Resuelta la paradoja de la pérdida de energía en un circuito con dos condensadores ideales

La paradoja de los dos condensadores es un problema muy famoso en ingeniería eléctrica, aunque quizás tú no lo conozcas. Cuando un condensador cargado se descarga a través de otro descargado se observa una pérdida de energía. ¿En qué se gasta dicha energía? Si en el circuito se introduce una resistencia o una inductancia parásita, la energía perdida se explica trivialmente. ¿Pero cómo explicarla en un circuito ideal sin elementos parásitos? Vladan Pankovic y Miodrag Krmar creen haber encontrado la respuesta. Se convierte en trabajo mecánico para mover las cargas eléctricas a través de las placas de los condensadores del circuito. Una explicación elemental que nos ofrecen en su artículo Vladan Pankovic, Miodrag Krmar, “Definite Solution of the Two Capacitors Paradox,” ArXiv, 03 Dec. 2009.

La paradoja se muestra en la figura. Un circuito eléctrico ideal con un interruptor y dos condensadores de capacidad C, sin ninguna resistencia o inductancia parásita en ninguno de los elementos. Inicialmente el interruptor está abierto, OFF, parte (a) de la figura, el primer condensador está cargado con una carga eléctrica Q y entre sus bornes hay una diferencia de potencial de V=Q/C, mientras el segundo condensador está descargado, sin carga eléctrica y sin diferencia de potencial entre sus bornes. La energía total del circuito es E=CV²/2=Q²/(2C). Cuando el interruptor se cierra, ON, parte (b) de la figura, el primer transistor se descarga rápidamente y carga al segundo, de tal manera que un tiempo muy corto una carga Q/2 se transfiere del primer condensador al segundo, resultando en una carga en el primero de Q/2 y una carga en el segundo de Q/2, y simultáneamente una diferencia de potencial entre los bornes del primero de V/2 y entre los bornes del segundo de -V/2. La energía total en el nuevo estado del circuito es la suma de la energía en cada condensador, es decir, E=2 C (V/2)²/2 = CV²/4=Q²/(4C). En este proceso se ha perdido la mitad de la energía, exactamente CV²/4. ¿Dónde ha ido a parar dicha energía? He ahí la paradoja. La introducción de cualquier elemento parásito automáticamente se lleva la energía perdida. Pero qué pasa en el caso ideal. ¿A dónde va a parar la energía perdida en el caso ideal?

La nueva explicación es sencilla. Supongamos que un momento después de ponerse el interruptor en ON, el primer condensador tiene una carga q (con Q/2 < q < Q) y un voltaje entre sus bornes de v=q/C, mientras que el segundo tiene una carga Q-q y una diferencia de voltaje V-v. La energía total del circuito es E=q²/(2C)+(Q-q)²/(2C). Si un instante más tarde la carga del primer condensador decrece en una cantidad infinitesimal dq y la del otro crece en la misma cantidad, la nueva energía total debido a los campos eléctricos en ambos condensadores es E+dE=(q-dq)²/(2C)+(Q-q+dq)²/(2C)=E-dq(Q/C+(Q-q)/C)), donde se han despreciado los términos cuadráticos (dq)².Luego dE=-q dq/C+(Q-q) dq/C=-v dq + (V-v) dq.

¿Cómo interpretar el resultado obtenido? El trabajo desarrollado por el primer condensador para mover la carga dq de una placa del condensador a la siguiente es igual a -v dq. De la misma forma, (V-v) dq es el trabajo que realiza el campo eléctrico en el segundo condensador para mover la carga dq desde una placa a la siguiente. Por tanto dE se puede interpretar como la disminución de la energía de los campos eléctricos que se consume en trabajo para mover las cargas entre las placas de los condensadores. La integral del elemento de energía dE para los valores de q entre Q/2 y Q permite obtener un cambio de energía ΔE=-Q²/(4C) que es idéntico a la energía paradójicamente perdida en el circuito ideal.

Una resolución sencilla de la paradoja que no requiere la introducción de elementos parásitos no ideales y que se puede explicar en cualquier curso elemental de física o de teoría de circuitos.

2 pensamientos en “Resuelta la paradoja de la pérdida de energía en un circuito con dos condensadores ideales

  1. ¿De verdad nadie la había resuelto antes? Sería por no ser muy conocida, porque creo que casi cualquier persona entendida en el tema al menos habría sido capaz de pensar tal posibilidad. Y como la matemática involucrada no requiere ser una eminencia, no hubiese sido difícil resolverlo.

  2. Definitivo e inmortal.. Veamos, un conductor se encuentra al mismo potencial y la diferencia potencial entre los bornes del condensador vacio es 0 (suponiendo que se encuentra en el infinito), por tanto entre los 2 extremos del interruptor tenemos una diferencia de potencial que es la propia del condensador cargado. Por tanto cuando el interruptor se cierra las cargas que lo atraviesan deben de experimentar una fuerza debido al gradiente de potencial y por tanto un incremento de la energia cinetica. De hay que la energia potencial electrica final del sistema sea menor, pero la cinetica mayor.

    Saludos

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