La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía

Cuando inicié este blog el 1 de enero de 2008, me prometí a mí mismo no insertar fórmulas matemáticas y creo que lo he cumplido “razonablemente”. He de confesar que alguna se me ha colado. Tiendo a ver la realidad con fórmulas matemáticas y, desafortunadamente, la mayoría de la gente no la ve igual.

Las tres fórmulas de la izquierda están sacadas del artículo de los italianos V. Bertola y E. Cafaro, “On the speed of heat,” Physics Letters A, 372: 1-4, 2007. Es un artículo fácil de leer que le da una nueva vuelta de tuerca a la discusión (paradoja) de la velocidad infinita de propagación del calor según la Ley de Fourier. Paradoja desde los tiempos de I. Stefan, 1863, y J.C. Maxwell, 1867. Otro italiano, C. Cattaneo, ya propuso en 1948 una manera de resolver esta paradoja, la Ley (o ecuación) de Cattaneo, una versión “mejorada” de la Ley de Fourier pero con la propagación del calor a velocidad finita. Otros investigadores han desarrollado otras leyes no lineales que también muestran dicha propiedad. Este tópico tiene cierto interés en nanotermología (un campo emergente con un prometedor futuro). Pero no nos vayamos a la bartola, ¿qué han aportado Bertola y Cafaro?

¿Qué significa que según la Ley de Fourier el calor se propaga a velocidad infinita? En una barra que conduzca el calor (metálica) semi-infinita (muy larga) un pulso de calor en el extremo finito produce instantáneamente un valor no nulo (pequeñísimo) en el otro extremo (infinitamente lejano). ¿Físicamente es posible? ¿Viola la teoría de la relatividad de Einstein? El calor es reflejo de la agitación térmica (energía cinética) de los constituyentes del medio (electrones y red cristalina en un metal). Tanto los electrones como los fonones (partículas que “modelan” la vibración cristalina) se propagan a una velocidad finita (inferior a la velocidad de la luz).

¿Cómo es posible que el calor se propague más rápido que la luz? La velocidad de fase de la onda de calor podría ser más rápida que los electrones y fonones. Imaginemos que iluminamos la Luna con un láser (partículas a la velocidad de la luz). Si mueves el láser, el punto iluminado en la Luna se mueve a una velocidad mayor que la velocidad de la luz (su velocidad de fase). Esto no sirve para enviar información más rápido que la luz en la Luna y no viola la relatividad de Einstein. Lo mismo lo tenemos en las olas humanas en un estadio de fútbol. La ola se mueve a unos 12 metros (20 asientos) por segundo, es decir, unos 43 km/hora (estimación de I. Farkas, D. Helbing, T. Vicsek, “Mexican waves in an excitable medium,” Nature, 419: 131-132, 2002). Obviamente, ningún aficionado se levanta y vuelve a sentar en su asiento a una velocidad de 40 km/h. La velocidad de la ola es velocidad de fase. Lo mismo le pasa a los electrones y a los fonones. La “onda” de calor podría propagarse más rápido que ellos. Quizás os interese P. Villaggio, “The apparent propagation velocity of a wave,” Rend. Mat. Acc. Lincei, 12: 191-197, 2001.

Me voy por las ramas, volvamos a Bertola y Cafaro. ¿Qué han hecho? Mira las fórmulas de la figura. La primera es la ecuación del calor (T es la temperatura). La segunda es la misma ecuación, pero escrita como una ecuación de transporte (ecuación de onda) cuya velocidad (finita para temperatura no nula) es la tercera fórmula. Ellos llaman velocidad del calor a esta última fórmula. ¿Qué significa físicamente? Según ellos es proporcional a la tasa de generación de entropía. Es decir, aunque “aparentemente” el calor se propaga a velocidad infinita, la entropía (mejor medida de la agitación térmica que el calor) se propaga a una velocidad finita. Para resolver la paradoja, no hay que cambiar la Ley de Fourier, sólo hay interpretarla “correctamente”.

Los interesados en más información sobre las “ondas de calor” deberían leer el interesante artículo de D. D. Joseph y L. Preziosi, “Heat waves,” Reviews of Modern Physics, 61: 41-73, 1989 [preprint gratis], tan interesante que tiene segunda parte (más detalles históricos) en “Addendum to the paper “Heat waves”,” Rev. Mod. Phys. 62: 375-391, 1990 [preprint gratis].

¿Se porta bien la Ley de Fourier en sistemas nanométricos? Parece ser que sí, M. Michel, M. Hartmann, J. Gemmer, G. Mahler, “Fourier’s Law confirmed for a class of small quantum systems,” The European Physical Journal B, 34: 325-330, 2003.

¿Podemos escribir una ley del calor tipo Fourier pero invariante relativista? No te molestes en refrescar tus conocimientos de teoría de la relatividad, ya ha sido inventada por unos “chinitos” afincados en Australia, Y.M. Ali, L.C. Zhang, “Relativistic heat conduction,” International Journal of Heat and Mass Transfer, 48: 2397-2406, 2005.

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