Nota dominical: El problema del viajante

El problema del viajante consiste en encontrar el camino más corto que permite visitar una serie de ciudades conectadas por carreteras volviendo al punto de partida y visitando cada ciudad una sola vez. No hay ningún algoritmo eficiente para resolver este problema (que es NP-duro [1]). En 1950 los ordenadores permitían resolver un problema con 50 ciudades, en 1980 con unas 2300 ciudades y en 2006 se alcanzó el récord actual, 85900 ciudades (en la figura aparecen 13509 ciudades de EEUU). Los informáticos han tratado de descubrir algoritmos eficientes que aproximen la solución del problema. En 1976, Nicos Christofides (Imperial College, Londres) desarrolló un algoritmo eficiente que produce caminos cuyo coste excede al óptimo en menos del 50% [2]. ¿Se puede mejorar? En 2011, se logró mejorar el algoritmo de Christofides con un nuevo algoritmo eficiente que excede del óptimo en menos del 49,99999999999999999999999999999999999999999999999996 por ciento [3]. ¿Por qué ha costado tanto obtener una ventaja tan pequeña? Nadie lo sabe, pero resulta muy sugerente. Nos lo cuenta Erica Klarreich, “Computer Scientists Take Road Less Traveled. After decades without progress, new shortcuts are discovered in the traveling salesman problem,” Simons Foundation, Jan 29, 2013.

Referencias

[1] Richard M. Karp (Univ. California at Berkeley), “Reducibility among combinatorial problems,” pp 219-241 in “50 Years of Integer Programming 1958-2008,” Springer, 2010 [free pdf].

[2] N. Christofides, “Worst case analysis of a new heuristic for the traveling salesman problem,” Report 388, Graduate School of Industrial Administration, Carnegie-Mellon University, Pittsburgh, PA, 1976.

[3] Shayan Oveis Gharan, Amin Saberiy, Mohit Singh, “A Randomized Rounding Approach to the Traveling Salesman Problem,” IEEE 52nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), 2011, pp. 550-559 [free pdf].

Nota dominical: Einstein y Ehrenfest discutieron el colapso de la función de onda en 1922

Puede parecer increíble, pero el problema del colapso de la función de onda cuántica fue discutido por Albert Einstein y Paul Ehrenfest en un artículo conjunto que se envió en 1922, poco después de la publicación del famoso experimento de Stern y Gerlach. Durante una visita de Einstein a Ehrenfest en Leiden (Países Bajos), entre el 29 de abril y el 13 de mayo de 1922, discutieron el famoso experimento de Stern-Gerlach (enviado a publicación el 1 marzo) y escribieron un artículo conjunto que enviaron a publicación el 21 de agosto. El artículo de Einstein-Ehrenfest discute el problema de la medida en mecánica cuántica y la importancia del colapso de la función de onda si lo leemos desde un punto de vista moderno( ya que el concepto de función de onda aún no había sido introducido por Erwin Schrödinger). “¿Cómo saben los átomos que dirección tomar en el experimento?” Si el proceso fuera clásico, Einstein y Ehrenfest calculan que la desviación de los átomos requeriría miles de millones de segundos, cuando según el experimento el proceso tarda menos de 100 microsegundos. Por ello, afirman que el experimento muestra una transición brusca entre estados cuánticos (hoy diríamos que muestra el colapso de la función de onda) y que se trata de un experimento ideal para ilustrar las diferencias entre la medida en física clásica y en física cuántica. Realmente sorprendente, sobre todo, porque el problema de la medida en mecánica cuántica no se empezó a discutir hasta un lustro más tarde. Nos lo cuenta Issachar Unna, Tilman Sauer, “Einstein, Ehrenfest, and the quantum measurement problem,” Ann. Phys. 525: A15–A19 (2013). El artículo técnico original es A. Einstein, P. Ehrenfest, “Quantum Theoretical Comments on the Experiment of Stern and Gerlach,” Zeitschrift fur Physik 11: 31-34, 1922.

Nota dominical: La paradoja de Fermi y la ley de Stigler

La ley de la eponimia de Stigler (1980) afirma que “ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo descubrió en primer lugar.” La historia de la paradoja de Fermi es un buen ejemplo. La paradoja y una solución se publicaron por primera vez en 1975, dos décadas después del fallecimiento de Fermi, por M. H. Hart [1] y D. Viewing [2]. Pronto se descubrió que Enrico Fermi (1901-1954) se planteó de manera informal la paradoja en el verano de 1950, durante un almuerzo con Emil Konopinski (1911-1990), Edward Teller (1908-2003) y Herbert York (1921-2009); la historia la contó en detalle Eric Jones en 1985 [3], quien publicó en 1981 una solución a la paradoja utilizando simulaciones de Montecarlo.

Sin embargo, la paradoja tiene un origen más antiguo. En 2002, en su libro con 50 soluciones a la paradoja de Fermi, S. Webb [4] cuenta que uno de los padres de la astronáutica rusa, K. Tsiolkovski (1857-1935), descubrió la paradoja en 1933; en su opinión el nombre correcto de la paradoja debería ser paradoja de Tsiolkovsky-Fermi-Hart-Viewing. Hace unos días, N. Prantzos [5] apuntaba aún más atrás, a 1686, cuando el novelista francés Bernard le Bovier de Fontenelle (1657-1757) [6] aplicó la paradoja al sistema Tierra-Luna.

La paradoja de Fermi fue popularizada por Carl Sagan [7], quien ya había discutido de pasada la idea en un artículo de 1963 y en un libro de 1968 [8]. Hart aprovechó para editar un libro donde se recopiló un buen número de soluciones [9]. Y desde entonces hasta ahora. ¿Qué pensaría Fermi al saberse “padre putativo” de la paradoja?

Referencias

[1] M.H. Hart, “An explanation for the absence of extraterrestrials on Earth,” Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society 16: 128-135, 1975 [copia].

[2] D. Viewing, “Directly interacting extra-terrestrial technological communities,” British Interplanetary Society Journal 28: 735-744, 1975.

[3] Eric M. Jones, ”Where Is Everybody? An Account of Fermi’s Question,” Los Alamos National Laboratory (LANL), LA-10311-MS, March 01, 1985 [copia pdf].

[4] Stephen Webb, “If the Universe Is Teeming with Aliens … Where is everybody?: Fifty Solutions to the Fermi Paradox and the Problem of Extraterrestrial Life,” Springer, New York, 2002 [copia pdf].

[5] Nikos Prantzos, “A joint analysis of the Drake equation and the Fermi paradox,” arXiv:1301.6411, 27 Jan 2013.

[6] Bernard le Bovier de Fontenelle, “Entretiens sur la pluralité des mondes” ["Conversaciones acerca de la pluralidad de los mundos"], 1686.

[7]  W. T. Newman, C. Sagan, “Galactic civilizations: Population dynamics and interstellar diffusion,” Icarus 46: 293-327, 1981 [copia pdf].

[8] S. Shklovski, C. Sagan, “Intelligent Life in the Universe,” Holden-Day, Inc., San Francisco, 1968 [page 448].

[9] M. H. Hart, B. Zuckerman (eds.), “Extraterrestrial: Where Are They?,” Pergamon Press, New York, 1982.

Nota dominical: El enigma del color rojizo de Sirio entre los años 800 a.C. y 600 d.C.

En 1760, Thomas Barker, “On the Mutations of Stars,” Philosophical Transactions of the Royal Society, escribió que Arato, Horacio, Cicerón, Séneca y Tolomeo clasificaban a Sirio, la estrella más brillante del firmamento visto desde la Tierra, entre las estrellas rojas más brillantes; Tolomeo las lista su “Almagesto” en el orden Arturo, Aldebarán, Póllux, Antares, Betelgeuse y Sirio. Sin embargo, el astrónomo persa Al Sufi (903-986) no incluyó a Sirio entre las estrellas rojas de la lista de Tolomeo, añadiendo algunas más (entre ellas la débil estrella Algol, que no es roja). Schiaparelli [1] y See [2] nos relatan la historia de estas descripciones de Sirio como estrella “rojiza” en los libros de astrónomos, filósofos y literatos griegos y romanos.

Una historia más moderna y detallada nos la presenta Ceragioli en 1995 [3]. Entre 1760 y 1839, hubo un gran debate sobre el significado de “rojizo” en los textos griegos y romanos. Entre 1839 y 1874, se aceptó que Sirio era la única estrella conocida que había cambiado de color como afirmaba Alexander von Humboldt en su “Kosmos.” Entre 1874 y 1927 se reabrió el debate, sobre todo gracias al artículo de See [2]; a principios del s. XX la mayoría de los astrónomos pensaban que el centelleo de Sirio era el responsable de que hubiera sido clasificada como estrella “rojiza,” pero se descubrieron textos de Mesopotamia, Egipto y Babilonia que también hablaban del color “rojizo” de Sirio. Entre 1927 y 1959 se desarrolló la teoría moderna de la formación y evolución de las estrellas, y desapareció de la escena astronómica la idea de que Sirio una vez fue “roja.” Pero entre 1959 y 1993, astrónomos que desconocían el debate anterior a 1927, redescubrieron los textos que afirmaban la rojez de Sirio y volvió a renacer la idea, cual ave Fénix.

La cuestión de si Sirio fue “roja” o no tiene asociado un grave problema, hay textos de la misma época que afirman que era “roja” y otros que afirman que era azul o blanca. Por ejemplo, Manilio y Avieno afirman que era “azul,” y la mayoría de los textos chinos la describen como “blanca” (Sima Qian, 100 a.C.; Ban Gu, Ban Chao y Ma Xu, 100 d.C.; Liu Biao, 200 d.C.; Li Chun-feng, 646 d.C.) [4]. ¿Por qué en ciertos lugares del mundo veían a Sirio como roja y en la misma época en otros lugares la veían como blanca? Sirio B es una enana blanca resultado de una explosión de una supernova cuyo progenitor era la pérdida de materia forma progresiva y suave [corrección gracias a Fer137] de una estrella progenitora de entre 5 y 7 masas solare una estrella gigante roja de entre 5 y 7 masas solares, ¿podría haber ocurrido esa una explosión tipo supernova hace unos 2000 años? No, todos los datos astrofísicos a la vista de las teorías de la evolución estelar indican que Sirio B es una enana blanca que tuvo que nacer hace no menos de 200 millones de años (p.ej. [5]).

¿Cuál puede ser entonces la explicación del color rojizo de Sirio? Como todas las explicaciones astrofísicas razonables para un cambio de color en los últimos 2000 años han sido descartadas en múltiples y variados estudios, todo indica que la explicación más razonable es un fenómeno atmosférico: el tono rojizo en el cielo cuando la estrella está cerca del horizonte [6]. ¿Por qué un astrónomo tan reputado como Tolomeo calificó a Sirio como estrella roja? Según algunos estudios porque estaba más interesado en el significado astrológico de su color “furiosamente rojo” que en su apariencia física (su color real).

El enigma del color de Sirio seguirá vivo durante mucho tiempo, pero la ciencia tiene claro que Sirio no cambió de color desde cientos de millones de años.

Referencias

[1] G. V. Schiaparelli, “Rubra Canicula, Considerazioni sulla Mutazione di Colore che si dige avvenuta in Sirio,” Atti dell’ I. R. Accademia di Scienze, Littere ed Arti degli Agiati, Serie III. Vol. II, fac. II, anno 1896; Vol. III, Fasc. I, anno 1897, Rovereto.

[2] T. J. J. See, “Historical Researches Indicating a Change in the Color of Sirius Between the Epochs of Ptolemy. 138, and of Al Sûfi, 980, A. D.,” Astronomische Nachrichten 229: 245-271 , 1927 [copia gratis].

[3] R. C. Ceragioli, “The Debate Concerning ‘Red’ Sirius,” Journal for the History of Astronomy 26: 187-226, 1995 [copia gratis].

[4] Jiang Xiao-yuan, “The colour of Sirius as recorded in ancient Chinese texts,” Chin. Astron. Astrophys. 1712: 223-228, 1993 [copia gratis].

[5] J. B. Holberg et al., “Sirius B: A New, More Accurate View,” The Astrophysical Journal 497: 935-942, 1998 [copia gratis].

[6] D. C. B. Whittet, “A physical interpretation of the `red Sirius’ anomaly,” Monthly Notices 310: 355-359, 1999 [copia gratis].

Nota dominical: La historia de la búsqueda del bosón de Higgs

¿Cuándo empezó la búsqueda del bosón de Higgs? A veces se dice que empezó en 1964, otras que tras la “Revolución de Noviembre” en 1974, pero antes del descubrimiento de los bosones Z y W en 1983 era imposible buscar el Higgs. La búsqueda empezó en 1989 en el colisionador electrón-positrón LEP (Large Electron-Positron collider), el antecesor del LHC en el CERN. El primer artículo con resultados de exclusión para el Higgs está fechado el 1 de diciembre de 1989 y fue publicado por la Colaboración ALEPH (Apparatus for LEP PHysics) en Physics Letters B el 15 de febrero de 1990 [1]. El canal de búsqueda utilizado era la desintegración  Z→Z*H, es decir, la desintegración de bosones Z en hadrones (sobre todo pares bottom-antibottom). En este primer artículo, tras analizar 11.500 bosones Z se excluyó el rango de masas para el Higgs desde 32 MeV/c² hasta 15 GeV/c² al 95% C.L. Un segundo artículo [2], enviado el 31 de enero de 1990, utilizando 25.000 sucesos del mismo tipo, excluyó también el rango entre 11 y 24 GeV/c² al 95% C.L.

Nota dominical: Qué es el espín de una partícula

Para explicar la estructura fina de los niveles de energía de los electrones en el átomo de hidrógeno, Uhlenbeck y Goudsmit [1] propusieron como hipótesis que el electrón, además de masa y carga, tenía un momento angular intrínseco (el espín) y por tanto un momento magnético. Pauli [2] introdujo la formulación matemática del espín en el contexto de la mecánica cuántica no relativista, asumiendo que sus valores son semienteros y que la función de onda tiene dos componentes, pero sin ofrecer una explicación de su origen. El origen “natural” del espín es la combinación de la relatividad y la cuántica en la ecuación de Dirac para el electrón [3]. La función de onda en mecánica cuántica es un vector en un espacio de Hilbert y la invariancia relativista ante transformaciones del grupo de Poincaré (el grupo inhomogenéo de Lorentz) requiere que las componentes de la función de onda pertenezcan a una representación irreducible de dicho grupo, como afirma el teorema de Wigner [4], que se basó en trabajos matemáticos previos (como los de Weyl [5]). Para una partícula de espín arbitrario, la ecuación cuántica relativista fue obtenida por Majorana (1932), Dirac (1936) y Proca (1936). Por tanto, una partícula tiene un espín s si la función de onda que representa sus estados tiene 2s+1 componentes (donde por componentes entendemos funciones de tipo espinor en el caso de espín semientero y funciones complejas en el caso de espín entero). Explicar el espín sin utilizar las matemáticas de la teoría de grupos aplicada a la mecánica cuántica es casi imposible, igual que lo es explicar el origen del momento angular en mecánica clásica.

Nota dominical: Ettore Majorana, el Nikola Tesla de la física teórica

Hay personajes de los que no puedo hablar en este blog sin recibir un gran número de críticas. Mucha gente me regaña cuando hablo de Nikola Tesla (1856-1943). ¡Cómo te atreves a proferir su nombre en vano! La unidad de campo magnético en el Sistema Internacional de Unidades (SI) recibió su nombre en 1960, relegando a Gauss al obsoleto Sistema Cegesimal de Unidades o CGS (1 tesla son 10.000 gauss) y olvidando a Maxwell por el camino, 1 gauss es 1 maxwell/cm². Gran parte de su mito se creó el mismo año de su deceso, en enero de 1943, en plena II Guerra Mundial, cuando la Corte Suprema de EEUU le acreditó en abril como inventor de la radio. No me preguntes el porqué, pero hay personajes que se convierten en mitos y son comparados con los grandes genios de la historia, aunque sus contribuciones científicas no sean comparables.

Ettore Majorana (1906-¿1938?) solo publicó 10 artículos científicos, el último de ellos póstumo. Sin embargo, muchos lo comparan con Newton, con Galileo y con los grandes genios del siglo XX. Durante su vida muy pocos se dieron cuenta de su genio, salvo quizás Enrico Fermi (1901-1954), Premio Nobel de Física en 1938 por su teoría de la interacción débil, quien le dirigió la tesis de grado en 1929, y Emilio G. Segré (1905-1989), Premio Nobel de Física en 1959 por el descubrimiento del antiprotón, que fue su profesor en 1928. ¿Por qué Majorana es un mito y está considerado uno de los físicos más importantes e influyentes del siglo XX? Hay un tipo de fermiones que recibe su nombre, los fermiones de Majorana, en pie de igualdad con los fermiones de Dirac. Obviamente, solo un gran genio puede poner su nombre al lado de los de Fermi y Dirac. ¿Realmente Majorana fue uno de los padres de la física del siglo XX?

Lo más asombroso que hizo en su vida Majorana fue “desaparecer” sin dejar rastro en 1938. Genios de su talla en el siglo XX hubo muchísimos, no solo italianos, también españoles. Pero hay gente que nace con estrella y gente que nace estrellada. La fama de Majorana nació la primera vez que conoció a Fermi, quien estaba estudiando un ecuación diferencial no lineal que aparecía en lo que ahora llamamos método de Thomas-Fermi; Fermi calculó la solución de forma numérica tras una semana de intenso trabajo y mostró el resultado a Majorana. Ni corto, ni perezoso, Majorana resolvió la ecuación de forma analítica esa misma noche y le mostró el resultado a Fermi a la mañana siguiente. Fermi quedó muy asombrado. De hecho, aún se conservan las páginas manuscritas originales de aquella noche “mágica” (Erasmo Recami, Salvatore Esposito, ”The scientific manuscripts left unpublished by Ettore Majorana (with outlines of his life and work),” arXiv:0709.1183, Sep. 2007).

Majorana empezó a estudiar Ingeniería, pero cambió a Física por recomendación de Fermi. Mientras era estudiante publicó su primer artículo científico (“Sullo sdoppiamento dei termini Roentgen ottici a causa dell’elettrone rotante e sulla intensità delle righe del Cesio,” en colaboración con su amigo Giovanni Gentile Jr., publicado en Rendiconti Accademia Lincei 8: 229-233, 1928); parte de dicho trabajo lo presentó el 6 de julio de 1929 cuando defendió su trabajo fin de graduación en Física. En 1931 publicó cuatro artículos, dos sobre el enlace químico (“Sulla formazione dello ione molecolare di He,” Nuovo Cimento 8: 22-28, 1931; “Reazione pseudopolare fra atomi di Idrogeno,” Rendiconti Accademia Lincei 13: 58-61, 1931) y otros dos sobre espectroscopia (“I presunti termini anomali dell’Elio,” Nuovo Cimento 8: 78-83, 1931; “Teoria dei tripletti P’ incompleti,” Nuovo Cimento 8: 107-113, 1931). Estos trabajos teóricos demostraban un buen dominio del trabajo experimental, muy en la línea de la tradición de Fermi, combinar teoría y experimento.

Los trabajos más importantes de Majorana se publicaron en 1932, aunque no le dieron fama hasta mucho más tarde. En el primero, “Atomi orientati in campo magnetico variabile,” Nuovo Cimento 9: 43-50, 1932,  derivó de forma independiente la fórmula de Landau-Zener (1932) y estudió el efecto de un campo magnético sobre un átomo anticipando trabajos posteriores de Rabi (1937) y Bloch-Rabi (1945), que acabaron con el Premio Nobel de Física de 1944 para Isidor I. Rabi. Y en el segundo, “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario,” Nuovo Cimento 9: 335-344, 1932, estudió la teoría de campos relativistas para partículas de espín arbitrario, teoría que fue redescubierta una década más tarde por físicos soviéticos. En 1932 se descubrió el neutrón y Majorana pasó seis meses trabajando con Heisenberg en la teoría de las fuerzas de intercambio para explicar cómo los protones y neutrones se ligan en los núcleos de los átomos, que publicó al año siguiente (“Uber die Kerntheorie,” Zeitschrift für Physik 82: 137-145, 1933; también publicado como “Sulla teoria dei nuclei,” La Ricerca Scientifica 4: 559-565, 1933).

Majorana no volvió a publicar nada más hasta 1937, cuando tuvo que “promocionar” como profesor y se vio obligado a demostrar que era un investigador “en activo” (“Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone,” Nuovo Cimento 14: 171-184, 1937). Este artículo le ha hecho pasar a los libros de historia, pues introdujo lo que ahora llamamos fermiones de Majorana y sugirió que los neutrinos (partículas postuladas por Pauli y Fermi, entonces aún no descubiertas) podían ser partículas de Majorana; ahora nos puede parecer que la idea era revolucionaria, pues sabemos que los neutrinos tienen masa y oscilan, pero entonces era una idea exótica y pasó muy desapercibida (salvo por la comunidad de físicos italianos, en particular por Bruno Pontecorvo). Aún así, hoy en día hablamos de espinores de Majorana, masa de Majorana, osciladores de Majorana, e incluso de “majorones” (majorons).

Entre 1933 y 1937 hay constancia de que Majorana siguió investigando por sus notas, manuscritos y por su correspondencia con otros físicos, pero no publicó nada. Su trabajo se centró en impartir clases de física: Métodos Matemáticos de la Mecánica Cuántica (curso 1933-34), Métodos Matemáticos de la Física Atómica (curso 1935-36), Electrodinámica cuántica (curso 1936-37). Nadie sabe el porqué, pero en 1938, el siciliano Majorana desapareció para no regresar. Esta desaparición fue el origen del mito, sin lugar a dudas.

¿Fue un gran docente Majorana? No hay constancia explícita, aunque muchos le admiran por el último curso que impartió en 1938, aunque solo tuvo 5 alumnos (las notas del curso se han preservado gracias a los apuntes de uno de ellos). Nada relevante, salvo para los mitómanos, que disfrutarán con A. Drago, S. Esposito, “Ettore Majorana’s Course on Theoretical Physics: A Recent Discovery,” Phys. Perspect. 9: 329-345, 2007 [arXiv:physics/0503084]. ¿Nada relevante? ¡Pero si anticipó en 1938 las integrales de camino de Feynman! Bueno, también lo hizo Dirac en 1933, pero bueno, si alguien está interesado… S. Esposito, “Una lezione particolare di Ettore Majorana,” arXiv:physics/0512174, Dic. 2005; S. Esposito, “Majorana and the path-integral approach to Quantum Mechanics,” arXiv:physics/0603140, Mar 2006; S. Esposito, “Four variations on Theoretical Physics by Ettore Majorana,” arXiv:physics/0604064, Apr. 2006. Más aún, si los cursos de física cuántica de Fermi eran soberbios, los de Majorana tenían que ser “resoberbios,” como no, A. De Gregorio, S. Esposito, “Teaching Theoretical Physics: the cases of Enrico Fermi and Ettore Majorana,” Am. J. Phys. 75: 781-790, 2007 [arXiv:physics/0602146].

¿Realmente Majorana era un genio comparable a, por ejemplo, Fermi? Si Fermi dijo que su alumno Majorana era un genio, por algo sería. Así lo opinan los que admiran al mito. ¿Quién descubrió la importancia de la teoría de grupos (las simetrías) en mecánica cuántica? Hermann Weyl (1885-1955) fue el padre matemático de la idea en 1928 y Eugene Wigner (1902-1995) quien la popularizó entre los físicos en 1931, pero algunos opinan que Majorana conocía y admiraba el trabajo de Weyl antes de Wigner, de hecho, uno de los 15 libros que Majorana tenía en propiedad era una edición del libro de Weyl “Gruppentheorie und Quantenmechanik” (1928) y dicho libro pudo influir en su trabajo y pensamiento científico. ¿Podría haber sido Majorana el Wigner italiano? Lo que está claro es que en su trabajo de 1933 citó y extendió los trabajos de Wigner. Los admiradores de Majorana disfrutarán con A. Drago, S. Esposito, “Following Weyl on Quantum Mechanics: the contribution of Ettore Majorana,” Found. Phys. 34: 871-887, 2004 [arXiv:physics/0401062].

Siempre pasa con los grandes genios “olvidados,” pero muchos lo olvidan muchas veces, muchas publicaciones “inéditas” y “rescatadas del olvido” de Majorana, en realidad no son suyas. Por ejemplo, Francesco Guerra, Nadia Robotti, “A forgotten publication of Ettore Majorana on the improvement of the Thomas-Fermi statistical model,” arXiv:physics/0511222, Nov. 2005, hablan de una publicación de Majorana, que en realidad no era suya (S. Esposito, “Again on Majorana and the Thomas-Fermi model: a comment to physics/0511222,” arXiv:physics/0512259, Dec. 2005).

¿Por qué Majorana era un “tipo” tan raro? Quizás era tan raro como todos nosotros; todos somos raros. Pero bueno, también se ha afirmado que su vida era reflejo de la “física cuántica” (O. B. Zaslavskii, “Ettore Majorana: quantum mechanics of destiny,” Priroda 11: 55-63, 2006 [arXiv:physics/0605001]; R. Jackiw, “Homage to Ettore Majorana,” arXiv:hep-th/0610228, Oct. 2006; Erasmo Recami, “Ettore Majorana: His Scientific (and Human) Personality. E.Majorana: Scientist and Man,” arXiv:0708.2855, Aut. 2007; S. Esposito, “Ettore Majorana and his heritage seventy years later,” arXiv:0803.3602, Mar 2008.

En resumen, Majorana es un mito, como Tesla, pero exagerar su genio y/o sus contribuciones es propio solo de mitómanos.

Nota dominical: El método numérico del matemático palentino Fray Juan de Ortega

Hay dos Fray Juan de Ortega famosos en el medievo español, uno era jerónimo y el otro dominico. El fraile jerónimo es el presunto autor del Lazarillo de Tormes. El fraile dominico era palentino (c. 1480-1568) y matemático. El 30 de diciembre de 1512, Fray Juan de Ortega publicó en Lyon la primera edición de su Aritmetica. En el último capítulo, “Reglas de geometría,” aparecen aproximaciones por defecto de 14 raíces cuadradas. En las ediciones de Sevilla de 1534, 1537 y 1542, se sustituyen estos valores por aproximaciones por exceso. Doce de ellas son óptimas (verifican la ecuación de Pell). Hasta la fecha se desconoce como fueron obtenidas.” Manuel Benito, Jose Javier Escribano, Emilio Fernández, y Mercedes Sánchez proponen un posible método en “Fray Juan de Ortega’s approximations, 500 years after,” arXiv:1212.1125, Subm. 5 Dec 2012.

Las raíces cuadradas presentadas en el ”Tratado subtilíssimo de Arismética y Geometría” (Barcelona, 1512) solo pueden haberse obtenido por un método numérico muy refinado, que aunque no se explica de forma explícita, prefigura el uso de la ecuación de Pell que proporciona una aproximación óptima a la raíz en forma de número racional. Julio Rey Pastor creía que dicho método de aproximación de raíces, cualquiera que fuese, era equivalente al desarrollo en fracciones continuas y conjeturó que estaría basado en la intercalación aditiva, esto es, sumar numeradores y denominadores de dos fracciones para obtener otra comprendida entre ambas. Por el contrario, José Barinaga demostró la estrecha analogía entre los valores de Ortega y los obtenidos mediante el desarrollo de Adolf Hurwirtz. El nuevo artículo de Benito et al. presenta un método razonable, para las técnicas matemáticas de la época, que omitiré porque nos llevaría demasiado lejos, aún así, recomiendo a todos los interesados la lectura de su artículo.

La ecuación de Pell es x²–D y²=1, donde D es un número natural que no sea cuadrado perfecto. Pierre de Fermat (1601-1665) desafió a los matemáticos ingleses a resolverla para D=61 y D=109 (las soluciones son x=1766319049, y=226153980, y x=158070671986249, y=15140424455100). Fermat nunca publicó su método de solución. El método actual utiliza fracciones continuas (más información sobre el algoritmo en MathWorld). Recomiendo leer la biografía de Juan de Ortega y, como no, a Gaussianos, “La ecuación de Pell,” 10 oct 2009, que nos recuerda el desafío de Pierre de Fermat a los matemáticos ingleses.

Esta entrada es mi segunda participación en la Edición 3,141592653 del Carnaval de Matemáticas que acoge el blog de Elisa Benítez “Que no te aburran las M@TES.”

Nota dominical: Richard Feynman, los ordenadores y los métodos numéricos

El interés de Richard P. Feynman en los ordenadores y en los métodos numéricos nació durante la Segunda Guerra Mundial, cuando estaba en Los Alamos en el Proyecto Manhattan. Hans A. Bethe le encargó coordinar un grupo que realizaría los cálculos para modelar la implosión de una bomba de plutonio. Feynman desarrolló un sistema de “computación paralela” que usaba personas, cada una con una calculadora mecánica, como elementos de proceso. Su interés en los ordenadores se renovó en sus últimos diez años de vida, cuando su hijo Carl se matriculó en informática en el MIT (Instituto Técnico deMassachusetts), llegando a impartir un curso de aplicación de los ordenadores a la física en su propia universidad, el CalTech (Instituto Técnico de California), junto a John J. Hopfield y Carver A. Mead. El doctor Feynman publicó tres artículos sobre ordenadores [1,2].

Nota dominical: La curiosa historia de la cromodinámica cuántica (QCD)

“It is well known that theoretical physics is at present almost helpless in dealing with the problem of strong interactions. We are driven to the conclusion that the Hamiltonian method for strong interactions is dead and must be buried, although of course with deserved honour.” Lev D. Landau (c. 1960).

Muchos físicos teóricos parecen desesperados porque los experimentos no encuentran “nueva física” más allá del modelo estándar. Quizás este es el mejor momento para recordar el estado de la física de partículas en 1961. La teoría cuántica del campo electromagnético, la electrodinámica cuántica (QED), era todo un éxito, pero utilizaba un procedimiento matemático, la renormalización, que nadie entendía y que disgustaba incluso a sus descubridores (que la calificaban de “procedimiento para esconder los infinitos debajo de la alfombra”). La versión V-A de la teoría de Fermi para la interacción débil también era un éxito a nivel experimental, pero a nivel teórico era inconsistente para energías altas (aunque no fueran alcanzables en los experimentos). La interacción fuerte estaba en un estado deplorable, más allá de la clasificación de los hadrones de Gell-Mann y Zweig basada en la idea de los quarks (puras entelequias matemáticas). La mayoría de los físicos teóricos rehuía de las teorías gauge para la interacción fuerte (cuyo único éxito era la QED) y preferían ideas como el bootstrap o la democracia nuclear en el contexto de la teoría de la matriz S.

Todo se clarificó a finales de los 1960 gracias a los experimentos. La colisión de electrones de alta energía contra núcleos atómicos y nucleones (protones y neutrones) demostró que estaban compuestos de partículas (partones les llamó Feynman) que no interaccionaban entre sí. Lo más obvio era que los partones fueran los quarks, pero nadie entendía cómo era posible que a cortas distancias (o energía y momento grandes) se comportaran como partículas libres, mientras que a distancias más grandes (o energía y momento más pequeños) estuvieran ligados por una interacción muy fuerte. La conjetura entre los físicos teóricos era que las teorías cuánticas de campos no podían ser asintóticamente libres. Coleman y Gross propusieron demostrar esta conjetura de forma general a dos de sus estudiantes de doctorado, Politzer y Wilczek, quienes bajo la atenta guía de Gross demostraron en 1973 que la conjetura era falsa (por ello recibieron el Premio Nobel de Física en 2004). Las teorías de Yang-Mills no abelianas son asintóticamente libres (la QED es la excepción, por ser abeliana).

La teoría de la interacción fuerte, la cromodinámica cuántica (QCD), es asintóticamente libre porque los gluones tienen carga de color, mientras que la QED no lo es porque los fotones son neutros para la carga eléctrica. La teoría de la relatividad de Einstein implica que el vacío de una teoría cuántica de campos cuyos bosones gauge no tengan masa cumpla la relación εµ = 1 donde ε es la permitividad eléctrica, µ es la permeabilidad magnética y se ha usado c=1 (la expresión dimensional es εµ = 1/c²). En la QED el apantallamiento de la carga eléctrica implica que ε > 1, por lo que el vacío de la QED actúa como un material diamagnético (µ < 1). En la QCD los gluones tienen dos colores y actúan como dipolos permanentes de color (µ > 1), por lo que la teoría predice el anti-apantallamiento de la carga de color (ε < 1); este resultado se da para 3 colores si el número de sabores (o generaciones) de quarks es menor de 17.

En 1972, Fritzsch y Gell-Mann mencionaron la posibilidad de que la teoría de los gluones fuera no abeliana, aunque el nombre de cromodinámica cuántica aparece por primera vez en un artículo de Fritzsch, Gell-Mann y Minkowski en 1975 (una nota a pie de página sugiere “A good name for this theory is quantum chromodynamics”).

Referencias para profundizar.

[1] Gerhard Ecker, “Quantum Chromodynamics,” Lectures given at the 2005 European School of High-Energy Physics, Kitzbuehel, Austria, Aug. 21 – Sept. 3, 2005 [arXiv:hep-ph/0604165].

[2] Gerhard Ecker, “The Shaping of Quantum Chromodynamics,” Quark Confinement and the Hadron Spectrum X, Munich, Oct. 8, 2012 [slides - pdf].

Nota dominical: ¿Por qué Albert Einstein fue considerado un procomunista?

La revolución de noviembre de 1918 llevó a Alemania desde la monarquía del Reich a la República democrática de Weimar. Carl Einstein (1885-1940), historiador y crítico de arte, anarquista militante, se alistó en el partido comunista (KPD) tras el levantamiento espartaquista (Spartakusaufstand) de enero de 1919. La policía ferroviaria en Bamberg, Baviera, detuvo el 14 de junio de 1919 a Einstein cuando viajaba desde Berlín a Nuremberg con pasaporte falso. Toda la prensa documentó el caso. El apellido Einstein estaba en boca de todos, pero no, no era Albert Einstein (1879-1955), sino Carl. Sin embargo, los antirrelavistas alemanes Paul Weyland (1888-1972) y Ernst Gehrcke (1878-1960) aprovecharon la propaganda comunista asociada al apellido de Einstein para criticar por el frente político al gran físico judío, que a partir de entonces nunca más pudo quitarse el sambenito de procomunista, que le acompañó hasta su muerte. Nos cuenta esta curiosa historia Jeroen van Dongen, “Mistaken Identity and Mirror Images: Albert and Carl Einstein, Leiden and Berlin, Relativity and Revolution,” Physics in Perspective 14: 126-177, 2012 [arXiv:1211.3309].

El 13 de noviembre de 1918 Albert Einstein impartió una conferencia a favor de la revolución de noviembre en la que advirtió con rotundidad su oposición a la “tiranía de la izquierda” por su violencia y falta de democracia. Pero unos meses más tarde la prensa decidió acusarle de “rojo,” comunista y anarquista. En diciembre de 1919 decidió escribir un artículo en el periódico Neues Wiener Journal para aclarar sus ideas políticas: “En varios periódicos soy retratado como un simpatizante de los comunistas y anarquistas, obviamente debido a una confusión con alguien que tiene mi mismo apellido. No hay nada más alejado a mi pensamiento que las ideas anarquistas.” Obviamente, su artículo no sirvió de nada. Las repetidas apariciones del apellido del comunista Carl Einstein en la prensa berlinesa, muchas veces omitiendo el nombre de pila, fueron las causantes de la reputación “roja” de quien recibiría el Premio Nobel de Física en 1922.

Albert Einstein tuvo problemas para obtener una plaza de profesor honorífico en la Universidad de Leiden, Holanda, que había sido gestionada por Hendrik A. Lorentz (1853-1928). Su mujer Elsa Einstein-Löwenthal le llegó a escribir en mayo de 1920: “¡Así que nadie te quiere por tus creencias socialistas! ¡Incluso en Holanda! Hazme un favor y no actúes como un socialista furioso. (…) Por favor, pon punto y final a estos rumores estúpidos que te consideran un violento revolucionario. (…) Ya es bastante malo que no vayas a recibir el Premio Nobel por ello. Deberías poner fin a esta situación cuanto antes. ¡Un espíritu crítico como tú no puede ser un comunista!”

Las ideas revolucionarias de Einstein en ciencia hicieron que se asociara el adjetivo “revolucionario” a su apellido en una época en la que en Berlín ser “revolucionario” era sinónimo de ser comunista y anarquista. Ya en Estados Unidos, el FBI le abrió un expediente acusado de procomunista. Cierto es que Einstein defendió en público a sus amigos que también fueron acusados de comunistas (algunos entre ellos estaban afiliados al Partido Comunista, entonces ilegal). De hecho, el número del 5 de abril de 1949 de la revista Life mostraba un retrato de Einstein dentro de una serie de fotografías de personajes famosos acusados de comunistas.

Ya para acabar me gustaría recordar que Carl Einstein tiene una relación con España, fue portavoz del Grupo Internacional de la Columna Durruti y fue herido en combate durante la Guerra Civil Española. Tras la victoria de los militares franquistas, Einstein continuó con su ideal de la lucha en España intentando ayudar a los refugiados anarquistas en Francia, donde el gobierno de Vichy le internó en un campo de refugiados, por su origen judío y por venir exiliado desde España. Ante el acoso de las tropas nazis escapó del campo, suicidándose antes de caer prisionero en manos de los fascistas en 1940.

PS: Sobre este tema recomiendo leer a César, “Einstein y… el comunismo,” Experientia Docet, 25 Jul. 2010. Un extracto para abrir boca: “Einstein tenía unas ideas políticas muy claras y las expresaba sin ambages. Sin embargo no le gustaba “pertenecer” a nada, por lo que permanecía en la periferia de cualquier grupo al que respaldase, a menudo criticándolo tanto como lo alababa. Nunca fue miembro del partido comunista, pero sus ideas de izquierdas le hicieron frecuentar la compañía de numerosos grupos de tendencias comunistas. (…) En mayo de 1949, escribió para Monthly Review un artículo titulado “¿Por qué socialismo?” en el que describía los problemas que él veía en el mundo, desde el racismo a la pobreza, y cómo el socialismo podía representar una vía de solución (aquí, el original en inglés; aquí, la traducción al español). Este artículo atrajo la atención del FBI, que ya tenía un expediente sobre las actividades relacionadas con el comunismo de Einstein abierto en 1932.”

Nota dominical: ¿Puede un ordenador cuántico resolver el problema del viajante de forma eficiente?

El problema del viajante (TSP por Traveling Salesperson Problem) consiste en “dado cierto número de ciudades en un mapa conectadas por cierto número de carreteras, encontrar el camino más corto que un viajante de comercio debe tomar para visitar todas las ciudades exactamente una sola vez y retornar a la ciudad de origen.” Clara Grima @ClaraGrima definiría el TSP con mayor rigor como: “Dado un grafo G de vértices V conectados mediante arcos E de coste no nulo, encontrar el ciclo hamiltoniano de menor coste.” Mucha gente afirma que este problema TSP es un ejemplo de problema NP-completo, lo que es completamente falso. Un problema se puede resolver de forma eficiente si está en P. Incluso si fuera verdad que P=NP, no sabríamos si existe algún algoritmo eficiente para resolver el problema TSP. Los algoritmos cuánticos eficientes está en la clase BQP. ¿Existe algún algoritmo en BQP para el problema TSP? Nadie lo sabe, pero la opinión de los expertos es que no existe. Más aún, la opinión de los expertos es que las clases de complejidad BQP y NP-completo son disjuntas. Quizás conviene que recordemos algunas definiciones. Por cierto, todo esto viene a cuento por la entrada de Rod Hilton, “Trav­el­ing Sales­per­son: The Most Mis­un­der­stood Problem,” Absolutely No Machete Juggling, Sep­tem­ber 14, 2012, y por el comentario en este blog de josejuan.

En la teoría de la complejidad computacional se dice que un problema pertenece a la clase P si existe un algoritmo determinista para resolverlo que requiere en el peor caso un tiempo de ejecución descrito por un polinomio en el tamaño de la entrada, es decir, es O(n^k), donde k≥1; un algoritmo con un coste en tiempo más que polinómico, como O(2ⁿ) no pertenece a la clase P. Se dice que un algortimo es eficiente si pertenece a la clase P, aunque de hecho, cuando k>3 un algoritmo es poco práctico.

Un problema pertenece a la clase NP si existe un algoritmo no determinista para resolverlo que requiere en el peor caso un coste en tiempo de ejecución polinómico; la “N” de “NP” significa “no determinista” aunque mucha gente se confunde con “no polinómico.” Un problema NP cumple la propiedad de se puede verificar (decidir) la corrección de una solución en tiempo polinómico. Si para verificar una solución se requiere un tiempo no polinómico, entonces el problema no pertenece a la clase NP. Por ello, el problema TSP no es un problema NP, pues decidir si una solución concreta es la óptima requiere un tiempo no polinómico.

Un problema pertenece a la clase NP-completo si es un problema NP equivalente a algún otro problema NP-completo. Esta definición recursiva exige especificar un problema concreto. Por ejemplo, el problema de la suma de subconjuntos: dado un conjunto de enteros, ¿existe algún subconjunto cuya suma sea exactamente cero? Por ejemplo, dado el conjunto { −7, −3, −2, 5, 8}, la respuesta es sí, porque el subconjunto { −3, −2, 5} suma cero. Cualquier problema NP que se pueda resolver en tiempo polinomial si existiera una solución en tiempo polinomial para el problema de la suma de subconjuntos es también un problema NP-completo (en este sentido esta clase de problemas NP es completa).

El problema TSP de “encontrar el camino óptimo” (o más corto) no es un problema NP-completo. Entres otras razones porque la clase NP-completo solo se aplica a problemas de decisión. Hay otra formulación del problema TSP, como problema de decisión que pertenece a la clase NP-completo. Clara Grima @ClaraGrima definiría el problema de decisión TSP como: “Dado un grafo G y un coste máximo k, decidir si existe un ciclo hamiltoniano cuyo coste sea menor o igual que k.” Este problema está en NP y además es NP-completo, porque el problema TSP de optimización es NP-difícil (en inglés NP-hard); aquí hay que recordar que la clase NP-completo es la intersección entre las clases NP y NP-difícil.

Un punto importante que hay que destacar es que si se pudiera resolver en tiempo polinómico el problema TSP, también sería resoluble el problema de decisión TSP (como es obvio) y con él todos los problemas de la clase NP-completo. Pero no a la inversa.

La clase BQP corresponde a los problemas de decisión que se pueden resolver en un ordenador cuántico en tiempo polinomial con una probabilidad de error acotada por 1/3, por convenio. Se trata del análogo cuántico a la clase BPP, los problemas de decisión que se pueden resolver de forma no determinista probabilística con una probabilidad de error menor de 1/3 (es decir, utilizando una máquina de Turing probabilística). Se conocen unos pocos (muy pocos) algoritmos cuánticos en BQP que se sospecha que no están en P (aunque no hay demostración de esto último), siendo el más famoso el algoritmo de factorización de enteros de Peter Shor.

¿El problema de la decisión TSP es un problema BQP? Nadie lo sabe, pero lo expertos opinan que no lo es (salvo que P=NP).

Nota dominical: Julio Palacios Martínez y los antirrelativistas de la España franquista

“Vayan a secretaría y que les devuelvan el importe de la matrícula de esta asignatura. La relatividad ha muerto y estas clases carecen de sentido.” Palabras de D. Julio Palacios en su curso de relatividad en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid, pronunciadas el día que llegó a sus manos una copia del artículo de Wallace Kantor, “Direct First-Order Experiment on the Propagation of Light from a Moving Source,” Journal of the Optical Society of America 52: 978-984, 1962.

Uno de los grandes problemas de la teoría de la relatividad es que mucha gente no entiende la conexión entre física y matemáticas en dicha teoría. Mucha gente abusa de las fórmulas matemáticas de la teoría, olvidando el problema físico a partir del cual fueron derivadas, o juegan con estas fórmulas como si cualquier cosa que se derivara de ellas fuera verdad, cuando no es cierto. Cada fórmula relativista derivada para explicar un problema físico concreto es válida solo en dicho problema. Su uso en cualquier otro problema puede ser incorrecto y llevar a contradicciones con otras fórmulas. Un ejemplo muy famoso en mi ciudad, Málaga, es “La diatriba de Juan Alberto Morales contra la transformada de Einstein-Lorentz.”

Mucha gente olvida que la teoría de la relatividad necesitó muchos años para ser aceptada por toda la comunidad científica española (físicos, matemáticos y astrónomos). En la España franquista destaca la prolongada crítica a la teoría de Einstein por parte de Julio Palacios Martínez (1891-1970), principal figura de la Física en España en la primera mitad de la dictadura (habiéndose exiliado la mayoría de sus colegas más capaces). Palacios intentó establecer una teoría alternativa a la de Einstein, que salvase las concepciones newtonianas del espacio y el tiempo. Por supuesto, Palacios fue una excepción y gran cantidad de científicos españoles se aproximaron a la relatividad en los años de la dictadura aceptándola sin crítica. La “cruzada antirrelativista” de Palacios logró muchos apoyos entre científicos, pero también fuera del terreno científico. Lo prueba la gran extensión de su obra sobre relatividad, que presenta sus nuevas ecuaciones de transformación entre sistemas de referencia inerciales, la paradoja de los relojes, el espacio y la geometría, las constantes de la Naturaleza, la teoría de la Gravitación, la dinámica relativista, el intento de recuperación de las acciones a distancia y el éter, la influencia del análisis dimensional en su postura, etc. Para los interesados en una discusión detallada les recomiendo la lectura del cuarto capítulo de la tesis doctoral de Pablo Soler Ferrán, “La teoría de la relatividad en la física y matemática españolas: Un capítulo de la historia de la ciencia en España,” dirigida por Andrés Rivadulla Rodríguez y presentada en la Universidad Complutense de Madrid, 2009. Permíteme un breve resumen.

Nota dominical: Los matemáticos polacos, Alan Turing y el secreto de la máquina Enigma

Máquina Enigma de 3 ruedas (C) National Museum of Science and Industry.

Muchos creen que Alan Turing, que recibió la Orden del Imperio Britanico por ello, fue el responsable de las técnicas matemáticas de criptoanálisis que revelaron el secreto de la máquina Enigma, utilizada por los nazis para cifrar sus conversaciones militares. Sin embargo, entre 1932 y 1938, el servicio secreto polaco (Biuro Szyfrów), gracias al criptoanálisis de la máquina Enigma de tres ruedas realizado por Marian Rejewsky, fue capaz de descifrar el 75% de los mensajes cifrados que lograron interceptar. Nos lo cuenta estupendamente B. Jack Copeland, “Enigma,” pp. 217-264 in “The Essential Turing. Seminal Writings in Computing, Logic, Philosophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life plus The Secrets of Enigma,” Edited by B. Jack Copeland, Clarendon Press, 2004. Todos los que quieran saber más sobre la vida y obra de Turing deberían leerse este libro de Copeland.

En septiembre de 1938 los nazis cambiaron el sistema para asignar claves diarias. Pocas semanas más tarde, Rejewsky y sus colegas desarrollaron dos nuevos métodos de criptoanálisis, uno basado en hojas de papel perforadas con agujeros que permitían determinar la nueva clave diaria y el otro basado en una máquina  electromecánica (diseñada por Rejewski y el ingeniero Antoni Palluth) a la que llamaron “bomba” (en plural “bomby”). El nombre “bomba” fue elegido de forma jocosa; no sabían que nombre elegir y mientras le daban vueltas al asunto, uno de ellos disfrutaba de un postre helado de origen francés que en polaco recibía el nombre de “bomba” (versión polaca del francés “bombe”). En noviembre de 1938 ya disponían de seis “bomby” en operación, capaces de descifrar en dos horas lo que de otra forma requería unas 200 horas de trabajo de una persona. Sin embargo, en diciembre de 1938, los nazis añadieron dos ruedas más a la máquina. Los recursos disponibles por el Biuro Szyfrów polaco no eran suficientes para fabricar todas las réplicas necesarias para cubrir todas las combinaciones posibles de las ruedas de la máquina (donde antes bastaban 6 diferentes ahora eran necesarias 60 y por cada una había que fabricar 36 réplicas). Los polacos necesitaban ayuda.

Nota dominical: En un campo magnético estático, todo objeto puede levitar

Sir André K. Geim (1958-), Premio Nobel de Física en 2010, compartió el Premio Ig Nobel de Física en 2000 con Sir Michael V. Berry (1941-) por haber logrado hacer levitar una rana (un alevín de 1 cm) en un campo magnético estático en 1997 [1]. No fueron los primeros, poco antes J. M. Valles y sus colegas hicieron levitar embriones de rana (Xenopus laevis) para demostrar que podían levitar seres vivos [2]. Geim (Univ. Manchester) utilizó un electroimán de 20 T (teslas) e hizo levitar junto a sus colegas Jan Kees Maan (Univ. Nijmegen), Humberto Carmona y Peter Main (ambos de la Univ. Nottingham) todo los objetos pequeños que tuvieron al alcance de la mano, como saltamontes, gotas de agua, pequeñas flores, avellanas, trozos de queso e incluso trocitos de pizza. Su idea fue repetir los experimentos desarrollados por E. Beaugnon y R. Tournier publicados en Nature en 1991 [3], quienes redescubrieron los experimentos de levitación magnética de materiales diamagnéticos (en concreto trozos pequeños de grafito) de W. Braunbeck en 1939 [4]. Aunque estos experimentos no se pudieron realizar hasta principios del s. XX, porque no había imanes con potencia suficiente, la teoría de la levitación de materiales diamagnéticos fue propuesta por Michael Faraday en 1846, como complemento al teorema de S. Earnshaw (1842), consecuencia de las ecuaciones de Maxwell, que afirma que es imposible la levitación de un imán (objeto paramagnético) en un campo magnético estático (solo es posible hacerlo utilizando campos dinámicos o mediante superconductores, como demostró Arkadiev en 1947). Por cierto, William Thomson (Lord Kelvin) afirmó en 1846 que la propuesta de Faraday sería imposible de verificar pues era imposible construir un imán con potencia suficiente. Obviamente, como ha pasado muchas veces en la historia, estaba equivocado.

Geim nos contó su hazaña en 1998 en Physics Today [5]. Utilizó un electroimán de 20 T, aunque en la región en la que se encontraba la rana solo se alcanzaban los 16 T. Esto es mucho, pero no tanto. Hay imanes permanentes de neodimio que alcanzan 1,5 T y cualquier imán para el frigorífico suele tener unos 0,01 T. La idea de la levitación de cualquier objeto que no sea un imán (un objeto diamagnético) aparece en todos los libros de texto sobre magnetismo, pero la mayoría de los físicos, hasta el famoso trabajo de Geim, pensaban, como Lord Kelvin, que se requerían campos magnéticos demasiado intensos para demostrar el efecto en un laboratorio. Pero cuando se hacen los números salen valores bastante razonables para la tecnología actual. El cociente entre la susceptibilidad magnética y la densidad de la mayoría de los materiales diamagnéticos ronda 10^-5 por gramo y por centímetro cúbico, por lo que la levitación requiere un campo vertical del orden de 30 T²/cm. Con un solenoide de 10 cm de diámetro basta un campo de unos 10 T para hacer levitar objetos de menos de 2 centímetros, pues este es el tamaño de la región geométrica donde el campo magnético puede compensar al campo gravitatorio.

La gran ventaja de la levitación de objetos diamagnéticos en electroimanes a temperatura ambiente, respecto a la levitación de objetos paramagnéticos utilizando imanes superconductores a temperaturas criogénicas, es el bajo coste de los electroimanes de gran potencia (bastan unas decenas de miles de euros). En aplicaciones como la simulación de entornos de microgravedad (como los que se logra en la Estación Espacial Internacional, ISS) no hay comparación posible en el coste. Estudios como los del crecimiento de cristales en microgravedad, o los efectos biológicos de la microgravedad en el crecimiento y desarrollo de plantas y animales, son posibles en un laboratorio en tierra firme gracias a la levitación magnética.

¿Se podría levitar a un niño utilizando esta tecnología? En principio, se puede hacer, pero en la práctica es muy costoso. Lograr campos magnéticos de unos 40 T en una región del tamaño de un metro requiere una inversión económica enorme (el líder de una secta religiosa británica ofreció un millón de libras a quien fabricara una máquina capaz de hacerle levitar en un escenario frente a su público, pero un millón de libras es demasiado poco dinero para lograr hacerlo gracias a la levitación magnética). ¿Son dañinos para un humano los campos magnéticos intensos? En estudios médicos se ha sometido a voluntarios a campos magnéticos de 4 T durante más de 40 horas sin que sufran ningún daño aparente. Más allá se sabe poco sobre este tema.

¿Realmente no se puede hacer levitar un imán utilizando esta técnica? Un objeto paramagnético solo se puede hacer levitar si se utiliza un imán muchísimo más fuerte de tal forma que dicho objeto se comporte de manera efectiva como diamagnético. Es decir, si el campo magnético es tan intenso que el imán en dicho campo se comporta como diamagnético, se puede hacer que levite, pero esto requiere campos demasiado intensos para que sea útil en la práctica. Por cierto, un material diamagnético (como los dedos de una persona) puede hacer levitar un imán sin tocarlo, siempre y cuando la mano y el imán estén de un campo magnético suficientemente intenso. En la imagen de abajo [6], un imán de neodimio (NdFeB) de 1,4 T levita entre los dedos de una persona, bajo un imán superconductor que se encuentra 2,5 metros más arriba que produce un campo de 500 gauss en el punto donde se encuentran los dedos (que son necesarios para lograr que la levitación sea estable, porque al quitarlos el imán deja de levitar).

[1] M. V. Berry, A. K. Geim, “Of flying frogs and levitrons,” European Journal of Physics 18: 307-313 , 1997 [copia pdf gratis].

[2] J.M. Valles, K. Lin, J.M. Denegre, K.L. Mowry, “Stable magnetic field gradient levitation of Xenopus laevis: toward low-gravity simulation,” Biophysical Journal 73: 1130-1133, 1997 [copia pdf gratis].

[3] E. Beaugnon y R. Tournier, “Levitation of organic materials,” Nature 349; 470, 1991; “Levitation of water and organic substances in high static magnetic fields,” Journal de Physique III 1: 1423-1428, 1991.

[4] W. Braunbeck, “Free suspension of bodies in electric and magnetic fields,” Zeitschrift für Physik 112: 735-764, 1939.

[5] A. K. Geim, “Everyone’s Magnetism,” Physics Today 51: 36-39 (1998) [copia pdf gratis].

[6] A. K. Geim, M. D. Simon, M. I. Boamfa, L. O. Heflinger, “Magnet Levitation at Your Fingertips,” Nature 400: 323-324 (1999) [copia pdf gratis].

Nota dominical: La función de Guglielmo Libri H(x)=0^(0^x) y la función escalón de Oliver Heaviside

Hay expresiones matemáticas que no tienen sentido, mal llamadas indeterminaciones, como y , así como otras que solo lo son en apariencia, como . Guglielmo Libri (1803-1869) reivindicó en una serie de artículos que publicó en la década de 1830 que el valor de (como hoy en día aceptan muchos matemáticos, pero no todos). Obviamente, la demostración más sencilla es , pero hay muchas otras. Por ejemplo, el teorema del binomio

,

aplicado a e , resulta en a la izquierda y a la derecha. Otra más, el número de aplicaciones entre el conjunto vacío y el conjunto vacío es  y obviamente este número tiene que ser . Y así hay muchas más.

Libri se dio cuenta de que la expresión matemática  es una función discontinua muy útil que equivale a escribir , que ahora conocemos como la función escalón de Oliver Heaviside, que es igual a cero para todos los números negativos, uno para todos los positivos y, por convenio, un medio para el cero. El razonamiento de Libri se basa en que  es igual a (si ), o a (si ), o a  (si ), por lo que .

Libri utilizó su función para escribir gran número de expresiones matemáticas. Por ejemplo, escribió para representar , y calculó integrales como

,

que hoy en día escribiríamos como

.

Hay que recordar que la notación actual para el valor absoluto de un número real se introdujo alrededor de 1880, extendiendo la notación para el módulo de números complejos introducida por Karl Weierstrass en 1876.

La teoría de números es un lugar “natural” para la función de Libri. Para escribir la función , que vale uno si divide a y cero en otro caso, Libri nos propone

,

donde se define de forma recursiva: , y para se tiene

.

Para demostrar estas expresiones basta substituir  y aplicar inducción sobre para probar que

,

para todo .

Obviamente, la función escalón de Heaviside ha relegado al olvido la función de Libri. Sirva esta entrada para recordar que hay muchos trabajos de matemáticos que hoy en día han sido olvidados porque su notación era más engorrosa de la cuenta.

Fuente de esta entrada: Donald E. Knuth, “Two notes on notation,” Amer. Math. Monthly 99: 403-422, 1992 [arXiv:math/9205211].

Nota dominical: Lev D. Landau propuso las estrellas de neutrones antes del descubrimiento del neutrón

Lev Davídovich Landau (1908-1968) recibió el Premio Nobel de Física en 1962 por su teoría matemática de la superfluidez del helio, pero sus contribuciones a la física fueron múltiples. Entre ellas destaca su teoría sobre la existencia de estrellas de neutrones, que Landau desarrolló en febrero de 1931. Habló de dicha teoría en marzo de 1931 con Niels Bohr (1885-1962) y León Rosenfeld (1904-1974). Rosenfeld, en una conferencia Solvay en 1973, no recordaba bien la fecha de la reunión y dijo que fue en 1932 tras la publicación del descubrimiento del neutrón por James Chadwick. Pero la fecha no cuadra con los datos históricos. Landau no estuvo en Copenhague en 1932 (visitó a Bohr entre el 25 de febrero y el 19 de marzo de 1931) y Bohr no se enteró del descubrimiento del neutrón hasta la segunda mitad de marzo de 1932 (recibió una carta de Chadwick fechada el 24 de febrero, pero estaba de viaje y no pudo leerla). Nos aclara esta curiosa historia un nuevo artículo de Yakovlev, que afirma con rotundidad que Landau descubrió la idea de las estrellas de neutrones antes del descubrimiento del neutrón. Por cierto, la idea del neutrón es de Ernest Rutherford (1871-1937) y se suele fechar en 1920. El artículo sobre esta historia es es Dmitry G. Yakovlev, Pawel Haensel, Gordon Baym, Christopher J. Pethick, “Lev Landau and the conception of neutron stars,” arXiv:1210.0682, Subm. 2 Oct 2012. También recomiendo las transparencias de la charla de D.G. Yakovlev, “Landau and Neutron Stars,” Ladek Zdroj, February 2008.

Landau visitó a Bohr en Copenhague tres veces antes de 1933. La primera entre el 8 de abril y el 3 de mayo de 1930, la segunda entre el 20 de septiembre y el 20 de noviembre 20 de 1930 y la tercera entre el 25 de febrero y el 19 de marzo de 1931 (esta última vez gracias a una beca Rockefeller que le gestionó el propio Bohr). Landau volvió a visitar a Bohr en Copenhague entre el 18 de septiembre y el 3 de octubre de 1933, y entre el 1 de junio y el 8 de julio de 1934. Landau no volvió a viajar fuera de la URSS después de 1934 (salvo un viaje a Checoslovaquia en 1963 para recibir tratamiento médico tras el terrible accidente de tráfico del 7 de enero de 1962 que puso fin a su carrera científica). Bohr visitó a Landau en la URSS tres veces: mayo de 1934, junio de 1937 y de paso en 1961.

Landau envió su famoso artículo “Sobre la teoría de las estrellas” el 7 de enero de 1932 a la revista Zeitschrift der Physikalische Sowjetunion, la primera revista soviética de física que publicaba artículos en otros idiomas, aparte del ruso, y fue publicado el 29 de febrero de 1932; curiosamente, la última línea del artículo publicado dice: “febrero de 1931, Zurich,” lo que sugiere que el artículo fue escrito entonces y que por alguna razón se retrasó su envío a una revista. El artículo tiene dos partes. En la primera, Landau calcula la masa máxima de una enana blanca (el famoso límite de Chandrasekhar). Destaca que Landau obtiene el valor 1,5 M⊙ (masas solares), valor muy próximo al actual, 1,44 M⊙, a diferencia del valor obtenido con anterioridad por Chandrasekhar, 0,91 M⊙. En la segunda parte, Landau estudia lo que el llama estrellas densas, en las que los “núcleos atómicos en contacto mutuo forman un núcleo gigante,” y que ahora llamamos estrellas de neutrones. Obviamente, muchos expertos consideran que afirmar que Landau, con solo 23 años, anticipó la existencia de las estrellas de neutrones es bastante discutible. Aún así, su cálculo de la masa crítica de estas estrellas es bastante correcto.

Por cierto, Chadwick descubrió el neutrón gracias a un experimento inspirado en un artículo de los Joliot Curie publicado el 28 de enero de 1932. Además, el primer modelo teórico de los núcleos atómicos como compuestos de protones y neutrones se propuso en abril de 1932 por Ivanenko. La primera predicción explícita de las estrellas de neutrones (con este nombre) fue hecha por Walter Baade y Fritz Zwicky en diciembre de 1933, casi dos años después del descubrimiento del neutrón (su objetivo era explicar la enorme energía liberada en las explosiones de supernovas).

Más información sobre Landau en este blog: “El gran genio de la física rusa del siglo XX, Lev Davídovich Landau (o el más rojo entre los rojos),” 4 febrero 2008.

Nota dominical: Emmy Noether y su foto más polémica

La portada de la biografía de Emmy Noether (1882-1935) escrita por M. B. W. Tent, “Emmy Noether: The Mother of Modern Algebra,”  A. K. Peters, 2008, ha generado una gran polémica. ¿Realmente dicha fotografía es un retrato de Noether? Según reza en el propio libro, la foto fue tomada de la Colección de Fotos Oberwolfach; sin embargo, dicha foto fue retirada de dicha colección tras la publicación del libro. La foto fue donada a Oberwolfach por Peter Roquette, que la recibió de manos de Margot Chow, la viuda del matemático W. L. Chow, que estudió con Noether en Gotinga en 1933; la viuda Chow pensaba que la retratada era Emmy Noether [fuente]. La foto completa, que incluye a Chow sentado en un banco de la estación de Gotinga con un violín encima de las piernas, es la siguiente [fuente].

La razón de la retirada de la foto de la colección nos la aclaró el propio Peter Roquette en junio de 2010 [original en alemán]. En junio de 2009, Christine Bessenrodt (Universidad Leibniz de Hannover, Alemania) le envió una carta indicándole que tenía serias dudas de que la retratada en la foto fuera Emmy Noether, sobre todo porque el retrato parece de una anciana (Noether tendría 38 años entonces) y la viuda Chow nunca conoció a Noether en persona. En opinión de Roquette la pose accidental de la anciana retratada en la foto apunta a que no se trata de Noether. Más aún, aunque la viuda de Chow ya había fallecido, en su opinión, ni siquiera el retratado es Chow. Lo más probable es que se trate de un amigo, Zeng Jiongzhi (también conocido como Chiungtze Tsen), que fue estudiante de doctorado de Emmy Noether (defendió su tesis doctoral en 1934). Zeng murió en 1940.

Esta foto (Oberwolfach #9268) muestra a Emmy Noether en la estación de Gotinga. Fue tomada por Otto Neugebauer cuando Noether partió para los EEUU. Si quieres puedes comparar ambas fotos tú mismo. En opinión de Roquette queda clara a la vista de estas dos fotos que la portada del libro no muestra a la famosa matemática, idolatrada por los físicos, uno de los grandes genios del siglo XX.

Permíteme un par de notas biográficas de Emmy Noether, para incentivar a la lectura de su biografía. Su padre, profesor de matemáticas en la Universidad de Erlangen, Alemania, fue uno de los responsables de que dicha universidad admitiera a mujeres como estudiantes (a finales del siglo XIX, en Alemania, la educación de las mujeres acababa a los 14 años). Emmy entró en dicha universidad con 18 años, pero solo se permitía que las mujeres fueran oyentes en las clases y siempre con el permiso del profesor (que se podía negar a impartir clase si había alguna mujer presente). Noether publicó en 1918 dos teoremas que relacionaban las simetrías continuas descritas por un grupo de Lie en un sistema físico con leyes de conservación. Su trabajo estuvo en el olvido durante 40 años, hasta que fue redescubierto en 1958 por los físicos de partículas. Noether murió en 1935 sin saberlo, pero hoy en día, ningún curso de teoría cuántica de campos puede omitir el teorema de Noether. A ella le gustaría saber que es la matemática más famosa entre los físicos.

Noether fue admitida en 1904 para realizar su tesis doctoral bajo la dirección de Paul Gordan, amigo de su padre, que finalizó en 1907. Su padre estaba lisiado por la polio, por lo que Emmy permaneció en Erlangen cuidándole y ayudándole en sus tareas académicas, sin salario. En 1915, ya iniciada la I Guerra Mundial, fue invitada por Hilbert y Klein a la Universidad Göttingen, en aquel momento la capital mundial de las matemáticas. Hilbert la contrató como su asistente para sus clases y reorientó su trabajo hacia los invariantes en ecuaciones diferenciales, con énfasis en la teoría de la relatividad general de Einstein. Su artículo de 1918, “Invariante Variationsprobleme,” tenía por objeto clarificar el papel de la conservación de la energía (a nivel local) en dicha teoría. Este artículo le permitió superar la habilitación e impartir clases como profesora a partir de 1919. Decidió reorientar de nuevo su investigación hacia el álgebra abstracta, ideales, anillos, módulos y otras estructuras. Quizás por ello la mayoría de los físicos ignoraron su trabajo durante cuatro décadas.

Más información en español en Sergio Montero Modino, “Emmy Noether y su Impacto en la Física Teórica,” Trabajo para el Curso “Historia de las Matematicas,” impartido por Enrique Zuazua Iriondo, Universidad Autónoma de Madrid, Curso 2005/06, y en inglés en Nina Byers, “The Life and Times of Emmy Noether; contributions of E. Noether to particle physics,” UCLA/94/TEP/42, arXiv:hep-th/9411110, 1994.

Nota dominical: Mi nombre es Bond, W. N. Bond

Los experimentos sistemáticos sobre las propiedades de los fluidos en la segunda mitad del siglo XIX demostraron que están controladas por leyes de semejanza, es decir, por ciertas combinaciones adimensionales de los parámetros del fluido (densidad, velocidad, viscosidad, tensión superficial, etc.). Estas combinaciones se denominan “números” como los números de Reynolds (que mide el efecto de la viscosidad), Weber (el de la tensión superficial), Froude (el de la gravedad) y el de Bond (útil en las física de burbujas y gotas líquidos multifase). Wilfrid Noel Bond (1897-1937) fue un físico inglés que murió joven tras realizar importantes contribuciones a la física de fluidos experimental entre la primera y la segunda guerras mundiales. Para mucha gente, Bond es un gran desconocido. Nos cuenta algunos detalles de su vida y obra Willi H. Hager [1].

Bond estudió en 1921 el efecto de la viscosidad en el flujo de líquido a través de un pequeño agujero [2]. Utilizó varias mezclas de glicerina y agua, cuya
viscosidad midió utilizando un viscosímetro de tubo capilar. El caudal Q del flujo por el orificio depende de un parámetro llamado coeficiente de descarga Cd, que a su vez es una función del número de Froude. Bond estudió la dependencia de Cd con respecto al número de Reynolds (asociado al flujo por el orificio). Como era de esperar, salvo para números bajos de Reynolds, el valor de Cd es constante. Sin embargo, para alta viscosidad (número de Reynolds bajo) la variación de Cd es muy rápida (como ilustran estas figuras extraídas de su artículo original [2]). Durante la década de los 1920, extendió sus resultados al flujo a través de un tronco de cono y explicó sus resultados usando directamente las ecuaciones de Navier-Stokes, para las que obtuvo soluciones simétricas muy simplificadas para estos problemas.

El número de Bond nació en su trabajo de 1935 en el que desarrolló un método para medir la tensión superficial de un líquido [3]. El impacto directo entre dos chorros líquidos cilíndricos provoca la formación de una hoja líquida circular (un disco casi plano de agua) cuyo diámetro depende solo de la tensión superficial. El número de Bond corresponde al cociente entre las fuerzas debidas a la gravedad y las fuerzas debidas a la tensión superficial. Un número de Bond alto significa que la la tensión superficial no importa, mientras que un número pequeño (por debajo de la unidad) indica que la tensión superficial domina. El número de Bond caracteriza también la forma de las burbujas y las gotas líquidas. No he encontrado ninguna fotografía del experimento de Bond. Las figuras de abajo están extraídas de los artículos [4], [5] y [6].

Wilfrid Noel Bond falleció de forma inesperada el 25 de agosto de 1937, después de una operación quirúrgica, mientras estaba de vacaciones. Bond escribió varios libros de docencia y era considerado un docente excelente (además de modesto, amable y sincero). Sirva esta breve entrada para recordar su memoria.

[1] Willi H. Hager, ”Wilfrid Noel Bond and the Bond number,” Journal of Hydraulic Research 50: 3-9, 2012 [acceso gratuito].

[2] W. N. Bond, “The Effect of Viscosity on Orifice Flows,” Proc. Phys. Soc. London 33: 225-230, 1921.

[3] W N Bond, “The surface tension of a moving water sheet,” Proc. Phys. Soc. London 47: 549-558 ,1935.

[4] N. Bremond, C. Clanet, E. Villermaux, “Atomization of undulating liquid sheets,” Journal of Fluid Mechanics 585: 421-456, 2007.

[5] Christophe Clanet, “Dynamics and stability of water bells,” Journal of Fluid Mechanics 430: 111-147, 2001.

[6] Nathaniel S. Barlow, , Brian T. Helenbrook, Sung P. Lin, “A numerical investigation of the stability of expanding liquid sheets and the influence of boundary conditions,” Computers & Fluids 38: 552–563, 2009.

Nota dominical: Quién descubrió los atractores extraños veinte años antes que Edward Lorenz

El meteorólogo Edward Lorenz (1917-2008) es famoso por descubrir en 1963 el “efecto mariposa” y mostrar la primera figura de un atractor extraño, por ello es considerado el descubridor de la teoría del caos (determinista). Sin embargo, el primer atractor extraño fue descubierto por la matemática británica Mary L. Cartwright (1900-1998), junto a John E. Littlewood (1885-1977), en la ecuación de van der Pol, que describe las oscilaciones de un amplificador no lineal. Freeman Dyson recuerda que asitió una conferencia de ella en 1943 en la que habló de este tema [1]. Esta ecuación fue muy importante durante la II Guerra Mundial porque describe el comportamiento errático (hoy decimos que caótico) de los amplificadores de potencia en los primeros sistemas de radar. La Fuerza Aérea británica culpó a los fabricantes por proveer componentes defectuosos y Cartwright estudió el problema; ella descubrió que los fabricantes no tenían la culpa, sino la ecuación de van der Pol, cuyas soluciones tenían el comportamiento caótico motivo de las quejas de la Fuerza Aérea.

Balthasar van der Pol (1889-1959) fue un ingeniero de los Laboratorios de Investigación de Philips que trabajó en el estudio de osciladores basados en amplificadores a válvulas termoiónicas (también llamadas válvulas de vacío o incluso tubos de vacío; los lectores de mayor edad las habrán conocido en los televisores de los 1970). En 1927 descubrió el comportamiento caótico (llamado “ruidoso” en aquella época) de este oscilador [2]. En enero del 1938, el Radio Research Board (RRB) del Ministerio de Ciencia e Industria británico envió una carta a la Sociedad Matemática de Londres solicitando la colaboración de matemáticos puros en el análisis de las soluciones de ciertas ecuaciones no lineales que aparecían en el estudio de los amplificadores a válvulas; en problemas de alta potencia, en el desarrollo del radar, era necesario utilizar un modelo no lineal de los tubos de vacío. El objetivo del RRB era determinar los valores de los parámetros del circuito que presentaban soluciones periódicas o casi periódicas, así como determinar su frecuencia.

Cartwright se sorprendió de que van der Pol citaba en sus trabajos a J. Henri  Poincaré (1854-1912), pero omitía referencias a trabajos posteriores de George D. Birkhoff (1884-1944) o Ivar O. Bendixson (1861-1935). Junto con Littlewood, que conoció  a Cartwright cuando fue miembro de su tribunal de tesis doctoral en junio de 1930, ella decidió aplicar el teorema de Poincaré-Bendixson y la teoría ergódica de Birkhoff a la ecuación de van der Pol con y sin forzamiento; algunas de estas técnicas ellas las había estudiado en un curso impartido por el propio Littlewood.

Cartwright y Littlewood estudiaron la ecuación de van der Pol con oscilaciones forzadas [3]

.

Sin forzamiento () demostraron que presenta un ciclo límite y estudiaron sus propiedades. Pero el caso interesante, con forzamiento, que presentaba las oscilaciones caóticas que habían observado los ingenieros, presentó enormes dificultades por lo que tuvieron que inventar nuevas técnicas matemáticas para su estudio, los primeros métodos topológicos para el estudio de la dinámica de sistemas no autónomos. Su estudio demostró que existe lo que hoy llamamos un atractor extraño. Sus trabajos tuvieron un gran eco entre los matemáticos y fueron avanzados por matemáticos de Estados Unidos, como Lefschetz y Levinson, y matemáticos soviéticos como Krylov, Bogoliubov y Mitropolski. Por sorprendente que pueda parecer, algunos de estos trabajos matemáticos, dada su importancia aplicada en la tecnología del radar, fueron clasificados como material confidencial (“restricted material“) durante la década de los 1940 [3].

La colaboración entre Cartwright y Littlewood comenzó justo antes de la Segunda Guerra Mundial y duró unos diez años; juntos publicaron cuatro artículos, aunque también publicaron otros de forma individual basados en su trabajo común. En 1959, Norman Levinson le describió el trabajo de Cartwright y Littlewood a Stephen Smale, pero esa es otra historia (en las playas de Río).

Por cierto, el caos en el oscilador de van der Pol se puede escuchar: MP3 con solución periódica (), MP3 con solución caótica (), y MP3 con solución periódica ().

[1] Freeman Dyson, “Birds and Frogs,” Notices of the AMS 56: 212-223, 2009 [recomiendo a todos disfrutar con la lectura de este interesante artículo].

[2] Takashi Kanamaru, “Van der Pol oscillator,” Scholarpedia 2: 2202, 2007.

[3] M. L. Cartwright and J. E. Littlewood, “On non-linear differential equations of the second order: I. The equation y” − k (1−y²) y’ + y = b λ k cos(λ t + a); k large,” Journal of the London Mathematical Society 20: 180-189, 1945.

[3] Shawnee L. McMurran and James J. Tattersall, “The Mathematical Collaboration of M. L. Cartwright and J. E. Littlewood,” The American Mathematical Monthly 103: 833-845, 1996; “Cartwright and Littlewood on Van der Pol’s equation,” pp. 265-276 in “Harmonic Analysis and Nonlinear Differential Equations: A Volume in Honor of Victor L. Shapiro,” edited by Lapidus, Harper & Rumbos, Contemporary Mathematics, 1997.