El regalo de cumpleaños de Gödel a Einstein

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Un libro celebraría el 70 cumpleaños de Einstein en 1949. Gödel decidió escribir un artículo en el que resolvería un problema planteado por Gamow en la revista Nature en 1946. Le costó casi 3 años de trabajo, pero valió la pena. Un modelo cosmológico para un universo en rotación consistente con la relatividad general en el que una persona puede viajar a su propio pasado. Un problema que sólo un genio podía resolver, el regalo ideal para su amigo Einstein, con quien gustaba pasear en Princeton. El artículo fue enviado por Gödel al editor del libro, Schilpp, justo en el último momento (tras varias cartas de disculpa por el retraso). La historia del modelo cosmológico de Gödel nos la cuenta magistralmente Wolfgang Rindler, quien ya la contó en una conferencia en 2006 celebrando el centenario del nacimiento del propio Gödel, en el artículo que recomiendo “Gödel, Einstein, Mach, Gamow, and Lanczos: Gödel’s remarkable excursion into cosmology,” American Journal of Physics 77: 498–510, June 2009.

El universo sin materia se denomina substratum. Los modelos cosmológicos estándares cumplen el Principio Cosmológico, por el cual el substratum se asume perfectamente homogéneo e isótropo en todo momento. Un universo de este tipo es inestable y se expande. El modelo cosmológico de Gödel es homogéneo pero no es isótropo y logra evitar la expansión, es estacionario pero rota de forma rígida a un velocidad menor que la velocidad de la luz en el vacío. Un universo rotante que viola el principio de Mach, la materia que contiene puede rotar o no hacerlo, pero compatible con la relatividad general. Lo más sorprendente de este universo es que permite curvas espaciotemporales cerradas. Un observador que se mueva suficientemente rápido, más que la velocidad de rotación del universo (que es menor que la velocidad de la luz) puede retornar al pasado (en el tiempo de su reloj propio). Uno mismo puede volver a su propio pasado y suicidarse. Paradójico. Esta violación de la causalidad nos indica que este universo no es realizable físicamente. La gran crítica de Einstein al modelo de su amigo Gödel. Sin embargo, Gödel se defendió alegando que las curvas espaciotemporales tienen un radio mínimo y los cálculos indican que es enorme. Se requeriría un tiempo desmesurado para poder regresar al pasado. En la práctica nadie puede vivir lo suficiente para lograrlo.

Los físicos que no conozcan el modelo cosmológico de Gödel agradecerán (y entenderán) su métrica dada por

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Como vemos, la velocidad (lineal) de rotación (\Omega) es menor que la velocidad de la luz (c), donde a es el radio del universo. Este universo está caracterizado por una constante cosmológica negativa (\Lambda) y una curvatura (K) también negativa. Es un universo que rota en el mismo sentido que crece la variable \phi. ¿Qué distribución de materia conduce a este universo? Un gas de “polvo” modelado por un fluido perfecto pero sin presión.

La contribución de Gödel a la Festschrift de Einstein (publicación que celebra el cumpleaños de algo o alguien) es un universo sin sentido pero compatible con la teoría de Einstein, que nos recuerda que una solución matemática de unas ecuaciones físicamente correctas no es necesariamente realizable físicamente. Un universo con un reloj absoluto, con un centro y un eje de rotación, un universo al fin y al cabo que no es más que un regalo de cumpleaños para hacer pensar a Einstein sobre su propia teoría. El regalo que solo un genio de la talla de Gödel podía ofrecer a Einstein. 

Sobre la vida de Kurt Gödel se ha dicho mucho (quizás La mente más maravillosa del siglo XX). Sobre sus dos teoremas de incompletitud se ha escrito, casi, demasiado (Carlos nos los explica muy bien aquí Gödel en una cáscara de nuez: Primer Teorema de Incompletitud y Gödel en una cáscara de nuez: Segundo Teorema de Incompletitud, y Teorema de Completitud). ¿Te resulta muy técnico el trabajo de Carlos? Un resumen breve. El teorema de incompletitud de Gödel, básicamente, es equivalente a la paradoja del mentiroso: “Esta frase es falsa.” Si es verdadera, es falsa. Si es falsa, es verdadera. La frase es simultáneamente verdadera y falsa. Gödel toma una teoría T consistente (todo lo que se puede demostrar a partir de ella es verdad) y completa (todo lo verdadero se puede demostrar a partir de ella) y un teorema en dicha teoría, G, autorreferencial que afirma que “G no se puede demostrar usando la teoría T.” Si G se pudiera demostrar con los axiomas y las reglas de inferencia de T, entonces G es un teorema demostrable en T, pero entonces se contradice a sí mismo y es falso, por lo que T no puede ser una teoría consistente. Si T es consistente, entonces G es verdad y no se puede demostrar en T, es decir, T no es completa. En este sentido G es verdad pero indemostrable. La teoría T debe ser incompleta, hay afirmaciones verdaderas que no son demostrables. En general, en toda teoría habrá afirmaciones verdaderas (nadie sabe si todas serán autorreferenciales) que no son demostrables. Más aún, habrá infinitas verdades no demostrables, ya que añadir cualquier verdad no demostrable a la teoría conducirá a una nueva teoría con nuevas verdades indemostrables. El poder de lo autorreferente.

5 pensamientos en “El regalo de cumpleaños de Gödel a Einstein

  1. ¡Muy bueno el post! También aplaudo tu resumen del Teorema de la Incompletitud. Y añado a tus recomendaciones “Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle” de Douglas R. Hofstadter.

  2. Hola!
    Usando el Principio de Especularidad de dos de mis maestros de la FIME de la UANL, el Ing. René Montante-Matiz Inversa-Determinantes, presente también en el trabajo del Dr. César Elizondo Gonzalez, asi como en la Solución Geométrica desde la Función de la Frecuencia de Laplace sobre Nawton, Integral sobre Infinitesimal, he podido hacer una teoria de la Evolución de la Conciencia al Modo de Piere Teilhard de Chardin, que es extremadamente compatible con El universo de Gödel y Reintegra la Topologia del Nudo como Raiz del Síntoma de Lacan, as como la geometrización Phi Pitagórica y la Visión del Espacio tiempo como Función de la Energía, aqui: http://casanchi.com/fis/cmb01.pdf.
    Espero le sea de interés:
    http://www.nuevapiedraoseta.blogspot.mx
    Gracias! – See more at: http://bitnavegante.blogspot.mx/2013/02/visualizacion-del-universo-de-godel.html?showComment=1380147203107#c6522064082261581644

    • Una Confirmación de mis supuestos desde España!!!

      http://www.blogger.com/profile/07417988197485439791

      Hola José Antonio

      Voy a ver si hoy consigo que este comentario se quede en tu blog. Lo guardaré en Word para que no se me pierda como el que te quise poner ayer.

      Tal como te digo en tu comentario a Alejandro Álvarez en http://www.redcientifica.org/, estuve repasando los enlaces que pones en esta página, pude ver que algunos temas ya los conocía y de los que no sabía nada los busqué en Wikipedia.
      Se me ocurrió pensar que mientras que todas estas espirales de las que hablan en distintos artículos sobre el tema son, en gran medida, teóricas (¿estoy en lo cierto?), la mía [edad = 1/60 (Φ 2/90+ Φ)] en http://www.redcientifica.org/(Procesos de autoorganización en la conciencia…), surge de los datos empíricos sobre la organización estructural que estaba haciendo con los hechos de crecimiento humano que suministra la psicología evolutiva y que le di a Arturo González-Mata, que fue el que la desarrolló. La mía sería entonces, por comparación, más empírica. ¿Estoy en lo cierto?
      Voy a ver si puedo comparar las distintas espirales. Lo primero que haré es ver si alguien me puede suministrar un gráfico en el que todas estén superpuestas. Las cosas me entran muy bien por los ojos.
      En cualquier caso si quieres que hablemos sobre el asunto estoy a tu disposición.

      Un saludo cordial
      Sinesio Madrona

      Espero te sea de interés!!!

      Un abrazo!!!!

      • Voy a reventar de tanto interés.
        Estéril, absurdo, ridículo, aterriza como puedas. De verdad cuantos estragos trae el miedo al desempleo y el propio desempleo, el ocio mal encauzado en vez de utilizar la prestación por desempleo en formarse y el tiempo en reivindicar los derechos fundamentales al trabajo y a una vida mínimamente digna. Con tanta ignorancia y hasta analfabetismo que fácil se lo ponen a los de arriba. Pensé que la esclavitud se había abolido: No es cierto.

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