Francis in Mapping Ignorance: Transferencia anómala de calor de lo frío a lo caliente

Te recomiendo leer mi última contribución al blog Mapping Ignorance, “Read it twice: Heat transfer from a cooler body to a hotter body,” May 16, 2013. El primer párrafo, en inglés, dice “Without any conflict with the second law of thermodynamics, heat can flow from a cooler but constantly heated body to another thermally connected and constantly hotter body. This anomalous heat transfer has been demonstrated in a two-phase liquid-vapor system composed of a Rayleigh–Bénard convection (RBC) cell filled one-half with normal liquid helium and one-half with helium vapor.” Seguir leyendo…

Mi contribución se basa en el artículo de Pavel Urban, David Schmoranzer, Pavel Hanzelka, Katepalli R. Sreenivasan, and Ladislav Skrbek, “Anomalous heat transport and condensation in convection of cryogenic helium,” PNAS 110(20): 8036-8039, May 14, 2013; además recomiendo consultar a Joseph J. Niemela, “Weather and anomalous heat flow occurring near absolute zero,” PNAS 110(20): 7969-7970, May 14, 2013.

Cuántos grados calienta tu lata de cerveza la condensación de humedad en su superficie

Foto de http://www.fotografi.es

En un día de verano, caluroso y húmedo, habrás observado que el líquido de tu lata de cerveza (o de refresco) se calienta al mismo tiempo que se cubre de una capa de humedad por condensación. Estimando el espesor de la capa de agua condensada en la superficie de la lata se puede estimar el incremento de temperatura del líquido. ¿Cuántos grados centígrados son debidos al calor latente de condensación? El cálculo (sin pérdidas) es sencillo. El área superficial de la lata es de unos 300 cm², por lo que la capa de condensación delgada, pongamos que con un espesor medio de unos 0,1 mm, contiene unos 3 gramos de agua. El calor latente de condensación del agua cerca de 0 ºC es de 600 cal/g, por lo que si todo el calor latente se transfiere a los 33 cl de líquido (supuesto que todo es agua), la temperatura sube en 3 * 600 / 333 ≈ 5,4 ºC. Por supuesto, este cálculo desprecia otros efectos y sobreestima el efecto de la condensación al no considerar ningún tipo de pérdidas. Un cálculo teórico detallado es más complicado. Lo más fácil es realizar el experimento en laboratorio bajo condiciones controladas. Y más fácil aún es que otros lo hagan por tí, como Dale R. Durran, Dargan M. W. Frierson, “Condensation, atmospheric motion, and cold beer,” Physics Today 66: 74-75, April 2013 [copia gratis]. Los detalles del experimento (realizado por estudiantes de grado) en Dale R. Durran, Dargan M. W. Frierson, “An experiment uses cold beverages to demonstrate the warming power of latent heat,” Physics Today, Supp. Info., March 28, 2013.

Lo que pasa dentro de una tetera mientras se calienta el agua

El transporte de calor en el agua dentro de un tetera puesta al fuego pasa de forma sucesiva por estar dominado por la conducción, la convección y la ebullición. Mirar en el interior de una tetera es muy difícil, por ello, para ilustrar estos tres fenómenos y las transiciones entre ellos, este vídeo utiliza una celda de Hele-Shaw: el líquido se encierra en un contenedor rectangular delgado formado dos placas de cristal transparente de 50 mm por 25 mm, puestas en vertical y separadas por 1 mm de distancia; la celda se calienta por abajo mientras la parte superior está abierta. Para reconstruir los perfiles de temperatura los autores han utilizado un curioso mecanismo, mirar un retícula y ver cómo se deforma la imagen por el cambio del índice de refracción del líquido caliente. En lugar de agua han utilizado etanol porque su punto de ebullición (78 ºC) es más bajo. El vídeo participa en la APS-DFD Gallery of Fluid Motion 2012 #83753. Más información en S. Wildeman, H. Lhuissier, C. Sun, D. Lohse, “Inside a kettle,” arXiv:1210.3693, Subm. 13 Oct 2012.

XXXIV Carnaval Física: La física de las torres de perdigones de Jeréz

En 1782, el británico William Watts patentó una nueva tecnología para la fabricación de perdigones de plomo para munición, las “torres de perdigones” que reemplazaron el uso de moldes o la inmersión de gotas de plomo en barriles de agua. En estas torres se dejan caer gotas de plomo desde una gran altura (en Baltimore, Maryland, EEUU, hay una que alcanza los 71 m) que adoptan una forma esférica mientras se enfrían durante su caída libre gracias a la tensión superficial. Hay torres de perdigones por todo el mundo (en España las hay en Jerez y en Sevilla). En un torre moderna de finales del s. XX se producen unos diez mil perdigones por segundo. Se vierten unas cinco toneladas de plomo fundido por hora en un recipiente de cobre con 2400 agujeros en su fondo. Los chorros de plomo fundido en caída libre, casi de forma inmediata, se ponen a gotear gracias a la inestabilidad de Plateau-Rayleigh, de manera similar a como gotea un grifo de agua con un caudal bajo. ¿Cómo depende el tamaño del perdigón de la altura de la torre? Nos explican la física y la termodinámica de las torres de perdigones Trevor C. Lipscombe, Carl E. Mungan, “The Physics of Shot Towers,” The Physics Teacher 50: 218-220, April 2012 [acceso gratuito]. He obtenido los dibujos que abren esta entrada de “Metalurgia,” Colectivo Proyecto Arrayanes (gracias a César @EDocet).

Una gota de plomo líquido de masa m cae desde una altura H en una torre de perdigones. La solidificación de la gota requiere una energía igual a  m L, donde L = 24,7 kJ/kg es el calor latente de fusión del plomo. En la parte inferior de la torre hay una cuba de agua que amortigua el impacto y enfría los perdigones hasta la temperatura ambiente. Para evitar la producción de grandes cantidades de vapor de agua, la temperatura del perdigón al alcanzar el agua debe ser menor que el punto de ebullición del agua. Por tanto, la altura de la torre debe garantizar que tras su solidificación, el perdigón debe perder una energía térmica adicional durante su vuelo de al menos m c ΔT, donde c = 128 J /kg/K es el calor específico del plomo y ΔT = 227 K es la diferencia de temperatura entre el punto de fusión del plomo (600 K) y el punto de ebullición del agua (373 K). Un cálculo termodinámico sencillo en función del tiempo de caída (que se puede estimar suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad al cuadrado, pues el número de Reynolds para este problema ronda los 2500) y del coeficiente de transferencia de calor del perdigón con el aire, permite obtener (los detalles son sencillos y se pueden consultar en el artículo de Lipscombe y Mungan) que el radio del perdigón R está relacionado con la altura H de la caída y la masa original de la gota de plomo están relacionados por la fórmula

R = α H^5/8, donde α = 1,2 × 10^-4 m^3/8.

Esta fórmula sublineal implica que un perdigón de hasta 1,2 mm de radio se puede producir con una torre de al menos 40 metros. Para producir un perdigón con un radio de 1,9 mm se requeriría el doble de altura, unos 80 metros.

En resumen, los detalles del análisis termodinámico de la fabricación de perdigones en un torre de caída libre no son complicados y pueden ser utilizados para ilustrar la termodinámica de la transferencia de calor en cursos de física y/o ingeniería.

Esta entrada participa en la en la XXXIV Edición del Carnaval de la Física, alojada en esta ocasión en el blog colaborativo Hablando de Ciencia.

El demonio de Maxwell cuántico que convierte información en energía

La segunda ley de la termodinámica afirma que en un sistema aislado la entropía nunca decrece. El demonio de Maxwell (1867) logra violar esta ley actuando directamente sobre los grados de libertad microscópicos del sistema. Szilard demostró que un demonio de Maxwell clásico puede extraer de un ciclo termodinámico como mucho un trabajo igual a k T log(2), donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Físicos japoneses han demostrado que un demonio de Maxwell cuántico puede extraer hasta el doble, 2 k T log(2), gracias al uso del entrelazamiento cuántico; este valor corresponde a la diferencia entre la información cuántica mutua entre el demonio y el sistema realimentado de control necesario para controlar sus acciones. En este sentido, este trabajo se puede interpretar como la conversión de información en energía. El campo de la termodinámica de la información cuántica promete sorpresas experimentales muy interesantes en los próximos años. Nos lo cuenta KFC, “Entangled Particles Break Classical Law of Thermodynamics, Say Physicists. Japanese physicists show how to extract more energy from entangled particles than is possible with classical thermodynamics,” The Physics ArXiv Blog, August 1, 2012, haciéndose eco del artículo técnico de Ken Funo, Yu Watanabe, Masahito Ueda, “Thermodynamic Work Gain from Entanglement,” arXiv:1207.6872, Subm. 30 Jul 2012.

La figura que abre esta entrada muestra el protocolo de transferencia de entropía que utiliza el demonio de Maxwell cuántico. La parte (a) muestra que los subsistemas A y B están inicialmente entrelazados y hay una entropía negativa debido a la correlación entre ambos subsistemas igual a . La entropía de los subsistemas A y B se puede reducir una cantidad   si se realiza una transformación unitaria del estado total. La parte (b) muestra que al realizar una medida del subsistema A se produce una transferencia de entropía del sistema hacia una memoria M. La correlación cuántica entre el sistema AB y la memoria M implica una ganancia de entropía igual a , que se compensa con la entropía positiva que gana la memoria M, igual a . La parte (c) muestra el sistema realimentado de control, cuyo papel es clave en el protocolo. Este sistema de control actúa sobre los subsistemas A y B, produciendo una entropía negativa y , cuyo origen es la correlación inicial y la ganancia debida a la información . Como consecuencia, la entropía total de los subsistemas A y B disminuye y se puede extraer trabajo útil de ellos. La correlación entre los subsistemas A y B, aunque no nula, no puede ser utilizada para extraer trabajo (al menos que se realice otra transformación unitaria en el sistema total).

Como esta explicación es muy técnica, requiere un comentario para legos (que obviamente incluirá “licencias poéticas” que los japoneses no han podido demostrar en su artículo). El demonio de Maxwell clásico actúa de la siguiente forma. Imagina dos cajas llenas de sendos gases a la misma temperatura. Entre ambas cajas se encuentra una trampilla bajo el control del demonio. El demonio deja pasar las moléculas lentas que se acercan a la trampilla desde la caja izquierda a la derecha, e impide que las moléculas lentas de la derecha salgan de ella. Además, el demonio deja pasar las moléculas rápidas que se acercan a la trampilla desde la caja derecha a la izquierda, e impide que las moléculas rápidas de la izquierda salgan de ella. Como resultado de la acción el demonio, la caja izquierda se calienta (la velocidad promedio de sus moléculas crece) y la caja derecha se enfría. Este gradiente de temperatura nos permite extraer trabajo útil del sistema. En el protocolo de acción del demonio cuántico se supone que las partículas de ambas cajas están entrelazadas, de tal forma que la acción del demonio sobre una de ellas implica la acción sobre la otra (es decir, al dejar pasar una partícula rápida de la caja derecha a la izquierda, también se está dejando pasar una lenta de la izquierda a la derecha). Por ello, la acción del demonio conduce a la producción del doble de trabajo en el caso cuántico que en el clásico.

Cómo medir la eficiencia energética de tu propio coche

Pere Roura (Universitat de Girona) y Daniel Oliu nos cuentan en “How energy efficient is your car?,” AJP 80: 588-593, July 2012, cómo medir de forma práctica la eficiencia energética de tu propio coche. Como ejemplo utilizan su Volkswagen Lupo 3L, un coche diseñado para ser muy eficiente con un motor diésel de tres cilindros, un peso de 830 kg y un consumo récord de solo 3 litros a los 100 km. Según su estudio solo el 28% de la energía del combustible se transfiere a las ruedas, lo que sin lugar a dudas es todo un récord en eficiencia para un vehículo comercial. Sin embargo, también nos recuerda que el 72% de la energía del combustible se pierde por aerodinámica, fricción, pérdidas mecánicas y térmicas. En los vehículos de gasolina, la eficiencia suele ser mucho menor. Para un vehículo típico se estima que solo el 12-13% de la energía del combustible se transmite a las ruedas, según el estudio de Joseph A. Carpenter, Jr. (Department of Energy, USA) et al., “Road Transportation Vehicles,” MRS Bull. 33: 439–444, 2008 [copia gratis], del que he extraído la figura de abajo.

 

Roura y Oliu nos proponen experimentos sencillos que los estudiantes de grado en ingeniería industrial, mecánica y otras titulaciones similares pueden ejecutar solo con conocimiento básicos de mecánica (resistencia del aire y a la rodadura) y termodinámica (ciclos térmicos). No traduciré todo su artículo, solo presentaré un breve resumen con las figuras clave, para que veáis cómo se realizan los experimentos y cómo se obtienen los resultados. Animo a los interesados en más detalles que consulten el artículo en la revista (American Journal of Physics), si tienen acceso, o que le pidan por correo electrónico una copia a Pepe Roura (que seguro que estará encantado por el interés despertado por su artículo).

Lo primero, calibrar el indicador de consumo de combustible del propio coche, comparando el consumo real (en litros por cada 100 km) y la lectura del sensor en una distancia grande, por ejemplo, 850 km. En el caso del Volkswagen Lupo 3L, la pantalla subestima el consumo real por un factor de 0,93.

El primer experimento tiene por objeto medir la eficiencia térmica del motor, comparando el consumo de combustible del coche a velocidad constante en varios tramos de carretera, tanto de pendiente ascendente como descendente. La diferencia entre el consumo de combustible por unidad de distancia cuando se va pendiente arriba (c_u) y cuando se va pendiente abajo (c_d) es igual a c_u − c_d = 2 m g h /(η Q_F d), donde m g h es el cambio en energía potencial del coche y el pasajero, d es la longitud de carretera recorrida, Q_F es la densidad de energía del combustible (3,56 × 10⁷ Julios por litro para el diésel) y η es la eficiencia térmica del motor.

Este figura muestra el resultado obtenido para el consumo medio y para la eficiencia térmica del motor, cuyo valor está alrededor del 40% (dentro de las incertidumbres experimentales no depende significativamente de la velocidad). Este valor es bastante razonable para un motor diésel y no se puede esperar una eficiencia del motor superior al 40% salvo en los motores de camiones pesados o cuando se usan en sistemas de generación de energía eléctrica. Por supuesto, en este valor de la eficiencia no se han tenido en cuenta las pérdidas mecánicas del motor.

Estimar la resistencia del aire (F_R) y la resistencia a la rodadura (F_D) se puede realizar midiendo el tiempo (Δt) necesario para incrementar la velocidad del vehículo en una cantidad fija, pongamos Δv = 10 km/h; este tiempo depende de si el vehículo va cuesta arriba Δt+ o cuesta abajo Δt-. Los autores del artículo deducen la fórmula F = F_R + F_D = (1/Δt+ 1/Δt-) m Δv/2; la figura de arriba muestra que F sigue una trayectoria parabólica con la velocidad F = A + B v², donde A = 110 N, y B =  0,33 N s²/m². Como resultado, el coeficiente de fricción de los neumáticos con el asfalto α_R, donde F_R = α_R N, se estima en α_R = 0,011, un valor bajo, ya que según otros estudios el valor normal para los neumáticos está entre 0,010 y 0,015.

El coeficiente aerodinámico α_D se define a partir de la fórmula  F_D = α_D ρ S v²/2, donde la densidad del aire ρ = 1,22 kg/m³ (a 500 m sobre el nivel del mar), el área de la sección transversal del coche es S (unos 1,56 m² para el coche estudiado) y su velocidad media es v. El valor calculado es α_D = 0,35, que está en la banda alta de los valores típicos para un coche que están entre 0,3 y 0,35, indicando que el Volkswagen Lupo 3L no es muy aerodinámico.

El consumo de combustible a menos de 2000 rpm es mayor rodando a 80 km/h que a 50 km/h, mientras que a 2700 rpm, este orden se invierte. En esta figura se muestra el efecto en el consumo de la marcha utilizada (cuarta, tercera y segunda) a estas dos velocidades 50 kmh y 80 km/h. La línea continua corresponde al trabajo mecánico (“work”) realizado por el motor, calculado multiplicando el consumo medio de combustible (c) y la eficiencia térmica del motor (η). A 50 km/h, la figura indica que el 60% de la energía del combustible se pierde en forma de calor dentro del motor y sólo el 40% realiza trabajo mecánico (línea gruesa). A 80 km/h el consumo de combustible crece debido al incremento en la resistencia del aire (la resistencia a la rodadura casi no cambia). Por ello, en términos generales, el consumo de combustible es superior a 80 km/h que a 50 km/h. Sin embargo, este orden se invierte por encima de unas 2000 rpm debido al incremento las pérdidas por fricción en el propio motor (que crecen con las revoluciones).

La eficiencia energética global del motor (η_B), llamada en inglés “brake efficiency,” se define como el cociente entre el trabajo útil desarrollado por el motor y la energía del combustible, es decir, η_B = W_u/(Q_F c), donde W_u es el trabajo útil por unidad de distancia, c es el combustible que se consume a lo largo de cierta distancia y Q_F es la densidad de energía del combustible. Como muestra la figura de arriba, esta eficiencia energética global no es constante y mejora conforme crece la marcha utilizada. Por ello se suele recomendar conducir a una marcha alta cuando se viaja a mayor velocidad.

Resumiendo todos los resultados se obtiene la figura que abre esta entrada. En un viaje típico, de cada 100 litros de combustible (diésel), solo 40 litros se convierten en trabajo, pero gran parte de este trabajo se consume en la fricción, con lo que solo unos 28 litros se transfieren a las ruedas. Este valor es más alto que el valor típico para un motor de gasolina, que está entre 12 y 13 litros.

Lo interesante de este estudio (aproximado) no son los resultados sino el método. Sencillo y fácil de repetir, cualquiera puede ponerlo en práctica con su propio vehículo, algo especialmente recomendado a los estudiantes de ingeniería. Por supuesto, si algún valiente se atreve que nos cuente sus resultados en los comentarios.

El padre de la física de estado sólido y de la materia condensada: Albert Einstein

Einstein fue el padre de la teoría de la relatividad y uno de los dos abuelos de la mecánica cuántica (junto a Planck). El artículo de 1907 de Einstein sobre la teoría del calor específico de los sólidos introdujo por primera vez la idea de que las vibraciones de la red de átomos de un sólido son responsables de sus propiedades termodinámicas, en particular de su calor específico. Dicho artículo fue el primero de una serie de artículos de Einstein que crearon la física del estado sólido y con ella la física de la materia condensada. La esencia del genio en estado en puro. Nos lo contó Manuel Cardona (Max-Planck-Institut für Festkörperforschung, Stuttgart, Alemania), “Albert Einstein as the Father of Solid State Physics,” pp. 85-114, Cien Años de Herencia Einsteniana, Universitat de Valencia, 2005. El artículo de Cardona, Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica en el año 1988,  forma parte de un ciclo de conferencias de hace un lustro cuyas actas merecen una relectura de vez en cuando. 

Tras su año milagroso (annus mirabilis), 1905, Einstein se dedicó a estudiar la teoría del calor en los sólidos. En concreto, las propiedades dinámicas de los fonones (vibraciones de la red de átomos) en un sólido aislante. La teoría de los electrones en un sólido tuvo que esperar al desarrollo de la estadística de Fermi-Dirac en 1926. Einstein consideró el caso más sencillo, que todos los átomos vibran a la misma frecuencia, sea la frecuencia media de vibración, llamada frecuencia de Einstein en su honor. Estas frecuencias se comportan como bosones, es decir, como fotones, por ello se llaman fonones, por lo que se estudian gracias a la teoría (cuántica) de la radiación de Planck. En 1911, Nernst (Premio nobel de Química en 1920) y su estudiante de doctorado Lindermann extendieron la teoría de Einstein a dos frecuencias de vibración (hoy corresponden a las frecuencias medias de vibración de los fonones llamadas acústicas y ópticas). También dicho año P. Debye estudió la teoría de las vibraciones elásticas de un sólido que incluía tanto un espectro discreto de frecuencias como uno continuo (hasta frecuencia cero). La teoría de Debye es más exacta que la de Einstein (y la de Nernst-Lindermann) para algunos materiales, como el diamante, como muestra la figura que acompaña esta entrada.

La importancia del artículo de Einstein de 1907, desde el punto de vista teórico, como catalizador y origen de toda la física del estado sólido es similar a la del descubrimiento por parte de H. Kamerlingh Onnes de la superconductividad en 1911. De hecho, Einstein escribió un modelo teórico de la superconductividad en 1922, pero sus ideas cayeron en saco roto pues no se conocía la teoría de Fermi-Dirac para un gas de electrones; aún así, su idea de que un estado coherente (hoy diríamos un estado de Bose-Einstein) era clave se confirmó muchas décadas más tarde gracias a la teoría BCS. Ya sabrás que las ideas del indio N. Bose sobre un estado coherente en un gas de fotones (o bosones) son de 1924.

La entropía termodinámica, la entropía de von Neumann y la segunda ley de la termodinámica en sistemas cuánticos mesoscópicos

¿Se puede introducir una entropía termodinámica para un sistema cuántico mesoscópico? Sí. ¿Qué relación hay entre la entropía de von Neumann y dicha entropía termodinámica? No son iguales cuando el sistema está acoplado fuertemente. ¿Es válida la segunda ley de la termodinámica? Para la entropía termodinámica sí, pero para la entropía de von Neumann no. Estas cuestiones pueden parecer baladíes pero han corrido muchos ríos de tinta discutiéndolas desde diferentes enfoques. La figura la he extraído de un artículo reciente que me ha hecho recordar lo obvio, que no por ampliamente conocido y reiterado, ha de ser obviado cuando se discuten este tipo de cuestiones. La figura compara la entropía (termodinámica) de un conjunto de osciladores armónicos cargados (curva en negro), con la entropía (termódinámica) de dichos osciladores acoplados por un campo magnético externo (curva en rojo) y con la entropía de von Neumann para dichos osciladores (curva en azul). La entropía de von Neumann se desvía de la entropía termodinámica para un sistema mesoscópico que esté entralazado con su entorno. En el régimen de acoplamiento débil, ambas entropías se pueden identificar, pero para acoplamiento fuerte, son muy diferentes. La entropía de von Neumann no tiene por qué ser nula en el cero absoluto de temperaturas y por tanto no puede ser utilizada para definir una temperatura del sistema. Sólo la entropía termodinámica permite hacerlo. El uso de la entropía de von Neumann para afirmar que la física de los sistemas cuánticos mesoscópicos viola la segunda ley de la termodinámica es un sinsentido en todos los sentidos. Lo que siempre hay que tener claro es que la entropía termodinámica es la que debe ser usada para verificar la segunda ley de la termodinámica y que la entropía de von Neumann tiene otros usos (medir la cantidad total de información cuántica en el sistema o cuantificar el entrelazamiento entre sus estados). Como ya hemos dicho en múltiples ocasiones en este blog, lo obvio, si bueno, dos veces obvio. El artículo en cuestión es Malay Bandyopadhyay (Universidad de Toronto, Canadá), “Does the second law hold in the quantum regime?,” Physica Scripta 81: 065004, 19 mayo 2010 [artículo de acceso gratis], que me ha hecho recordar G. W. Ford, R. F. O’Connell, “A Quantum Violation of the Second Law?,” Physical Review Letters 96: 020402, 18 January 2006 [preprint en ArXiv]. Más información, valga la redundancia, sobre información, información cuántica y entropía de von Neumann en Charles H. Bennett, David P. DiVincenzo, “Información y computación cuántica,” Nature 404: 247-255, 2000 (traducción y revisión de Adán Cabello, 2002).

Las cuatro leyes de la termodinámica describen de forma fenomenológica los sistemas físicos macroscópicos y permiten determinar sus cambios de volumen, presión y temperatura. La ley cero introduce el concepto de equilibrio térmico y permite definir el concepto de temperatura. La primera ley es la ley de la conservación de la energía. La segunda ley introduce el concepto de entropía y que en un sistema fuera del equilibrio la entropía crece asintóticamente hasta alcanzar un valor máximo constante en equilibrio. Finalmente, la tercera ley afirma que conforme la temperatura se acerca al cero absoluto, la entropía del sistema se aproxima a un valor mínimo constante. Es decir, la entropía depende de la temperatura y se puede definir el concepto de cero absoluto. Estas leyes para sistemas físicos macroscópicos se pueden deducir/entender en el contexto de la mecánica estadística (clásica) y la mecánica estadística cuántica. En un sistema cuántico (microscópico) con muy pocos grados de libertad, estas leyes y estos conceptos termodinámicos pierden su significado. Pero, ¿qué pasa en un sistema (cuántico) mesoscópico?

La entropía de von Neumann para muchos sistemas cuánticos mesoscópicos no cumple con la segunda ley de la termodinámica. Sin embargo, para todo sistema mesoscópico se puede definir una entropía termodinámica, por ejemplo a partir de su energía libre, que sí cumple con la segunda ley de la termodinámica (el artículo de Ford y O’Connell en PRL nos indica una posible manera de hacerlo). En sistemas mesoscópicos débilmente acoplados con el entorno las entropías de von Neumann y termodinámica coinciden, pero en sistemas fuertemente acoplados con el entorno no es así. Bandyopadhyay nos ilustra estas cuestiones utilizando dos ejemplos, un sistema de osciladores cargados acoplado a un baño térmico sometido, por un lado, a un campo magnético externo y, por otro lado, a un campo eléctrico rápidamente oscilatorio. Cuando el acoplamiento es finito, aunque sea pequeño, el estado fundamental (el de mínima energía) del sistema acoplado no coincide con el sistema libre, siendo la diferencia proporcional a la energía de acoplamiento. Este exceso de energía en el cero absoluto de temperaturas, lleva a inducir erróneamente que se observa una violación cuántica de la segunda ley de la termodinámica (por ejemplo, gracias a transiciones por efecto túnel desde el estado fundamental con acoplamiento al estado fundamental libre). Esta violación es muy pequeña, por supuesto, pero es una violación al fin y al cabo. Una violación que permitiría un perpetuum mobile cuántico, permitiría un proceso cíclico para extraer energía “gratis” del entorno cuántico. Extraer energía “gratis” del vacío cuántico es un sueño de novela de ciencia ficción y quizás en dicho reino permanecerá siempre.

Entropía termodinámica, entropía de von Neumann para la matriz de densidad reducida para un sistema cuántico, entropía de la información de Shannnon, entropía en agujeros negros, etc. Muchas entropías que a veces coinciden pero que a veces no lo hacen. Muchas entropías con las que tenemos que lidiar con extremo cuidado para no abusar de su uso, para no violar el contexto en el que son aplicables. Contextos que no son disjuntos, pero tampoco coincidentes.

La gravedad como una manifestación macroscópica de la termodinámica del vacío en teoría cuántica de campos

La segunda ley de la termodinámica y la gravedad de Einstein están intimamente relacionadas. Las ideas de Bekenstein y Hawking que asocian entropía y temperatura a los agujeros negros han llevado a algunos autores a pensar que la gravedad tiene un origen termodinámico. Ted Jacobson ya lo propuso en 1995: las ecuaciones de Einstein son ecuaciones de estado para el vacío cuántico. Los españoles Elizalde y Silva demostraron en 2008 que lo mismo ocurre para cualquier teoría de la gravedad que dependa del escalar de Ricci. Ahora Ram Brustein y Merav Hadad demuestran que también es cierto para cualquier teoría de la gravedad que dependa de la métrica. Más general, casi, imposible. Ideas que nos llevan a una nueva vía para entender la gravedad. El artículo original de Ted Jacobson, “Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State,” Phys. Rev. Lett. 75: 1260-1263, 1995. Emilio Elizalde, Pedro J. Silva, “f(R) gravity equation of state,” Phys. Rev. D 78: 061501, 2008. El nuevo Ram Brustein, Merav Hadad, “Einstein Equations for Generalized Theories of Gravity and the Thermodynamic Relation dQ = T dS are Equivalent,” Phys. Rev. Lett. 103: 101301, 2009.

Cualquier horizonte de sucesos acelerado tiene una relación entre su entropía y su área similar a la de un agujero negro. Esta relación es muy general como se puede demostrar utilizando la carga de entropía de Noether. ¿Qué pasa con otras teorías de la gravedad? Sorprendentemente, esta relación es muy general e independiente de la teoría utilizada. ¿Por qué? No se sabe, pero Brustein y Hadad sugieren que es debido a que la gravedad es un fenómeno de origen termodinámico. ¿Termodinámica de qué? Ellos creen que es la termodinámica del vacío (estado de mínima energía) en teorías cuánticas de campos (en las que se asume la relatividad especial, pero no la general). Brustein y Hadad han sido capaces de identificar las cantidades termodinámicas más importantes (como temperatura y entropía) a partir de un lagrangiano para una teoría de la gravedad completamente general: basta que dependa del tensor métrico fundamental. Más aún, en dicha teoría si el tensor de energía-momento es semidefinido positivo, necesariamente se cumple la segunda ley de la termodinámica.

¿Por qué están íntimamente ligadas la termodinámica y la gravedad? Es difícil ofrecer una respuesta en la actualidad. Los autores especulan que la entropía de los agujeros negros es el resultado del entrelazamiento (entanglement) cuántico de grados de libertad ocultos (que tendrá que describir una teoría cuántica de la gravedad).

Las avispas japonesas gigantes son asfixiadas en cámaras de gas por enjambres de abejas melíferas

Las abejas melíferas japonesas matan a las avispas gigantes japonesas gaseándolas con CO2 en una sauna a 46 ºC formada por un enjambre a su alrededor. La avispa gigante japonesa (Vespa mandarinia japonica) es un feroz depredador de las abejas melíferas japonesas (Apis cerana japonica). Se pensaba que la avispa moría por el calentamiento, sin embargo, se ha demostrado que las avispas sobreviven a dichas temperaturas sin problemas. Un nuevo estudio ha mostrado que en el interior de la “sauna” el nivel de CO2 crece un 3.7%. Sorprendentemente, las avispas mueren a 46 ºC en dicha atmósfera asfixiante. El artículo técnico es de los investigadores Michio Sugahara y Fumio Sakamoto, de la Kyoto Gakuen University, Japón, titulado “Heat and carbon dioxide generated by honeybees jointly act to kill hornets,” Naturwissenschaften, In Press, 24 junio 2009. Nos lo han comentado en el número de hoy de Nature “Animal behaviour: Smothered by a swarm,” Research Highlights Nature 460: 308, 16 July 2009.

Los investigadores japoneses han medido la temperatura en el interior de las “bolas de abejas” que crece con el tiempo hasta alcanzar unos 46 ºC. Las avispas en condiciones normales sobreviven sin problemas a dicha temperatura. Sin embargo, en el interior de las “bolas de abejas” la concentración de CO2 crece en los primeros 5 minutos hasta alcanzar un incremento del 3.6 ± 0.2%, similar a la que se produce en la expiración de los humanos (incrementos del 3.7 ± 0.44%). Esta concentración es letal para las avispas si viene acompañada de una temperatura entre 45–46°C. Esta concentración de CO2 es peligrosa para las abejas si la temperatura alcanzara entre 50–51°C. Las abejas logran matar a su feroz depredador gracias a una combinación de temperatura y gas.

Incrementar la entropía de la Tierra primitiva como posible origen de la vida

Si la vida tiene un origen termodinámico, la vida podrá ser explicada termodinámicamente. Así lo cree K. Michaelian en dos artículos en los que discute esta idea. La Tierra hace 4000 millones de años recibía una radiación solar veintitantos órdenes de magnitud superior a la actual con un pico alrededor de 260-280 nm. Las moléculas de ARN/ADN se encuentran entre las más eficientes absorbiendo esta radiación a presiones de una atmósfera. La enorme entropía sobre la Tierra en dicha época podía ser catalizada gracias a estas moléculas. En mi opinión, la idea es muy discutible, pero creo que muchos lectores de este blog estarán interesados en leer estos artículos de K. Michaelian, ”Thermodynamic Origin of Life,” ArXiv, Submitted on 1 Jul 2009, y ”Thermodynamic Function of Life,” ArXiv, Submitted on 30 Jun 2009. Permitidme traducir libremente los resúmenes de ambos artículos.

“Comprender la función termodinámica de la vida puede acercarnos a su origen. La producción de entropía en los sistemas alejados del equilibrio termodinámico es una medida natural de la tendencia de la Naturaleza para explorar todos los microestados alcanzables. El proceso que produce la mayor cantidad de entropía en la biosfera es la absorción y transformación de la luz del Sol. Según el autor, la vida se inició y existe hoy en día como catalizador dinámico de la absorción y transformación de la luz solar en calor, que puede ser redistribuido eficientemente por el ciclo del agua, los huracanes, las corrientes oceánicas y las corrientes de viento. Las moléculas de ARN y ADN se encuentran entre las moléculas más eficientes conocidas para absorber la luz ultravioleta que podría haber penetrado en la densa atmósfera primigenia, y además son muy rápidas a la hora de transformar esta luz en forma de calor que puede ser rápidamente absorbido por el agua líquida. Según el autor, el origen y la evolución de la vida estaría mediado por el imperativo termodinámico de incrementar la producción de entropía en la Tierra.”

“Aunque la teoría de la evolución de Darwin nos muestra la vida como un proceso de competencia por la supervivencia en un ambiente hostil, desde un punto de vista termodinámico, la vida es un proceso dinámico, fuera del equilibrio, que coevoluciona con su entorno abiótico. La componente viva de la biosfera con mayor masa son las plantas y las cianobacterias que se encargan de transpirar enormes cantidades de agua. Este proceso es clave en el ciclo del agua en la Tierra y la distingue de otros planetas vecinos, como Venus y Marte. El ciclo del agua, incluyendo la absorción de radiación solar en la biosfera, es con mucho el mayor proceso de producción de entropía en la Tierra. La función de la vida, desde esta perspectiva, es fundamentalmente termodinámica, actuando como un catalizador dinámico para la producción de energía. El papel de la vida animal, desde este punto de vista, es meramente servir a las plantas y a las cianobacterias para realizar su función termodinámica, ayudándolas a crecer y a dispersarse en áres inicialmente inhóspitas.”

Curiosas las ideas de Michaelian.

Por cierto, en Menéame podéis encontrar “Los rayos pudieron haber “cocinado la comida” para la vida primitiva (ING)” (traducido al español aquí) y entre los comentarios una recomendación de lectura “La cuestión del origen de la vida en la Tierra.”

¿Vas a tomar agua? ¡¿No recuerdas lo que le hizo al cañón del Colorado?!

Odiar al agua es fundamental para la vida.

“Imagina que eres una molécula de agua sobre una superficie hidrofóbica (que repele el agua). Quizás tengas la suerte de formar con otras moléculas de agua una gota,” como las que recientemente hemos observado en nuestros paraguas o en las hojas de los árboles. “Pero, ¿qué pasa si estás dentro en la parte de la gota de agua que está cerca de la superficie hidrofóbica?”  Te gustaría huir de la superficie, pero no puedes. ¡Qué frustración! Sufres el llamadao “efecto hidrofóbico.” Nos lo cuentan Steve Granick y Sung Chul Bae, “A Curious Antipathy for Water,” Science 322: 1477-1478, 5 December 2008 .

El efecto hidrofóbico es fundamental, por ejemplo, en biología (para la vida misma). Un ejemplo típico son las cadenas de aminoácidos, de los que la mitad son hidrofóbicos y la otra mitad hidrofílicos, permitiendo que las proteínas se plieguen de una forma muy complicada (estructura terciaria), fenómeno en gran parte supeditado al efecto hidrofóbico. Otro ejemplo, el hecho de que el agua y las grasas (como el aceite) no se mezclen es fundamental para al autoensamblado de estructuras moleculares como las membranas celulares. De hecho, nuestras células retienen agua en su interior gracias a este efecto.

A Kirk Douglas borracho, la borrachera le hace estar más sereno que nunca (lo confiesa su personaje, claro).

Los “borrachos” siempre han sido hidrófobos. Cada día están menos de moda los borrachos. Los nanotubos de carbono están cada día más de moda. ¿Son “borrachos” los nanotubos de carbono? Perdón. ¿Son hidrófobos? Sí. ¿Qué consecuencias tiene la hidrofobicidad del agua dentro de un nanotubo de carbono? Las moléculas de agua forman cadenas largas dentro del nanotubo, gracias a enlaces de hidrógeno (debidos a la polaridad de las moléculas de agua), mostrando una sorprendente propiedad: el flujo de dichas cadenas de agua en el nanotubo carece de fricción. ¿Cómo? Comportamiento “superfluido” para el agua dentro de un nanotubo de carbono. ¡Increíble! Más aún, el comportamiento es reversible. Si se baja la temperatura por debajo de 8°C, el nanotubo de carbono se vuelve hidrófilo y el comportamiento anterior desaparece. Esta observación experimental abre grandes posibilidades para el uso de los nanotubos de carbonos en la detección selectiva de compuestos químicos controlados por la temperatura. Especialmente de compuestos solubles en agua. 

Realmente, un comportamiento muy extraño. ¿Por qué? Los estudios por ordenador muestran que el comportamiento hidrofóbico del agua depende mucho del tamaño del objeto hidrofóbico y de su curvatura. Las moléculas de agua ante materiales hidrófobos de radio de curvatura menor que un nanómetro no son capaces de “notar” su hidrofobicidad. El comportamiento hidrofóbico habitual se observa en objetos cuya superficie es más plana que esto.

El mundo “nano”  siempre repleto de sorpresas. Su aprovechamiento, la nanotecnología, nos reserva muchas más sorpresas.

Odiar al agua es fundamental para la vida del “borracho.” También será fundamental para gran número de aplicaciones nanotecnológicas. Borrachos y tecnólogos compartiendo algo en común. Será el placer por el buen vino. Será el placer por la cerveza bien fresca. Hay que cantar: “Que será, será,” … vamos, canta con Doris Day.

La fí­sica de la cafetera (o como obtener un café a la temperatura óptima)

¿Te gusta el café? Quizás te interese conocer la fí­sica de la cafetera “estándar”. Concetto Gianino, “Experimental analysis of the Italian coffee pot “moka”,” American Journal of Physics, 75: 43-47, 2007, presenta la termodinámica de la cafetera mostrando que, aunque es termodinámicamente muy ineficiente como máquina de calor, no importa, ya que lo que realmente queremos es que el café resultante tenga un buen sabor. El artículo, desafortunadamente, no nos aclara cuándo se obtiene un café ideal (en cuanto a sabor).

¿Cómo es el café espresso ideal? Ernesto Illy, “The complexity of coffee,” Scientific American, 286: 86­91, 2002, presenta un estudio de la quí­mica del café recién hecho y muestra que los sabores que se consideran más agradables se obtienen cuando la temperatura del agua es del orden de 93ºC, la presión es suficiente para permitir que el volumen de agua que atraviese el “cazo” de café granulado de la cafetera “moka” corresponda a una sola taza (entre 30­ y 50 mililitros) y el agua fluya a través de éste durante unos 30 segundos o menos. Si el agua está más caliente de 95ºC, el café tiende a saber “quemado”, y si es menor que 93ºC, algunos de los sabores “más gustosos” del café se quedan en el grano.

¿Cómo podemos obtener un café ideal en una cafetera “estándar”? Warren D. King, “The physics of a stove-top espresso machine,” American Journal of Physics, 76: 558-­565, June 2008, presenta un análisis de la cafetera estándar (exactamente la que aparece en la foto; por cierto, yo tengo una igual) con objeto de determinar la cantidad de agua con la que hay que rellenarla para obtener un café a la temperatura óptima (en el rango de 90­ a 95 ºC).

El funcionamiento de la cafetera es bien conocido. Se llena parcialmente de agua la vasija (vessel) a presión y se pone al fuego. El agua caliente se eleva por el tubo (exit tube) hasta alcanzar el contenedor con el café (coffee plug). Mezclada con el café el agua caliente sale por la parte superior en forma de café líquido. Este proceso puede durar varios minutos. El agua fluye hasta que el nivel de agua dismuye hasta que su nivel cae por debajo del tubo (exit tube). En este momento sólo vapor de agua puede ascender hacia arriba, produciendo el conocido “pitido,” señal sonora que nos advierte que el café está listo para ser servido.

¿Hay que esperar a que el agua hierva? No, aunque la mayoría de los manuales afirman que sí y que la presión dentro de la vasija tiene que ser la presión de vapor del agua. Esto no es necesario. De hecho, se puede obtener un café de mejor calidad si no permitimos que el agua llegue a hervir, eso sí, siempre y cuando no nos importe dejar de escuchar un sonoro ”pitido”.

Por supuesto, si calentamos la cafetera hasta una temperatura inferior a 100ºC el volumen de agua que se asciende como café puede ser inferior al volumen de la vasija. Si queremos un café mejor habrá que desaprovechar cierta cantidad de agua. Lo ideal es que el café se “cocine” a una temperatura inferior a 95ºC, aunque superior a 90ºC.

El artículo de Warren D. King presenta un modelo muy fácil de entender para la física de la cafetera que el propio autor valida utilizando datos experimentales de propia cosecha. Los experimentos son fáciles de repetir y pueden ser un buen objeto de estudio práctico para un laboratorio de física o de termodinámica.

Muchos dicen que los italianos son los reyes del buen café. Si sabes italiano (o te atreves a leer algo escrito en italiano) el artículo A. Varlamov, G.Balestrino, “La fisica di un buon caffè,” será de tu interés.

Juegos con fuentes de coca-cola y su explicación física

Los géiser de Coca Cola se producen tras la introducción de un caramelo Mentos. Dos marcas en una sola entrada, pero ¿cómo funciona la reacción entre ambos? ¿Cómo se genera una fuente de tipo chorro explosivo tan espectacular (ver el video)? Parece ser que este curioso fenómeno fue mostrado en T.V. por primera vez en 1999 en el show nocturno del famosísimo David Letterman (dónde si no). El artículo de Tonya Shea Coffey, “Diet Coke and Mentos: What is really behind this physical reaction?,” American Journal of Physics, 76: 551-­557, June 2008 , nos presenta detalles concretos sobre este interesante fenómeno físico-quí­mico.

La cafeí­na de la Coca Cola afecta poco a la reacción (como se demuestra fácilmente usando Coca Cola sin cafeí­na). Los ingredientes de la soda que contribuyen a la reacción son el edulcorante “aspartamo” y el conservante benzoato potásico, que facilitan la formación de burbujas, aunque el primero parece contribuir más a la reacción que el segundo. En cuanto al caramelo Mentos, da lo mismo que sea de menta o no, tampoco es determinante su rugosidad o su forma. De hecho, la reacción explosiva también se produce con otros objetos.

La explosión se produce por la liberación del dióxido de carbono a presión contenido en la Cola. Influyen dos factores básicos, la rugosidad del caramelo Mentos, que ofrece muchos lugares donde las burbujas de CO2 pueden formarse (nuclear) y la goma arábiga (polisacárido de origen natural que se extrae de ciertas acacias) contenida en el Mentos que reduce la tensión superficial del CO2 permitiendo su rápida liberación. Ambas causas pueden provocar el fenómeno y juntas lo intensifican. Los objetos que presentan menos rozamiento viscoso y que por tanto caen más rápido en la Cola causan explosiones más violentas. Cuanto menos dura la reacción química, más explosiva es. De hecho, en los experimentos realizados en el artículo descubren que si se caliente la Cola, la reacción es más explosiva aún.

Desde el punto de vista del docente de física o química, la reacción Cola-Mentos es una demostración sencilla de los principios básicos de la física, química, termodinámica, física de superficies y física de las explosiones. Es un experimento fácil de repetir, aunque “pringoso,” pero ello también tiene su atractivo para los alumnos.

El calor y el “calor” humano, más próximos de lo que imaginas

Termodinámica y Ciencias Sociales, áreas del conocimiento muy alejadas, pero al mismo tiempo muy próximas: todos nosotros somos Motores Térmicos y nuestras relaciones interpersonales se ven influidas por ello, como han estudiado Lawrence E. Williams y John A. Bargh, ”Experiencing Physical Warmth Promotes Interpersonal Warmth,” Science, 322: 606-607, 24 October 2008 . La “calidez” humana es uno de los rasgos positivos que más destacamos cuando juzgamos a una persona. Los psicólogos ya habían resaltado la importancia del contacto físico, el sentir el “calor” corporal de nuestros padres, durante la infancia para el futuro desarrollo psicosocial en la edad adulta. La relación entre la temperatura (calor) y la “calidez” interpersonal se ve modulada por la corteza insular de nuestro cerebro, también llamada simplemente ínsula, que se encuentra ubicada en la superfice lateral del cerebro, dentro del surco de Silvio, que separa las cortezas temporal y parietal inferior. ¿Somos conscientes del efecto de la temperatura termodinámica en nuestras relaciones personales? ¿Es algo inconsciente?

Williams y Bargh han experimentado con sujetos con objeto de verificar la hipótesis de que las experiencia de física de calor (o frío) aumenta la sensación de “calor” interpersonal (o “frío”), sin que la persona sea consciente de esta influencia. Su estudio es realmente curioso. Estudiaron el comportamiento social  de individuos delante de una taza de café caliente o con hielo. A mucha gente no le gusta el café con hielo, le parece “poco gustoso” (por ejemplo, a la mayoría de los latinoamericanos). En el experimento, los sujetos tenían que juzgar la personalidad de otros (si son “cálidos”, generosos) tras un contacto interpersonal (claro, la mano de los que consumían café caliente estaba más caliente que la de los que lo consumían helado). Los resultados confirmaron la hipótesis ,en una escala de 1 (“persona fría”) al 7 (“persona cálida”) los sujetos juzgarón con un 4.71 (en media) a los que antes habían tocado brevemente una taza de café caliente y con un 4.25 a los que habían tocado la taza más fría.

En un segundo experimento, se utilizó una almohadilla terapéutica fría o caliente que ciertos participantes tenían que evaluar ante la atención de otros. Estos últimos, podían premiar a los participantes que consideraran merecedores de premio por su actitud, a los que considerarían “más amigos”, con un ticket de descuento de un dólar para una heladería cercana. Además, a la mitad de los participantes se les pidió que elegieran entre recompensarse a sí mismos por su trabajo de “jueces” o recompensar a los “buenos” participantes. Los “jueces” ignoraban el hecho de que había dos tipos de almohadillas (frías y calientes).

La hipótesis en estudio se vio confirmada, los participantes a los que le tocó evaluar una almohadilla caliente fueron más premiados que los que tuvieron la “mala suerte” de recibir la fría. Los “jueces” preferían autoregalarse (75%) que regalar a un participante si éste había tocado la almohadilla fría, pero, sin embargo, no les importaba premiar a los otros (54%).

En resumen, el “calor” humano tiene una componente termodinámica más importante de lo que imaginamos.

PS: Había olvidado que “El calor de la madre es importante,” en El País nos lo recuerdan (11/nov/2008).

La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía

Cuando inicié este blog el 1 de enero de 2008, me prometí a mí mismo no insertar fórmulas matemáticas y creo que lo he cumplido “razonablemente”. He de confesar que alguna se me ha colado. Tiendo a ver la realidad con fórmulas matemáticas y, desafortunadamente, la mayoría de la gente no la ve igual.

Las tres fórmulas de la izquierda están sacadas del artículo de los italianos V. Bertola y E. Cafaro, “On the speed of heat,” Physics Letters A, 372: 1-4, 2007. Es un artículo fácil de leer que le da una nueva vuelta de tuerca a la discusión (paradoja) de la velocidad infinita de propagación del calor según la Ley de Fourier. Paradoja desde los tiempos de I. Stefan, 1863, y J.C. Maxwell, 1867. Otro italiano, C. Cattaneo, ya propuso en 1948 una manera de resolver esta paradoja, la Ley (o ecuación) de Cattaneo, una versión “mejorada” de la Ley de Fourier pero con la propagación del calor a velocidad finita. Otros investigadores han desarrollado otras leyes no lineales que también muestran dicha propiedad. Este tópico tiene cierto interés en nanotermología (un campo emergente con un prometedor futuro). Pero no nos vayamos a la bartola, ¿qué han aportado Bertola y Cafaro?

¿Qué significa que según la Ley de Fourier el calor se propaga a velocidad infinita? En una barra que conduzca el calor (metálica) semi-infinita (muy larga) un pulso de calor en el extremo finito produce instantáneamente un valor no nulo (pequeñísimo) en el otro extremo (infinitamente lejano). ¿Físicamente es posible? ¿Viola la teoría de la relatividad de Einstein? El calor es reflejo de la agitación térmica (energía cinética) de los constituyentes del medio (electrones y red cristalina en un metal). Tanto los electrones como los fonones (partículas que “modelan” la vibración cristalina) se propagan a una velocidad finita (inferior a la velocidad de la luz).

¿Cómo es posible que el calor se propague más rápido que la luz? La velocidad de fase de la onda de calor podría ser más rápida que los electrones y fonones. Imaginemos que iluminamos la Luna con un láser (partículas a la velocidad de la luz). Si mueves el láser, el punto iluminado en la Luna se mueve a una velocidad mayor que la velocidad de la luz (su velocidad de fase). Esto no sirve para enviar información más rápido que la luz en la Luna y no viola la relatividad de Einstein. Lo mismo lo tenemos en las olas humanas en un estadio de fútbol. La ola se mueve a unos 12 metros (20 asientos) por segundo, es decir, unos 43 km/hora (estimación de I. Farkas, D. Helbing, T. Vicsek, “Mexican waves in an excitable medium,” Nature, 419: 131-132, 2002). Obviamente, ningún aficionado se levanta y vuelve a sentar en su asiento a una velocidad de 40 km/h. La velocidad de la ola es velocidad de fase. Lo mismo le pasa a los electrones y a los fonones. La “onda” de calor podría propagarse más rápido que ellos. Quizás os interese P. Villaggio, “The apparent propagation velocity of a wave,” Rend. Mat. Acc. Lincei, 12: 191-197, 2001.

Me voy por las ramas, volvamos a Bertola y Cafaro. ¿Qué han hecho? Mira las fórmulas de la figura. La primera es la ecuación del calor (T es la temperatura). La segunda es la misma ecuación, pero escrita como una ecuación de transporte (ecuación de onda) cuya velocidad (finita para temperatura no nula) es la tercera fórmula. Ellos llaman velocidad del calor a esta última fórmula. ¿Qué significa físicamente? Según ellos es proporcional a la tasa de generación de entropía. Es decir, aunque “aparentemente” el calor se propaga a velocidad infinita, la entropía (mejor medida de la agitación térmica que el calor) se propaga a una velocidad finita. Para resolver la paradoja, no hay que cambiar la Ley de Fourier, sólo hay interpretarla “correctamente”.

Los interesados en más información sobre las “ondas de calor” deberían leer el interesante artículo de D. D. Joseph y L. Preziosi, “Heat waves,” Reviews of Modern Physics, 61: 41-73, 1989 [preprint gratis], tan interesante que tiene segunda parte (más detalles históricos) en “Addendum to the paper “Heat waves”,” Rev. Mod. Phys. 62: 375-391, 1990 [preprint gratis].

¿Se porta bien la Ley de Fourier en sistemas nanométricos? Parece ser que sí, M. Michel, M. Hartmann, J. Gemmer, G. Mahler, “Fourier’s Law confirmed for a class of small quantum systems,” The European Physical Journal B, 34: 325-330, 2003.

¿Podemos escribir una ley del calor tipo Fourier pero invariante relativista? No te molestes en refrescar tus conocimientos de teoría de la relatividad, ya ha sido inventada por unos “chinitos” afincados en Australia, Y.M. Ali, L.C. Zhang, “Relativistic heat conduction,” International Journal of Heat and Mass Transfer, 48: 2397-2406, 2005.