El problema de Rado del hombre y el león en tiempo finito tiene estrategias ganadoras para ambos

Dibujo20090916_Lion_MAn_movieEl problema de Richard Rado del león y el hombre considera a ambos con igual velocidad máxima encerrados en un disco cerrado (el ruedo de una plaza de toros) y se pregunta ¿alcanzará el león al hombre? ¿Habrá una estrategia óptima para que el hombre evite ser atrapado? Piensa un poco antes de seguir leyendo. El problema se formuló en los 1920 y se pensaba que el hombre siempre sería atrapado, pero en 1952 Besicovitch demostró que podía sobrevivir. ¿Has pensado en el problema? ¡A qué esperas, hazlo ahora! ¿Existe una estrategia ganadora siempre para alguno de los dos? Usando la estrategia de Besicovitch el hombre gana siempre si el juego dura un tiempo infinito. ¿Qué pasa si el juego dura un tiempo finito? En un disco, el hombre gana siempre. ¿Qué pasa en una región más general que un disco? Si la región es un espacio métrico compacto (cerrado y acotado) entonces o el león o el hombre o los dos tienen una estrategia ganadora. ¿Los dos? Sí, por paradójico que parezca, hay estrategias ganadoras que dependen del tiempo final, en función de este tiempo o gana siempre el hombre o gana siempre el león, para ciertas regiones compactas. La matemática a veces nos ofrece este tipo de sutilezas. Nos lo cuentan B. Bollobás, I. Leader, M. Walters, “Lion and Man — Can Both Win?,” ArXiv, Submitted on 14 Sep 2009.

La estrategia ganadora de Besicovitch para el hombre en el disco es la siguiente. Supongamos que el hombre y el león son puntuales. Se divide el tiempo en una sucesión de intervalos de longitud t_1, t_2, t_3, \ldots . En el paso i el hombre corre a máxima velocidad durante un intervalo t_i en una línea recta perpendicular a su radio vector inicial en este paso en la dirección del semiplano en el que no se encuentre el león (si el león estuviera en el propio radio vector, no importa qué dirección toma). Obviamente, el león no podrá capturar al hombre en este intervalo de tiempo. Repitiendo este procedimiento sucesivamente, el hombre siempre evitará ser capturado. Piensa un poco el argumento y verás que funciona (usa una hoja de papel si lo consideras necesario). ¿Qué pasa si transcurre un tiempo muy largo? Sea r_i la distancia del hombre respecto del origen al iniciarse el paso de tiempo i, entonces r_{i+1}^2=r_i^2+t_i^2. Si la serie \sum_i t_i es infinita, entonces el hombre nunca será capturado, además si la serie \sum_i t_i^2 es finita, entonces r_i estará acotada, por lo que multiplicándola, si es necesario, por una constante, se puede lograr que el hombre nunca abandone el ruedo (el círculo). ¿Cómo lograrlo? Muy fácil, por ejemplo utilizando t_i=1/i.

Besicovitch nos ofrece una estrategia ganadora para el hombre. ¿Significa que no existe una estrategia ganadora para el león? Se puede demostrar que en el disco es así, no existe modo en que el león capture al hombre si éste usa su estrategia ganadora. Sin embargo, la matemática es muy sutil y utilizando el Axioma de Elección se puede demostrar que en regiones compactas más complicadas que el disco y cuando el juego dura un tiempo finito, puede ocurrir que haya una estrategia ganadora siempre para el hombre, siempre para el león, o que dependa de la duración del juego quien tiene la estrategia óptima. Los interesados en más detalles sobre la demostración (basada en discretizar la región, obtener las estrategias ganadoras en el caso discreto y calcular el límite continuo de dichas estrategias), pueden recurrir al artículo original. No os asustéis, la demostración no es difícil de seguir, basta recordar las demostraciones de límites tipo \epsilon-\delta del curso de cálculo de primero de carrera.