Monedas cuánticas, anonimato y dinero elecctrónico

El dinero electrónico tiene dos problemas graves, cómo evitar su falsificación y cómo garantizar el anonimato de su propietario. La teoría del cifrado cuántico de información permite desarrollar monedas cuánticas con estas propiedades. Todas las monedas cuánticas tienen la misma denominación y están representadas por estados cuánticos idénticos. La idea del dinero cuántico no es nueva, fue propuesta en 1983, pero hasta 2003 no se logró que el dinero cuántico garantizara el anonimato, eso sí, a costa de ser vulnerable a ciertas falsificaciones. Los autores proponen dos nuevos modelos para el dinero cuántico basados en ideas previas de Scott Aaranson (2005) que garantizan la propiedad de anonimato y no son falsificables. Un gran avance en cifrado cuántico desde el punto de vista teórico que quizás en un futuro no muy lejano sea realizado de forma práctica en laboratorio. El artículo técnico es Michele Mosca, Douglas Stebila, “Quantum Coins,” ArXiv, 6 Nov 2009.

La simulación eficiente del modelo de Hubbard para los electrones en un sólido implicará la igualdad de las clases de complejidad P=NP=QMA

Las clases de complejidad clásicas y cuánticas se relacionan entre sí de una forma complicada que todavía no conocemos en detalle y por ahora todo son hipótesis. Las clases P y BQP son las clases de problemas resolubles de forma eficiente (polinómica) en ordenadores clásicos y cuánticos, resp. Las clases NP y QMA contienen los problemas de decisión que creemos que son más difíciles para ordenadores clásicos y cuánticos, resp., para los que existen algoritmos eficientes, clásicos y cuánticos, resp.,  que permiten decidir si una solución es correcta o no. Un artículo reciente en Nature Physics ha demostrado que las clases QMA, NP y P colapsarían (serían iguales entre sí), resolviendo la conjetura P versus NP con una igualdad, si se puede resolver de forma eficiente la simulación de sistemas cuánticos descritos por la teoría del funcional densidad (DFT). Por ejemplo, si un modelo concreto, el modelo cuántico de Hubbard, se puede simular en tiempo polinómico. Nadie cree que esto sea posible, pero carecemos de una demostración, todavía. Nos lo cuenta el experto en la teoría de la complejidad cuántica Scott Aaronson, “Computational complexity: Why quantum chemistry is hard,” Nature Physics 5: 707-708, 2009, haciéndose eco del artículo técnico de Norbert Schuch & Frank Verstraete, “Computational complexity of interacting electrons and fundamental limitations of density functional theory,” Nature Physics 5: 732-735, 2009.

La clase de complejidad del Protocolo Merlín-Arturo (MA) es la clase de problemas de decisión resolubles por el protocolo siguiente. Merlín tiene  recursos computacionales ilimitados y envía a Arturo una demostración de tamaño polinómico que prueba que la respuesta es “sí.” Arturo puede verificar dicha prueba en la clase BPP (en tiempo polinómico con un algoritmo probabilístico). Si la respuesta es “sí” existe una demostración que Arturo aceptará como correcta con una probabilidad mayor que 2/3 y si la respuesta es “no” todas las demostraciones serán aceptadas por Arturo con una probabilidad menor que 1/3.

La clase de complejidad cuántica del Protocolo Merlín-Arturo (QMA) es la versión cuántica de MA y corresponde a un Merlín que envía una mensaje con una prueba cuántica que Arturo puede verificar en la clase BQP (en tiempo polinómico utilizando un algoritmo cuántico). Si la respuesta es “sí” existe un estado cuántico (demostración) que Arturo aceptará como correcta con una probabilidad mayor que 2/3 y si la respuesta es “no” todos los estados (demostraciones) serán rechazados por Arturo con un probabilidad mayor que 2/3.

El modelo de Hubbard describe un gas de electrones fuertemente acoplados por potenciales de Coulomb en la retícula de un sólido y permite comprender la transición entre un material conductor y uno aislante. La técnica matemática más utilizada para simular este modelo físico es la llamada teoría del funcional densidad (density functional theory). El nuevo artículo demuestra que si dicho problema se puede simular de forma eficiente, las clases de complejidad QMA y P serán iguales. Esto implica un gran avance en dos frentes. Por un lado, en la propia teoría de la complejidad de algoritmos cuánticos. Y por otro lado, impone un límite fundamental a la propia teoría del funcional densidad ya que una demostración de que P =!= NP (lo que todo el mundo cree) implicaría que nunca podremos simular eficientemente problemas “aparentemente” tan sencillos como el modelo de Hubbard incluso utilizando ordenadores cuánticos.

Esto sorprenderá a muchos ya que la mayoría pensaba que la utilidad más importante de los ordenadores cuánticos (cuando los haya) será la simulación de sistemas cuánticos. Pero si un sistema cuántico tan sencillo como el modelo de Hubbard es tan complejo de simular en un ordenador cuántico como en uno clásico, dicha ventaja se cae por su propio peso. Los avances en computación cuántica no cesan y cada día nos sorprenden más a los que somos aficionados a este “arte,” a esta ciencia.

Adán Cabello de la Universidad de Sevilla concluye que el entrelazamiento cuántico no es necesario para la computación cuántica

La mecánica cuántica ofrece resultados estadísticos para los posibles resultados de una medida. ¿Tienen los sistemas cuánticos valores definidos para ciertos parámetros que nos son ocultos tales que el resultado de la medida es una observación de dichos valores? Es decir, ¿podría existir una descripción estadística subyacente a la mecánica cuántica, digamos una teoría de variables ocultas TVO? No. Todos los experimentos realizados hasta el momento demuestran que no es así. No hay una “realidad” subyacente a la mecánica cuántica. El realismo es la hipótesis que afirma que lo que existe en el mundo físico tiene propiedades que son independientes de la existencia de algún observador que las observe. Filosóficamente la mecánica cuántica no es realista. A muchos no les gusta porque es como si la “realidad” no existiera y se fuera construyendo conforme un observador la va observando.

Hay básicamente dos (tipos de) teoremas que han sido verificados experimentalmente y que demuestran estos hechos. Por un lado, el teorema de Bell, que afirma que dicha TVO no puede ser local (debe permitir viajar más rápido que la velocidad de la luz). Por otro lado, el teorema de Kochen-Specker, que afirma que la mecánica cuántica es contextual, el valor observado depende de cómo sea observado. En una teoría de variables ocultas no contextual, un sistema cuántico tendría una propiedad (un valor para un observable) independiente de cómo dicho valor vaya a ser medido (el contexto de la medida). Las propiedades de un sistema cuántico serían independientes del observador. La evidencia experimental de que la mecánica cuántica es contextual es muy fuerte.

En España tenemos a un experto mundial en este campo (la verificación experimental de los teoremas de Kochen-Specker), el físico español Adán Cabello, catedrático de la Universidad de Sevilla. Recientemente ha publicado un espectacular artículo en PRL (el cuarto en lo que va de año) que merece toda nuestra atención Elias Amselem, Magnus Rådmark, Mohamed Bourennane, Adán Cabello, “State-Independent Quantum Contextuality with Single Photons,” Phys. Rev. Lett. 103: 160405, 2009 [ArXiv preprint]. Pero Adán no sólo se conforma con publicar en PRL, este artículo es una secuela de un artículo previamente publicado en la mismísima Nature también este año, G. Kirchmair, F. Zähringer, R. Gerritsma, M. Kleinmann, O. Gühne, A. Cabello, R. Blatt, C. F. Roos, “State-independent experimental test of quantum contextuality,” Nature 460: 494-497, 23 July 2009 [ArXiv preprint]. He de quitarme la espinita que tengo clavada por no haber tenido tiempo en agosto de comentaros este último artículo.  Así que el nuevo PRL es una magnífica oportunidad para ello. Por cierto, este año Adán está “sembrado,” ya lleva 16 artículos en el ArXiv. 

El artículo de Nature presenta un experimento realizado en Innsbruck (Austria), demostraba la validez del teorema de Kochen-Specker para el entrelazamiento de pares de átomos. El nuevo artículo en PRL presenta un experimento realizado en Estocolmo (Suecia) que demuestra dicho teorema para un único fotón. No es necesario recurrir al entrelazamiento (como de hecho así ocurre en la demostración matemática) para verificar el teorema de Kochen-Sopecker. Sea cual sea el estado inicial de los fotones, hay 9 observables (medidas) combinadas de 6 formas distintas (contextos de medida) cuyos resultados concuerdan con lo esperado según la no contextualidad de la mecánica cuántica, violando, haciendo la media para los diferentes contextos, unas 655 desviaciones típicas el resultado esperado para una teoría de variables ocultas contextual (en uno de los casos la violación alcanza 1509 desviaciones típicas).

La figura que abre esta entrada muestra los 9 observables y los 6 contextos de medida estudiados. Como sistema cuántico han utilizado un solo fotón que almacena dos cubits de información cuántica. El primer cubit (s en la figura) está codificado por el camino que recorre el fotón tras atravesar un divisor de haz (beam splitter o BS en la figura), el rombo en las figuras, siendo los dos estados posibles (|0> y |1> del cubit) el camino reflejado y el transmitido (r y t en la figura). El segundo cubit es la polarización (p en la figura), siendo los dos estados posibles las polarizaciones horizontal y vertical (H y V en la figura).

Sin entrar en más detalles técnicos, hay que destacar que los resultados experimentales de Adán y sus colaboradores muestran que la violación por parte de la mecánica cuántica del teorema de Kochen-Specker se da incluso para los sistemas cuánticos más simples, sin necesidad de requerir el entrelazamiendo cuántico. Un único fotón permite observalo. Más aún, la violación se ha observado incluso para estados cuánticos con mezcla máxima, usualmente considerados estados “clásicos.” Adán Cabello interpreta sus resultados como que el entrelazamiento no es la característica de la física cuántica que la diferencia de la física clásica. El entrelazamiento cuántico no es el único recurso para el procesamiento de la información cuántica. Un uso adecuado del contexto de la medida permite aprovechar las ventajas de los ordenadores cuánticos. Si gracias a este resultado se desarrollan puertas lógicas cuánticas más sencillas, este artículo habrá sido un gran paso hacia los ordenadores cuánticos en el futuro.

Un nuevo principio físico fundamental: la causalidad de la información

¿Es la mecánica cuántica la teoría más general que permite las violaciones de las desigualdades de Bell? La mecánica cuántica es una teoría no determinista (sus predicciones son probabilísticas), no clonable (no permite la copia de un estado cuántico) y no permite señales superlumínicas (no permite el envío de información a una velocidad mayor que la luz en el vacío). ¿Es todo esto suficiente? No, no lo es, la mayoría de las teorías de variables ocultas que cumplen con esta última propiedad, no permiten señales superlumínicas, también cumplen con las demás. Estas teorías permiten correlaciones más fuertes que las cuánticas. ¿Hay algún principio físico que cumpla la mecánica cuántica pero que no cumplan estas otras teorías? Pawlowski y sus colaboradores proclaman hoy en Nature que dicho principio es el de la causalidad de la información. Enviar m bits clásicos permite obtener como mucho m bits de información. Este principio es cumplido por la mecánica clásica y por la mecánica cuántica, pero es violado por la mayoría de las teorías de variables ocultas que presentan correlaciones más fuertes que las de la mecánica cuántica. Nos lo cuentan en Marcin Pawlowski, Tomasz Paterek, Dagomir Kaszlikowski, Valerio Scarani, Andreas Winter, Marek Zukowski, “Information causality as a physical principle,” 461: 1101-1104, 22 October 2009 (los interesados en los detalles técnicos tendrán que consultar en reiteradas ocasiones la información suplementaria del artículo). El artículo está disponible en versión gratis en ArXiv, 14 May 2009. Para los interesados en más información divulgativa sobre este gran avance recomiendo “The Foundation of Reality: Information or Quantum Mechanics?,” ArXiv blog, Monday, May 18, 2009; Dave Bacon, “Information Causality,” The Quantum Pontiff, May 29, 2009; e “Information Causality,” Complementary Slackness, 2009 June 1.

El principio de la causalidad de la información relaciona la cantidad de información que un observador (Blas) puede obtener sobre un conjunto de datos que pertenece a otro observador (Alicia), cuyos contenidos le son completamente desconocidos. Blas usará  todos sus recursos locales (que podrían estar fuertemente correlacionados con recursos locales de Alicia) y un canal de comunicación clásico. La cantidad de información que Blas puede obtener está acotada por el volumen de información (m bits) que se comunicarán por el canal clásico, es decir, si Alicia le comunica a Blas m bits de información clásica, las correlaciones “ocultas” entre ambos no le permiten a Blas obtener más de m bits de información. Tanto la mecánica clásica como la mecánica cuántica se rigen por este nuevo principio. Sin embargo, muchas teorías de variables ocultas compatibles con las desigualdades de Bell gracias a correlaciones “ocultas” violan este nuevo principio físico.

El trabajo de Pawlowski et al. muestra la importancia de este nuevo principio físico en un caso particular, en un experimento concreto. Sin entrar en detalles más técnicos, ¿por qué este artículo es importante? Porque abre una vía hacia una “deducción” de la mecánica cuántica a partir de los principios básicos de la teoría de la información. Si se pudiera demostrar que entre todas las teorías que violan las desigualdades de Bell la única que cumple el principio de causalidad de la información es la mecánica cuántica, se tendría una deducción de la mecánica cuántica que la vuelve la única teoría posible. Por supuesto, estamos muy lejos de obtener este resultado, pero cada día parece menos utópico.

Aceptado en PRL el algoritmo cuántico de Seth Lloyd para resolver sistemas lineales

Ya lo contamos en ”Algoritmo cuántico para resolver sistemas lineales exponencialmente rápido (o con coste logarítmico),” Publicado por emulenews en 25 Noviembre 2008, pero a veces, hay que volverlo a contar. Lo mejor, una buena excusa, el artículo (una versión corta) ha sido aceptado en la prestigiosa revista Physical Review Letters (PRL): Aram W. Harrow, Avinatan Hassidim, Seth Lloyd, “Quantum Algorithm for Linear Systems of Equations,” Physical Review Letters 103: 150502, 9 October 2009 (versión gratis en el MIT). Los interesados en los detalles técnicos que quieran leer dicha versión, deberán leer también la información suplementaria, que detalla el algoritmo y la demostración de sus propiedades. Por supuesto yo os recomiendo la versión larga, que incluye ambos documentos en uno solo, en el preprint aparecido en ArXiv. Muchos medios se han hecho eco de esta importante contribución científica que ha sido destacada en las sinopsis de la revista de la APS Physics, “The quantum shortcut to a solution” [como no, meneada por mezvan] y que ya fue noticia a finales del año pasado.

Avinatan Hassidim, MIT, uno de los autores.

La mecánica cuántica de matrices de Heisenberg parece la formulación más natural para la resolución de problemas de álgebra lineal numérica mediante algoritmos cuánticos. ¿Por qué a nadie se le había ocurrido utilizarla? Quizás hay que ser un genio, como Seth Lloyd. Él y sus colaboradores han mostrado cómo utilizarla para resolver problemas como la resolución de sistemas lineales para matrices hermíticas de una dimensión enorme (creo que próximamente se extenderá dicho algoritmo a la resolución de problemas de autovalores). El nuevo algoritmo cuántico permite resolver sistemas lineales dispersos con un speedup exponencial respecto al mejor algoritmo clásico (bajo ciertas condiciones técnicas). Si se logra implementar este nuevo algoritmo permitirá la resolución de sistemas lineales con billones de variables. Para mí lo más importante es que muestra un nuevo camino en la computación cuántico que no ha sido recorrido y que generará muchos frutos en los próximos años, la computación cuántica aplicada a problemas de álgebra lineal numérica.

En muchos casos la solución de un sistema lineal, es decir, el vector tal que , donde y son una matriz y un vector dados de la misma dimensión, no es necesaria. Por ejemplo, cuando dicha solución es utilizada para evaluar una forma cuadrática como , donde es una matriz. El mejor algoritmo clásico para evaluar esta última expresión tiene un coste computacional en tiempo de si la matriz es dispersa (es una matriz de con sólo elementos no nulos) y es su número de condición. Lloyd y colaboradores han encontrado un algoritmo cuántico que lo logra en tan sólo donde es un polinomio. Para sistemas de gran dimensionalidad, esto implica una ganancia exponencial en la eficiencia del algoritmo. Además, el algoritmo cuántico utiliza solamente registros cuánticos de cubits y no requiere “cablear” cuánticamente ni la matriz  ni los vectores  y . Por otro lado, si no es hermítica no pasa nada se puede volver hermítica fácilmente duplicando su dimensión .

Corrientes sin resistencia eléctrica observadas en un anillo conductor convencional, no superconductor

Un superconductor permite el flujo de una corriente sin resistencia eléctrica. La mecánica cuántica permite que un conductor convencional, no superconductor, en forma de anillo también presente corrientes sin disipar energía, pero son extremadamente débiles. Estas corrientes existen sólo cuando se aplica un campo magnético y éstas varían periódicamente con el flujo magnético con un periodo igual al flujo magnético cuántico h/e, donde h es la constante de Planck y e es la carga del electrón. Estas corrientes son extremadamente pequeñas y su medida experimental notoriamente difícil. Sin embargo, Bluhm et al. y Bleszynski-Jayich et al. han sido capaces de medir dichas corrientes experimentalmente. Nos lo comentan Norman O. Birge, “Physics: Sensing a Small But Persistent Current,” Science 326: 244-245, 9 October 2009, y Yoseph Imry, “Tireless electrons in mesoscopic gold rings,” Physics 2: 24, 2009, haciéndose eco de los artículos técnicos de Hendrik Bluhm, Nicholas C. Koshnick, Julie A. Bert, Martin E. Huber, Kathryn A. Moler, “Persistent Currents in Normal Metal Rings,” Phys. Rev. Lett. 102: 136802, 2009, y A. C. Bleszynski-Jayich, W. E. Shanks, B. Peaudecerf, E. Ginossar, F. von Oppen, L. Glazman, J. G. E. Harris, “Persistent Currents in Normal Metal Rings,” Science 326: 272-275, 9 October 2009.

¿Por qué es tan difícil medir estas corrientes sin pérdidas tan pequeñas? Por un lado, la corriente tiene que fluir por un anillo y el efecto desaparece si se coloca un amperímetro en el propio anillo. Lo único que se puede medir es el pequeño momento magnético producido por el flujo de esta corriente. La teoría predice que esta corriente es del orden de la carga de un electrón dividida por el tiempo que el electrón necesita para su difusión alrededor de todo el anillo. Por ello el anillo tiene que tener un diámetro de pocos micrómetros. Además, la corriente sin pérdidas disminuye muy rápidamente cuando se incrementa la temperatura, por lo que hay que trabajar cerca de un 1 K. Además, el signo de esta corriente en una muestra real depende de los detalles íntimos del material utilizado, los responsables de la resistencia eléctrica, por lo que varía aleatoriamente de un anillo a otro, luego hay que utilizar muchos anillos para obtener una buena estimación de la corriente. Finalmente, momentos magnéticos espurios pueden contaminar la superficie de las muestras y perturbar las medidas obtenidas.

Las primeras medidas experimentales de estas corrientes sin pérdidas en metales convencionales se realizaron en los 1990 y presentaron resultados que diferían de los resultados teóricos esperados, con lo que su interpretación se hacía difícil. Experimentos posteriores mejoraron esta concordancia, pero con muchas coletillas aún por comprender. Casi 20 años de incertidumbres sobre si lo medido era realmente el efecto que se quería medir han sido necesarios para que este año dos grupos de investigación hayan obtenido medidas precisas de este efecto que lo confirman fuera de toda duda.

Bluhm et al. han usado un microscopio de efecto túnel para medir estas débiles corrientes en 33 anillos de oro, cada anillo individualmente conforme el microscopio era desplazado. Los campos magnéticos debidos a estas corrientes se han medido utilizando dispositivos de interferencia cuántica superconductores (SQUID). El experimento es díficil y cada medida de un anillo ha requerido 12 horas de medidas que han tenido que ser promediadas. Los resultados concuerdan muy bien con la teoría.

Bleszynski-Jayich et al. han usado un procedimiento diferente basado en sistemas nanoelectromecánicos. Los anillos se encontraban en el extremo de unas microvigas ultrapequeñas suspendidas que oscilan a una frecuencia que se puede medir con gran precisión. Al colocar estas microvigas en un campo magnético, las pequeñas corrientes sin pérdidas introducen un momento mecánico pequeñísimo que hace oscilar las microvigas. Usando esta técnica Bleszynski-Jayich et al. han logrado una sensibilidad sin precedentes, 100 veces mayor que la obtenida por Bluhm et al. El secreto está en el gran campo magnético utilizado que suprime los efectos debidos a la contaminación de fondo resultado de los espines de las impurezas en el material. Sus medidas han utilizado microvigas con 242, 990 y hasta 1680 pequeños anillos, para lograr que la señal total sea amplificada (crece con la raíz cuadrada del número de anillos).

Dos grandes trabajos experimentales que nos muestran que la mecánica cuántica hace de las suyas en muchos sistemas de escala macroscópica.

El caos cuántico en acción: El efecto túnel dinámico permite que un sistema cuántico evite los estados caóticos de su versión clásica

Un sistema cuántico puede mostrar el efecto túnel incluso sin una barrera que atravesar, es el efecto túnel dinámico. En la figura c se muestran los estados caóticos (verde) y no caóticos (marrón y violeta) de un sistema clásico. El modelo cuántico de dicho sistema caótico salta por efecto túnel dinámico entre los estados clásicos estables, evitando los estados caóticos. Una ilustración experimental de este fenómeno de “caos cuántico” ha sido obtenida por Jessen y sus colegas, quienes han logrado visualizar este efecto túnel con gran detalle, permitiendo la reconstrucción completa del estado cuántico del sistema conforme ocurre dicho proceso. Una exquisita visualización (incluye animaciones) de como el sistema cuántico “evita” atravesar las regiones caóticas que sólo existen (o están permitidas) en el sistema clásico. El experimento ilustra a las mil maravillas las grandes dificultades que ofrece la transición de lo clásico a lo cuántico y viceversa, que muchos libros de texto (y físicos) asumen casi como trivial. Nos lo cuenta Daniel A. Steck, “Quantum mechanics: Passage through chaos,” News and Views, Nature 461: 736-737, 8 October 2009, haciéndose eco del magnífico artículo técnico de S. Chaudhury, A. Smith, B. E. Anderson, S. Ghose, P. S. Jessen, “Quantum signatures of chaos in a kicked top,” Nature 461: 768-771, 8 october 2009.

La mecánica clásica y la mecánica cuántica se llevan como el perro y el gato. Cuando se aman, se aman de corazón, pero cuando se odian, los pelos se erizan. La mecánica clásica permite la existencia  de sistemas caóticos, es decir, sistemas deterministas no lineales disipativos muy sencillos cuyo comportamiento es impredecible debido a la fuerte dependencia con respecto a las condiciones iniciales. La mecánica cuántica es lineal y conservativa (no disipativa), por definición, luego no puede presentar comportamiento caótico determinista. El modelo cuántico asociado a un sistema clásico caótico no presenta caos. Este es el llamado problema del caos cuántico. Si la mecánica clásica es un límite de la cuántica, cómo es posible que exista el caos determinista. Además, cómo ocurre este proceso de transición entre lo clásico y lo cuántico para los sistemas caóticos. 

Jessen y sus colegas han estudiado experimentalmente el comportamiento de la versión cuántica de un sistema caótico con extremo detalle y con énfasis en la transición entre lo cuántico y lo clásico, mostrando que en dicha transición se produce un efecto túnel dinámico. En el efecto túnel convencional una partícula cuántica puede atravesar un barrera de potencial con una probabilidad no nula. En el efecto túnel dinámico el sistema recorre el espacio de fases clásico a saltos cuánticos sin atravesar las regiones caóticas que el sistema cuántico no puede describir. La impredecibilidad del sistema caótico clásico se refleja en cierta impredecibilidad en el sistema cuántico, pero por razones diferentes. En el primer caso es debida a la fuerte dependencia con los cambios en las condiciones iniciales del sistema (pequeños cambios producen enormes diferencias en la dinámica resultante conforme el tiempo transcurre). En el segundo caso la impredecibilidad es debida a las transiciones aleatorias por efecto túnel entre estados no caóticos. Más aún, el sistema cuántico puede presentar estados entrelazados en los que se encuentra en un estado de superposición entre los varios estados estables (no caóticos) posibles. En este sentido, presenta una impredicibilidad adicional ya que no está en un estado concreto sino en una especie de mezcla de posibles estados.

El artículo de Jessen y sus colegas no considera en detalle la física íntima de la transición entre lo clásico y lo cuántico ya que no son capaces de transformar gradualmente el sistema clásico en cuántico o viceversa. Esta transición es extremadamente difícil de estudiar. Sin embargo, Steck cree que este trabajo nos acerca hacia los experimentos futuros que podrán observarla. La mecánica cuántica nos sigue ofreciendo sorpresas después de más de un siglo de trabajos teóricos y experimentales. Lo que daría P.A.M. Dirac por haber dispuesto de este experimento en vida.

Estrellas negras: agujeros negros fallidos como resultado de un efecto cuántico, la polarización del vacío

Carlos Barceló, del Instituto de Astrofísica de Andalucía en Granada, y sus colaboradores han demostrado que los efectos cuánticos en la teoría semiclásica de la gravedad permiten evitar que las estrellas en colapso gravitatorio formen agujeros negros (si el colapso es suficientemente lento). El resultado es un nuevo objeto astrofísico al que han llamado estrellas negras. Para un observador externo estas estrellas son indistinguibles de un agujero negro. Están formadas por la energía gravitatoria del vacío cuántico en un espaciotiempo curvado. No presentan horizonte de sucesos y evitan el problema de la pérdida de información cuántica en agujeros negros. Si el colapso es muy rápido o si el objeto que colapsa tiene una masa enorme, millones de masas solares, el resultado es un agujero negro convencional. Un gran trabajo que nos cuentan magistralmente en su artículo Carlos Barceló, Stefano Liberati, Sebastiano Sonego, Matt Visser, “Black stars, not holes. Quantum effects may prevent true black holes from forming and give rise instead to dense entities called black stars,” Scientific American, october 2009, pp. 39-45 [versión gratis] (aparecerá en español en Investigación y Ciencia en diciembre de 2009). Su artículo técnico es Carlos Barceló, Stefano Liberati, Sebastiano Sonego, Matt Visser, “Fate of gravitational collapse in semiclassical gravity,” Physical Review D 77: 044032 (2008). También es interesante leer el artículo de Matt Visser, Carlos Barceló, Stefano Liberati, Sebastiano Sonego, “Small, dark, and heavy: But is it a black hole?,” ArXiv, Submitted on 2 Feb 2009.

Un agujero negro es el resultado del colapso de una estrella que ha consumido todo su combustible. Para los físicos teóricos es un tipo de solución de las ecuaciones de Einstein para la gravedad. Un agujero negro de la masa del Sol tiene un radio (horizonte de sucesos) de unos 3 kilómetros. ¿Existen los agujeros negros? La evidencia astrofísica indica que existen objetos ultracompactos que no emiten luz ni ningún tipo de radiación que tienen masas entre varias veces la del Sol y millones de veces, con diámetros de unos pocos kilómetros hasta millones de kilómetros. ¿Estos objetos oscuros observados por los astrofísicos son agujeros negros? Casi todo el mundo cree que así es, pero, hay varias propuestas alternativas.

¿Podrían los efectos cuánticos evitar el colapso gravitatorio? No tenemos una teoría cuántica de la gravedad, pero se puede utilizar una aproximación semiclásica para la gravedad cuántica, similar a la utilizada por Hawking para demostrar que los agujeros negros se evaporan. ¿Cuál es el resultado? Los efectos cuánticos evitan que un agujero negro (un horizonte de sucesos) se forme, resultando en la formación de una estrella negra, constituida sólo por espaciotiempo.  

La teoría cuántica de la gravedad no es renormalizable. ¿Qué significa esto? En una teoría cuántica de campos el vacío tiene una energía infinita. La técnica llamada de renormalizabilidad permite obtener el comportamiento de las partículas elementales sólo a partir de diferencias entre estados de energía, con lo que los infinitos de la energía del vacío se cancelan. En una versión cuántica de la teoría de la gravedad no ses posible aplicar esta técnica.

En la teoría semiclásica de la gravedad se sustituye la renormalizabilidad por una técnica de autoconsistencia. Según la relatividad general una distribución de materia-energía produce un espaciotiempo curvo. Esta curvatura modifica la energía de los campos cuánticos, lo que a su vez modifica el propio espaciotiempo curvo. Y así sucesivamente. El resultado es una solución autoconsistente si este procedimiento converge. Esta aproximación semiclásica incorpora los comportamientos cuánticos de la materia pero trata la gravedad (curvatura del espaciotiempo) de forma clásica. Una aplicación ad hoc de esta teoría conduce a que el vacío tiene una energía infinita, lo que es incompatible con las observaciones astronómicas actuales. ¿Cómo funciona la hipótesis de consistencia? La energía gravitatoria del vacío semiclásico de cualquier solución válida debe ser nula cuando se sustituye en ella un espaciotiempo plano. La presencia de masa curva el espaciotiempo y la densidad de energía del punto cero de los campos cuánticos no se cancela exactamente. Esta polarización del vacío se asume en la gravedad semiclásica que se cancela exactamente a cero para un espaciotiempo plano. El tensor de energía-esfuerzo (stress-energy tensor, SET) se sustituye por un tensor de energía-esfuerzo renormalizado (RSET). La materia clásica curva el espaciotiempo en una cantidad dado por el SET clásico. El vacío cuántico adquiere un RSET finito no nulo. Dicho término es una nueva fuente de gravedad que modifica la curvatura, lo que induce un nuevo valor para RSET y así sucesivamente. La graveadad semiclásica consiste en aplicar este procedimiento de forma reiterada hasta que RSET converge.

¿Cómo afecta la gravedad semiclásica a los agujeros negros? El solución de Schwarzschild para el campo gravitatorio de una distribución de masa esférica que no rota ni tiene carga nos permite entender el campo gravitatorio alrededor de un estrella y de un agujero negro. Está caracterizada por una M y un radio R. Un objeto con masa M que colapse hasta ocupar una región de radio menor que R desaparece dentro de un horizonte de sucesos y se forma un agujero negro. Las correcciones cuánticas aplicadas a la solución de Schwarzschild para una estrella como el sol que tiene un radio mucho mayor que su radio de Schwarzschild (unos 3 km.) conduce a un valor desprecible para el valor de RSET para el vacío cuántico. Las correcciones cuánticas son importantes sólo cuando el radio de la estrella es mayor pero cercano al radio de Schwarzschild R. En 1976 David G. Boulware, ahora en la Universidad de Washington, demostró que el valor de RSET para el vacío crece conforme el radio se acerca a R. Esto significa que la gravedad semiclásica no permite la existencia de agujeros negros estacionarios.

¿Qué afirma la gravedad semiclásica sobre el colapso de una estrella? La importancia de los efectos cuánticos depende de la rapidez del colapso. Normalmente se asume que el colapso es muy rápido, tan rápido como la caída libre de la materia de la superficie de la estrella hacia el centro de la estrella, lo que resulta en un del RSET del vacío cuántico despreciable durante todo el colapso. Sin embargo, si el colapso es más lento, el RSET puede adquirir un valor arbitrariamente grande. Además adquiere valores negativos en la región cercana al radio de Schwarzschild, donde debería formarse el horizonte de sucesos clásico, lo que genera un efecto repulsivo que ralentiza aún más el colapso. El resultado es que el colapso de la estrella se detiene justo antes de la formación de un horizonte de sucesos. El resultado es una estrella negra, salvo para un objeto perfectamente esférico con una masa enorme, del orden de millones de masas solares, en cuyo caso nada evita el colapso y la formación de un (super)agujero negro.

Las estrellas negras (black stars) se mantienen estables gracias a los efectos cuánticos de la polarización del vacío según la teoría de la gravedad semiclásica. El campo gravitatorio de una estrella negra es idéntico al de un agujero negro siendo su radio algo mayor que el radio de Schwarzschild sin que se forme un horizonte de sucesos. Las estrellas negras permiten resolver el problema de la pérdida de información cuántica en los agujeros negros, ya que emiten radiación de Hawking pero no es térmica, sino que acarrea la información cuántica de la materia de la estrella que la formó. De esta forma se preserva la unitariedad. La estrella negra está formada por capas, como una cebolla, donde cada capa es una estrella negra más pequeña, que también emite radiación de Hawking, pero a una temperatura más alta. La temperatura del interior de las estrellas negras crece conforme nos acercamos a su centro.

En las ”estrellas” negras la masa de la estrella original que colapsó se ha transformado en un RSET no nulo concentrado, es decir, en polarización del vacío. Son estrellas constituidas sólo por espaciotiempo curvado. Según los autores del artículo, desde un punto de vista astrofísico son indistinguibles de un agujero negro convencional. Por ello, los autores creen que muchos de los agujeros negros de masa pequeña e intermedia que se han observado en el universo son en realidad estrellas negras.

¿De qué está hecho el universo?

Is this the real life
Is this just fantasy
Caught in a landslide
No escape from reality
Freddie Mercury, “Boh(e)mian Rhapsody”

¿Tiene que estar hecho el universo de algo? Los prejuicios de la física clásica nos obligan a pensar que el universo tiene que estar hecho de algo, como todas las cosas macroscópicas que conocemos. Sin embargo, la física cuántica no nos permite saber si el universo está hecho de algo o no. Estas preguntas son más bien de metafísica y entre los físicos las opiniones están muy confrontadas. Para R.C. Henry no tiene sentido la pregunta ¿de qué está hecho el universo? Para A. Hobson está claro que el universo está hecho de “campos cuánticos” (que no son ni partículas, ni ondas, ni campos, pero son todas estas cosas al mismo tiempo). Para N.G. van Kampen el universo es “real” y la mecánica de Bohm es la interpretación (realista) correcta de la mecánica cuántica, según él es compatible con todos los experimentos. Los aficionados a la física disfrutarán con una serie de artículos en el American Journal of Physics sobre la “escandalosa” mecánica cuántica en la que la realidad puede que no sea “real”. Todo empezó con el artículo de Hrvoje Nikolić, “Would Bohr be born if Bohm were born before Born?,” Am. J. Phys. 76: 143 (2008) [ArXiv gratis]. Continuó con la respuesta de N. G. van Kampen,”The Scandal of Quantum Mechanics,” Am. J. Phys. 76: 989-990 (2008), con la de Art Hobson, “Response to “The Scandal of Quantum Mechanics,” by N. G. Van Kampen [AM. J. Phys. 76, 989-990 (2008)],” Am. J. Phys. 77: 293-293 (2009), con la de Richard Conn Henry “The real scandal of quantum mechanics,” Am. J. Phys. 77: 869-870 (October 2009) [versión gratis], y finalmente con la de Art Hobson, “Response to “The real scandal of quantum mechanics,” by Richard Conn Henry [Am. J. Phys. 77 (10),869–870 (2009)],” Am. J. Phys. 77: 870-871 (October 2009).

Un terrible tira y afloja metafísico con el que seguramente disfrutarán muchos de los lectores de este blog.

Las ideas de Henry básicamente son las siguientes. Las cosas clásicas están hechas de algo, pero por qué tienen que estar hechas de algo también las cosas cuánticas. Para Henry la función de onda de un campo cuántico es sólo una herramienta matemática para el físico, sin ninguna manifestación física. La función de onda no es real porque no es medible. Sólo podemos medir los resultados de medidas, valga la redundancia, de operadores (posición, momento, energía, etc.). Algo no medible no puede ser real. La pregunta de qué está hecha una función de onda cuántica no tiene sentido y por tanto la cuestión de qué está hecho el universo tampoco. La mayoría de las personas, los físicos incluidos entre ellas, piensa que el universo tiene que ser real (realista), un punto de vista que está en desacuerdo con lo que los experimentos en física cuántica parecen indicarnos.

Hobson se sorprende de lo extremistas que son los físicos cuánticos que se dedican a estudiar la interpretación de la mecánica cuántica. Según él, la física cuántica no necesita interpretación. Es como es y punto. Experimentos mentales como el del gato de Schrödinger que puede que esté simultáneamente vivo y muerto, son sólo eso, “pajas mentales.” La decoherencia explica por qué los objetos macroscópicos se comportan de forma clásica, sus funciones de onda y por qué el gato de Schrödinger o está vivo o está muerte, nada más simple.

Para Hobson la función de onda (de un electrón, por ejemplo) es el límite no relativista de una entidad física real, un campo electrón-positón cuantizado (que es tan real como pueda serlo un campo electromagnético, la luz misma). Hobson cita a Weinberg que afirma que “los campos cuánticos son los ingredientes básicos del universo,” y recomienda el libro de Robert Mills, “Space, Time and Quanta: An introduction to contemporary physics.” Por supuesto, las ideas de Hobson las podemos encontrar más detalladas en sus propios artículos, como Art Hobson, “Electrons as field quanta: A better way to teach quantum physics in introductory general physics courses,” Am. J. Phys. 73: 630-634 (2005) [gratis aquí], ”The wave function and reality,” Am. J. Phys. 73: 197-197 (2005), y “Teaching Quantum Physics Without Paradoxes,” The Physics Teacher 45: 96-99, 2007 [gratis aquí].

Hobson coincide con Henry en que el universo no está hecho de cosas, pero por razones distintas. Para él, los campos (cuánticos) no son cosas y no están hechos de cosas. Más bien al contrario, las cosas están hechas de campos cuánticos.

Hemos de recordar algo importante. Nosotros no podemos observar el universo microscópico, lo único que podemos observar son las lecturas macroscópicas de los instrumentos que utilizamos para medir el mundo microscópico. En nuestro conocimiento sobre el mundo cuántico siempre tenemos pegados de forma indisoluble lo medido y lo que mide y esto último es macroscópico. No se puede separar lo cuántico medido del aparato clásico que lo mide (aunque sí lo hacemos cuando usamos la matemática de la física cuántica). Cuando queremos entender el universo en su conjunto, como no hay nada fuera del propio universo que lo pueda medir, debemos aceptar que el universo en su conjunto es clásico (macroscópico).

Habrá que seguir hablando de estos temas en futuras entradas. Habrá que cantar aquello de ¡Escándalo, esto es un escándalo!

La física del estado sólido también viola las desigualdades de Bell

La mecánica cuántica viola las desigualdades de Bell, lo que implica que no existe una teoría precuántica local y realista de variables ocultas. Por primera vez se ha logrado demostrar en un sistema físico de estado sólido, cubits superconductores tipo Josephson. Un par de cubits entrelazados cuya medida cuántica simultánea viola la versión de Clauser–Horne–Shimony–Holt (CHSH) de la desigualdad de Bell. El valor cuántico medido excede el valor clásico en 244 desviaciones estándares. Este experimento es una prueba casi definitiva de que un cubit implementado con un diodo superconductor tipo Josephson es un sistema cuántico a escala macroscópica. El artículo técnico es Markus Ansmann et al., “Violation of Bell’s inequality in Josephson phase qubits,” Nature 461: 504-506, 24 September 2009.

En física clásica las leyes deterministas permiten una descripción completa de la evolución de un sistema físico. La mecánica cuántica pretende lo mismo, sin embargo, el proceso de medida involucra una incertidumbre en el resultado que ha llevado a muchos, entre ellos a Einstein, a proponer que la descripción cuántica es incompleta. La medida cuántica de partículas entrelazadas añade a la impredicibilidad del resultado de la medida ciertas correlaciones muy fuertes entre las medidas de las partículas individuales que llevan a experimentos mentales aparentemente paradójicos como el desarrollado por Einstein, Podolsky y Rosen. El protocolo CHSH describe un experimento de este tipo con un test estadístico que permite distinguir entre una física precuántica clásica que predetermina el resultado y una física cuántica impredecible. Sin entrar en detalles técnicos, cierta magnitud tendría un valor |S|<= 2 si existiera una teoría clásica que predeterminara los resultados de la medida, mientras que un modelo puramente cuántico permitiría alcanzar un valor mucho mayor, hasta |S|<=2.828. Más aún, si los resultados de las medidas fueran completamente aleatorios el resultado sería |S|=0. Un experimento demuestra una violación de la desigualdad de Bell tipo CHSH si se obtiene un resultado |S|>2.

La deducción de las desigualdades de Bell siempre involucra ciertas hipótesis, que si no cumplen, nos llevan a posibles lagunas (loopholes) en el argumento que, en principio, permitirían que un experimento mostrara violaciones de Bell incluso para procesos predeterminados clásicamente. El primer loophole es la hipótesis del muestreo justo, también llamado laguna de la  detección, afectando a los experimentos en los que el resultado además de 0 y 1 puede ser también un “no detectado.” Por ejemplo, en los experimentos con fotones, cierta fracción de fotones se pierden, no son detectados por los mejores detectores disponibles. El segundo loophole es la hipótesis de localidad o causalidad, que aparece cuando la detección de las dos partículas entrelazadas no se realiza con una separación suficientemente grande que garantice que una señal a la velocidad de la luz no pueda transmitir la información cuántica en el experimento.

Los autores de este nuevo trabajo afirman que su experimento cubre ambas lagunas (loopholes). Son capaces de generar un par de cubits entrelazados con absoluta certidumbre (un 96% de las veces) y una vez logrado pueden medir ambos cubits siempre, luego cumplen la hipótesis de muestreo justo (juego limpio). Por otro lado, los cubits están separados 3.1 mm y la medida se realiza en unos 30 ns, lo que garantiza su no localidad. La señal de Bell que han logrado medir en las condiciones óptimas de su experimento es de |S|=2,07326 +/- 0,0003, que corresponde a una violación de 244 desviaciones estándares. El valor ha sido obtenido tras promediar 34,1 millones de medidas. Se estima teóricamente que si todas las medidas fuera perfectas este resultado equivale a |S|=2,355.

Este tipo de experimentos son extremadamente difíciles de realizar, por ello, este trabajo es un gran resultado experimental, que, sin lugar a dudas,vuelve a corroborar que la mecánica cuántica es una descripción completa bajo la cual no subyace ninguna precuántica clásica que predetermine sus resultados.

El estado actual de las teorías cuánticas de la gravedad

John Archibald Wheeler murió el año pasado mientras se celebraba en Alemania el “Quantum Gravity: challenges and perspectives” y la revista General Relativity and Gravitation ha decidido dedicarle un número especial a la gravedad cuántica en su honor con los artículos presentados en dicho evento (“Special issue on quantum gravity,” Volumen 41, Número 4, abril de 2009). Los artículos son de acceso gratuito (open access).

Disfrutarás conociendo el estado actual de la teoría de supercuerdas (“Superstring perturbation theory,” Ido Adam y “String theory as a theory of quantum gravity: a status report,” Matthias Blau and Stefan Theisen), de la cosmología basada en la gravedad cuántica de bucles (“Loop quantum cosmology: an overview,” Abhay Ashtekar), de la supergravedad y la teoría M (“Supergravity and M-theory,” Bernard de Wit and Maaike van Zalk), o de la correspondencia AdS/CFT para explicar la información almacenada en agujeros negros (“Black holes, AdS, and CFTs,” Donald Marolf). 

Obviamente los artículos están dirigidos a físicos, pero el nivel, aunque alto, es razonable para un físico teórico no especializado en gravedad cuántica. Que los disfrutéis.

Mecánica cuántica fractal o la supuesta naturaleza fractal de la mecánica cuántica

“¿Mecánica cuántica fractal?” nos lleva a “La bella teoría” donde el autor afirma: “Curiosamente, si buscamos en Google “mecánica cuántica fractal” o bien en inglés “Fractal quantum mechanics”, prácticamente no encontramos nada. En español he encontrado este estupendo enlace a Ciencia Kanija. En mi entrada sobre “Diez dimensiones, supercuerdas y fractales“, podéis leer algo más sobre todo esto. Un saludo amigos.“

Curioso, ya que si se busca “fractal quantum mechanics” en Google Scholar se encuentran decenas de miles de entradas muchas de las cuales satisfarían al autor de “La bella teoría.” Permitidme una entrada al respecto.

¿Por qué la mecánica cuántica es como es? Muchos han pensado que existe un espacio subyacente, precuántico, con una estructura estadística similar a un proceso estocástico de Wiener que observado de forma efectiva nos muestra las propiedades de la física cuántica. Este espacio precuántico podría ser un espaciotiempo con propiedades fractales. Entre las muchas propuestas publicadas en los últimos 30 años y de las que he tenido constancia, la que a mí más me gusta es la de G. N. Ord, “Fractal space-time: a geometric analogue of relativistic quantum mechanics,” Journal of Physics A: Mathematical and General 16: 1869-1884 (1983) [artículo citado 125 veces en el ISI WOS]. La figura de arriba está extraída de dicho artículo y muestra la trayectoria precuántica de una partícula entre dos puntos del espaciotiempo, sean A y B.

Ord aplica el principio de relatividad de Einstein y el principio de correspondencia de Bohr a un espaciotiempo fractal. En el espacio fractal, las trayectorias espaciales de todas las partículas están descritas por un espacio de Hausdorff con dimensión D=2. Estas prepartículas son llamadas “fractalones” por Ord. Aunque su derivación matemática no es completamente rigurosa, el resultado es sorprendente, aparece “mágicamente” el principio de incertidumbre de Heisenberg. Ord va más allá y considera que el tiempo en lugar de ser unidimensional y continuo (sus dimensiones topológica y de Hausdorff coinciden) es bidimensional y fractal, o sea, con dimensión de Hausdorff D=2. Espacio y tiempo, ambos fractales y en pie de igualdad. El resultado es una teoría covariante (invariante ante transformaciones de Lorentz) en la que la existencia del tiempo fractal permite derivar en la escala macroscópica una ecuación de Klein-Gordon (el equivalente relativista a la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula escalar).

La idea de sacrificar el tiempo unidimensional y sustituirlo por un tiempo bidimensional y fractal parece muy exótica. Quizás por ello la teoría de Ord tuvo poco éxito entre la corriente estándar en física teórica.

Entre los seguidores de Ord destaca sin lugar a dudas Laurent Nottale. Publicó una serie de artículos en revistas la editorial Word Scientific de Singapur que culminaron en un famoso libro de dicha editorial “Fractal space-time and microphysics: towards a theory of scale relativity‎,” 1993. Su artículo más famoso de esta época es “Fractals and the quantum theory of spacetime,” International Journal of Modern Physics A 4: 5047-5117 (1989) [citado 75 veces en ISI WOS]. Su artículo más citado es posterior, “Scale relativity and fractal space-time: Applications to quantum physics, cosmology and chaotic systems,” Chaos, Solitons & Fractals 7: 877-938 (1996) [citado 106 veces en ISI WOS]. La producción científica de Nottale está gratis en PDF en su propia web para los interesados.

Nottale denomina a su teoría como “relavitidad de escala” (scale relativity) y gracias a ella logra derivar la ecuación de Schrödinger para la mecánica cuántica no relativista y todos los postulados de la mecánica cuántica, por ejemplo, en “Derivation of the postulates of quantum mechanics from the first principles of scale relativity,” J. Phys. A: Math. Theor. 40: 14471-14498 (2007) [ArXiv]. Nottale como muchos “tocados por la mano divina” aplica su teoría a todo lo habido y por haber, desde la cosmología a los seres vivos, pasando por la teoría cuántica de campos. La mayoría de estos superresultados no son derivaciones formales ni rigurosas, sino más bien numerológicas. Sus predicciones son muy pocas, la mayoría son retrodicciones (deducir lo ya conocido pero desde un enfoque nuevo). Quizás por eso, la mainstream de la física teórica obvia gran número de sus resultados científicos. Aún así, ha logrado ser director del CNRS (el equivalente al CSIC francés)

Más información sobre Laurent Nottale en la wiki.

La física precuántica a la escala de Planck no falsable tiene un gran problema: no es ciencia, sino pseudociencia. Aún así, tanto Nottale como Ord publican sus artículos en las mejores revistas de investigación, y tienen un gran número de seguidores, sobre todo porque El Naschie (ex-editor) de Chaos, Solitons & Fractals ha favorecido que publiquen fácilmente muchos artículos en su revista (una de las de mayor índice de impacto en Matemática Aplicada).

Dualidad, ergodicidad y caos en sistemas hamiltonianos infinitamente perturbados

El caos determinista en sistemas hamiltonianos (que conservan la energía) se llama estocasticidad y es muy diferente al caos en sistemas disipativos (como el atractor de Lorenz). Marco Frasca nos presenta un buen ejemplo de esta diferencia. El teorema KAM garantiza que una pequeña perturbación de un sistema hamiltoniano lo modifica muy ligeramente. ¿Qué pasa cuando la perturbación es infinitamente grande? Uno esperaría que el sistema se volviera ergódico y la estocasticidad se mantuviera, sin embargo, pasa todo lo contrario, el sistema se recupera y se comporta como si hubiera sido perturbado ligeramente. Es algo que parece paradójico, pero es una de las claves de la diferencia entre el caos en sistemas disipativos y en sistemas hamiltonianos. La demostración de Frasca utiliza técnicas de dualidad en teoría de perturbaciones, ahora muy de moda en teoría de cuerdas, pero es sencilla (cualquiera que haya estudiado mecánica analítica puede comprenderla). Marco nos lo resume en su blog ”KAM theorem and ergodicity,” The Gauge Connection, June 25th, 2009. El artículo técnico es de fácil lectura para cualquier físico o matemático: Marco Frasca, “Dual Lindstedt series and KAM theorem,” ArXiv, 29 May 2009, aceptado para publicación en el Journal of Mathematical Physics, 9 Sep 2009 ["KAM tori reforming to be published," The Gauge Connection, September 9th, 2009].

Las trayectorias “naturales” de un sistema hamiltoniano integrable son cuasiperiódicas, se descomponen en un conjunto de trayectorias periódicas (se suele decir que el sistema se mueve en toros, es decir, “donuts” multidimensionales). Una perturbación pequeña (extremadamente pequeña en el teorema original de Kolmogorov, probado por Arnold y Moser, llamado teorema KAM) preserva estas trayectorias cuasiperiódicas (preserva los toros). Conforme la perturbación crece, los toros empiezan a destruirse y para una perturbación (suficientemente) grande todos los toros se destruyen y el sistema dinámico recorre gran parte del espacio de fases a su alcance, lo que técnicamente se denomina ergodicidad o, si lo prefieres, caos hamiltoniano.

¿Qué pasa cuando la perturbación no es grande sino infinitamente grande? Es decir, la inversa de la escala de la perturbación es infinitamente pequeña. Uno esperaría que la ergodicidad y el caos completamente desarrollado se mantuviera en este caso. Sin embargo, la sorpresa descubierta por Marco es que ocurre completamente lo contrario. Ha demostrado un teorema KAM dual por el cuál una perturbación infinitamente grande provoca la reaparición de los toros y el retorno a un movimiento cuasiperiódico no caótico. La ergodicidad para perturbaciones grandes desaparece para perturbaciones infinitamente grandes. Si no lo veo, no lo creo.

¿Entonces por qué la mayoría de los sistemas hamiltonianos (p.ej. en mecánica celeste) parecen comportarse de forma ergódica? La respuesta es sencilla, porque están compuestos por un gran número de partículas (o componentes). Su ergodicidad la explica la mecánica estadística y no la presencia de perturbaciones debido a sus interacciones mutuas.

¿Cuál es la importancia de este resultado? La mecánica cuántica no relativista está descrita por un sistema hamiltoniano que cumple la teorema KAM. Según el nuevo teorema KAM dual, la transición entre lo cuántico y lo clásico no hay que buscarla en una constante de Planck infinitamente pequeña, sino en el número de objetos (estados) cuánticos. Cuando el número de constituyentes del sistema cuántico es suficientemente grande, se comportará como un sistema clásico.

Es curioso lo lejos que nos lleva un resultado sencillo en mecánica clásica cuando lo contextualizamos en el marco de la mecánica cuántica. Si no me equivoco, el trabajo de Marco Frasca dará bastante que hablar.

Contraejemplo para la teoría de Maccone sobre la naturaleza de la flecha del tiempo y la memoria cuántica

Lorenzo Maccone no solo publica artículos polémicos en Physical Review Letters.

Las teorías polémicas generan polémica. Hace poco nos hicimos eco de “La solución de la paradoja de Loschmidt sobre la flecha del tiempo mediante la entropía cuántica de von Neumann,” publicada en PRL por Lorenzo Maccone. Según él, la memoria (cuántica) del registro de sucesos que violan la segunda ley de la termodinámica se pierde gracias a los postulados de la mecánica cuántica. Esta amnesia es la responsable última de la flecha del tiempo. David Jennings, Terry Rudolph, en “Comment on `Quantum resolution to the arrow of time dilemma’,” ArXiv, Submitted on 9 Sep 2009, nos muestran que las ideas de Maccone son incompletas y que se puede encontrar un contraejemplo que nos obliga a calificarlas de incorrectas. En sus palabras “Instead of quantum mechanics providing a resolution in the manner suggested, it allows enhanced classical memory records of entropy-decreasing events.”

Técnicamente, Maccone asume sin prueba que siempre una reducción de la información mutua cuántica (IMQ) implica necesariamente una reducción de la información mutua clásica (IMC). Jennings y Rudolph encuentran un contraejemplo a esta afirmación utilizando un sistema con 3 cubits para el que la reducción de IMQ implica un incremento de IMC. Las ideas de Maccone no son generales y por tanto carecen de todo valor. La paradoja de Loschmidt sigue tan abierta como siempre.

El artículo enviado Jennings y Rudolph, de solo una página, incluye en su versión preprint un apéndice que aclara sus argumentos (no sólo para el beneficio de los revisores, sino de todos sus lectores). La clave de su contraejemplo es el hecho de que mecánica cuántica permite un borrado de la información (amnesia) parcial, en lugar de total, como afirmaba Maccone. La mecánica cuántica siempre más sutil de lo que a muchos gustaría.

La regla de oro de la computación cuántica: la ganancia en el algoritmo se pierde en la entrada/salida y en el montaje de los circuitos de puertas lógicas

Conjecture: “Golden rule” of quantum-classic information. A gain in quantum algorithms is outweighed by losses in classical I/O and programing.

Los algoritmos cuánticos son sólo una parte de los ordenadores cuánticos. Además se requiere la entrada de datos (preparación de los cubits en el estado adecuado), programar (construir) la secuencia de puertas cuánticas que ejecuta el algoritmo y la salida de datos (lectura del estado final de los cubits). Estos procesos, hoy en día, son clásicos y requieren un alto costo en tiempo. Lo que se gana por un lado, se pierde por otro. Kisil conjetura que teniendo en cuenta el tiempo total los computadores cuánticos nunca serán más eficientes que los clásicos. Quizás se equivoque, quizás no. Nos lo cuenta en Vladimir V. Kisil, “Computation and Dynamics: Classical and Quantum,” ArXiv, Submitted on 8 Sep 2009.

Kisil nos recuerda que toda implementación física del algoritmo de factorización de Peter Shor requiere que reensamblar un circuito cuántico cada vez que en la entrada del algoritmo se introduce un número (pseudo)aletario. El coste de este reensamblaje (programación en palabras de Kisil) debe ser incluido en el coste total y en la práctica es muy alto. Lo mismo nos recuerda para el algoritmo de Grover para la búsqueda de números que requiere múltiples repeticiones en cada una de las cuales se destruye el contenido de la base de datos (cuando se mide, el estado cuántico colapsa). El resultado es que reescribir la base de datos (volver a preparar su estado cuántico) múltiples veces, con un costo mucho mayor que la ventaja obtenida con el algoritmo cuántico.

¿Podrán ser superadas estas barreras algún día? ¿Se podrán construir ordenadores cuánticos que no requieren de la intervención constante de procesos clásicos para su ejecución? Kisil es pesimista al respecto, de ahí su conjetura. La Mula Francis, por el contrario, se encuentra entre los optimistas.

La solución de la paradoja de Loschmidt sobre la flecha del tiempo mediante la entropía cuántica de von Neumann

Experimento mental: (a) Alicia en un laboratorio aislado realiza una medida de Stern-Gerlach produciendo un bit de entropía (para ella, no para Bernardo). (b) Bernardo "cancela" la medida de Alicia por decorrelación y la entropía para Alicia se reduce (no así la entropía total) pero ella no puede "recordar" que alguna vez hubiera crecido.

Lorenzo Maccone afirma en “Quantum Solution to the Arrow-of-Time Dilemma,” Phys. Rev. Lett. 103: 080401, 21 Aug. 2009 [gratis en ArXiv], haber resuelto la paradoja de Loschmidt: ¿cómo surge la flecha del tiempo termodinámica en un universo cuya física es reversible? ¿Cómo surge la segunda ley de la termodinámica que afirma que la entropía siempre crece? La definición clásica de la entropía no permite resolver la paradoja. Maccone utiliza la definición de entropía (cuántica) de von Neumann en la que el observador juega un importante papel. La ”memoria” del observador recuerda solamente la física compatible con la segunda ley de la termodinámica. Las violaciones de dicha ley se pueden dar pero son “olvidadas” por el observador. Las ideas de Maccone recuerdan a las de Roger Penrose y otros que ven en el proceso de medida cuántica la irreversibilidad que conduce a la segunda ley de la termodinámica. Los interesados en más información divulgativa pueden recurrir a la excelente traducción de Kanijo “Una flecha cuántica del tiempo,” Ciencia Kanija, 18 ago. 2009, del artículo “A Quantum Arrow of Time,” Physical Review Focus, 24, 17 Aug. 2009. Como ha ocurrido en varias ocasiones y seguirá ocurriendo, Kanijo se me adelantó [ya está meneado y merece llegar a portada]. En estas ocasiones siempre surge la pregunta ¿qué contar? Como siempre, la respuesta es “algo más técnico.”

“I show that entropy in a system can both increase and decrease (as time reversal dictates), but that all entropy-decreasing transformations cannot leave any trace of their having happened. Since no information on them exists, this is indistinguishable from the situation in which such transformations do not happen at all: ‘‘The past exists only insofar as it is recorded in the present.’’  Then the second law is forcefully valid: the only physical evolutions we see in our past, and which can then be studied, are those where entropy has not decreased.” [Palabra de Lorenzo Maccone].

Hay que empezar recordando la definición de entropía de von Neumann (recordatorio de cualquier curso de mecánica estadística cuántica). Hay varias formulaciones equivalentes entre sí de la mecánica cuántica, cada una de las cuales tiene sus ventajas en ciertos problemas y sus inconvenientes en otros. Una de ellas es la basada en matrices de densidad que nos permite estudiar sistemas microscópicos y mesoscópicos con el mismo formalismo, es decir, nos permite modelar fácilmente un conjunto de sistemas cuánticos en interacción. La matriz de densidad cumple versión cuántica de la ecuación de Liouville de la mecánica clásica estadística. La ecuación de Liouville-von Neumann es , donde el operador densidad es el equivalente cuántico de la función de distribución de probabilidad. La entropía de von Neumann de un sistema cuántico se define como . En los sistemas en los que se pueden definir tanto la entropía clásica como la entropía de von Neumann, ambas entropías coinciden (módulo una constante multiplicativa sin importancia). Por supuesto, hay sistemas en los que solo es aplicable la entropía cuántica.

“Entropy can decrease, but its decrease is accompanied by an erasure of any memory that the entropy-decreasing transformation has occurred.” [Palabra de Lorenzo Maccone].

Cualquier interacción entre dos sistemas  y que haga decrecer la entropía en una cierta cantidad de bits debe reducir la información mutua cuántica en la misma cantidad de bits, salvo que dicha entropía se acumule en cierto reservorio . La información mutua cuántica mide la cantidad de información que correlaciona dos sistemas cuánticos, sean y , definiéndose como , donde es el estado del sistema conjunto , y y los estados de  y por separado. El resultado fundamental del artículo de Lorenzo Maccone, que la reducción de entropía implica un efecto de borrado de la memoria del estado inicial del sistema, se escribe mediante la fórmula matemática

,                        (1)

donde es la diferencia de entropía entre el estado final (en el momento ) y el estado inicial para el sistema , y . No entraré en los detalles de la demostración (muy sencilla, por otra parte). La interpretación de esta fórmula es que el efecto de borrado de la memoria proviene de la pérdida de información mutua cuántica. La memoria de un suceso es un sistema físico que tiene una información mutua clásica no nula de un sistema . El borrado de la memoria de este suceso se produce al eliminarse la información cuántica mutua , ya que esta última cantidad es una cota superior de la información mutua clásica (omito la demostración, también sencilla).

La interpretación de la ecuación (1) es que, si queremos disminuir la entropía de los sistemas  y sin incrementar la entropía del reservorio , es necesario reducir la información mutua cuántica entre los sistemas  y . En la figura que abre esta entrada, un experimento mental, el sistema es el laboratorio de Alicia y el sistemas es una partícula de espín 1/2: sus entropía finales se reducen en un bit a costa de borrar dos bits de información mutua cuántica .

La ecuación (1) nos dice que tomando como sistema al observador, Alicia, y su laboratorio, y considerando un tiempo intermedio en el que es mayor que en los momentos inicial y final, debido a alguna transformación que incremente la entropía sin que sea absorbida por el reservorio , ésta se puede reducir mediante una transformación que decremente la entropía a costa de reducir la información mutua entre el observador y el sistema observado . Incluso si la entropía , medida desde el punto de vista del observador, decrece, el observador no será consciente de ello, ya que la transformación que decrece la entropía debe factorizar (separar) el observador y el sistema que contienen información del suceso que incrementó con anterioridad su entropía. La memoria de tal evento (que decrece la entropía) será parte de las correlaciones que se destruirán. Un resultado directo de la regla de Born aplicada al entrelazamiento entre observador y sistema observado (un proceso mecánico cuántico irreversible).

Animo a los interesados en más detalles a que se lean el artículo técnico, fácil de leer si uno ha recibido alguna vez un curso de mecánica cuántica.

La importancia de un solo fotón (el más energético observado en una fuente de rayos gamma) en las violaciones de la relatividad especial

Los científicos de la colaboración GBM/LAT del observatorio espacial de rayos gamma Fermi (GLAST) han observado un fotón, solo un fotón, de 31 GeV, de la fuente intensa de rayos gamma (cortos) GRB 090510. Más energético de lo esperado interpretan su observación como que la escala de masas para una teoría cuántica de la gravedad es al menos 102 veces mayor que la escala de Planck. ¡Increíble! Concluir tanto de tan poco. Su observación limita las posibles violaciones de la relatividad especial (posibles dependencias lineales de la velocidad de propagación del fotón con respecto a su energía). Por supuesto, puede que exista una interpretación menos exótica, ya que sabemos muy poco de la física de las fuentes intensas de rayos gamma cortos. Pero hay que buscar los titulares y estos científicos no han querido desaprovechar su oportunidad. La ciencia de las grandes colaboraciones muchas veces está guiada por la búsqueda de los titulares, sobre todo si como es el caso quieren publicar en Nature. El artículo técnico es Abdo et al. (Fermi GBM/LAT Collaborations), “Testing Einstein’s special relativity with Fermi’s short hard gamma-ray burst GRB090510,” ArXiv, Submitted on 13 Aug 2009 (merece la pena leer la información suplementaria). Visto en el blog de Bee (Sabine Hossenfelder) “That Photon from GRB090510,” BackReaction, August 16, 2009. Por cierto, muy interesante su artículo con Lee Smolin “Conservative solutions to the black hole information problem,” ArXiv, 20 Jan 2009.

Un solo fotón detectado el 10 de mayo de 2009 a la hora universal 00:22:59.97 UT por el Gamma-ray Burst Monitor (GBM) y el Large Area Telescope (LAT) ambos a bordo del telescopio espacial Fermi (acompañado de otros cientos de fotones de energía inferior detectados en Fermi y miles de ellos detectados en otros observatorios terrestres). Un fotón de 31 GeV es el fotón con mayor energía detectado nunca de una fuente de rayos gamma (GRB). Comparando el momento en que fue detectado con el momento en que se detectaron los demás fotones de energía mucho menor se puede limitar el cociente entre la masa (energía) a la que deja de ser válida la relatividad especial (M_QG) y la masa (energía) de Planck (M_P) resultando en M_QG/M_P > 102 (el mejor valor hasta ahora era M_QG/M_P>0.1). Un resultado espectacular si tenemos en cuenta que todas las teorías apuntan a que M_QG ≤ M_P. Una de las consecuencias de substituir la teoría de la gravedad de Einstein por una teoría cuántica de la gravedad (sea la que sea) es que se viola la relatividad especial de Einstein (al menos a la escala de Planck) luego los fotones deben tener una velocidad que depende de su energía (en la mayoría de las alternativas teóricas).

¿Realmente ha sido bien interpretado el fotón observado? Un fotón, es eso, un fotón y puede provenir de GRB 090510 (como proclaman los autores) o quizás de otra fuente cercana angularmente o tras sufrir algún fenómeno de refracción. Además, según algunos autores, como la propia Bee (S. Hossenfelder, “Multi-Particle States in Deformed Special Relativity,” Phys. Rev. D 75:105005, 2007; ArXiv, 2 Feb 2007) podría ocurrir que la dependencia con la energía de la velocidad de los fotones debida a efectos gravitatorios cuánticos no sea lineal, sino cuadrática, o que incluso depende de la densidad de la energía y no del valor absoluto de la energía. Por ejemplo, el resultado experimental observado no descarta una dependencia cuadrática con la energía compatible con M_QG ≤ M_P (aunque los autores del artículo lo omiten explícitamente).

Lo dicho, si las grandes revistas como Nature buscan el índice de impacto en los titulares espectaculares, las grandes colaboraciones científicas tienden a ofrecer grandes titulares y resultados espectaculares para los mass media. Pero nunca hay que olvidar las interpretaciones alternativas (normalmente omitidas, por razones obvias, en estos artículos).

PS (19 agosto 2009): Una manera de interpretar el resultado observado es que la Teoría de Supercuerdas (SST) vence a la Gravedad Cuántica de Bucles (LQG), ya que esta última asume violaciones de la relavitidad especial a la escala de Planck (como que fotones de diferente frecuencia, color, se propagan a velocidad diferente). Argumentos al respecto aparecen en “Fermi kills all Lorentz-violating theories,” The Reference Frame, 17 August 2009, aunque los comentarios de Lubos, como siempre, son más exagerados y radicales de la cuenta. Por cierto, aparece un vídeo de youtube de la serie The Big Bang Theory que discute SST vs LQG (en inglés, muy gracioso).

PS (16 sep. 2009): ¿Cómo interpretan los teóricos de cuerdas estos hechos? Nos lo cuenta Nick E. Mavromatos en “Probing Lorentz Violating (Stringy) Quantum Space-Time Foam,” ArXiv, Submitted on 12 Sep 2009, quien asegura que no es difícil explicar las observaciones del telescopio de rayos gamma FERMI del fotón observado en GRB 090510 utilizando teoría de cuerdas y modelos basados en branas.

PS (28 octubre 2009): El artículo ha sido finalmente aceptado para publicación en la prestigiosa Nature: A. A. Abdo et al. “A limit on the variation of the speed of light arising from quantum gravity effects,” Nature, Advance online publication, October 28, 2009. Los revisores del artículo han hecho un buen trabajo y han suavizado mucho la magnitud reportada para el valor M_QG/M_P  observado, reduciéndolo a un razonable M_QG/M_P > 1.2. Los resultados experimentales difícilmente pueden asegurar cuándo fue emitido el fotón, con lo que cualquier valor mayor está sujeto a una gran incertidumbre. Reducir el valor de 102 a 1.2 es una gran reducción. Pero la publicación en Nature así lo ha requerido. Nos lo han contado en muchos medios, como en Symmetry Breaking ”Gamma-ray burst restricts ways to beat Einstein’s relativity,” y en BackReaction “The Photon and its Cousins.”

El efecto Hamlet cuántico: decaer o no decaer

Todo el mundo sabe que los físicos cuánticos son unos cachondos, sobre todo a la hora de elegir nombres (clonación, teletransporte, …). El efecto Hamlet cuántico (ser o no ser) podría corresponder a casi cualquier cosa en mecánica cuántica, pero el nombre estaba aún sin usar y lo ha usado el físico serbio Vladan Panković para el fenómeno de “decaer o no decaer,” parafraseando el efecto cuántico de Zenón. La verdad es que es una chorrada como cualquier otra, pero buscando tener una noticia en los medios, la selección del nombre para un fenómeno y del título para un artículo técnico son claves. Un buen titular es clave en cualquier noticia. Poca más información se puede ofrecer tan algo tan vacío de contenido, quizás queráis leer la noticia “Introducing The Quantum Hamlet Effect. To decay or not to decay: that is the question,” ArXiv Blog, August 12, 2009, o el artículo original “Quantum Hamlet Effect,” ArXiv, Submitted on 10 Aug 2009. Ambos vacíos de todo contenido (¡eh! es mi opinión).

¿Para qué se necesita una teoría cuántica de la gravedad? Para evitar los viajes cuánticos al pasado

La teoría de la gravedad de Einstein no prohíbe viajar en el tiempo hacia el pasado (curvas temporales cerradas). En sistemas macroscópicos parece imposible y se asume la existencia de principios (“censores cósmicos”) que evitan su existencia (básicamente que nada puede superar la velocidad de la luz). Sin embargo, cuando se unen la mecánica cuántica y la teoría de la gravedad la cosa cambia y no sabemos cómo evitar que un estado cuántico viaje al pasado. ¿Algún problema? Bueno, si fuera posible, los sistemas de cifrado cuántico, supuestamente absolutamente seguros, no lo serían, como nos cuenta David Lindley en “Time Travel Beats Quantum Mechanics,” Physical Review Focus, 2 June 2009, haciéndose eco del artículo técnico de Todd A. Brun, Jim Harrington, Mark M. Wilde, “Localized Closed Timelike Curves Can Perfectly Distinguish Quantum States,” Physical Review Letters 102: 210402, 2009 (ArXiv preprint). La existencia de curvas temporales cerradas (“closed timelike curves”, CTCs) en un contexto cuántico no es un problema para la mayoría de los investigadores ya que se cree que la teoría “correcta” de la gravedad cuántica evitará la existencia de este tipo de “inconsistencias” en nuestro conocimiento actual. Pero realmente será así. Todavía, nadie lo sabe.

El trabajo de Todd Brun et al. muestra que un espía podría utilizar curvas temporales cerradas (CTCs) para descifrar “al vuelo” los mensajes codificados utilizando cualquier sistema de criptografía cuántica sin que ni el emisor ni el receptor se dieran cuenta. La paradoja del abuelo, viajas al pasado y matas a tu abuelo, parece que prohíbe terminantemente la existencia de CTCs. Desde el punto de vista clásico todo el mundo lo tiene muy claro. Pero en 1991, David Deutsch de la Universidad de Oxford, Gran Bretaña, publicó un artículo en el que demostraba que las curvas temporales cerradas para ciertos estados cuánticos pueden evitar esta paradoja. Más aún, utilizando técnicas de teoría cuántica de la computación demostró que estas paradojas no pueden darse en un contexto cuántico. Ello no quita que las CTCs tengan otro tipo de ”defectos” cuánticos, como violaciones de la unitariedad y del principio de correspondencia, pero que nos parecen menos “antiintuitivos.” Además, también son computacionalmente interesantes, permitiendo, por ejemplo, la clonación de estados cuánticos. El artículo técnico es David Deutsch, “Quantum mechanics near closed timelike lines,” Phys. Rev. D 44: 3197-3217, 1991.

Sin entrar en detalles técnicos, lo más importante es que este trabajo apunta a la necesidad de una teoría cuántica de la gravedad en un contexto práctico (ya hay sistemas de cifrado cuántico comerciales) muy diferente al razonamiento habitual que requiere dicha teoría sólo para entender las singularidades ocultas en los agujeros negros o los primeros estadios de la Gran Explosión en cosmología teórica, muy alejados de lo experimentalmente verificable en laboratorio.

¿Se puede demostrar que el cerebro funciona cuánticamente preguntándole a una persona lo que ve?

La conciencia humana es un fenómeno cuántico. Así lo creen muchos. El cerebro es más poderoso que un ordenador convencional porque utiliza procesos cuánticos. Así lo creen otros muchos. Elio Conte y sus coautores creen que han demostrado la existencia de procesos de interferencia cuántica en el cerebro humano gracias a experimentos en los que muestran ambigramas (figuras ambiguas) a personas y les pregunta que es lo que ven. Pseudociencia, obviamente. Pero quizás algún lector de este blog esté interesado en leer dicho trabajo. Así que sin más comentarios, aquí va la referencia pseudotécnica: Elio Conte, Andrei Yuri Khrennikov, Orlando Todarello, Antonio Federici, Leonardo Mendolicchio, Joseph P. Zbilut, “Mental states follow quantum mechanics during perception and cognition of ambiguous figures,” ArXiv, Submitted on 26 Jun 2009 (Published on Open Systems and Information Dynamics, 16: 85-100, 2009).