La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares

Las teorías cuánticas de las partículas elementales están repletas de infinitos con los que hay que lidiar (regularizar) para obtener resultados finitos con los que comparar los experimentos. Las divergencias ultravioletas, los infinitos que aparecen porque las partículas son puntuales, cuando consideramos distancias muy cortas, o energías muy grandes, producen infinitos que no son malos por sí mismos, más bien son necesarios para dar sentido a muchas propiedades físicas observadas en los experimentos. Puede parecer paradójico que los infinitos sean necesarios, pero así son las cosas. La cuantización de una teoría de campos clásica mediante integrales de camino requiere considerar todos las trayectorias clásicas posibles. Los infinitos ultravioletas tienen su origen en dichas integrales de camino. Un artículo muy bueno sobre la importancia y necesidad de estos infinitos es Roman Jackiw, “What Good Are Quantum Field Theory Infinities?,” ArXiv, 10 Nov 1999.

Las teorías de Yang-Mills son fundamentales en el Modelo Estándar. Un campo de Yang-Mills clásico modela partículas sin masa ya que su constante de interacción es adimensional. Las partículas observadas en la naturaleza tienen masa. En palabras de Sidney Coleman, se necesita una “transmutación dimensional” por la que dicha constante de interacción adquiera dimensiones (de masa o energía) en la versión cuántica de la teoría. Una idea prometedora para explicar cómo aparece una masa (dimensión) en la versión cuántica de una teoría clásica sin masa (adimensional) se basa en el uso de los infinitos ultravioletas en dicha teoría. Dichos infinitos han de ser regularizados (renormalizados) introduciendo una escala de energía (o masa) en la teoría. Las ideas parecen claras, falta el desarrollo matemático riguroso que sustente dichas ideas. En concreto cómo lidiar con los infinitos que aparecen en las integrales de camino necesarias para la cuantización del campo de Yang-Mills utilizando técnicas no perturbativas. Nos lo cuenta de forma breve y comprensible L. D. Faddeev, “Mass in Quantum Yang-Mills Theory,” ArXiv, 5 Nov 2009.

Para Faddeev, entender la transmutación dimensional cuántica en teorías de Yang-Mills es una vía muy prometedora para resolver uno de los Problemas del Milenio del Instituto Clay, dotado con un millón de dólares: el problema de la generación de masas en teorías de Yang-Mills. La descripción oficial de este premio es de Arthur Jaffe y Edward Witten, “Quantum Yang-Mills Theory.” El llamado problema del “mass gap” consiste en descubrir por qué en la versión cuántica de una teoría de Yang-Mills las partículas tienen masa no nula cuando en la versión clásica de dicha teoría todas tienen masa nula. Este problema es clave para entender por qué la fuerza nuclear fuerte es fuerte y de corto alcance aunque los gluones (al contrario que los bosones vectoriales W y Z) no tienen masa.

El problema del “mass gap” no es el único problema matemático no resuelto en las teorías de Yang-Mills. También se desconoce la solución del problema del “confinamiento de los quarks,” ya que la teoría modela campos libres similares a los de la teoría electrodébil, pero que no presentan dicha propiedad. Tampoco se conoce la razón matemática de que la simetría quiral de la teoría esté rota. Muchas cuestiones matemáticas abiertas en una teoría que gracias a múltiples técnicas matemáticas de tipo perturbativo permite calcular todos los parámetros medibles en la interacción de partículas a aceleradores como el Tevatrón del Fermilab o el LHC del CERN. Quizás el secreto de estos problemas esté en una comprensión matemática de las teorías de Yang-Mills desde un punto de vista no perturbativo. Los solitones en teorías de Yang-Mills en 2+1 dimensiones permiten resolver estos problemas matemáticos, sin embargo se desconocen si existen y qué propiedades tienen en 3+1 dimensiones. Un problema muy interesante que requiere las mentes más brillantes.

Robert Mills falleció el 27 de octubre de 1999, hace 10 años. Quería dedicarle una entrada, pero se me pasó la fecha. Sirva esta como homenaje. Nunca es tarde si la dicha es buena.

Chen Ning Yang a sus 87 años sigue vivo y debe estar muy contento (se casó en 2005 con una joven de 28 años).

PS (25 nov. 2009): Físicos andaluces (Huelva y Sevilla) y franceses (París) han calculado utilizado QCD en redes el valor del mass gap en el caso de sólo 2 sabores, quarks up y down, y han obtenido un valor de 267 ± 11 MeV en su artículo F. De soto, M. Gravina, O. Pène, J. Rodríguez-Quintero, “LQCD from gluon and ghost propagators,” ArXiv, 23 Nov 2009. Actualmente están corriendo las simulaciones en el caso más realista de más sabores. Habrá que estar al tanto de sus progresos.

2 pensamientos en “La física oculta en el infinito, la transmutación dimensional en teorías de Yang-Mills y un millón de dólares

  1. Me encantan estos titulares xD

    Bromas aparte, me parece un excelente resumen del problema de Yang-Mills por el que el instituto Clay ofrece 1 millón de $USD.

    Por cierto, me has dado una idea para escribir sobre la hipótesis de confinamiento :P

  2. Excelente artículo. Bien condensado, preciso y explícito. Felicitaciones. Me gustaría compartir con ustedes un blog sobre problemas de física y química que puede interesarles.

    Saludos y excelente blog!

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