Sidney Coleman, el rigor matemático y la diferencia entre la demostración de un físico y la de un matemático

 “Not only God knows, I know, and by the end of the semester, you will know,” Sidney Richard Coleman  (dirigiéndose a sus alumnos). Siempre pegado a un pitillo, con parsimonia, desgrana los secretos de la física de partículas elementales para el disfrute de sus alumnos. Si no eres físico no sabrás quien es Sidney Coleman (1937-2007), “el físico de los físicos.” Físico prodigioso, padre junto a Mandula de la supersimetría [0], antes de que se inventara la teoría de cuerdas, es uno de los físicos más citados de la historia (más de 17800 citas en el ISI WOS y un índice-h de 47). Sus clases en Harvard son legendarias (sus alumnos portaban camisetas con su imagen). Si eres físico querrás disfrutar de sus clases, que están en vídeo (DVD) y gratis por Internet. “Physics 253: Quantum Field Theory,” Lectures by Sidney R. Coleman, Recorded in 1975-1976. Realmente merecen la pena.

Yo estudié hace tres lustros el teorema de bosonización de Coleman, que afirma que un gas unidimensional de electrones (fermiones masivos) es equivalente a un gas de bosones escalares (sin masa). Técnicamente, que el modelo de Thirring masivo en 1+1 dimensiones es equivalente a la ecuación de seno-Gordon unidimensional [1]. No estudié la demostración del teorema (Rajamaran sólo la esboza en su libro). Ahora me entero de que el teorema de Coleman era en realidad una conjetura, su demostración no era rigurosa [2]. El teorema de Coleman ha sido demostrado rigurosamente por G. Benfatto, P. Falco, y V. Mastropietro quienes lo han publicado en Communications in Mathematical Physics [3]. Estas cosas pasan con muchas demostraciones “matemáticas” escritas por físicos. El físico omite ciertas sutilezas “triviales” que provocarían que un matemático se llevase las manos a la cabeza. “El conocimiento matemático se considera como conocimiento seguro, absoluto y eterno. Pase lo que pase, dos más dos son, y siempre serán, cuatro.” [4] Sin embargo, todo conocimiento, incluso el matemático, requiere un contexto. Una demostración considerada correcta en cierto contexto no tiene por qué serlo en otro contexto distinto. Muchas demostraciones elementales del cálculo infinitesimal tenían demostraciones pre-Cauchy que hoy en día no consideramos correctas [5]. El Cálculo Infinitesimal se convirtió en Análisis Matemático gracias a sus apuntes “Cours d’analyse” (1821), y sus dos libros “Sur le calcul infinitesimal” (1823) y “Le calcul différentiel” (1829) [5].

Ahora que estoy liado escribiendo proyectos de investigación para tratar de recabar el dinero del contribuyente, creo que es tan buen momento como cualquier otro para volver a disfrutar con el curso de teoría de campos cuánticos de Coleman. Y es que Sidney ha producido artículos con títulos tan sugerentes como “Why there is nothing rather than something: A theory of the cosmological constant,” Nuclear Physics B 310: 643-668, 1988.

[0] Sidney Coleman, Jeffrey Mandula, “All Possible Symmetries of the S Matrix,” Phys. Rev. 159: 1251–1256, 1967.

[1] R. Rajaraman, “Solitons and Instantons,” Amsterdam: North Holland, 1982.

[2] Sidney Coleman, “Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model,” Phys. Rev. D 11: 2088–2097, 1975. 

[3] G. Benfatto, P. Falco, V. Mastropietro, “Massless Sine-Gordon and Massive Thirring Models: proof of the Coleman’s equivalence,” Commun. Math. Phys. 285: 713-762, 2009 [ArXiv preprint].

[4] Jacobo Asse Dayán, “La verdad matemática,” Laberintos e Infinitos, 22-27, Primavera 2008. 

[5] Santiago Gutiérrez, “Cauchy: El triunfo del rigor,” SUMA, 83-89, Junio 2007.