Es imposible reconocer la forma de un tambor escuchando sólo su sonido (cosas de la televisión)

Dibujo20130723 Figure shows two isospectral drums

¿Es posible distinguir la forma del tapete de un tambor escuchando sólamente el sonido que produce al ser golpeado? Desde 1991 se sabe que es imposible, en general, es decir, que hay tambores con diferentes formas que suenan exactamente igual. Como los de la figura de arriba cuyos modos normales de vibración tienen la misma frecuencia (“suenan” igual), aunque en la figura sólo se muestran los 4 primeros. Un artículo curioso sobre este tema lo tenéis en Ivars Peterson’s MathTrek, “Drums That Sound Alike,” April 14, 1997 .

Lo que hace que los sonidos producidos por dos tambores diferentes suene diferente son las frecuencias características de vibración de sus tapetes al ser golpeados, que dependen fundamentalmente del tamaño, forma, y tensión del tapete, así como de la forma de la baquete y el modo en que se golpea. El “color” sonoro de cada tambor depende de las diferentes frecuencias de vibración que son sonidos puros “formantes” del sonido. En 1966, Mark Kac se preguntó si el conocimiento de los modos normales de vibración, estas sonidos puros, producidos por un tambor era suficiente para determinar unívocamente su forma geométrica (“Can One Hear the Shape of a Drum?”). La resolución de este problema tuvo que esperar hasta 1991, cuando Carolyn S. Gordon y David L. Webb, descubrieron un contraejemplo, dos tambores con la misma área y perímetro pero con diferente geometría que mostraban exactamente el mismo espectro sonoro.

La imagen que inicia esta entrada es del artículo de Toby Driscoll, “EIGENMODES OF ISOSPECTRAL DRUMS,” SIAM REVIEW, Vol. 39, No. 1, pp. 1-17, March 1997 , que ha verificado numéricamente la igualdad de los espectros de frecuencia con hasta 12 dígitos de precisión. Hace tiempo que lo leí y la televisión esta noche me lo ha recordado. Algo bueno tiene que tener la televisión. ¿Que qué me lo ha recordado? Ya lo he olvidado.