Solitones de Falaco, sombras de vórtices en tu piscina (o Teoría de Cuerdas en tu piscina)

R. M. Kiehn, en el verano de 1986, estaba visitando a un viejo amigo en Río de Janeiro, Brasil, cuando observó en una piscina ondas no lineales de tipo solitón, a las que bautizó como solitones de Falaco. Este tipo de ondas pueden ser reproducidas fácilmente por cualquiera que disponga de un laboratorio… digo, de una piscina. El video de youtube muestra dos parejas de solitones de Falaco. Sorprendente este tipo de defectos topológicos de la superficie del agua (que generan la sombra oscura) son similares a los defectos topológicos en 2 dimensiones que aparecen en Teorías de Cuerdas (así que si tienes una piscina puedes “jugar” a experimentar en teoría de cuerdas, ¡qué suerte tienes!, y a visualizar fenómenos que sólo las grandes “mentes” pensantes de esta teoría pueden “concebir”).

El experimento es fácil de reproducir para quien disponga de piscina. Si calienta el Sol, como este verano. Se selecciona un objeto circular o disco (por ejemplo un Frisbee) y se “medio”-sumerge en la piscina mientras es golpeado suavemente en la dirección de su eje. Tras el “golpecito” se retira lenta y suavamente el objeto, generando energía cinética y momento angular que se imparte al agua. Los bordes del objeto generarán un par de vórtices de Rankine en la superficie del agua. Estos vórtices de Rankine, bajo la luz del Sol, generarán dos depresiones con curvatura gaussiana negativa, que proyectarán sobre el suelo de la piscina dos puntos oscuros o discos negros, con ciertos brazos espirales difusos debidos a cáusticas. Puede que la primera vez no te salga. Pero si lo intentas varias veces verás que es fácil convertirse en un experto experimentador en la generación de vórtices topológicos (que bien suena) en tu propia piscina (y en las de tus amigos, no lo pruebes en las suyas hasta que tengas dominado este experimento de Teoría de Cuerdas). Recuerda que tienes que afirmar que estás experimentando con la teoría que NO tiene confirmación experimental.

Si sabes algo de teoría de cuerdas, por favor, evita deleitarles con una aburrida charla sobre la materia. A mí al menos me ha dado muy mala “reputación”.

Más información: Artículo técnico de Khien, Monografía científica, Solitones de Falaco como Agujeros Negros, Más sobre lo mismo, para acabar y no aburrir.

Mérida, Venezuela, el teleférico más alto del mundo cumple 50 años

Recientemente he visitado Venezuela, por trabajo, con muy poco tiempo para turismo. Aún así, he podido escaquearme para visitar el teleférico más alto del mundo, construido por la compañía francesa Applevage en 1958 (reconstruido por el gobierno venezolano, Corpoturismo, en 1998 ) sito en Mérida.

Cabinas con capacidad para 40 personas (sólo 10 asientos triples). Nuestro viaje duró 4 horas. En Loma Redonda, tras superar las nubes, empezó a llover, con lo que la vista se vió muy desmejorada. Llegando al Pico Espejo, la lluvia se convirtió en nieve. La mayoría de nuestros compañeros de viaje, venezolanos, estaban alucinando viendo nevar. Especialmente los niños que disfrutaron de la nieve como sólo saben hacerlo los niños. Un termómetro en la última estación decía que estábamos a -3 ºC. En Mérida, antes de partir y tras el regreso, el calor húmedo era sofocante.

Como referencia, os listo las paradas y sus altitudes:
Mérida (1640 m.)
La Montaña (2436 m.)
La Aguada (3452 m.)
Loma Redonda (4045 m.)
Pico Espejo (4765 m.)

La última estación está a sólo 14 m. de la cima más alta de Europa occidental (Mont Blanc, 4779 m.) y a 242 m. de la cima más alta de Venezuela (Pico Bolívar 5007 m.). Cuando está despejado, arriba, dicen que la vista es espectacular. Cuando nieva, el espectáculo es la nieve. Por supuesto, los que ya la conocemos, disfrutamos de un “gustoso” vino caliente.

¿Cómo se deforma una botella de plástico? (o generación de polígonos en ecuaciones en derivadas parciales no lineales)

Muchos tenemos la experiencia de haber observado cómo se generan formas poligonales cuando se deforma la pared de una botella de plástico ante cargas puntuales. El artículo de Ashkan Vaziri and L. Mahadevan, “Localized and extended deformations of elastic shells,” PNAS, vol. 105, no. 23, pp. 7913-7918, June 10, 2008, presenta un modelo matemático (ecuación) de cómo se realiza este proceso de generación de patrones poligonales. En el artículo se comparan los resultados de simulaciones numéricas con resultados experimentales ante cargas puntuales (aplicar una fuerza de compresión sobre la botella concentrada como la producida cuando se aplica presión con un lápiz puntiagudo, figura A).

Estas formas poligonales son debidas a la respuesta mecánica no lineal de superficies elásticas curvadas cuando se les aplica una fuerza externa localizada. Dependiendo de las curvaturas (geométricas) intrínsecas (locales) de la superficie, se obtienen diferentes formas (patrones) para la superficie deformada. Para superficies con curvatura gaussiana cero o positiva, aparecen estructuras “poligonales” (facetadas) que se organizan en un conjunto de patrones localizados intrincados, presentando transiciones de histéresis entre múltiples estados metaestables. Por el contrario, cuando la curvatura gaussiana es negativa la superficie se deforma de forma no local a lo largo de líneas características que se extienden a lo largo de toda la superficie. Los autores presentan ecuaciones matemáticas y resultados numéricos que permiten entender estos dos tipos de comportamiento, permitiendo clasificarlos en función de ideas geométricas muy sencillas.

La figura A muestra que conforme el desplazamiento de al punta del lápiz que aplica la presión aumenta, la botella primero se “hunde” con una hueco circular, que pierde la simetría local para transformarse en una forma poligonal con 3 vértices (triángulo). Si se sigue aplicando la presión con el lápizse forman polígonos con un mayor número de lados y vértices. Los investigadores han resuelto las ecuaciones en derivadas parciales elípticas no lineales para la deformación de la superficie usando el método de elementos finitos con el programa comercial ABAQUS, partiendo de la geometría de la figura B, obteniendo los resultados numéricos mostrados en la figura C. Suponiendo que el material deformado tiene un grosor t y una curvatura (sin deformar) R, los autores han estudiado el rango 0.0005 < t/R < 0.01. Para el casquete esférico la curvatura gaussiana es positiva.

Como muestra la figura F, el casquete esférico primero se deforma axisimétricamente con un comportamiento lineal entre la fuerza aplicada (F/Et²) y el desplazamiento debido a la presión de la punta normalizado respecto al radio de curvatura (Z/R). Pero cuando la deformación es similar al grosor del casquete, la respuesta se vuelve no lineal. Si se seguimos presionando, aparece una deformación con una forma básicamente circular. Cuando seguimos presionando más, la forma circular pierde estabilidad, produciéndose una transición a un modo asimétrico, que muestra simetría triangular. Si seguimos aplicando la presión se producen sucesivas transiciones bruscas hacia formas con simetría de 4 y 5 lados. Múltiples formas poligonales con un número variable (creciente) de vértices (ver también figura C). Cada transición está marcada por una bifurcación que convierte un vértice en dos. Cuando decrementa la presión de la punta del lápiz, la deformación de la superficie sigue la curva roja en la figura F, es decir, se produce un fenómeno de histéresis (múltiples estados estables cuyo valor depende de cómo son alcanzados).

¿Por qué ocurre esto? Porque las deformaciones casi-inextensibles del casquete son energéticamente preferibles cuando se cambia de número de vértices, ya que se estira la superficie sólo en las cercanías de estos vértices y en las líneas que los conectan y el resto de la superficie permanece en gran parte sin deformar (facetas planas). De esta forma, la superficie se deforma en una pirámide n-gónica con el vértice en el punto en el que presionamos (figura D).

En resumen un artículo muy interesante. El artículo se acompaña de un vídeo en formato .mov, que muestra claramente cómo ciertos vértices individuales se dividen en dos incrementando el número de lados de los polígonos.

¿Es estable el Sistema Solar? (o Mercurio y Venus colisionarán, y Marte abandonará el Sistema Solar, según simulaciones numéricas)

¿Cómo puede evolucionar el Sistema Solar en el futuro? ¿Cuáles son las posibilidades de que los planetas sufran una inestabilidad orbital antes de que el Sol se vuelva una estrella gigante roja y destruya la Tierra? En tres palabras: alrededor del 1%. Así se indica en el artículo de Konstantin Batygin, Gregory Laughlin, “On the Dynamical Stability of the Solar System,” ArXiv preprint, 11 Apr 2008. El artículo es técnico, pero está magistralmente comentado en (el blog del propio Laughlin) “It won’t last forever…,” que resume los puntos más importantes del trabajo de Batygin sobre la estabilidad a largo plazo del Sistema Solar y sobre todo de su motivación (Konstantin es el alumno y Gregory el profesor).

La respuesta a estas preguntas requiere estudiar numéricamente la evolución de los 8 planetas (no se tienen en cuenta los planetas enanos ni demás cuerpos de menor tamaño) en integraciones de largo tiempo. Hoy en día, cualquier ordenador PC permite realizar simulaciones de los 8 planetas en tiempos más largos que la vida del Sol (antes de que se convierte en gigante roja, dentro de unos 6 mil millones de años) y Batygin lo ha hecho para los próximos 24 mil millones de años (mucho más allá de lo necesario). La siguiente figura muestra la excentricidad de la órbita terrestre durante los próximos 20 mil millones de años, mostrando que su órbita prácticamente no cambia (variaciones entre e=0 y e=0.07). Un resultado claramente aburrido.

Las simulaciones numéricas desarrolladas por Batygin incluyen la adición de un término perturbativo singular, desarrollado previamente por Laskar gracias al análisis de la simulación hacia atrás en el tiempo (técnica de análisis de bifurcaciones para sistemas “caóticos” hamiltonianos), que permite modelar mejor la existencia de resonancias entre el movimiento de los planetas. En concreto una resonancia entre Mercurio y Júpiter, mediada por Venus, conduce a un comportamiento de Mercurio muy errático. Como vemos en esta figura.

Este comportamiento conduce a interesantes sorpresas. En una simulación Mercurio cae en el Sol dentro de 1261 millones de años (Ma). En otra, Mercurio y Venus colisionan dentro de unos 862 Ma, tras la eyección de Marte fuera del Sistema Solar dentro de 822 Ma. (como vemos en la figura de abajo). En todas las simulaciones Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno se mantendrán estables. 

Más en broma que en serio, semiramis nos recuerda que “Venus no soporta que Mercurio (dios mensajero) le chive sus idilios a Marte (amante de la primera pero también cornudo) y razón por la cual éste último se pira del sistema solar. ¿Y para esa conclusión tanto cálculo numérico?”. 

La revista Nature dice que es indiferente usar condones de latex (más baratos) que de poliuretano (más caros) si queremos prevenir roturas (o “like a sex machine”)

Máquina utilizada en el estudio (c) Nature.

El condón o preservativo es el medio más seguro de practicar sexo sin riesgos. Sin embargo, el 1% de los condones se rompen (según los estudios clínicos). Los condones “baratos” son de latex, pero los hay más caros de poliuretano, que son más delgados y muestran mejor elasticidad. Un estudio científico realizado en laboratorios de la compañía Durex utilizando un máquina de practicar sexo ha mostrado que los condones de latex son tan seguros como los de poliuretano: sufren el mismo número de desgarros en los experimentos en la “sex machine” de la foto. El artículo técnico es de White ND, Hill DM, Bodemeier S., “Male condoms that break in use do so mostly by a “blunt puncture” mechanism,” Contraception, 77(5):360-5, May 2008. El estudio es comentado como noticia en el número de hoy de la prestigiosa revista internacional Nature: Anna Petherick, “A side-splitting tale. Sex simulator sheds light on condom ruptures,” Nature, published online 14 May 2008. Por cierto, ¿ganará el Dr. White y su equipo un premio Nobel Ig este año? Habrá que estar al tanto.

El resumen de la noticia de Anna Petherick es “impactante”: Investigadores que han utilizado un dispositivo para simular la cópula humana (una “sex machine”) muestran que más del 90% de las rupturas de condones ocurren cuando la envoltura (el latex del condón) es extirada repetidamente mientras es introducido en el mismo agujero sin que se retorne a un estado relajado entre estos estiramientos. ¡Qué gran descubrimiento científico-técnico!

Anna Petherick no se queda ahí y trata de aclarar el asunto. Los estándares internacionales para la prueba de condones requieren dos evaluaciones de los esfuerzos tensiles del material del condón. Uno mide cuánto se estira un anillo de material entre dos cilindros rotativos y el otro requiere inflar el condón hasta que explote, determinando la presión y el volumen al que esto ocurre. Aún así, los estudios clínicos indican que alrededor del 1% de los condones se rompen. Sin embargo, estos estudios clínicos no pueden determinar el porqué se rompe.

Ahí es donde entra la “sex machine” que un equipo liderado por Nicholas White, jefe de control de calidad de SSL International, compañía de Cambridge, Reino Unido, a la que pertenece Durex, la mayor empresa del mundo en fabricación de condones, ha intentado un análisis más realista del proceso de ruptura del condón, para lo que ha utilizado un máquina sexual con “agujero” de diámetro ajustable, lubricación y control del empuje. Un juguete de sex-shop de primera línea.

Pero, ¿cómo saber que la “sex machine” simula “científicamente” la práctica del sexo? Lo más obvio es comprobar si los defectos de los condones “rotos por la máquina” son similares a los de los condones “rotos en la práctica del sexo por humanos”. El equipo del Dr. White examinó al microscopio las roturas de 972 condones que fueron retornados por sus usuarios (como parte de quejas) entre 1998 y 2005. Más del 60% de los condones, que no presentaban defectos obvios de fabricación o defectos claramente debidos a un uso incorrecto, presentaban señales de una ruptura circular hacia afuera que los investigadores llaman una “erupción”. Esta señal distintiva es la que los investigadores han tratado dereplicar utilizando la “sex machine”, utilizando los parámetros que ella permite controlar. Cuando lograron obtener estas “erupciones” se dieron por contentos y compararon los dos materiales más usados en la fabricación de condones, latex y poliuretano. Estos últimos son más caros, más delgados y muestran mejor elasticidad, sin embargo, los de latex “normales” son tan buenos que los “caros” en cuanto al modo en que sufren las roturas y en cuanto al número de roturas que sufren.

Las dos revistas científicas internacionales de mayor prestigio, Nature (inglesa) y Science (americana), mantienen una reñida pugna por ver cual de las dos es la que alcanza cada año el mayor índice de impacto y por ver cual de los dos publica los artículos más importantes del año. Siempre se ha considerado a Science como un poco más dada al marketing y a lo comercial que Nature, “algo” más seria. Ahora bien, también Nature publica noticias sobre artículos “poco” serios, como la noticia comentada.

Burbujas en la etiqueta de botellas de vino (o un modelo simple de lubricación)

Me ha gustado la foto, portada en (c) wine blog

A veces los trabajos científicos que se leen en revistas de Matemáticas te dejan con la boca abierta… así que es preferible tener una botella de vino al lado con la que disfrutar a gusto. ¿Has observado alguna vez burbujas en una etiqueta mojada de una botella de vino? Como, por ejemplo, éstas en una botella de “clarete” australiano.

¿A qué se deben dichas burbujas? ¿Cómo actúa el agua en conjunción con el pegamento de la etiqueta para producirlas? ¿Tiene suficiente agua el pegamento para producirlas, o es necesario que la botella se encuentre un ambiente con alto grado de humedad? Por supuesto, si prefieres beber acompañado tendrás mejores cosas que preguntarte ante una buena copa de vino, pero si estás solo, por lo que sea, por qué no pensar en ello. Bueno, el artículo P. Broadbridge, G. R. Fulford, N. D. Fowkes, D. Y. C. Chan, and C. Lassig, “Bubbles in Wet, Gummed Wine Labels,” SIAM Review, Volume 41, Issue 2, Pages 363-372, 1999, nos ofrece una respuesta.

El artículo, cuya lectura es sencilla y la recomiendo a todos los interesados, muestra que la formación de burbujas en la etiqueta es debida a la absorción de agua por el papel que se encontraba disuelta en el pegamiento, acompañada dicha absorción por una expansión hidroscópico de dicho papel. La mayor parte de este agua no es absorbida por el papel sino que se evapora hacia el exterior generando las fuerzas de presión que “despegan” el papel en el centro de la burbuja. Los autores presentan un modelo de lubricación (una de las aproximaciones más sencillas en mecánica de fluidos) para las “tiras” de pegamento con la que se impregna la etiqueta en una cámara de presión que logra que ésta se pegue uniformemente en la botella. De hecho, tras el pegado, todas las etiquetas quedan “perfectamente” lisas. Sin embargo, alrededor del 5% acaban generando las tan temidas burbujas. Para el estudio del desarrollo de la burbuja, los autores aplican la teoría del pandeo (buckling) de estructuras mecánicas elásticas para explicar cómo la expansión del papel genera la burbuja. La geometría del modelo es muy sencilla, pero no por ello menos efectiva. El artículo merece la pena, ilustrando cómo un modelo matemático sencillo puede aportar mucha información sobre un problema real de importancia tecnológica (de hecho la industria enológica o vinatera australiana tiene ciertas pérdidas achables a devoluciones de lotes de botellas en las que aparecen estas burbujas con mayor frecuencia estadística de la habitual, ocurre en 1 de cada 20 cajas de botellas).

Es bonito la historia de este artículo. En un congreso organizado por el Grupo de Estudio de Problemas Matemáticos en la Industria Australiano (en concreto, el 1996 “Australian Mathematics-in-Industry Study Group, MISG) fueron invitados diferentes representantes de la industria que ofrecieron a los 160 matemáticos participantes problemas que ellos consideraban interesantes y a la vez importantes. Herbert Hruby, de las bodegas Southcorp Wines Pty. Ltd., presentó este problema. Los matemáticos se repartieron en grupos que se reunieron en varias sesiones regularmente con objeto de resolver este problema, y otros también propuestos. Este problema en concreto atrajo a una docena de matemáticos a “tiempo completo” y al menos otros doce que “revolotearon” por varios problemas.

Comenzaron a subir la escarpada ladera del monte por senderos zigzagueantes, todos ellos cubiertos de agujas de pino y hojas secas…

PasosLargos (Sierra de las Nieves, Málaga)

La noticia “Un Sendero en Zigzag al Avanzar Por una Pendiente Cansa Menos,” Noticias de la Ciencia y la Tecnología, 2 de Abril de 2008, que describe el trabajo desarrollado en M. Llobera and T.J. Sluckin, “Zigzagging: Theoretical insights on climbing strategies,” Journal of Theoretical Biology, Volume 249, Issue 2, Pages 206-217, 21 November 2007, en el que se trata de justificar que los senderos zigzagueantes en las colinas que encontramos los que nos gusta “patear” el monte son los que minimizan el consumo energético (metabólico) a la hora de ascender y descender por una montaña y son el resultado de un diseño “casi-óptimo” de nuestros ancestros.

La parte más interesante del trabajo es cómo modelar matemáticamente nuestro consumo energético al caminar por una pendiente y se basa en el trabajo anterior de Minetti, A.E., “Optimum gradient of mountain paths,” Journal of Applied Physiology, Volume 79, Issue 5, Pages 1698-1703, 1995, quien ha utilizado datos experimentales clásicos [R. Margaria, 1938] relativos al coste metbólico de subir pendientes (locomoción gradiental). El trabajo de Minetti mostró que para un humano promedio la mejor pendiente de subida, la que consume menos recursos energéticos, tiene una pendiente de 25% aproximadamente (por debajo de una pendiente del 15% no hay mucha diferencia con el consumo al caminar en llano). Este trabajo de Minetti ya nota que la mayoría de los senderos son zigzagueantes para aprovechar este ahorro energético presentando una pequeña muestra de caminos experimentalmente medidos.

¿Y cómo se relaciona el gasto energético de caminar comparado con el de correr? Minetti ha seguido trabajando en este tema. Minetti, A.E., Moia, C., Roi, G.S., Susta, D., Ferretti, G., “Energy cost of walking and running at extreme uphill and downhill slopes,” Journal of Applied Physiology, Volume 93, Issue 3, Pages 1039-1046, September 2002, mide el coste energético de caminar y correr medido en 10 corredores utilizando una “cinta de correr” en plano inclinado (que permite mantener la velocidad más o menos constante). Caminar en llano requiere un coste, sea Cw, que se reduce a casi la mitad cuesta abajo y que puede llegar a multiplicarse por 10 cuesta arriba. Correr en llano requiere el doble coste que caminar con similares proporciones en cuesta arriba y cuesta abajo. Sin embargo, comparando caminar “rápido” y correr “lento” (más o menos a la misma velocidad), resulta que caminar “rápido” es mucho más costoso que correr “lento” (por eso cuando queremos ir rápido corremos en lugar de caminar). El trabajo es interesante porque estima las velocidades máximas que se pueden alcanzar corriendo en llano, cuesta arriba y cuesta abajo.

¿Y cómo reducimos nuestro gasto energético cuando vamos en bicicleta? En el trabajo Ardigò, L.P., Seibene, F., Minetti, A.E., “The optimal locomotion on gradients: Walking, running or cycling?,” European Journal of Applied Physiology, Volume 90, Issue 3-4, Pages 365-371, October 2003, estudian el coste energético de ir en bicicleta comparado con caminar y correr. En llano, ir en bicicleta es más económico que correr, que es más económico que caminar “rápido”. Los autores desarrollan un modelo matemático que permite predicer el consumo energético en función del ángulo de la pendiente. Encuentran que ir bicicleta es más económico sólo para pequeña pendiente (menor del 15%), siendo caminar el modo más eficiente por encima de esta pendiente. Han verificado sus resultados teóricos experimentalmente con 7 ciclistas aficionados a los que se ha pedido que caminen, corran y pedaleen por “cintas de correr” con diferente inclinación que se mueven a la misma velocidad.  

¿Realmente están optimizados nuestros músculos para minimizar el gasto de energía cuando andamos y corremos? Alexander, R.McN, “Optimization of muscles and movement for performance or economy of energy,” Netherlands Journal of Zoology, Volume 50, Issue 2, Pages 101-112, 2000, muestra una serie de ejemplos de cómo los músculos y los movimientos humanos están diseñados para maximizar el rendimiento minimizando el coste energético. En movimientos oscilatorios, como al caminar o correr, la combinación de las propiedades de los músculos es la óptima en función de la elasticidad de los tendones, que son ajustados en tiempo real con objeto de minimizar la energía. También estudia a los saltadores olímpicos de altura y de longitud que corren a diferente velocidad y doblan las piernas en ángulos diferentes para obtener los mejores saltos.

¿Pero hay una velocidad óptima para caminar (en llano)? Sí, la que implica un coste metabólico mínimo, unos 1.11 m/s en promedio. Además, el coste de correr, en llano, es prácticamente constante e independiente de la velocidad (aproximadamente el doble que el de caminar a la velocidad óptima). Estos resultados y otros interesantes sobre la biomecánica de la locomoción humana se describen en Saibene, F., Minetti, A.E., “Biomechanical and physiological aspects of legged locomotion in humans,” European Journal of Applied Physiology, Volume 88, Issue 4-5, Pages 297-316, January 2003 (versión gratuita). Caminar y correr son dos movimientos humanos muy complejos que involucran un enorme número de órganos pero que se pueden describir fácilmente con dos modelos sencillos: un péndulo invertido y un muelle. Los músculos se contraen a cada paso con objeto de mover las articulaciones del cuerpo de la forma adecuada que permite optimizar el consumo energético (tanto energía mecánica como elástica). El artículo estudia la mecánica de la locomoción en humanos adultos, niños, pigmeos y enanos, mostrando que no hay grandes diferencias. Sin embargo, caminar o correr con un peso a cuestas (externo o interno, como la obsesidad) sí afecta significativamente al gasto energético.

¿Pero hay diferencias entre la eficiencia energética de algunas personas y otras? Sí, claro que las hay, pero donde mejor se ve es en las poblaciones humanas adaptadas a vivir en las alturas, como los porteadores nepalíes en la región del Himalaya, Minetti, A.E., Formenti, F., Ardigò, L.P., “Himalayan porter’s specialization: Metabolic power, economy, efficiency and skill,” Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, Volume 273, Issue 1602, Pages 2791-2797, 7 November 2006. ¿Por qué los porteadores nepalíes tiene mejor rendimiento que los montañeros experimentados? Una posible respuesta está en que han adaptado su manera de caminar a llevar un peso desde que son críos, son capaces de balancear las cargas de los diferentes segmentos de su cuerpo de tal forma que minimizan su consumo energético. Los resultados cuando menos son sorprendentes. Resultados similares, pero para 15 escaladores expertos se han obtenido en Bohne, M., Abendroth-Smith, J., “Effects of hiking downhill using trekking poles while carrying external loads,” Medicine and Science in Sports and Exercise, Volume 39, Issue 1, Pages 177-183, January 2007.

Pero volvamos al principio, nuestros antepasados diseñaron los senderos para que fueran óptimos en consumo energético, ¿podemos hacerlo nosotros mejor? Sí, se pueden utilizar algoritmos por ordenador y herramientas GIS (sistemas de información geográfica) para determinar la mejor “colocación” de los senderos, como muestra Rees, W.G., “Least-cost paths in mountainous terrain,” Computers and Geosciences, Volume 30, Issue 3,  Pages 203-209, April 2004, quienes han aplicado estas técnicas a senderos en un área montañosa de Gales (Gran Bretaña) utilizando para determinar el camino de menor coste un algoritmo desarrollado por Dijkstra. Sorprendentemente, muchos de los senderos óptimos según el ordenador son muy cercanos a los senderos realmente presentes en el terreno. En cualquier caso, el objetivo de los autores es el uso de estas técnicas GIS para diseñar nuevos senderos, no para estudiar la antropología humana.¿Para qué le sirve todo esto a alguien que disfruta “pateando” el monte? ¿Podemos utilizar estos resultados para seleccionar el mejor sendero a la hora de “rutear” por la montaña? Sí, por supuesto que sí. Scarf, P., “Route choice in mountain navigation, Naismith’s rule, and the equivalence of distance and climb,” Journal of Sports Sciences, Volume 25, Issue 6, Pages 719-726, April 2007, discute el uso de la regla de Naismith (sí, del inventor del Baloncesto), que permite a los montañeros estimar el tiempo de la caminata en función del terreno montañoso, y su uso para elegir la mejor ruta. La regla de Naismith nos dice que ascender 1 metro cuesta arriba equivale a recorrer 8 metros en llano (para mujers 10 metros, no lo digo yo, lo dice Naismith). Con esta “cuenta de la vieja” y plano topográfico (como los del ejército) para la ruta, podemos estimar el tiempo de “pateo” y tomar decisiones en las confluencias de senderos sobre cuál es el mejor a elegir.

 

De todas todas, yo suelo elegir los senderos en función de las recomendaciones de mis amigos y valora más la belleza del paisaje y los hitos a encontrar que el tiempo o el gasto energético que me requiere.

Conferencia en la Universidad de Málaga = “El nacimiento de la Ingeniería Industrial”

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Conferencia: “El nacimiento de la Ingeniería Industrial”

Lección Magistral de Graduación ETSI Industriales

Ponente: Prof. Dr. D. Manuel Silva. Catedrático de Ingeniería de Sistemas y Automática de la Universidad de Zaragoza

Fecha: 27 de marzo de 2008. 12.00 horas

Lugar: Salón de Actos de la E.T.S de Ingeniería Industrial

Organiza: E.T.S de Ingeniería Industrial

¿Cómo vuelan los vampiros? (o la aerodinámica de Drácula)

Los túneles de viento no sólo permiten estudiar la aerodinámica de aviones, automóviles y veleros, sino también la del vuelo de un insecto, un pájaro o un murciélago. Katharine Sanderson, “Bat’s powerful lift is illuminated by fog,” Nature News, Published online 28 February 2008, nos comenta en un artículo reciente publicado por la “competencia”, F. T. Muijres, L. C. Johansson, R. Barfield, M. Wolf, G. R. Spedding A. Hedenström, “Leading-Edge Vortex Improves Lift in Slow-Flying Bats,” Science, Vol. 319. no. 5867, pp. 1250 - 1253, 29 February 2008, sobre los secretos de la  técnica vuelo “parado” de insectos y murciélagos (al estilo de los helicópteros).

¿Qué es el vuelo “parado”?

Vuelo “parado” de un murciélago

El video de Hedenström y su grupo muestra un murciélago alimentándose de néctar en un túnel de viento que contiene niebla artificial que se ilumina mediante luz láser pulsante, lo que permite visualizar el movimiento del aire alrededor de las alas del murciélago.

El estudio muestra que la aerodinámica del aleteo del murciélago es un fenómeno dinámico complicado que no puede ser analizado en estado estacionario. Al menos el 40% de la fuerza de sustentación es debida a la presencia de vórtices generados por el borde del ala durante el aleteo (leading-edge vortices, LEV), fenómeno ya observado en el aleteo de muchos insectos, por ejemplo en las abejas, Katharine Sanderson, “Bats fly like a bee,” Nature News, Published online 10 May 2007. Los resultados de Hedenström complementan el estudio anterior A. Hedenström, L. C. Johansson, M. Wolf, R. von Busse, Y. Winter, G. R. Spedding, “Bat Flight Generates Complex Aerodynamic Tracks,” Science, 316: 894 - 897 (2007), al que El Mundo ya dedicó una noticia muy interesante, cuya lectura recomiendo, Olalla Cernuda, “La compleja aerodinámica de los murciélagos,” El Mundo, 11 mayo 2007.

Los resultados experimentales y teóricos obtenidos para el vuelo de los murciélagos que se alimentan de néctar seguramente será aplicables a los vampiros, que se alimentan de sangre, aunque éstos no necesitan el vuelo “parado”, sino que se aferran a la piel de su víctima. ¿Cómo volará Drácula?

Bernoulli no explica por qué vuelan los aviones (o sobre la circulación alrededor de un ala y cómo los libros de texto a veces se equivocan)

Holger Babinsky, Univ. Cambridge (c) Phys. Education, 2003.

Yo estudié que la ley de Bernoulli permitía explicar la sustentación del ala de un avión, el porqué un avión vuela. Y me lo creí. Cuando estudié las condiciones de Kutta-Jukowski para la fuerza de sustentación de un ala no comprendí que implicaban fácilmente que la explicación anterior es incorrecta. ¿Quién me abrió los ojos?  

Este video es el contenido multimedia del artículo “How do wings work?” de Holger Babinsky, publicado en 2003 Physics Education 38, pp. 497-503, que propone que la popular explicación utilizando la ley de Bernoulli para la fuerza de sustentación del ala de un avión es incorrecta. Como dice W.R. Sears que le dijo Theodore Von Karman (quizás el mayor especialista en aerodinámica de la historia): “Cuando se lo cuentes a personas legas debes recurrir a lo falso pero plausible, en lugar de a lo verdadero aunque difícil” (”When you are talking to technically illiterate people you must resort to the plausible falsehood instead of the difficult truth”).

La explicación incorrecta es sencilla. Consideremos el flujo que incide sobre el ala, parte recorre el ala por encima y parte por debajo, siendo el punto de estacamiento donde ambos se separan. Para llegar al otro borde del ala, el fluido que recorre el ala por encima recorre una distancia mayor que el que la recorre por debajo, luego debe hacerlo más rápido. Aplicando la ley de Bernoulli, mayores velocidades implican presiones menores, con lo que se justifica la aparición de la fuerza de sustentación.

¿Por qué esta explicación es incorrecta? ¿Por qué las partículas de fluido por encima y por debajo del ala han de coincider en el extremo opuesto? ¿Por qué han de recorrer longitudes distintas en el mismo tiempo? No es fácil dar la respuesta. Porque no es verdad.

Observando el vídeo (si no lo has hecho ya, este e un buen momento, si lo has hecho, te recomiendo que repitas) en visualización bajo humo pulsado, se observa que el humo por encima del ala se mueven más rápido pero no alcanzan el extremo del ala al mismo tiempo que las van por debajo, llegan antes. Por si te interesa, si llegaran al mismo tiempo no habría sustentación.

¿Cuál es el error con Bernouilli? La ley de Bernouilli reza como sigue. Consideremos una partícula de fluido moviéndose en línea recta en una región sometida a una variación de presión (gradiente). Si la presión desciende conforme la partícula se mueve, la partícula “siente” una fuerza que la obliga a acelerar. Si la presión crece en el camino de la partícula, la partícula se ve obligada a desacelerar. Ahora bien, esto se aplica a lo largo de una línea de corriente, nada se dice sobre lo que pasa en líneas de corriente vecinas. Con lo que la ley de Bernouilli no se puede aplicar a líneas de corriente diferentes (las que van por encima y las que van por debajo del ala). No podemos inferir ningún gradiente de presión entre ellas (debido sólo a la ley de Bernouilli).

¿Cuál es entonces la explicación de la sustentación? El flujo de un fluido alrededor de un objeto se caracteriza por las fuerzas as las que está sujeto (aplicando la ley de Newton). Alrededor de un ala las la fuerza más importante es la presión (tanto la gravedad como la fricción se pueden despreciar).  

Cuando una partícula de fluido se mueve a lo largo de una línea de corriente curvada, ésta debe sufrir una fuerza centrípeta que actúa en dirección normal (perpendicular) a su movimiento, fuerza que sólo puede producirse por variaciones de presión, luego la presión a un lado y a otro de la partícula deben ser diferentes, es decir, la diferencia de presión a ambos lados de la partícula es mayor (menor) a lo largo de su trayectoria si nos movemos en la dirección (dirección opuesta) al centro de curvatura.

 

Consideremos la figura, cuando nos vemos del punto A al punto B. En A las líneas de corriente son rectas y no hay gradiente de presión. Cerca de B son curvadas y tienen un gradiente de presión. Observando la curvatura, la presión disminuye conforme pasamos de A a B (nos movemos en dirección opuesta al centro de curvatura). Cundo nos movemos de C a D, la líneas de corriente se curvan cada vez más, con lo que la presión en D es mayor que en C (nos movemos a favor del centro de curvatura). Como la presión en B es menor que la presión en D, aparece la fuerza de sustentación.

Por tanto, cualquier geometría del ala que introduzca una curvatura en las líneas de flujo puede producir sustentación. Tanto si el ala es ”delgada” como si es “gruesa”, pueden estar igualmente curvadas y la sustentación será la misma. Por ejemplo, los pájaros suelen tener alas finas y curvadas, pero los aviones no (debido a que es más fácil almacenar el combustible en el ala que en el propio avión).

¿Cómo es posible que un avión (acrobático) vuele “boca abajo”? Si haces un dibujo de las líneas de corriente verás que la explicación es sencilla, en ese caso el avión tiene una fuerza de sustentación “negativa”, necesaria para volar “boca abajo”.

En el apéndice del artículo de “How do wings work?” tenéis una derivación matemática de lo aquí explicado, omito las fórmulas siguiendo la ley de Hawking, expresada en la “Historia del Tiempo”, cada fórmula reduce a la mitad el número de lectores.

Otras cuestiones relativas al vuelo, como las turbulencias y sus efectos “desagradables” las trataremos otro día, hoy os dejo con un video de una simulación numérica del flujo alrededor de un ala de perfil aerodinámico NACA 63-412 viajando a Mach 0.25 y con un ángulo de ataque de 20º. ¿Qué tal si tratáis de imaginar las líneas de corriente del fluido por encima y por debajo del perfil? ¿Cómo será su curvatura?

Agua en el subsuelo de Marte (o no cayó lluvia en el pasado marciano)

Nadie ha encontrado agua en Marte, todavía. La única traza de la posible existencia de agua en el pasado de Marte son las huellas dejadas por ésta en “deltas de ríos” o en “laderas de lagos”, que han sido interpretadas como debidas a la presencia de ríos de agua en el pasado “lejano” de nuestro planeta “hermano” (si nuestro planeta “hermana” es Venus). ¿Durante cuánto tiempo ha tenido que fluir agua en Marte para producir las huellas que observamos? Una serie de experimentos en el Eurotank de la Universidad de Utrecht han recreado en la Tierra la morfología marciana y han estudiado cómo se podrían haber formado [Kraal et al. "Martian stepped-delta formation by rapid water release," Nature 451, 973-976 (21 February 2008), noticia en el Eurotank].

Han estimado la topografía inicial “razonable” de un cráter marciano, han introducido diferentes mecanismos de inyección de agua y han observado que sólo son compatibles con los resultados topográficos “reales” actuales si se considera que el agua “manó” desde el subsuelo marciano, en lugar de por precipitaciones (lluvia). Más, aún considerando las posibilidades de un único evento de “inyección de agua” o de un proceso reiterado de múltiples eventos, parece ser que la hipótesis más compatible con sus resultados “terrestres” es la de un sólo evento marciano. La duración de este evento se estima como muy corta, unos 10 años marcianos (recuerde que un año marciano son 687 días terrestres y que un día marciano son 24.6 horas, poco más que un día terrestre). La estimación de la cantidad de agua necesaria para formar las estructuras en “delta” observadas en Marte parece indicar que el agua “contenida” en el río Mississippi es suficiente (una cantidad de agua relativamente “pequeña”).

En la foto de arriba se observa una foto marciana de la región recreada (NASA), una reconstrucción 3D de la región y el modelo a escala construido en el Eurotank por los dos autores. Los autores han presentado un video (Quicktime, .MOV 150 Mb) mostrando los resultados de uno de los experimentos de acumulación de sedimentos. [Sin embargo, hoy lo he descargado un par de veces y no es reconocido como archivo .MOV correcto, así que no he podido verlo... espero que tú tengas más suerte y no te quedes con las ganas. ¿Alguién se atreve a enviarlo a youtube?].

Los parámetros más importantes del modelo a escala del flujo de agua y de su sedimentación son el número (adimensional) de Froude, el de Reynolds y el de Shields. El número de Froude (depende de la velocidad del fluido y de la aceleración de la gravedad) describe la transición entre flujo crítico y supercrítico que caracterizan el tipo de sedimentación que se presenta. El número de Reynolds (depende de la velocidad y de la viscosidad del fluido) determina si el flujo es turbulento o laminar. El número de Shields (depende de los esfuerzos de cizalla sobre el terreno y de las dimensiones del grano que lo constituye) es clave para entender el tipo exacto de las marcas sedimentarias que se producen en el anegamiento del terreno, lo que realmente se ha comparado con las visibles en el propio Marte.

En resumen, los deltas de laderas muy empinadas en Marte parecen ser debidas a episodios hidrológicos de corta duración que involocran una cantidad de agua “pequeña”, por lo que deben ser debidos a la emanación de aguas subterráneas hasta la superficie y no a procesos de precipitación. Quizás estos depósitos subterráneos de agua todavía existan bajo la superficie marciana (hay cierta evidencia pero no hay ninguna demostración definitiva). De existir estos depósitos de agua líquida quizás también alberguen algún tipo de vida microbiana. El futuro próximo nos deparará sorpresas.

El principio de Arquímedes y el hexafluoruro de azufre (o la navegación a vela que no te enseñan en el PER, título de Patrón de Embarcaciones Recreativas)

Un “barco” flotando en hexafluoruro de azufre parece flotar en el aire. Este gas es 5 veces más denso que el aire y se puede retener en una pecera igual que si fuera agua, aunque a vista “no se vé”. No es tóxico pero es un gas de efecto invernadero, con consecuencias para el Cambio Climático.

“El hexafluoruro de azufre, SF6, un átomo de azufre unido a 6 átomos de flúor, es un gas sintético de elevada energía de formación, 262 kcal/mol, altamente estable, que se descompone a partir de los 500 ºC. A temperatura ambiente es un gas pesado, de densidad próxima a 5, inodoro, incoloro y no tóxico. La molécula es simétrica e inerte, estando formada por un átomo de azufre en el centro y seis átomos de flúor a su alrededor, con enlaces covalentes saturados. [Se utiliza para generar arcos eléctricos en ciertas herramientas de corte]

“El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.” La mayoría de las embarcaciones son huecas por dentro (contienen aire, fluido 800 veces más ligero que el agua) con lo que desplazan un gran volumen de agua, siendo su peso mucho menor. En un barco esta fuerza de flotabilidad se aplica sobre el llamado centro de flotabilidad (centro de empuje) que no coincide con el centro de gravedad (donde se aplica la fuerza del peso del navío). En un velero la quilla y las velas (velámen) hacen que el centro de flotabilidad tenga una posición ”efectiva” que mejora la estabilidad cuando el navío está inclinado.

Para determinar la estabilidad hay que determinar el centro de gravedad del buque (fácil, pero depende de la carga) y el centro de flotabilidad (cuya posición cambia con la inclinación de la nave y depende de la forma (sección transversal) del casco). Para que un buque sea estable, el par que ejercen estas dos fuerzas debe tender a recuperar la verticalidad del buque. En los veleros con palo muy alto, sometidos a fuertes inclinaciones por el viento, llevan un gran contrapeso en la quilla, que sitúa el centro de gravedad del conjunto en una posición inferior al centro de flotación, con lo que la estabilidad está asegurada (más sobre navegación).

Más información sobre la física de la navegación a vela. Atención a la foto de Albert Einstein, el marinero.

¿Pero cómo puede un velero navegar en contra del viento? Simplificando, el principio de Bernoulli puede explicarlo fácilmente, considerando que la vela actúa como el ala de un avión. Cuando el aire fluye por un lado de la vela genera presión sobre ella, que atada a las vergas, se infla, mientras que el aire fluyendo por el otro lado se mueve más rápido (recorre una longitud mayor), por lo que genera una presión menor sobre la vela, con lo que ésta recibe una fuerza que es perpendicular a la dirección del viento. Gracias a la quilla y al rozamiento del barco con el agua, se componen estas fuerzas y el resultado combinado puede empujar al barco en dirección perpendicular al viento. Un diagrama de fuerzas es sencillo (se puede ver aquí, donde también ofrecen otra forma de navegar contra el viento).

El motivo de esta entrada, que ya voy a terminar, es que el artículo de Bryon D. Anderson, “The Physics of Sailing,” Physics Today — February 2008, es gratis. Si lees inglés y te interesa este tema, te recomiendo encarecidamente su lectura.

Motor homopolar, motor unipolar, motor de Faraday, motor de Barlow, etc., muchos nombres para una idea bonita (o como uno se hipnotiza en un improvisado “tiovivo”)

El motor homopolar de este video de youtube es algo lo suficientemente curioso para que merezca la pena que dediquemos
cierto tiempo a buscar su historia y por qué funciona. Hasta donde yo he podido recabar, la idea de esta configuración es del sueco Per-Olof Nilsson según el artículo “A fast, high-tech, low cost electric motor construction“, H Joachim Schlichting and Christian Ucke (english translation by Jonathan Williams), from Physik in unserer Zeit, 35, 272-273 (2004). La misma configuración aparece más tarde en “Inspiring experiments exploit strong attraction of magnets“, David Featonby, Physics Education, July 2006.

En español podéis leer el interesante artículo “Motor homopolar“, Agustín Martín Muñoz, Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias Asociación de Profesores Amigos de la Ciencia-Eureka, 4(2), pp. 352-354 (2007). No sólo explica (igual que el video) como construir el motor, también incluye cómo funciona, la física que lo sustenta. Merece la pena leerlo.

En las tres referencias anteriores se explica muy bien cómo funciona este motor que no es otra que la idea de la rueda de (Peter) Barlow (Barlow’s wheel), 1823, también llamado motor unipolar o máquina homopolar. Prácticamente la misma idea es de (Michael) Faraday 1832, por lo que también se llama motor de Faraday. Obviamente, estos experimentos históricos eran “estéticamente” más bonitos y no utilizan una moderna batería. Pero la idea es la misma. El famosísimo libro de experimentos en física para profesores, “Demonstration Experiments in Physics” Richard Manliffe Sutton, 1938 (recientemente disponible completo en PDF en Internet) presenta también dicho motor, pag. 360: E-136. “Barlow’s Wheel”, E-137. “Force on Magnet in Field of Conductor—Unipolar Motor”. Su explicación es muy concisa pero “suficiente” para un “profesor” de física.

En la revista de la asociación de profesores de física americanos “American Journal of Physics” hay múltiples artículos sobre este tema:

“Electromagnetic Induction in Moving Systems” Dale R. Corson, Am. J. Phys. 24, 126 (1956), que trata de clarificar los efectos de las fuerzas electromotrices inducidas debidas a la ley de Faraday y en su ejemplo no. 4 estudia “the unipolar generator”.

“Laboratory Experiments in Motional Electric Fields” John W. Then, Am. J. Phys. 28, 557 (1960) describe este motor pero en una configuración diferente, con dos cilindros concéntricos.

“Variation of the Homopolar Motor” Thomas D. Strickler, Am. J. Phys. 29, 635 (1961) describe muy brevemente el motor homopolar o rueda de Barlow pero con la batería conectada al propio cable, algo más incómodo de montar.

“Approaches to Electromagnetic Induction“, P. J. Scanlon, R. N. Henriksen, and J. R. Allen, Am. J. Phys. 37, 698 (1969) estudia diferentes problemas observados en los estudiantes de física con la compresión del concepto de inducción electromagnético y presenta el “homopolar inductor” (cita a las “Lectures in Physics” de Feynman, vol. II, sec. 17-2) y el “unipolar inductor” (cita los “Elements of Physics” de Kaempffer, 1967, p. 164), ejemplos en los que se mueve el imán, no el cable.

“One-piece Faraday generator: A paradoxical experiment from 1851” M. J. Crooks, D. B. Litvin, P. W. Matthews, R. Macaulay, and J. Shaw, Am. J. Phys. 46, 729 (197 presenta el “Faraday generator” con una buena explicación física y acompañado de una “curiosa” paradoja, ¿puede ser utilizado para que un observador inercial mida su velocidad absoluta?, obviamente no pues eso violaría la relatividad de Galileo (y por ende la de Einstein, claro).

“Comment on ‘One-piece Faraday generator: A paradoxical experiment from 1851′“, P. J. Scanlon and R. N. Henriksen, Am. J. Phys. 47, 917 (1979) reclaman que no haya sido citado su artículo de 1969 y que afirman que de paradoja, nada de nada.

“Two laboratory experiments involving the homopolar generator” R. D. Eagleton, Am. J. Phys. 55, 621 (1987) muestra como el “homopolar generator”, “acyclic dynamo”, “unipolar generator” y “Faraday generator” es un experimento que sirve como motor o como generador de electricid