Mecánica cuántica fractal o la supuesta naturaleza fractal de la mecánica cuántica

¿Mecánica cuántica fractal?” nos lleva a “La bella teoría” donde el autor afirma: “Curiosamente, si buscamos en Google “mecánica cuántica fractal” o bien en inglés “Fractal quantum mechanics”, prácticamente no encontramos nada. En español he encontrado este estupendo enlace a Ciencia Kanija. En mi entrada sobre “Diez dimensiones, supercuerdas y fractales“, podéis leer algo más sobre todo esto. Un saludo amigos.

Curioso, ya que si se busca “fractal quantum mechanics” en Google Scholar se encuentran decenas de miles de entradas muchas de las cuales satisfarían al autor de “La bella teoría.” Permitidme una entrada al respecto.

Dibujo20090916_particle_trajectory_ord_theory_fractal_spacetime

¿Por qué la mecánica cuántica es como es? Muchos han pensado que existe un espacio subyacente, precuántico, con una estructura estadística similar a un proceso estocástico de Wiener que observado de forma efectiva nos muestra las propiedades de la física cuántica. Este espacio precuántico podría ser un espaciotiempo con propiedades fractales. Entre las muchas propuestas publicadas en los últimos 30 años y de las que he tenido constancia, la que a mí más me gusta es la de G. N. Ord, “Fractal space-time: a geometric analogue of relativistic quantum mechanics,” Journal of Physics A: Mathematical and General 16: 1869-1884 (1983) [artículo citado 125 veces en el ISI WOS]. La figura de arriba está extraída de dicho artículo y muestra la trayectoria precuántica de una partícula entre dos puntos del espaciotiempo, sean A y B.

Ord aplica el principio de relatividad de Einstein y el principio de correspondencia de Bohr a un espaciotiempo fractal. En el espacio fractal, las trayectorias espaciales de todas las partículas están descritas por un espacio de Hausdorff con dimensión D=2. Estas prepartículas son llamadas “fractalones” por Ord. Aunque su derivación matemática no es completamente rigurosa, el resultado es sorprendente, aparece “mágicamente” el principio de incertidumbre de Heisenberg. Ord va más allá y considera que el tiempo en lugar de ser unidimensional y continuo (sus dimensiones topológica y de Hausdorff coinciden) es bidimensional y fractal, o sea, con dimensión de Hausdorff D=2. Espacio y tiempo, ambos fractales y en pie de igualdad. El resultado es una teoría covariante (invariante ante transformaciones de Lorentz) en la que la existencia del tiempo fractal permite derivar en la escala macroscópica una ecuación de Klein-Gordon (el equivalente relativista a la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula escalar).

La idea de sacrificar el tiempo unidimensional y sustituirlo por un tiempo bidimensional y fractal parece muy exótica. Quizás por ello la teoría de Ord tuvo poco éxito entre la corriente estándar en física teórica.

Dibujo20090916_nondifferentiable_curve_a_trajectory_in_nottale_theory

Entre los seguidores de Ord destaca sin lugar a dudas Laurent Nottale. Publicó una serie de artículos en revistas la editorial Word Scientific de Singapur que culminaron en un famoso libro de dicha editorial “Fractal space-time and microphysics: towards a theory of scale relativity‎,” 1993. Su artículo más famoso de esta época es “Fractals and the quantum theory of spacetime,” International Journal of Modern Physics A 4: 5047-5117 (1989) [citado 75 veces en ISI WOS]. Su artículo más citado es posterior, “Scale relativity and fractal space-time: Applications to quantum physics, cosmology and chaotic systems,” Chaos, Solitons & Fractals 7: 877-938 (1996) [citado 106 veces en ISI WOS]. La producción científica de Nottale está gratis en PDF en su propia web para los interesados.

Dibujo20090916_nondifferentiable_spacetime_transition_to_continuum_spacetime

Nottale denomina a su teoría como “relavitidad de escala” (scale relativity) y gracias a ella logra derivar la ecuación de Schrödinger para la mecánica cuántica no relativista y todos los postulados de la mecánica cuántica, por ejemplo, en “Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity,” J. Phys. A: Math. Theor. 40: 14471-14498 (2007) [ArXiv]. Nottale como muchos “tocados por la mano divina” aplica su teoría a todo lo habido y por haber, desde la cosmología a los seres vivos, pasando por la teoría cuántica de campos. La mayoría de estos superresultados no son derivaciones formales ni rigurosas, sino más bien numerológicas. Sus predicciones son muy pocas, la mayoría son retrodicciones (deducir lo ya conocido pero desde un enfoque nuevo). Quizás por eso, la mainstream de la física teórica obvia gran número de sus resultados científicos. Aún así, ha logrado ser director del CNRS (el equivalente al CSIC francés)

Más información sobre Laurent Nottale en la wiki.

La física precuántica a la escala de Planck no falsable tiene un gran problema: no es ciencia, sino pseudociencia. Aún así, tanto Nottale como Ord publican sus artículos en las mejores revistas de investigación, y tienen un gran número de seguidores, sobre todo porque El Naschie (ex-editor) de Chaos, Solitons & Fractals ha favorecido que publiquen fácilmente muchos artículos en su revista (una de las de mayor índice de impacto en Matemática Aplicada).

El secreto de la energía oscura podría estar en el Modelo Estándar escondido tras el “fantasma de Veneziano”

Dibujo20090916_dark_energy_QCD_explanation_versus_observational_valueSi quieres que te toque la lotería tienes que apostar. En ciencia, los grandes avances requieren hipótesis arriesgadas. ¿Qué es la energía oscura? Nadie lo sabe, aunque hay multitud de hipótesis. Sólo los experimentos decidirán cuál es la correcta. ¿Puede explicarse la energía oscura utilizando el Modelo Estándar? Urban y Zhitnitsky han observado que el lagrangiano quiral de la cromodinámica cuántica (QCD), la teoría de los quarks, embebido en un espaciotiempo curvo, genera una densidad de energía del vacío que se puede interpretar como un término cosmológico pequeñísimo, pero suficiente para forzar la aceleración de la expansión del universo que se ha observado con supernovas tipo Ia. La unión de gravedad y QCD conduce de forma natural a la energía oscura. El mayor problema de esta propuesta, por lo demás, técnicamente muy ingeniosa pero sencilla, es que conduce a una ecuación de estado para la energía oscura con w=-0.75, cuando los experimentos favorecen un valor más próximo a w=-1. Sorprendentemente, la evolución del parámetro de Hubble no es muy sensible a este valor y se reproduce muy bien su evolución observada experimentalmente. El artículo técnico es Federico R. Urban, Ariel R. Zhitnitsky, “The QCD nature of Dark Energy,” ArXiv, Submitted on 14 Sep 2009, secuela de los dos anteriores “The cosmological constant from the Veneziano ghost which solves the U(1) problem in QCD,” ArXiv, Submitted on 11 Jun 2009, y “The cosmological constant from the ghost. A toy model,” ArXiv, Submitted on 11 Jun 2009 [publicado en Phys.Rev.D 80: 063001, 2009].

El secreto de la energía oscura se encuentra en el campo fantasma de Veneziano. ¿Qué es eso? Muchas teorías cuánticas de campos presentan partículas y campos que no son físicos, que se denominan “fantasmas” (ghosts). Cuando se une la gravedad a una teoría cuántica de campos, como es el caso en el artículo que estamos comentando, es habitual que aparezcan partículas fantasmas en la versión clásica de la teoría, previa a su versión cuántica. Como estos fantasmas son considerados no físicos (unphysical) normalmente se busca un procedimiento de cuantización que los elimine en la versión cuántica de la teoría. Sin embargo, Urban y Zhitnitsky han considerado sus efectos físicos si no fuesen eliminados. ¿Fantasma de Veneziano? Bueno, los autores no han considerado la QCD completa sino una versión aproximada a baja energía de dicha teoría desarrollada por Veneziano (uno de los creadores de las primeras teorías de cuerdas a finales de los 1960, época en que se usaban para explicar la fuerza nuclear fuerte, cuando todavía no se había desarrollado la QCD). El análisis de dicha teoría efectiva en un universo curvo conduce a la aparición del campo fantasma de Veneziano.

Por supuesto, el trabajo de Urban y Zhitnitsky es un modelo muy sencillo, casi de juguete (toy model). La teoría correcta debería considerar la QCD completa (en 3+1 dimensiones o 4D) inmersa en un espaciotiempo curvo, es decir, acoplada con la gravedad. Analizar esta teoría completa no parece fácil. Según los autores del estudio, la contribución del fantasma de Veneziano tiene características únicas que hacen pensar que seguirá actuando de la misma forma cuando se extienda el análisis al caso más realista de la QCD en 4D. Ellos afirman que este campo sin masa está protegido y sobrevivirá en dicho caso. Además, afirman que es el único campo lineal sensible a la topología global del espaciotiempo que se espera observar en el acomplamiento de la QCD 4D con un campo gravitatorio (espaciotiempo curvo).

Por supuesto, todo esto no es más que una hipótesis. Demasiado buena para ser verdad. Lo más razonable para los próximos meses (años) es la confirmación del resultado obtenido en el modelo de juguete utilizando métodos numéricos (QCD en redes o lattice QCD). Si se obtuviera, sería un fuerte acicate para que los teóricos dediquen sus esfuerzos al fantasma de Veneziano en la QCD 4D. Si no se obtuviera, todo quedaría en una hipótesis más en el pajar de las hipótesis para explicar la energía oscura. ¿Quién encontrará la aguja en dicho pajar?