, seguido por un tercio de vuelta, el efecto combinado es igual a si sólo la hubiera rotado media vuelta de una sola vez. Así, esta pequeña tabla registra cómo funciona el álgebra de estas simetrías. Hago una seguida de la otra, la respuesta es la rotación D, media vuelta. ¿Qué sucedería si lo hiciera en el orden inverso? ¿Haría alguna diferencia? Veamos. Hagamos primero el tercio de vuelta, y luego el sexto de vuelta. Claro, no hace ninguna diferencia. Aun así termina siendo media vuelta.

Y hay aquí cierta simetría en el modo en que las simetrías interactúan entre ellas. Pero esto es completamente diferente a las simetrías del triángulo. Veamos qué sucede si hacemos dos simetrías con el triángulo, una después de la otra. Hagamos una rotación de un tercio de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj, y reflejemos en la línea a través de X. Bueno, el efecto combinado es como si hubiera hecho la reflexión en la línea a través de Z al comenzar. Ahora, hagámoslo en un orden diferente. Hagamos primero la reflexión en X, seguida de una rotación de un tercio de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj. El efecto combinado, el triángulo termina en un lugar completamente diferente. Es como si hubiera sido reflejado en la línea a través de Y.

Ahora sí importa en qué orden haces las operaciones. Y esto nos permite distinguir el por qué las simetrías de estos objetos — ambos tienen seis simetrías. Entonces, ¿Por qué no deberíamos decir que tienen las mismas simetrías? Pero el modo en que las simetrías interactúan nos permite — ahora tenemos un lenguaje para distinguir por qué estas simetrías son fundamentalmente diferentes. Y puedes intentar esto cuando vayas al bar más tarde. Toma un posavasos, y rótalo un cuarto de vuelta, luego dale la vuelta. Y luego hazlo en el otro orden, y la imagen estará apuntando en la dirección contraria.

Galois produjo algunas leyes para cómo estas tablas – para cómo interactúan las simetrías. Son casi como las tablas de Sudoku. No ves ninguna simetría dos veces en ninguna fila o columna. Y, usando esas reglas, fue capaz de afirmar que de hecho hay sólo dos objetos con seis simetrías. Y éstas serán las mismas que las simetrías del triángulo, o las simetrías de la estrella de mar de seis puntas. Pienso que esto es un desarrollo extraordinario. Es casi como un desarrollo del concepto de número para la simetría. Aquí, en la parte del frente, tengo una, dos, tres personas sentadas en una, dos, tres sillas. Las personas en las sillas son muy diferentes, pero el número, la idea abstracta de número, es la misma.

Y podemos ver esto ahora: volvemos a las paredes en la Alhambra. Aquí hay dos paredes muy diferentes, imágenes geométricas muy distintas. Pero, usando el lenguaje de Galois, podemos entender que las simetrías abstractas subyacentes a estas cosas son de hecho las mismas. Por ejemplo, tomemos esta hermosa pared con los triángulos con un pequeño retorcimiento. Puedes rotarlos un sexto de vuelta si ignoras los colores. No estamos haciendo coincidir los colores. Pero las formas coinciden si roto la imagen un sexto de vuelta alrededor del punto donde todos los triángulos se encuentran. ¿Qué hay del centro del triángulo? Puedo rotar un tercio de vuelta alrededor del centro del triángulo, y todo coincide. Y luego hay un lugar interesante a medio camino sobre un borde, donde puedo rotarlo 180 grados. Y todos los azulejos coinciden nuevamente. Entonces rotemos en el punto a medio camino sobre el borde, y todos coinciden.

Ahora, sigamos con la pared de aspecto muy distinto en la Alhambra. Y encontramos aquí las mismas simetrías, y la misma interacción. Hubo un sexto de vuelta. Un tercio de vuelta donde las piezas Z se encuentran. Y la media vuelta está a medio camino entre las estrellas de seis puntas. Y aunque estas paredes se ven muy distintas, Galois ha producido un lenguaje para decir que de hecho las simetrías subyacentes aquí son exactamente las mismas. Y es una simetría que llamamos 6-3-2.

Aquí hay otro ejemplo en la Alhambra. Estos son una pared, un techo y un piso. Todos se ven muy distintos. Pero este lenguaje nos permite decir que son representaciones del mismo objeto simétrico abstracto, que llamamos 4-4-2. Nada que ver con fútbol, sino con el hecho de que hay dos lugares donde puedes rotar con un cuarto de vuelta, y un lugar con una media vuelta.

Ahora, este poder del lenguaje es aún más, porque Galois puede decir, “¿Los artistas moros descubrieron todas las simetrías posibles en las paredes de la Alhambra?” Y resulta ser que casi lo hicieron. Puedes demostrar, utilizando el lenguaje de Galois, que de hecho sólo hay 17 simetrías diferentes que puedes aplicar en las paredes en la Alhambra. Y si intentas producir una pared diferente, una dieciochoava, tendrá que tener las mismas simetrías que una de estas 17.

Pero estas son cosas que podemos ver. Y el poder del lenguaje matemático de Galois es que también nos permite crear objetos simétricos en el mundo que no se ve, más allá de lo bidimensional, de lo tridimensional, pasando por todos los espacios de cuatro, cinco, o infinitas dimensiones. Y en esto es en lo que yo trabajo. Yo creo objetos matemáticos, objetos simétricos, usando el lenguaje de Galois, en espacios dimensionales muy superiores. Así, creo que es un gran ejemplo de cosas ocultas, que el poder del lenguaje matemático te permite crear.

Entonces, como Galois, me quedé despierto ayer toda la noche creando un nuevo objeto matemático simétrico para ustedes. Y tengo su imagen aquí. Bueno, desafortunadamente, no es en verdad una imagen. Si pudiera tener mi pizarra aquí a un lado, genial, excelente. Aquí estamos. Desafortunadamente no puedo mostrarles una imagen de este objeto simétrico. Pero aquí está el lenguaje que describe como las simetrías interactúan.

Este nuevo objeto simétrico todavía no tiene nombre. Ahora bien, a la gente le gusta ponerle su nombre a las cosas, a los cráteres en la Luna, o a nuevas especies de animales. De modo que voy a darles una oportunidad de poner sus nombres en un nuevo objeto simétrico que no ha sido nombrado antes. Y esta cosa — las especies desaparecen, y las lunas, medio que son golpeadas por meteoritos y explotan — pero este objeto matemático vivirá por siempre. Te hará inmortal. Para ganar este objeto simétrico, lo que deben hacer es contestar a la pregunta que les hice al comienzo. ¿Cuántas simetrías tiene un cubo de Rubik?

Bueno, voy a ordenarlos. En vez de que estén todos gritando, quiero que cuenten cuántos dígitos hay en ese número, ¿de acuerdo? Si lo han obtenido como un factorial, tienen que expandir los factoriales. Bueno, ahora si quieren jugar, quiero que se pongan de pie, ¿de acuerdo? Si creen que tienen una estimación por cuántos dígitos, bueno — ya tenemos un competidor aquí — Si todos se quedan sentados él lo gana automáticamente. Bueno, Excelente. Tenemos entonces cuatro, cinco, seis. Genial. Excelente. Eso nos debería permitir comenzar. Bueno.

Cualquiera que tenga cinco o menos dígitos, debe sentarse. Porque ha subestimado. Cinco o menos dígitos. Si están en las decenas de miles tienen que sentarse. 60 dígitos o más, deben sentarse. Han sobre estimado. 20 dígitos o menos, siéntense. ¿Cuántos dígitos hay en tu número? ¿Dos? Entonces deberías haberte sentado antes. (Risas) Veamos los otros, los que se sentaron durante la ronda de los 20, vuelvan a levantarse, ¿de acuerdo? Si te he dicho 20 o menos, ponte de pie. Porque éste — . Creo que había unos cuantos por aquí. Las personas que acaban de sentarse de últimos.

Bueno. ¿Cuántos dígitos tienes en tu número? (Risas) 21. Bueno, bien. ¿Cuántos tienes tú en el tuyo? 18. Entonces es para esta dama aquí. 21 es el más cercano. De hecho tiene — el número de simetrías en el cubo de Rubik tiene 25 dígitos. Entonces ahora necesito nombrar este objeto. ¿Cuál es tu nombre? Necesito tu apellido. Los objetos simétricos por lo general — Deletréamelo. G-H-E-Z No, SO2 ya ha sido usado, de hecho, en el lenguaje matemático. Así que no puedes tener ese. Bueno Ghez, ahí tienes. Este es tu nuevo objeto simétrico. Ahora eres inmortal. (Aplausos)

Y si quisieran sus propios objetos simétricos, tengo un proyecto, para recaudar dinero para una organización benéfica en Guatemala, en el que me quedaré despierto toda la noche y haré un objeto para ustedes, por una donación a esta entidad benéfica para ayudar a los niños a tener una educación, en Guatemala. Y creo que lo que me motiva, como matemático, son esas cosas que no se ven, las cosas que no hemos descubierto. Son todas las preguntas sin respuesta las que hacen a las matemáticas una materia viva. Y siempre retornaré a esta cita de los “Ensayos en ociosidad”. “En todo, la uniformidad es indeseable. Dejar algo incompleto lo hace interesante, y le da a uno la impresión de que hay espacio para el crecimiento”. Gracias. (Aplausos)”

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Carnaval de Matemáticas (2): ¿Demostró Lagrange el teorema de Lagrange?

A la hora de preparar mi entrada en este blog para celebrar el Carnaval de Matemáticas organizado Tito Eliatron, decidí preparar varios borradores. Al final, acabó en el carnaval una entrada sobre esferas exóticas. Hoy rescato de mis borradores otra de las entradas que inicié con motivo del carnaval. El objetivo era completar la frase: “La matemática es el placer de pensar así que en esta entrada te voy a proponer algunas preguntas muy sencillas y te voy a pedir que pienses un poco para tratar de responderlas. Si no quieres pensar puedes continuar leyendo, pero te perderás el disfrute de pensar por tí mismo las respuestas.”

Tras leerla podéis comentar cuál de las dos os gusta más, esta o la otra, si así os apetece.

La matemática es una ciencia que, con la excusa del rigor, olvida sus orígenes muy fácilmente. Muchos teoremas y resultados matemáticos tienen nombres que ni aluden a quien los demostró por primera vez ni a quien los conjeturó originalmente. Hay que recordar, eso sí, que el concepto de demostración y el concepto de rigor matemático ha cambiado mucho durante los siglos. Resultados que en la época de Lagrange eran “obvios” y no necesitaban demostración, hoy requieren una demostración. De todas formas los matemáticos, incluso los historiadores de la matemática, suelen ser muy desmemoriados y los nombres que damos a muchos objetos matemáticos con los que trabajamos todos los días tienen poco rigor histórico. Os voy a poner un par de ejemplos extraídos de Peter M. Neumann, “The history of symmetry and the asymmetry of history,” BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics 23: 169-177, October 2008.

Atención, pregunta. Compara las dos siguientes frases y dí cual es la correcta (no es necesario saber ni lo que es un grupo, ni un subgrupo, ni lo que es el orden de un grupo):

Teorema (Lagrange). Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G entonces el orden de H divide el orden de G.

Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G entonces el orden de H divide el orden de G.

No son iguales. ¿Cuál es la diferencia entre ellas? Muy bien, has acertado. ¿Cuál de las dos es la correcta? ¿Depende del libro de texto?

La diferencia, por si aún no has sido capaz de encontrarla, es que en la primera frase se atribuye el descubrimiento y la demostración del teorema a Lagrange y en la segunda no. En inglés esta diferencia es aún menos obvia ya que diríamos que la primera frase se refiere al “Lagrange’s theorem” y la segunda al “Lagrange’s Theorem.” El español no es tan sutil como el inglés, ya que no obliga a poner mayúsculas a los nombres propios de las cosas, sólo a los de las personas, por lo que he recurrido a utilizar paréntesis en la primera. 

Claro, la cuestión ahora es ¿este teorema fue descubierto por Lagrange? ¿Fue Lagrange el primero que demostró este teorema? En la época de Lagrange (1736-1813) los únicos grupos que se conocían eran los de permutaciones (que más tarde utilizaron Abel, Galois y otros). Lagrange los conocía pero, en honor de la verdad, él nunca consideró el producto de dos permutaciones, es decir, la estructura de grupo del grupo de permutaciones. Cayley publicó en 1849 un artículo con sus ideas sobre permutaciones comparándolas con las de Cauchy, que tampoco utilizaba el concepto moderno de grupo. En 1854, Cayley hizo un intento de definición de grupo abstracto, que aunque no es todavía formalmente correcto, usaba una tabla de multiplicación para describir la composición en un grupo finito. La definición moderna de grupo apareció en 4 artículos de Cayley de 1878, uno de ellos llamado “The theory of groups.” Cayley demuestra en dichos artículos que cualquier grupo finito puede describirse en términos de grupos de permutaciones.

Volviendo a la cuestión, ¿cuál de las dos frases anteriores es la (históricamente) correcta? No, no lo es la primera, sino la segunda. Se atribuye con el nombre de este teorema a un resultado que J.-L. Lagrange publicó en un artículo de 1770/71 sobre la cálculo de raíces de polinomios. En aquella época no se había introducido aún el concepto de grupo (todavía no habían nacido ni Abel ni Galois y la definición moderna de grupo como pronto es de Cayley en 1854). Lagrange estudió un caso particular del teorema, cuando G es el grupo de las permutaciones.

Dada una función f (x1, . . . , xn) de n variables, ¿cuántas funciones diferentes se pueden obtener permutando dichas variables?

¿Ya sabes la respuesta? No, pues piensa un poco antes de continuar leyendo. Lo digo para que disfrutes… no por otra cosa.

Para tres variables la respuesta puede ser, por ejemplo, una si f=x+y+z, dos si f =x²y+y²z+z²x, tres si f=x+yz, y seis si f=x+y²+z³. ¿Ves por qué en cada caso?

Obviamente, el número máximo de permutaciones es, como mucho, n! (el factorial de n es n(n-1)(n-2)…2). Lagrange pensó que el número de funciones diferentes siempre dividía a este número. Obviamente, su argumento es incorrecto, aunque él presentó una demostración, obviamente incorrecta. Los grandes matemáticos también cometen fallos así, sobre todo en la época en la que para demostrar algo bastaba poner unos pocos ejemplos.

El teorema que estamos considerando en esta entrada, aplicado al grupo de permutaciones, es decir, que un subgrupo de las permutaciones de n elementos tiene un número de elementos que divide exactamente al número de elementos del grupo de permutaciones de n elementos, fue demostrado por Pietro Abbati en 1802, y por Cauchy en 1815. Galois conocía este teorema (lo escribió en una carta a su amigo Chevalier el 29 de mayo de 1832).

El teorema de Lagrange para el grupo de permutaciones recibió el nombre de “Teorema de Lagrange” en el libro de Camille Jordan “Traité des substitutions et des équations algébriques” (1870) aunque aparece sin el nombre de Lagrange un poco antes en el libro de Serret “Cours d’algèbre supérieur” (1866). Desde el tratado de Jordan, el teorema de Lagrange recibe un nombre que no hace honor a su historia.

El borrador para el Carnaval de Matemáticas acaba aquí. Los que tengan acceso universitario al artículo de  Peter M. Neumann en el BSHM Bulletin, y estén interesados en las aportaciones de Galois a la teoría de grupos, disfrutarán de su discusión sobre la resolución de Galois del problema de la no resolubilidad de la ecuación quíntica (polinomio de grado 5). Neumann juega con los términos en inglés “Galois’ theory” y “Galois Theory” de forma similar a lo que hemos contado sobre el teorema de Lagrange. El título original para la entrada para el Carnaval iba a incluir también “¿Es de Galois la teoría de Galois?”

Como veis, a la entrada le falta la discusión sobre la teoría de Galois. Quizás en otra ocasión… o quizás alguien recoja el guante. ¿Tienes un blog y te atreves? ¿No tienes acceso al artículo original? Para los que se atrevan a continuar mi entrada para el Carnaval de Matemáticas.