Carnaval de Matemáticas: Esferas exóticas, el invariante de Arf-Kervaire y la hipótesis del día del juicio final

Esta es mi entrada en este blog para celebrar el Carnaval de Matemáticas organizado Tito Eliatron y su blog Tito Eliatron Dixit. Antes de nada debo recomendar a todos la consulta de la web del Centro Virtual de Divulgación de la Matemática, divulgaMAT, patrocinado por la RSME (Real Sociedad Matemática Española), el CSIC (Centro Superior de Investigaciones Científicas) y el MICINN (Ministerio de Ciencia e Innovación). Todos los interesados en el Carnaval de Matemáticas disfrutarán surfeando su web. Para abriros boca, podéis iros directamente a la “Exposición “Esculturas Matemáticas”,” y pinchar en “Descargar” para ver el PDF. Por mi parte yo os voy a hablar de geometría y topología, de esferas y esferas exóticas, de funciones continuas y diferenciables, … espero que lo disfrutéis.

Hacia las esferas exóticas.

 
Los matemáticos llaman variedades (manifolds) a las superficies (hipersuperficies si su dimensión n>2). Una curva es una 1-variedad y una superficie una 2-variedad. ¿Por qué las llaman variedad? Porque la mayoría de las superficies no se pueden describir matemáticamente con una única fórmula o expresión matemática, sino que requieren una colección (atlas) de fórmulas (cartas) que describen diferentes trozos (subconjuntos abiertos) de la (hiper)superficie. Para que las fórmulas que describen cada uno de los trozos sean “compatibles” entre sí y describan una única (hiper)superficie es necesario que las fórmulas que describen cada uno de los trozos se puedan combinar entre sí para que permitan obtener nuevas fórmulas que describan la región de intersección entre cada dos trozos que se solapen. Ello se logra fácilmente si las fórmulas que describen cada trozo (abierto) de la variedad M equivalen a una transformación de dicho trozo (abierto)  en un dominio (abierto) del espacio euclídeo Rn (si la dimensión de la variedad M es n) y si dichas fórmulas son invertibles, para permitir pasar de la variedad M al espacio euclídeo Rn y viceversa con total libertad. Es decir, podemos interpretar la variedad como la unión de un conjunto de abiertos localmente euclídeos. La figura de la izquierda, que sonará a todos los matemáticos lectores de este blog, describe lo anterior en un lenguaje matemático, pero no entraré en los detalles.

¿Por qué los matemáticos se complican la vida definiendo una superficie de forma tan complicada? A los matemáticos les encanta construir nuevas superficies a partir de trozos de superficies conocidas. Aunque dos fórmulas sencillas describan dos superficies dadas, a veces es imposible encontrar una única fórmula que describa el resultado de “pegar” dos trozos de estas superficies (imagina una cilindro con dos “capuchones” hemisféricos y trata de describirlo matemáticamente con una única fórmula). Además, con toda seguridad esta fórmulas estará descrita a trozos. Todo es muchísimo más fácil si ambas superficies están descritas a trozos localmente euclídeos y la superficie resultado de “pegar” algunos trozos también se describe a base de otro conjunto de trozos localmente euclídeos.

Un problema que tiene la definición anterior es la falta de unicidad. Una misma variedad puede ser descrita de infinitas maneras diferentes. ¿Cuándo dos variedades descritas por atlas diferentes en realidad corresponden a la misma variedad? Por ejemplo, la figura de la izquierda muestra un cubo (hexaedro), pero parece una esfera. En realidad, es un cubo “inflado” hasta convertirse en una esfera. ¿Esta esfera “cubicada” es equivalente a un cubo? En general, ¿cuándo son equivalentes dos variedades? Todo depende del prisma con el que uno mire la variedad. Los matemáticos que se dedican a estos temas (topólogos y geómetras) tienen básicamente (hay más pero aquí sólo nos interesan) tres prismas (los matemáticos les llaman categorías) para estudiar la equivalencia entre superficies: HOM (lo homotópicamente equivalente), TOP (lo homeomorfo) y DIFF (lo difeomorfo).

HOM: dos variedades son homotópicamente equivalentes si cierto invariante topológico (cierto objetos matemáticos asociados a la variedad llamados grupos fundamentales) tiene el mismo valor en ambas variedades. Los grupos fundamentales son grupos de transformaciones continuas entre lazos (curvas cerradas) descritas en la variedad. Sin entrar en detalles técnicos, que nos llevarían demasiado lejos, el grupo fundamental más sencillo es el grupo trivial, el formado sólo por el elemento neutro. Una variedad cuyo primer grupo fundamental es trivial se dice simplemente conexa. En ella, toda curva cerrada se puede contraer hasta reducirla a un solo punto. La esfera y el cubo son simplemente conexos, luego son homotópicamente equivalentes. Un donut, sin embargo, no lo es (los lazos que atraviesan el agujero no se pueden transformar de forma continua en los lazos que no lo atraviesan).

TOP: dos variedades son homeomorfas si existe una función continua con inversa continua que permite transformar la una en la otra, es decir, un atlas de una de estas variedades en un atlas de la otra. En general, saber si dos variedades son homeomorfas es difícil y requiere el uso de invariantes topológicos (como los grupos fundamentales de la homotopía). Por ejemplo, el teorema, antes llamado conjetura, de Poincaré afirma que toda variedad simplemente conexa es homeomorfa a una esfera. Poincaré lo demostró para dimensión n<3, Smale para n>4, Freedman para n=4, y Perelman (siguiendo ideas de Hamilton) para n=3.

DIFF: dos variedades son difeomorfas si existe una función diferenciable (suave o infinitamente derivable) con inversa diferenciable que permite transformar un atlas (suave) de una de estas variedades en un atlas (también suave) de la otra. ¿Son difeomorfos un cubo y una esfera? Sí, aunque pueda parecer extraño porque el cubo tiene vértices en los que el concepto de derivada no es aplicable. Sin embargo, es posible construir el difeomorfismo correspondiente “evitando” el problema de los vértices (no entraré en detalles). Por supuesto, un cubo y una esfera se diferencian claramente cuando introducimos una noción de curvatura. Usando la curvatura gaussiana, el cubo tiene curvatura nula (todas sus caras son planas), excepto en los vértices donde no está correctamente definida, y la esfera por el contrario tiene curvatura constante positiva (no nula).

¿Qué relación hay entre estos diferentes prismas (categorías) que se utilizan para estudiar la equivalencia entre variedades? Obviamente, una función diferenciable es continua, luego DIFF => TOP. Se puede demostrar además que TOP => HOM. Es decir, lo difeomorfo es homeomorfo y homotópicamente equivalente entre sí. Ahora bien, qué pasa al contrario. HOM ≠> TOP, por ejemplo, la recta real R es homotópicamente equivalente a un punto, pero no es homeomorfa a un punto (no hay manera de transformarla usando una función continua, recuerda que una función continua transforma abiertos en abiertos y un punto es un conjunto cerrado pero la recta real es un abierto).

¿ TOP ≠> DIFF ? No. Se pensaba que sí, pero Milnor descubrió que no, y recibió la medalla Fields por demostrarlo. En 1956 Milnor descubrió que existen variedades homeomorfas a las esferas pero que no son difeomorfas a las esferas, en concreto, una “esfera exótica” en dimensión 7. Estas esferas exóticas fueron estudiadas con detalle por Milnor y Kervaire.

Esferas exóticas.

Antes de nada, permitidme recordar algo de notación. Una n-esfera (el lugar de los puntos en Rn que están a una distancia unidad del origen) se denota en matemáticos mediante Sn, siendo S¹ la circunferencia, que “vive” en un plano, S² la esfera que todos entendemos como tal que “vive” en tres dimensiones, y S³ la esfera tridimensional que “vive” en un espacio de 4 dimensiones, mucho más difícil de imaginar. Por otro lado, el círculo se denota D¹ siendo su frontera S¹, la bola cuya frontera es S² se denota D², y así sucesivamente.

Podemos construir muchas superficies a base de pegar adecuadamente superficies más sencillas. Por ejemplo, un cilindro se puede construir pegando dos lados opuestos de un rectángulo. Si antes de pegar rotamos uno de estos lados 180 grados, entonces obtenemos una cinta de Möbius. Un esfera S² se puede obtener pegando por su borde S¹ dos discos D¹. Una botella de Klein se obtendría si uno de los dos discos fuera “torsionado,” pero en R³ la superficie resultante se autointersecta. La botella de Klein “vive” en un espacio de 4 dimensiones. Otra posibiilidad para construir superficies nuevas es usar haces fibrados, “mover” una superficie a lo largo de otra.

Un espacio fibrado es una superficie que consiste en el resultado de mover una superficie de menor dimensión (la fibra) a lo largo de los puntos de otra superficie también de menor dimensión (el espacio base). Por ejemplo, sea I el segmento unidad [0,1], entonces un cuadrado viene dado por I× I, donde movemos un segmento que actúa como fibra a lo largo de otro segmento que actúa como base. Moviendo un cuadrado a lo largo de un segmento obtenemos un cubo. Otro ejemplo, un cilindro consiste en mover un segmento (fibra) de forma paralela a lo largo de un círculo (base). Un cilindro es un espacio fibrado trivial, sin embargo, la cinta de Möbius es un fibrado no trivial y consiste exactamente en lo mismo, mover un segmento a lo largo de un círculo, pero introduciendo una rotación del segmento de 180 grados (la figura de la izquierda os da la idea con pinzas de la ropa). Tanto el cilindro como la cinta de Möbius son espacios fibrados de tipo S¹× I. Un donut (toro) se puede interpretar como una espacio fibrado trivial de tipo S¹× S¹, es decir, mover una circunferencia centrada a lo largo de otra circunferencia. Una botella de Klein es un fibrado no trivial de tipo S¹× S¹. La topología nos permite estudiar las propiedades de los espacios fibrados a partir de las propiedades de los espacios que los componen (base y fibra) y las propiedades de la operación que los relaciona.

Las “esferas exóticas” de John Milnor son espacios o haces fibrados (fiber bundle) en dimensión n=7, de hecho son haces fibrados no triviales dados por S4 × S3, similares a la banda de Möbius y a la botella de Klein en el sentido de que S3 está torsionada de forma adecuada (no entraré en detalles). Milnor los descubrió gracias al estudio de espacios fibrados en 8 dimensiones basados en el cuerpo de los cuaterniones (el equivalente a los números complejos pero con 4 componentes). De hecho, sus esferas exóticas corresponden a pegar dos copias de D4 × S3 con un contorno S3 × S3 realizando una torsión tal que la segunda S3 se pueda identificar con el espacio de cuaterniones de módulo unidad. Milnor en aquella época pensaba que sus esferas exóticas podrían ser contraejemplos de la conjetura de Poincaré pero tras estudiarlas en detalle observó que eran homeomorfas a S7, pero no difeormorfas a la esfera. De hecho, las esferas exóticas de Milnor admiten varias estructuras diferenciables y sólo una de ellas es compatible con la estructura diferenciable de la esfera S7. En 1963, Milnor y el matemático francés Michel Kervaire estudiaron en detalle estas estructuras diferenciables y descubrieron que las esferas exóticas en dimensión 7 admiten hasta 28, de las que 27 no son difeomorfas a la esfera. Es decir, en dimensión n=7 hay 27 esferas exóticas.

El problema del invariante de Arf-Kervaire.

El trabajo de Milnor y Kervaire permitió determinar el número de esferas exóticas en todas las dimensiones, salvo en dimensión n=2k-2, para k>1, es decir, para n=2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, … En estas dimensiones especiales calcularon el número salvo un factor de 2. ¿Por qué? Porque no fueron capaces de calcular cierto invariante algebraico (el invariante de Arf, el nombre de un matemático turco) para todas las esferas exóticas en dicha dimensión. Para dimensiones n≠2k-2 el invariante siempre vale cero (lo demostró William Browder en 1969). Sin embargo, en general, este número puede ser cero o uno, es decir, no se sabía si todas las esferas exóticas dimensión  n=2k-2 tenían un invariante de Arf nulo, o si también existía alguna que tenía un invariante igual a la unidad (en dicho caso, habría tantas de este tipo como del otro). Si el, también llamado, invariante de Arf-Kervaire puede valer uno para alguna esfera exótica entonces  el número de esferas exóticas es el doble que en caso contrario. ¿Cuánto vale este invariante en dichas dimensiones? El trabajo de muchos matemáticos durante los 1970 y 1980 permitió descubrir que para k<7, es decir para las dimensiones n=2, 6, 14, 30 y 62, el invariante vale exactamente uno. ¿Qué pasa para k>6, es decir, para n=126, 254, 510, …? Se conjeturó que el invariante de Arf-Kervaire vale siempre cero (no puede valer uno) para k>6. Se han publicado muchas demostraciones incorrectas de este hecho, que parece muy difícil de resolver. De hecho, muchos pensaban que resolver este problema matemático era tan difícil como demostrar la conjetura de Poincaré o el último teorema de Fermat. Muy pocos soñaban con ver resuelto este problema en vida… Por eso fue bautizada como la “Hipótesis del Día del Jucio Final” (“Doomsday Hypothesis“).

Tres matemáticos, Michael Hill, Michael Hopkins y Douglas Ravenel demostraron en abril de 2009 que el invariante de Arf-Kervaire para k>7 vale siempre cero. Su demostración son casi 100 páginas de matemáticas. ¿Qué pasa para k=6, es decir, para n=126? Nadie lo sabe todavía. Parece un problema muy difícil ya que la técnica de Hill-Hopkins-Ravenel no es aplicable en dicho caso.

¿Qué matemático será capaz de doblegar la conjetura del invariante de Arf-Kervaire para n=126?

¿Habrá que esperar al día del juicio final? Seguramente no, pero quien sabe… las matemáticas son así.

Por cierto, Ravenel ha comentado que el objetivo de su trabajo y el de sus dos compañeros no era demostrar esta conjetura. Estaban trabajando en otros problemas, pero en 2008 descubrieron para su sorpresa que estaban conectados con el problema del invariante de Arf-Kervaire. Decidieron aunar esfuerzos y ha valido la pena.

No sé si habrá alguien leyendo esto hasta aquí, pero bueno. El año pasado, un matemático ruso (M. Akhmet’ev) creyó haber demostrado, por otra vía, el mismo resultado que los anteriores y lo publicó en ruso. Un estudio detallado de su demostración, publicado en junio de 2009, ha demostrado que tiene un error y por tanto no es correcta

Bueno, ya para acabar, merece la pena consultar la página web de Ravenel titulada “A solution to the Arf-Kervaire invariant problem, April 21th, 2009.” En este blog el que escribe ya le dedicó una entrada el año pasado “Demostrada la conjetura de Arf-Kervaire sobre hiperesferas exóticas tras 45 años de intentos fallidos,” 7 Agosto 2009.

La primera parte de esta entrada se basa en las siguientes referencias.

[1] David Clark, “Exotic 7-spheres are hot,” Nitu Kitchloo (UCSD) talk in Winter, 20005, First Summary, Jan. 25, 2007.

[2] David Clark, “A note on the existence of exotic 7-spheres,” Nitu Kitchloo (UCSD) talk in Winter, 20005, Second Summary, Jan. 25, 2007.Talk Summary, Jan. 25, 2007.

[3] Fernando Etayo Gordejuela, “La Geometría de las Esferas,” Universidad de Cantabria.

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Un pensamiento en “Carnaval de Matemáticas: Esferas exóticas, el invariante de Arf-Kervaire y la hipótesis del día del juicio final

  1. El artículo me ha parecido magnífico por su claridad. Siento decirlo, pero muchas veces parece como si los matemáticos fuesen crípticos a propósito. Ocultan las ideas básicas detrás de un lenguaje tan técnico que no los entiende ni dios (con perdón). Es como si dijesen “a mi me costó un montón entender todo esto así que a ver si tu eres capaz”. Por supuesto que aprecio su brillante labor y su rigurosidad una vez “metidos en harina”, pero las ideas básicas subyacentes son con frecuencia hermosamente simples y faciles de transmitir a personas con una razonable cultura científica. Mi felicitación mas calurosa al autor.

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