Fibrados de Hopf explicados al nivel de un alumno de bachillerato

Dibujo20090810_Hopf_fibration_cartoon_authored_by_Dr_TsaiUn fibrado de Hopf es un concepto matemático complicado que la mayoría de los matemáticos pensaría que es imposible de explicar a un alumno de bachillerato. Básicamente la descripción de una esfera tridimensional (hiperesfera en 4D) utilizando círculos y esferas ordinarias (en 3D). Este concepto matemático abstracto conduce a figuras de gran belleza  plástica y muchos han tratado de lograr cumplir dicho objetivo, algo como “Hopf fibration for dummies.” El último que ha tratado de lograrlo es Zachary Treisman, “A young person’s guide to the Hopf fibration,” ArXiv, Submitted on 9 Aug 2009. Según él ha logrado impartir con éxito un curso de verano de 2 semanas para alumnos de bachillerato (high school) sobre este tema. La figura de la izquierda ha sido realizada, como la mayoría de las de dicho artículo por el artista plástico y matemático Lun-Yi Tsai.

El índice de contenidos se inicia introduciendo los números complejos de una forma bastante convencional. Seguidamente se presenta el concepto de esfera (como superficie), las transformaciones proyectivas y la transformación de Möbius en variable compleja. Las coordenadas proyectivas permiten definir y en cierto modo visualizar objetos complicados (superficines 3D sumergidas en 4D) como un hipercubo o un toro (donut). Tras esta introducción aparece el concepto de haz fibrado (fiber bundle) y su aplicación particular a la esfera 3D, el fibrado de Hopf.

En mi opinión, aunque el nivel matemático del artículo se puede calificar de básico, es muy superior al nivel que creo (aunque en realidad lo desconozco en detalle) que tienen los alumnos de bachillerato españoles. Yo diría que es una introducción a los fibrados de Hopf para alumnos de la carrera de matemáticas en sus primeros cursos (que seguramente estudiarán este concepto tan técnico en los últimos cursos de su carrera, si es que llegan a elegir las asignaturas y/o especialidad en la que lleguen a estudiarlo). En este sentido creo que el trabajo es muy recomendable.

También es recomendable para físicos, ya que los haces fibrados son básicos para poder entender, desde un punto de vista matemático, las teorías de campos gauge. Esta visión matemática de las teorías cuánticas de campos se suele relegar en España a los cursos de doctorado, presentando en los cursos de grado de física teórica una visión mucho más física, valga la redundancia.

2 pensamientos en “Fibrados de Hopf explicados al nivel de un alumno de bachillerato

  1. Muy bueno :)

    A veces en arxiv.org se encuentra cada joyita…

    Como el del curso de teoría de cuerdas del otro día.

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