Tu iPhone o iPod Touch como péndulo para prácticas de Física

El péndulo es la práctica por excelencia de todo primer curso de física. Para no aburrir a los alumnos se puede utilizar un ratón de ordenador como péndulo, o incluso un aparato electrónico con acelerómetro, como el mando de una Wii, un iPhone o un iPod Touch. La ventaja de esta última opción es que se puede usar la aplicación gratuita SPARKvue de PASCO Scientific, que te envía la información tridimensional del acelerómetro del dispositivo (en los ejes x, y, z) mediante un e-mail en un fichero tipo CSV. Ajustando los parámetros de muestreo a 50 Hz durante 60 segundos se puede obtener un error del 1% en la medida del periodo del péndulo. Por supuesto, muchas otras prácticas de mecánica pueden aprovechar el acelerómetro de estos dispositivos de Apple (aunque también se puede utilizar cualquier otro smartphone con acelerómetro). Nos cuenta los detalles Justin Briggle, “Analysis of pendulum period with an iPod touch/iPhone,” Physics Education 48: 285-288, May 2013.

Francis en ¡Eureka!: Robots biomiméticos de Boston Dynamics

El audio de mi sección ¡Eureka! en La Rosa de los Vientos, Onda Cero, ya está disponible. Si te apetece escucharlo, sigue este enlace. Como siempre, una transcripción libre del audio.

Los militares necesitan robots capaces de moverse en un campo de batalla por un terreno con todo tipo de accidentes (arena, rocas, fango, nieve, etc). Los proyectos DARPA son los mayores impulsores de la robótica móvil. ¿Cómo se logra desarrollar este tipo de robots todo terreno? Los robots todo terreno son un gran reto para los ingenieros. Para diseñar estos robots se suele imitar el comportamiento de animales, es decir, se usa la  biomimética. La selección natural durante cientos de millones de años ha permitido que muchos animales evolucionen hasta adquirir sistemas de locomoción realmente sorprendentes y muy eficientes en consumo energético. Muchos ingenieros especialistas en robótica se inspiran o tratan de imitar estos sistemas de locomoción en sus proyectos. Siempre, el primer paso es estudiar la biomecánica del movimiento del animal, desvelar sus secretos para poderlos incorporar al diseño del robot. Hoy vamos a hablar de los robots biomiméticos de la compañía Boston Dynamics, fundada por el ingeniero Marc Raibert del Instituto Técnico de Georgia (el Georgia Tech) situado en Atlanta (EEUU), que recientemente ha sido noticia por la publicación en la prestigiosa revista Science de su último robot.

Lograr que un robot camine por la arena del desierto no es fácil. Muchos oyentes recordarán lo que le pasó a Spirit, el rover marciano de la NASA, que quedó atrapado en la arena de Marte en mayo de 2009. Spirit tenía seis ruedas todo terreno pero no pudo escapar. El nuevo robot de la compañía Boston Dynamics hubiera podido escapar de la arena por que no utiliza ruedas sino patas. Se llama RHex y es un hexápodo. Cada una de sus seis patas imita el movimiento de las patas del lagarto de cola de cebra (Callisaurus draconoides), un lagarto que se mueve a gran velocidad sobre la arena del desierto sin hundirse. El movimiento de las patas de este lagarto es parecido a las brazadas de un nadador en el agua de una piscina, casi es como si el lagarto “nadara sobre la arena”. Los investigadores han estudiado en detalle las fuerzas que ejercen las patas sobre los granos de arena y las han utilizado para diseñar la forma y el algoritmo de control de cada pata del robot. RHex es un pequeño robot de 13 centímetros y 150 gramos, pero es capaz de moverse a 2,5 kilómetros por hora sobre arena. Si el rover Spirit hubiera tenido un diseño similar hubiera podido escapar de la trampa de arena marciana sin problemas.

Más información en “El ‘sprint’ de los lagartos inspira un robot para conquistar mundos arenosos,” esmateria.com, 22 Mar 2013, que incluye el siguiente vídeo.

Cómo funciona la peonza que levita en el aire (incluye fórmulas matemáticas)

Una peonza metálica de unos 20 gramos de peso, con un imán en su interior, levita a unos 3 cm de altura sobre una plataforma negra de plástico que contiene un imán permanente de forma toroidal. La peonza gira durante unos minutos hasta que la resistencia del aire hace que su velocidad se reduzca por debajo de cierto valor crítico provocando que la peonza caiga en la plataforma. Roy Harrigan patentó este juguete en 1983, pero fue criticado por muchos físicos porque el teorema de Earnshaw (1842) afirma que un campo magnético estático dipolar no puede hacer levitar de forma estable un objeto. No logró comerciarlizarlo hasta 1993, cuando Bill Hones de la empresa Fascinations descubrió su patente.

Como suele pasar a veces, por desgracia para muchos inventores, el juguete no tuvo el éxito esperado hasta que el propio Hones patentó una variante en 1994, que utiliza una base cuadrada, que comercializó en 1995 como Levitron (por su empresa Fascinations, claro); según reza en la nueva patente, la versión original de Harrigan, que utiliza una base circular, no funciona bien (Hones apoya su afirmación en los físicos que criticaron a Harrigan). Obviamente, el cambio de base circular a base cuadrada es una soberana tontería y las leyes físicas afirman que ambas versiones funcionan igual de bien (o igual de mal). Pero lo cierto es que las leyes de la propiedad industrial son así, si se permite una nueva patente de lo mismo es porque es “distinto” (en opinión de la Oficina de Patentes). Por ello, la recomendación oficial para quien patente algo nuevo es que primero busque quien se lo vaya a comercializar y que sea alguien de “confianza,” no le vaya a pasar lo mismo que al pobre Harrigan.

La explicación física de por qué funciona el Levitron se publicó en el ahora muy famoso artículo de Michael V. Berry, “The Levitron: an adiabatic trap for spins,” Proceedings of the Royal Society of London A 452: 1207-1220, 1996 [copia gratis; otra]. Hace ya unos años, yo leí (en papel) la explicación en la revista American Journal of Physics, en concreto en Martin D. Simon, Lee O. Heflinger, S. L. Ridgway, “Spin stabilized magnetic levitation,” Am. J. Phys. 65: 286-292, 1997 [copia gratis]. También se puede consultar Thomas B. Jones, Masao Washizu, Roger Gans, “Simple theory for the Levitron,” J. Appl. Phys. 82: 883-888, 1997 [copia gratis], y Roger F Gans, Thomas B Jones, Masao Washizu, “Dynamics of the Levitron,” J. Phys. D: Appl. Phys. 31: 671–679, 1998 [copia gratis]; así como a Holger R. Dullin, Robert W. Easton, “Stability of Levitrons,” Physica D: Nonlinear Phenomena 126: 1–17, 1999 [copia gratis]. Pero en esta entrada yo me basaré en el artículo de Shahar Gov, Shmuel Shtrikman, “How High Can The U-CAS Fly?,” arXiv:physics/9902002, 31 Jan 1999; este artículo tiene la ventaja de que puedo extraer las fórmulas del fichero .tex sin necesidad de tener que volverlas a teclear (que en wordpress.com siempre es un suplicio). Porque has leído bien, lo siento, pero esta entrada tiene fórmulas matemáticas.

La resonancia estocástica en acción: Una molécula de hidrógeno controlando un oscilador micromecánico

La resonancia estocástica es un fenómeno muy curioso descubierto en 1981. Un oscilador forzado por una señal periódica y acoplado a una fuente de ruido se pone a oscilar al ritmo del ruido (si forzamiento y ruido se ajustan de forma adecuada). La resonancia estocástica actúa como un proceso de amplificación de la transferencia de energía entre un sistema “pequeño” ruidoso y un sistema “grande” oscilatorio (que recibe energía externa del forzamiento). Una cuestión interesante es cuán pequeño puede ser “pequeño” y cuán grande puede ser “grande.” José Ignacio Pascual (CIC nanoGUNE / Ikerbasque / Freie Univ. Berlin) y varios colegas demuestran en Science que el fenómeno puede ocurrir para algo tan pequeño como una molécula de hidrógeno (H₂) y algo tan grande como un oscilador micromecánico de varios miligramos de peso. La molécula de hidrógeno se encuentra sobre una superficie de cobre Cu(111) y el oscilador es la punta metálica de un microscopio de fuerza atómica a muy baja temperatura (5 K) y condiciones de ultravacío. El estado de la molécula hidrógeno fluctúa de forma aleatoria gracias al salto por efecto túnel de electrones entre sus niveles atómicos. Este desplazamiento de electrones de decenas de picómetros, con energías de decenas de milielectronvoltios, ejerce una fuerza de cientos de piconewtons en la punta metálica. Lo sorprendente es que la punta, gracias a la “magia” de la resonancia estocástica, se pone a oscilar al ritmo de las transiciones electrónicas de la molécula de hidrógeno. En cierto sentido, la molécula de hidrógeno actúa como un conmutador molecular que activa y desactiva la oscilación de la punta metálica. Un símil en peso sería como una persona que pegara saltos aleatorios y a cuyo ritmo se pusiera a oscilar todo el monte Everest. El artículo técnico es Christian Lotze, Martina Corso, Katharina J. Franke, Felix von Oppen, Jose Ignacio Pascual, “Driving a Macroscopic Oscillator with the Stochastic Motion of a Hydrogen Molecule,” Science 338: 779-782, 9 November 2012. Más información en CIC Nagune, traducido en Tendencias21.net, y en “Ruido estadístico y movimiento ordenado,” IyC nov. 2012.

Un punto clave que hay que destacar es que la molécula de hidrógeno controla el movimiento, actuando como un interruptor de encendido/apagado, pero no realiza el trabajo mecánico que resulta en las oscilaciones de la punta metálica del microscopio (cuyo movimiento recibe energía de forma independiente). En cierto sentido es como un transistor que actúa como conmutador. Por tanto, no se viola ningún principio de la termodinámica. Alguien podría pensar en acoplar un baño térmico a la molécula de hidrógeno para lograr la extracción de energía (molecular) gratis de las oscilaciones de la balanza, pero un análisis matemático cuidadoso muestra que el interruptor molecular demostrado por Pascual y sus colegas no viola el segundo principio de la termodinámica (la entropía siempre crece) y si se extrae de alguna forma trabajo de la molécula de hidrógeno, necesariamente debe ser aportado por una fuente exterior (el baño térmico).

Hay muchas aplicaciones de la resonancia estocástica en sistemas que procesan información en los que cierto nivel de ruido ayuda a discriminar la señal respecto a dicho ruido, tanto en biología, climatología, química, física, ingeniería, etc. Ver por ejemplo “Una lógica a la que no le molesta el ruido,” IyC, abr. 2010, “Las virtudes del ruido de fondo,” IyC, oct. 1995, o “Ruido vital,” Encuentros, UMA.

Un nuevo artículo sobre la física de la caída de un slinky

No tengo tiempo de presentar una discusión detallada de este artículo, que modela la física de la caída de un muelle poco rígido (o slinky) a un nivel de primer curso de física. La idea básica es que la parte de abajo del slinky no se mueve porque cae el centro de gravedad y mientras cae la parte inferior y la superior se acercan siguiendo la física de la propagación de ondas. Discutí sobre este asunto bastante con alguna gente y me ha gustado volver a releer estas ideas. Espero que los profesores de física interesados en ilustrar la caída del slinky a sus alumnos aprovechen este nuevo artículo de R. C. Cross, M. S. Wheatland, “Modeling a falling slinky,” arXiv:1208.4629, Subm. 22 Aug 2012.

Más información en este blog:

“Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan,” 12 octubre 2011.

“XXXII Carnaval Física: No se puede hacer más lento,” 21 junio 2012.

XXXIII Carnaval Física: El secreto de la paradoja “más rápido que la gravedad”

Este vídeo ilustra con una cámara de alta velocidad (1000 fps) la llamada paradoja más rápido que la gravedad, más rápido que g, o simplemente paradoja de la caída libre. Una barra de madera de 30 cm inclinada con cierto ángulo y con una pequeña esfera colocada encima se deja caer; para un ángulo menor de 48,6º, la barra de madera llega antes al suelo que la bola, para ese ángulo llegan al mismo tiempo y para ángulos mayores llega antes la bola. El vídeo lo ilustra perfectamente. La paradoja surge porque la intuición nos dice que la bola y la barra deberían llegar al suelo al mismo tiempo. La física (mecánica) de este problema es muy sencilla y puede utilizar como ejercicio en los primeros cursos de física. Nos lo cuentan Michael Vollmer and Klaus-Peter Möllmann, “Faster than g, revisited with high-speed imaging,” European Journal of Physics 33: 1277-1288, 2012 [suppl. info.].

Esta figura muestra la curva (negra) que sigue la esfera en su caída y la que sigue (curva roja) la punta de la barra (que ha sido calculada por métodos numéricos resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden). El ángulo crítico, para el que la esfera y la punta de una barra de 30 cm alcanzan el suelo al mismo tiempo, es de 48,6º; por debajo llega antes la barra y por encima la bola. La figura muestra claramente que las curvas (trayectorias) que siguen son diferentes.

Como la aceleración de la gravedad es constante (g), la velocidad de caída de la esfera es lineal, como muestra esta figura (curvas negras). Sin embargo, la velocidad de la punta de la barra, que realiza un movimiento rotacional, sigue una curva con forma parecida a una parábola. El modelo matemático (que omito, pero que es muy sencillo) ha sido confirmado por los experimentos utilizando una barra y una esfera metálicas que son soltadas de forma simultánea por un electroimán (como muestra la parte final del vídeo que abre esta entrada). Los profesores que quieran ilustrar este experimento a sus alumnos y que no dispongan de cámara de alta velocidad pueden utilizar los vídeos la información suplementaria del artículo de Eur. J. Phys.

Esta entrada participa en  la edición XXXIII del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog El Mundo de las Ideas. Las entradas se pueden enviar del 1 al 25 de julio, ambos inclusive.

Miden el coeficiente de fricción anisótropa de la piel de las serpientes pitón

La fricción es la fuente principal de pérdidas de energía en el diseño de sistemas mecánicos con piezas móviles. La ingeniería de superficies estudia el diseño óptimo de la microestructura de una superficie con objeto de mejorar su rendimiento tribológico. Los modelos animales o biomiméticos son muy útiles y en el caso de la fricción interesan los animales sin patas, como las serpientes. Un nuevo artículo estudia la estructura multiescala de las características tribológicas de la piel del vientre de las serpientes pitón (Python regius). Las partes oscuras y claras de la piel tienen propiedades diferentes en la microescala, como muestra las imágenes aumentadas 1000 y 10000 veces en la figura que abre esta entrada. El coeficiente de fricción medido gracias a un bio-tribómetro patentado por los autores es anisótropo (depende de la dirección). Gracias a la microestructura de las escamas de las serpientes la fricción de la superficie tiene un valor dinámico que cambia en función de la dirección del movimiento. Imitar la microestructura de las escamas permitirá desarrollar superficies biomiméticas de gran interés práctico. El artículo técnico es H. A. Abdel-Aal, R. Vargiolu, H. Zahouani, M. El Mansori, “Preliminary Investigation of the Frictional Response of Reptilian Shed Skin,” Wear, Accepted Manuscript, Available online 7 June 2012 [arXiv:1206.1153].

Los autores han medido con un microscopio las propiedades de las escamas de una pitón a diferentes escalas con objeto de caracterizar su microestructura. Luego han medido con su bio-tribómetro el coeficiente de fricción para movimientos hacia adelante (-F), hacia atrás (-B), hacia la derecha (-R) y hacia la izquierda (-L), tanto en línea recta (S-), diagonal (D-) y en dirección lateral (L-). En la figura de abajo se muestran algunos de los resultados medidos (para los movimientos SF, SB, DF, DB, LF y LB). Por supuesto, el estudio es preliminar y serán necesarios más trabajos para clarificar  en detalle la física de la fricción de la piel de las serpientes.

ZeroN, levitación magnética y control activo mediante una cámara de vídeo

Me ha gustado este vídeo del MIT MediaLab resultado del proyecto ZeroN. Me ha recordado algo que me propuso hace unos años para que le dirigiera como proyecto fin de carrera un alumno de ingeniería industrial en mi universidad. Le recomendé que se acercara a los compañeros del área de Ingeniería de Sistemas y Automática que son los especialistas en control en estos lares. No sé cómo acabó la cosa, pero creo que todo se quedó en la idea (al menos no me invitaron como miembro del tribunal de su proyecto fin de carrera).

Levitar con un solenoide un pequeño imán (dentro de una esfera en este caso) es fácil. Desarrollar un algoritmo de control que cambie la altura cambiando la corriente eléctrica que pasa por el solenoide también lo es (muchos cursos de control incluyen este sistema como práctica de laboratorio para todos los alumnos). Instalar un motor que mueva el solenoide y desarrollar un algoritmo de control PID para este motor también es trivial. Tampoco parece difícil determinar la posición de la esfera utilizando una cámara de vídeo (una webcam bastará) y utilizar esta posición como señal de entrada para un controlador realimentado del motor y de la corriente por el solenoide. Proyectar imágenes sobre la bola tampoco parece difícil, aunque dificultará mucho el algoritmo basado en imágenes que determina la posición de la bola. Pero, aunque cada parte por separado sea sencilla, combinarlas todas y lograr efectos tan sorprendentes como los mostrados en el vídeo (jugar al ping pong o mover la bola con la mano y que todo funcione como si no hubiera pasado nada) requieren un ajuste fino y preciso de todos los componentes. Una labor de chinos muy al estilo del MIT MediaLab.

Cualquier alumno de ingeniería industrial podría repetir este sistema como proyecto fin de carrera sin muchas dificultades. ¿Alguien se atreve? El que lo haga que cuelgue el vídeo en youtube. Por cierto, será de gran ayuda, para la descripción global del sistema y cómo se interconectan todas las partes, estudiar el artículo técnico de Jinha Lee, Rehmi Post, Hiroshi Ishii, “ZeroN: Mid-Air Tangible Interaction Enabled by Computer Controlled Magnetic Levitation,” Proceedings of the 24th annual ACM UIST ’11 [página web de ZeroN].

Por cierto, me he enterado de la existencia de ZeroN gracias a la entrada de Carlos Chordá, “ZeroN 1, gravedad 0,” La ciencia es bella, 11 mayo 2012 (donde he dejado un comentario). Muchos otros también se han hecho eco, como Lisandro Pardo, “ZeroN: Interfaz de levitación magnética,” NeoTeo, 10 mayo 2012.

Por qué se derrama el café de la taza al caminar con ella en la mano

Cada mañana, recién llegados a la universidad, aún adormilados, muchos físicos caminan hacia su despacho con una taza llena de café que no para de chapotear. Hans Mayer y Rouslan Krechetnikov, del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de California en Santa Bárbara, quizás buscando un premio Ig Nobel, han publicado un artículo que estudia la biomecánica de la marcha, las fluidomecánica del café y cómo influyen en que éste se derrame. Un estudio realmente curioso, pero inútil, que a pesar de ello aparece en una revista del prestigio de Physical Review E. El modelo desarrollado es tan sencillo, un péndulo forzado, que puede ser utilizado por profesores de física de primer curso como ilustración curiosa para sus alumnos. Los parámetros del modelo se han estimado realizando experimentos con diferentes sujetos que han portado tazas de café rellenas a diferente altura y a los que se les ha indicado que caminen con diferentes marchas, tanto prestando atención a la taza como obviando su presencia. El líquido se mueve en la taza como un péndulo cuyas frecuencias naturales de oscilación dependen de la altura del líquido y del diámetro de la taza (también de la aceleración de la gravedad y de su viscosidad). El movimiento al caminar genera un movimiento oscilatorio de la taza hacia arriba y hacia abajo que puede excitar fácilmente los modos de oscilación del café, provocando un fenómeno de amplificación que hace que el café se derrame. Una taza típica  tiene unos 7 cm de diámetro y unos 10 cm de altura que conduce a una frecuencia natural de oscilación para la superficie del café de entre 2,6 y 4,3 Hz. Al caminar se introduce se fuerza un movimiento oscilatorio de la taza con una frecuencia entre 1 y 2,5 Hz, por lo que no se produce una resonancia. Por qué se derrama entonces el café. El artículo técnico ha descubierto la gran importancia que tiene el ruido introducido al caminar con pasos desiguales o ligeros movimientos de la mano. Este ruido es la clave para la amplificación de las oscilaciones naturales del café y provocar el indeseado derrame gracias a un fenómeno llamado resonancia paramétrica (similar al que provocaba el balanceo del famoso puente del milenio en Londres). Por qué se nos derrama el café incluso cuando tenemos mucho cuidado para que no lo haga. Según Mayer y Krechetnikiv la razón es el ruido; cuando tratamos de controlar las oscilaciones de la superficie del café aplicando un bucle realimentado (miramos cómo oscila la superficie del café y tratamos de ajustar nuestra marcha para evitar su amplificación), olvidamos que no podemos controlar el ruido e inducimos una aperiodicidad adicional en el forzamiento que acentúa su efecto. La recomendación de Mayer y Krechetnikiv es caminar con total normalidad, sin prestarle ninguna atención al café, aprovechando que la frecuencia del forzamiento introducido al caminar (menor de 2,5 Hz) es menor que la frecuencia natural de la oscilación del café (mayor de 2,6 Hz). El secreto no es ningún secreto. Yo confieso que lo practico todas las mañanas (aunque suelo llevar dos tazas juntas agarradas con la misma mano). El artículo técnico es H. C. Mayer and R. Krechetnikov, “Walking with coffee: Why does it spill?,” Phys. Rev. E 85: 046117 (2012).

Este estudio del chapoteo de la taza de café al caminar no es el primero que se realiza, ya lo discutió un informe de la NASA en 1967 (pero que no se publicó). Lo interesante de este tipo de estudios, en mi opinión, es su multidisciplinaridad. Por un lado, el estudio de la marcha humana es propio de la biomecánica, que además se preocupa del gasto energético y de la eficiencia del proceso; no caminan igual hombres y mujeres (debido a las diferencias en la cadera), e influyen parámetros tan diversos como el peso, altura, edad, salud, etc. Además, no caminamos igual en las distancias cortas que en las largas. Por otro lado, el estudio de la oscilación de la superficie de los líquidos tiene múltiples aplicaciones, como el diseño de tanques de combustibles para cohetes (que están sujetos a fuertes aceleraciones). Finalmente, todo lo relacionado con sistemas dinámicos, teoría del control y resonancia paramétrica. Pero los que me conocéis sabéis que a mí lo que más me llama la atención de estos estudios es la posibilidad de utilizarlos como parte de la docencia de muchas asignaturas en carreras de física e ingeniería. Este estudio combina resultados experimentales con un modelo teórico sencillo. La parte experimental incluye dos elementos clave, el análisis de la marcha de los sujetos, que se ha analizado utilizando un programa de análisis de imágenes escrito in MATLAB, y la medida de la altura del café en la taza, para la que se ha utilizado un sensor basado en un fotodiodo. Todo al alcance de un proyecto fin de carrera de un ingeniero industrial o mecánico. ¿Alguien se anima? Si lo hacéis no dudéis en comentarlo en este blog.

Un acelerómetro en chip mil veces más preciso que el de la Wii

El acelerómetro de la Wii tiene una resolución de unos 0,01-0,02 g y permite desarrollar gran número de experimentos curiosos en un laboratorio de física. Alexander G. Kraus (Caltech, EEUU) y sus colegas han desarrollado un nuevo acelerómetro en chip con una resolución de 10 μg (unas mil veces menor que la Wii); más aún, creen que su diseño es escalable y que podrán reducirla a unos 0,15 μg. El principio básico de todo acelerómetro es medir el movimiento de una masa conectada por muelles a un marco rígido; los más sensibles (en cuanto a resolución) son los que utilizan tecnologías ópticas, pero estos son difíciles de implementar en chip. El nuevo acelerómetro optomecánico ultrasensible utiliza una cavidad óptica plana que se puede integrar fácilmente en chip. Sus características técnicas son excelentes: una resolución de 10 μg /√Hz, un ancho de banda mayor de 20 kHz, un rango dinámico de unos 50 dB y una buena linealidad en la respuesta. Lo más interesante del nuevo diseño es que promete ser escalable, según los autores, lo que permitirá mejorar su resolución en casi dos órdenes de magnitud. El artículo técnico es Alexander G. Krause, Martin Winger, Tim D. Blasius, Qiang Lin, Oskar Painter, “A microchip optomechanical accelerometer,” ArXiv:1203.5730.

La física de la catapulta que utiliza un helecho para dispersar sus esporas

El helecho Polypodium aureum es nativo de las regiones tropical y subtropical de América. Las esporss de este helecho se dispersan de forma anemófila (por el viento) gracias a un mecanismo tipo catapulta. Los esporangios esféricos que encierran las esporas están equipados con una fila de 12 a 13 células especializadas llamada anillo. Cuando estas células se deshidratan producen un cambio drástico en la curvatura del esporangio, que incrementa la energía elástica almacenada hasta un punto en el que, de forma brusca, como una catapulta, se liberan las esporas contenidas en las células del anillo. Las esporas son expulsadas a una velocidad de unos 10 m/s, lo que implica que la catapulta las ha acelerado a unos 105 g. Se publica en Science un análisis de la mecánica de esta catapulta que demuestra que su eficiencia se basa en aprovechar dos escalas de tiempo muy diferentes asociadas al cierre del anillo. La belleza de este mecanismo de dispersión de esporas y su similitud con las catapultas medievales me han llamado mucho la atención.  El artículo técnico es X. Noblin, N. O. Rojas, J. Westbrook, C. Llorens, M. Argentina, J. Dumais, “The Fern Sporangium: A Unique Catapult,” Science 335: 1322, 16 March 2012 [suplem. info.].

La dispersión de esporas en las plantas y los hongos juegan un papel crítico en la supervivencia de estas especies. Por lo tanto, diversas plantas y grupos de hongos han desarrollado bajo una fuerte presión selectiva mecanismos muy ingeniosos para dispersar eficazmente sus esporas. El breve artículo técnico presenta un modelo mecánico del esporangio en la información suplementaria que seguro que será muy curioso para profesores de física e ingeniería que impartan cursos de mecánica.

La matemática del peinado de cola de caballo publicada en un artículo de Physical Review Letters

¿Por qué es noticia un artículo publicado en Physical Review Letters que describe lo ya ampliamente conocido? Leo esto y no doy crédito: “Una nueva investigación de la Universidad de Cambridge ofrece la primera descripción matemática de la forma de un peinado tipo cola de caballo; podría tener implicaciones para la industria textil, la animación por ordenador y los productos de cuidado personal.” [Fuente] ¿Primera? ¿Útil en gráficos por ordenador? Lo siento, en gráficos todos llevamos observando cabellos en actores virtuales y colas de caballo desde que nació Pixar y los expertos llevamos viéndolos desde los trabajos pioneros de William T. Reeves en sistemas de partículas en 1983. Hoy, hasta mi hijo ha visto la película de Disney “Rapunzel” (“Tangled” en el original). De hecho yo puse hace años a un alumno a trabajar en la línea del artículo de Lieu-Hen Chen, Santi Saeyor, Hiroshi Dohi and Mitsuru Ishizuka, “A system of 3D hair style synthesis based on the wisp model,” The Visual Computer 15: 159-170, 1992. Para los interesados en los detalles, el nuevo artículo es Raymond E. Goldstein, Patrick B. Warren, and Robin C. Ball, “The Shape of a Ponytail and the Statistical Physics of Hair Fiber Bundles,” Phys. Rev. Lett. 108, 078101, February 13, 2012 [preprint gratis]; “Synopsis: Ponytail physics,” APS Physics, Feb. 13, 2012; “Science behind ponytail revealed,” BBC News, 3 February 2012.

Los físicos han determinado la forma de una cola de caballo teniendo en cuenta la rigidez de los cabellos, el efecto de la gravedad y la presencia al azar de rizos u ondulaciones en el cabello. Eso se lleva haciendo en gráficos por ordenador desde hace 30 años (al menos desde los primeros trabajos en cuerpos elásticos deformables de Demetri Terzopoulos, John Platt, Alan Barr y Kurt Fleischer [un paper del SIGGRAPH 1987]). Por supuesto, los físicos que publican en PRL introducen un “nuevo” número adimensional, el número de Rapunzel (no podía ser de otra forma) para predecir la geometría de la cola de caballo.

El profesor Raymond Goldstein (Universidad de Warwick) y sus colegas estarán muy contentos de haber redescubierto la rueda. ”Una ecuación muy simple capaz de resolver un problema que ha desconcertado a los científicos y artistas desde que Leonardo da Vinci estudió en sus cuadernos el asunto hace 500 años.” ¡Me quito el sombrero! ¡Qué descubrimiento!

Obviamente, es envidia. ¿Debo enviar a artículos a PRL con todos los descubrimientos de gráficos de los últimos 30 años? Como es obvio, los físicos no leen los artículos de gráficos por ordenador y no saben lo que se ha hecho en este campo (gracias al motor financiero de la industria cinematográfica y de juegos por ordenador). Lo mismo hasta me publican alguno.

Logran el acoplamiento cuántico coherente de los modos ópticos de una cavidad óptica con los modos mecánicos de un microrresonador que la contiene

Controlar los estados cuánticos macroscópicos de osciladores micromecánicos no es fácil; hacerlo con luz (fotones) requiere el acoplamiento coherente entre los fotones y el microrresonador, pero hay que luchar contra la decoherencia cuántica, cuyo efecto es enorme en sistemas cuánticos macroscópicos. Verhagen et al. publican hoy en Nature un logro de gran importancia, acoplar de forma coherente fotones ópticos con un microrresonador macroscópico cuyas oscilaciones se comportan de forma cuántica, con una número de ocupación medio de 1,7  ±  ​​0,1 cuantos. Por primera vez se logra una interfaz eficiente óptico-mecánica capaz de controlar los estados cuánticos micromecánicos mediante los estados cuánticos de los fotones lo suficientemente rápido para evitar el efecto de la decoherencia. Aunque el artículo técnico sea difícil de explicar en detalle, me ha encantado la microfotografía del resonador mecánico, que abre esta entrada. El artículo técnico es E. Verhagen, S. Deléglise, S. Weis, A. Schliesser, T. J. Kippenberg, “Quantum-coherent coupling of a mechanical oscillator to an optical cavity mode,” Nature 482: 63–67, 02 February 2012.

¿Cuál es la novedad de este artículo respecto a artículos anteriores?  En artículos anteriores se ha logrado realizar este tipo de control en el régimen de microondas. El problema es que en muchas aplicaciones es preferible el dominio óptico; algunos artículos han propuesto usar un sistema de control que acople un sistema óptico con uno de microondas y usar éste para controlar el oscilador micromecánico, pero la decoherencia cuántica del sistema de control compuesto es alta y esta configuración es engorrosa. Un sistema de control completamente óptico tiene ventajas prácticas, destacando que el tiempo de decoherencia puede ser mucho más largo que el tiempo de decoherencia del sistema mecánico permitiendo un control muy preciso.

¿Para qué pueden servir estos dispositivos cuánticos? Muchos instrumentos de medida de alta precisión utilizan osciladores mecánicos por que presentan una disipación muy baja. En dichas aplicaciones un sistema de transducción mecánico-óptico cuántico es de gran relevancia.

PS: El título de esta entrada (mucho más corto y por ello más incomprensible) se ha cambiado a colación de un comentario de Javier (ver más abajo) y de la respuesta que le he dado. Gracias, Javier, por estar atento.

Por qué muchos lagartos y dinosaurios tienen la cola tan larga

Por la misma razón que los malabaristas utilizan una pértiga tan larga para mantener el equilibrio en una cuerda floja, los lagartos y dinosaurios  aprovechan la ley de conservación del momento angular. En el caso de los lagartos de fuego (Agama agama), la cola les permite mantener el equilibrio mientras están por el aire durante un salto desde una plataforma horizontal hasta otra vertical. El vídeo de youtube que abre esta entrada lo ilustra a la perfección; forma parte de la información suplementaria del artículo publicado en Nature por Thomas Libby (Universidad de California, Berkeley) y sus colegas. El momento angular se conserva salvo que actúe fuerzas externas; cuando se mueve la cola en cierta dirección, la conservación del momento angular obliga a que el cuerpo se mueva en la dirección contraria para compensar. La figura de abajo lo ilustra bastante bien. Nos lo ha contado R. McNeill Alexander, “Biomechanics: Leaping lizards and dinosaurs,” Nature, published online 04 January 2012, que se hace eco del artículo técnico de Thomas Libby et al., “Tail-assisted pitch control in lizards, robots and dinosaurs,” Nature, published online 04 January 2012; también se leer la noticia de Robert Sanders, “Leaping lizards and dinosaurs inspire robot design,” EurekAlert!, 4 Jan. 2012.

Libby y sus colegas han observado que cuando el lagarto de fuego tiene que aterrizar en una superficie vertical tras un salto tiene que inclinar su cuerpo con la “nariz hacia arriba” y que lo logran dando un impulso con su cola durante el vuelo; al impulsar la cola hacia la cabeza, ésta y el tronco se curvan hacia atrás de manera natural debido a la conservación del momento angular. Estos investigadores han desarrollado un modelo matemático que han verificado gracias a un pequeño robot (también ilustrado en el vídeo) al que han colocado una cola flexible. Gracias a un giróscopo y aun algoritmo de control adecuado se logra que el salto del robot en una rampa inclinada, similar a la de los saltadores de esquí, acabe con una caída perfecta sobre sus ruedas. La compensación activa de su postura durante el salto es clave para este logro. Tanto los ingenieros industriales interesados en la biomecánica como los interesados en los algoritmos de control activo disfrutarán con este interesante artículo publicado en Nature.

Muchos animales tienen colas largas para aprovechar la conservación del momento angular,  los canguros, los gatos e incluso algunos dinosaurios corredores, como los velocirráptores. Alexander opina que este trabajo de Libby et al. es aplicable también a algunos dinosaurios carnívoros, como los Deinonychus, que se cree que cazaban en grupo y presentan largas colas; gracias a ellas es posible que estos terópodos pudieran saltar sobre sus víctimas y utilizar sus enormes garras para aferrarse fuertemente a ellas y poder atacarlas en la parte más vulnerable de su garganta. Hay varios dibujos en Internet que muestran a los Deinonychus en el aire, saltando sobre una gran presa, con la cola hacia arriba, como indica el trabajo de Libby et al.; sin embargo, muchos de estos dibujos muestran un salto demasiado alto (por encima de la cruz de su presa) y lo más probable es que solo pudieran saltar hasta asirse en vertical sobre un costado de su presa.

El lanzamiento de huesos de cerezas y la mecánica de la lengua del camaleón

Se puede lanzar un hueso de cereza con los labios o con los dedos, hay incluso concursos. La mecánica del lanzamiento de huesos de cereza con los dedos resulta ser muy similar a la utilizada por el camaleón para proyectar su lengua contra un insecto, como nos aclaran los físicos eslovenos Gorazd Planinsic y Andrej Likar en “Speed, acceleration, chameleons and cherry pit projectiles,” Physics Education 47: 21-27, 2012.

El modelo matemático que han desarrollado estos físicos eslovenos es muy sencillo, como muestra la figura de abajo. Los parámetros geométricos del hueso de cereza se pueden medir directamente, pero las fuerzas aplicadas con los dedos requieren ajustar el movimiento resultante con el observado en vídeos de alta velocidad, como el mostrado en la figura de arriba. El modelo puede ser utilizado por profesores de física como ilustración en sus clases. Si el modelo es correcto, la mayor parte de la energía almacenada en los músculos se transforma en energía cinética para los dedos; de esta energía cinética la mayor parte se transforma en calor y solo una pequeña fracción es transformada en energía cinética para el hueso de cereza.

Para qué puede servir un modelo del lanzamiento de un hueso de cereza. Estos físicos eslovenos nos indican que las analogías físicas permiten reutilizar el modelo para entender múltiples sistemas físicos y nos ponen el ejemplo de la mecánica del lanzamiento de la lengua en los camaleones. 

La lengua del camelón contiene una punta pegajosa, unos músculos retractores y unos músculos aceleradores. Estos últimos tienen forma cilíndrica y se pueden contraer de forma radial apretando un cilíndro hueco que recubre un apéndice óseo llamado asta del hioides (o cuerno del hioides); la compresión de este cilindro hueco desde la punta del asta el hioides hasta la base de la lengua gracias a los músculos aceleradores lanza la lengua hacia adelante. La figura de abajo ilustra la anatomía en detalle, extraída del artículo de Ulrike K. Müller, Sander Kranenbarg, “Power at the Tip of the Tongue,” Science 304: 217-219, 9 Apr. 2004.

Desde un punto de vista mecánico la lengua del camaelón funciona por el mismo principio físico que el lanzamiento de un hueso de cereza, con la excepción de que en este caso el músculo que acelera la lengua es impulsado hacia la presa, en lugar de los dedos que permanecen en reposo. Tras alcanzar la presa, los músculos retractores se encargan de recoger la lengua pegada a un delicioso bocado, en caso de acierto, claro.

Cómo dibujaban los matemáticos la trayectoria de una bola de cañón antes de la invención del cálculo

Esta imagen está extraída de un libro de texto de matemáticas escrito por el astrónomo y matemático neerlandés Daniel Santbech en 1561 titulado “Problematum Astronomicorum et Geometricorum Sectiones Septem.” Muestra la trayectoria de una bola de cañón. Una trayectoria triangular formada por una línea recta hasta alcanzar una altura máxima y luego otra recta vertical mostrando la caída a plomo de la bola a tierra. Un siglo más tarde la figura era algo más realista, como muestra la imagen de abajo, fechada en 1684 y extraída del libro de S. Sturmy, ”The Mariners Magazine, or Sturmy’s Mathematicall and Practicall Arts,” 2nd. edn. (London: William Fisher) p. 69. Sin embargo, sigue cayendo la bola en plan plomada al final de la trayectoria. Hasta aproximadamente 1700 estas imágenes no se transformaron en las “parábolas asimétricas” que hoy en día dibujaríamos.

Estas figuras están extraídas del interesante artículo de Seán M. Stewart, “On the trajectories of projectiles depicted in early ballistic woodcuts,” European Journal of Physics 33: 149-166, 2012 [el artículo ahora mismo es de acceso gratuito, previo registro en IOP, aprovecha]. Este artículo discute si trayectorias como la fechada en 1684 son realistas según la mecánica de Newton. Para que juzgues por ti mismo, abajo tiene una figura que muestra una de las trayectorias newtonianas de una bola de cañón. Muchos profesores de física disfrutarán del artículo que puede dar lugar a multitud de ejercicios elementales y no tan elementales de física para un primer curso de Física; y no solo teóricos, también ejercicios prácticos como el ajuste experimental de un modelo a las curvas presentadas en las figuras del s. XVII (dos parámetros bastan para un buen ajuste, como muestra Stewart en su artículo). Los que se animen que lo disfruten.

 

Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan

Me ha encantado la entrada de Antonio (Aberrón), “Una lección de física inesperada con un “slinky”,” Fogonazos, 11 octubre 2011. Te recomiendo disfrutarla. Me ha encantado sobre todo por la discusión, en privado, que hemos tenido algunos colaboradores de Amazings sobre este curioso y elemental problema de física, la propagación de una onda longitudinal en un muelle colocado en vertical bajo la influencia de la gravedad. La parte de abajo del muelle queda en reposo hasta que el muelle se contrae completamente, lo que queda muy bien ilustrado en los vídeos mostrados por Aberrón. La cuestión en discusión es si se mueven las anillas del muelle intermedias antes de que las anillas de la parte de arriba las toquen. De ahí hemos derivado en cómo se mueve el centro de masas y cómo caería un slinky en un plano inclinado. La discusión ha sido divertida, pero en honor a la privacidad solo indicaré unos retazos de mi opinión al respecto.

En mi opinión, la explicación de Aberrón en su entrada es correcta y está muy bien redactada. Aún así, yo lo explicaría de forma intuitiva, aunque simplificando un poquito, de la siguiente manera. Lo que pasa se entiende mejor anilla a anilla como si fueran trozos independientes del muelle. Primero numeraré las anillas de 1 a n, desde arriba hacia abajo; las primeras anillas están más separadas que las últimas, todas muy juntas. Al soltar el muelle, la anilla número 1 (la de más arriba) cae hasta tocar a la anilla 2; mientras cae la número 1 ninguna de las anillas, ni siquiera la 2, se mueve. Luego el bloque formado por las anillas números 1 y 2 cae y toca a la 3; durante esta caída, ninguna de las anillas de la 3 a la N se mueve; y así sucesivamente. Conforme el muelle va cayendo las primeras anillas se agrupan todas juntas en un bloque (relajadas en la posición de reposo del muelle). Podéis ver en el vídeo y en la figura de arriba como el bloque de anillas juntas de la parte de arriba va creciendo conforme va cayendo, conforme nuevas anillas se van añadiendo, pero las anillas que están por debajo del bloque se mantienen bien separadas, quietas, como si nada, no se mueven nada en absoluto (repito que estoy simplificando un pelín).

El centro de masas del muelle cae bajo el efecto de la gravedad en caída libre, con una aceleración igual a g. Sin embargo, la parte alta del muelle cae con una aceleración mayor que g, debido a la tensión del propio muelle (las anillas en la parte alta están bastante separadas entre sí respecto a la posición en reposo). ¿Dónde está el centro de masas del muelle? Obviamente, no está en el mismo punto en el que estaría si el muelle estuviera en reposo, sino algo más abajo, porque la parte alta del muelle está más estirada que la parte baja del mismo debido al peso del propio muelle; un punto de la parte de arriba soporta por debajo un peso mayor que un punto por la parte de abajo. Hay un par de vídeos en Question Of The Week que ilustran muy bien la posición del centro de masas del slinky utilizando una pelota de tenis en caída libre. En el primer vídeo, se marca el punto donde está el centro de gravedad del slinky relajado (no estirado). El punto no se mueve hasta que la parte de arriba lo toca; lleva la pelota antes, porque por supuesto el centro de gravedad del slinky estirado está más bajo. En el segundo vídeo se marca el centro de gravedad correcta y se observa como slinky y pelota caen al mismo tiempo. Te recomiendo ver dichos vídeos.

La aceleración de la gravedad es constante en cada anilla del muelle; pero la tensión en cada anilla del muelle no lo es, hay más tensión en la parte de arriba que en la de abajo, por eso se estira más por arriba que por abajo (recuerda la ley de Hooke). La gravedad es una fuerza externa y actúa sobre el centro de masas si consideramos el muelle en su conjunto y cuando se suelta el muelle el centro de gravedad cae con dicha aceleración. Sin embargo, la tensión en cada anilla del muelle es una fuerza interna y varía de una anilla a otra en función de lo estirado que esté el muelle en cada zona. Como bien ilustra la entrada de Aberrón, antes de soltar el muelle, cada trozo del muelle está en equilibrio de fuerzas; hacia abajo tensión y gravedad y hacia arriba solo tensión, por lo que la tensión hacia arriba es mayor que la tensión hacia abajo. El trozo más alto del muelle no tiene tensión hacia arriba pero está sujeto por la mano que por la ley de acción y reacción introduce una fuerza hacia arriba para lograr el equilibrio. El trozo de más abajo no tiene tensión hacia abajo y la tensión hacia arriba compensa la gravedad en dicho punto (el peso de dicho trozo).

Cuando se suelta el muelle, el punto de arriba ya no tiene tensión hacia arriba solo tensión hacia abajo y gravedad por lo que cae con una aceleración algo mayor que la gravedad. El centro de gravedad del muelle cae con la aceleración de la gravedad ya que las tensiones son fuerzas internas y no afectan al movimiento conjunto (centro de masas) del muelle. El trozo de muelle de más abajo no se mueve porque el equilibrio de fuerzas sigue actuando en dicho punto (hacia abajo hay gravedad y hacia arriba hay tensión en valor igual al peso de dicho trozo debido a la gravedad). Los trozos de muelle intermedios no se mueven mientras estén por debajo del centro de gravedad. Los trozos por encima del centro de gravedad tienen una aceleración hacia abajo mayor conforme más alejados estén de él. Los trozos por debajo del centro de gravedad no se mueven. Hay que recordar que el centro de gravedad es un punto ficticio y el movimiento del centro de gravedad no corresponde al movimiento físico de un trozo concreto. Mirando con atención el movimiento de los puntos en la figura de Aguirregabiria en la entrada de Aberrón creo que se ve muy claro. He utilizado Paint para añadir algunas curvas a dicha figura (sé que se podría haber hecho mejor, pero las prisas, ya se sabe).

Los puntos negros en el muelle ayudan mucho a la hora de ver lo que pasa. Para estimar la curva del centro de gravedad he copiado (en rojo) la curva del objeto encima del muelle que cae de forma libre (se podría haber hecho mejor, pero solo quiero que de una idea del movimiento). La curva verde une un punto conforme cae con una aceleración mayor que la gravedad y el recuadro en verde muestra un punto que se mantiene en reposo durante gran parte de la caída.

Bueno, no le doy más vueltas. El que quiera un modelo matemático sencillo de este problema, junto con su solución analítica, lo puede encontrar (como no, derivado en formulación lagrangiana) en Haiduke Sarafian, “A Closed Form Solution of the Run-Time of a Sliding Bead along a Freely Hanging Slinky,” Lecture Notes in Computer Science 3039: 319-326,  2004. Hay muchos artículos sobre el slinky (soft spring) en revistas como American Journal of Physics, Physics Education, etc.  Os animo a profundizar a los interesados.

¿Matará a un peatón una moneda de dos euros que caiga desde un edificio muy alto?

No, no le matará, pero desgarrará su piel y puede que el impacto deje una marca en su cráneo si le cae en la cabeza. El famoso mito que afirma que un penique que cae desde el Empire State en Nueva York puede matar a una persona, o clavarse en el asfalto, fue desmentido por los Cazadores de Mitos (Mythbusters en youtube). Un penique en caída libre alcanza una velocidad terminal (el porqué del funcionamiento de un paracaídas) debido a la resistencia del aire que impide que cause daño alguno; ni siquiera puede atravesar la piel de la mano (como demuestran en el vídeo los cazadores de mitos en sus propias carnes). Sin embargo, puede que te preguntes, ¿qué pasará si en lugar de un penique es una moneda de 10 céntimos de euro, o una de 1 euro? Para obtener la respuesta, en lugar de hacer el experimento, podemos realizar algunos cálculos matemáticos sencillos. Para ello podemos seguir el artículo de Grant Macklem y Nathan Janos, “A Penny in Free Fall,” 1997, o el más reciente (que es el que yo he seguido) de unos estudiantes de la Universidad de Leicester llamados J.C. Coxon, J.F. Barker y T.M. Conlon, “The Penny Drops,” Journal of Physics Special Topics, Feb 16, 2011.

Obviando las fórmulas, fáciles de aplicar gracias a la tabla de la derecha, podemos ir directamente al resultado: un céntimo de euro tiene una velocidad límite de 44,56 km/h, e impacta de canto con una presión de 10,2 MPa (megapascales). La piel humana resiste presiones de hasta 20,89 ± 4,11 MPa, por lo que un céntimo ni siquiera rasgará la piel (igual que ocurre con un penique); de hecho, ni siquiera causará un cardenal (como se ve en el vídeo de Mythbusters).

Una moneda de 10 céntimos tiene una velocidad límite de 48,95 km/h, e impacta de canto con una presión de 14,97 MPa, por lo que tampoco logra rasgar la piel humana (aunque el golpe debe doler y quizás causará un cardenal). Una moneda de 20 céntimos alcanzará 51,41 km/h, e impactará con una presión de 17,90 MPa, que rasgará la piel de quienes tengan la piel delicada. Una moneda de 50 céntimos alcanzará 54,99 km/h, e impactará con 21,03 MPa, luego rasgará la piel y dejará una buena marca.

Una moneda de un euro alcanzará una velocidad límite de 56,23 km/h, e impactará con una presión de 21,58 MPa. Finalmente, una moneda de dos euros, alcanza 54,06 km/h, e impacta con 26,37 MPa. Estas monedas rasgarán la piel y hará bastante daño pero no atravesarán el hueso del cráneo y no causarán la muerte.

Los profesores de física pueden proponer a sus alumnos la repetición de estos cálculos y quizás la experimentación práctica en laboratorio.

XX Carnaval de Física: La física del hula hoop

Un soriano llamado Francisco J. H. H., físico, (casi) matemático, neurocientífico y autor del blog Resistencia Numantina organiza la XX Edición del Carnaval de la Física. El Carnaval de la Física de este mes acaba mañana, 25 de Junio. Como es habitual en este blog mi participación se basará en un artículo publicado en la revista de docencia de la física llamada American Journal of Physics. Para empezar un vídeo que descubrí gracias a Antonio M. R., “Perspectiva desde un hula hoop,” Fogonazos, 07 junio 2011.

El hula hoop es un popular juguete compuesto de un aro (hoop) delgado de plástico que se hace girar alrededor de la cintura, aunque los malabaristas circenses también usan las piernas o el cuello. Para lograr que el aro gire es necesario que la cintura del jugador describa un movimiento periódico en el plano horizontal. Para modelar este problema lo más fácil es considerar un modelo en dos dimensiones, despreciando el movimiento vertical del hula hoop. Además, conviene suponer que la cintura es un círculo y su centro se mueve a lo largo de una trayectoria elíptica cercana a un círculo. Bajo dichas condiciones es fácil obtener un modelo matemático sencillo de la dinámica de este divertido juego. Los interesados en los detalles técnicos disfrutarán con Alexander P. Seyranian and Anton O. Belyakov, “How to twirl a hula hoop,” American Journal of Physics 79: 712-715, July 2011 [gratis en ArXiv]. No ganarán el premio Ig Nobel por su trabajo, ya que el hula hoop ya recibió el Ig Nobel de Física en 2004; en concreto, lo recibieron Ramesh Balasubramaniam and Michael Turvey por su estudio ”Coordination Modes in the Multisegmental Dynamics of Hula Hooping,” Biological Cybernetics 90: 176-190, March 2004 [pdf gratis]. Como nos recuerdan en el siguiente vídeo.

El modelo de los rusos Seyranian y Balyakov se basa en dos movimientos armónicos acoplados (como dos péndulos acoplados). Este modelo es tan sencillo que permite obtener la solución exacta de las ecuaciones para el movimiento. No quiero aburriros con las ecuaciones (en ArXiv tenéis copia gratis del artículo), muy sencillas por otro lado. Según estas ecuaciones la clave para la estabilidad del movimiento es que el hula hoop no pierda su punto de contacto con la cintura del jugador. La estabilidad asintótica del movimiento requiere la ausencia de resonancias parámetros en el movimiento. El movimiento es estable en ambas direcciones, tanto en rotación en sentido horario como antihorario.

Para los profesores de primeros cursos de física el modelo del hula hoop será un ejercicio más para añadir a las relaciones de problemas, o para incluir en los exámenes (aunque no sé lo que pensarán los estudiantes al respecto). Para cursos más avanzados, conviene elegir un artículo con un análisis un poco más complejo, como el de Frederic Moisy, “Supercritical bifurcation of a hula hoop,” American Journal of Physics 71: 999-1004, 2003 [gratis en ArXiv].

Alucinante ilustración del aliasing en acción

Maravillosa ilustración del fenómeno llamado aliasing (generación de alias). La he visto procrastinando un rato en las webs de colaboradores de Amazings.es (por cierto el miércoles próximo tenéis una nueva entrada de Francis en Amazings.es sobre los últimos resultados de Gravity Probe B). En concreto la he visto en “La danza de los péndulos,” Maikelnai’s blog, 9 mayo 2011. Os copio: “Quince péndulos simples no acoplados, colgando de hilos de longitudes que crecen monotónicamente. Cuando los elevas todos a la vez y los sueltas, los péndulos bailan (…) Podríamos llamar a esta danza “arte cinético”. El período para un ciclo completo de la danza es de 60 segundos. La longitud del péndulo más largo se ajustó para que ejecutara 51 oscilaciones durante este período de 60 segundos. La longitud de cada péndulo sucesivo se fue acortando y ajustando de forma cuidadosa para que ejecutara una oscilación más que el anterior durante este período. Por ello, el péndulo número 15 (el más corto) ejecuta 65 oscillaciones.” Maikelnai lo vió en Sciencedemonstration. Por cierto, si los péndulos estuvieran acoplados ya no sería una ilustración del aliasing.

Yo siempre ha ilustrado a mis alumnos el aliasing (palabro de difícil traducción al español) utilizando los radios de una rueda de bicicleta, el horizonte de una textura tipo tablero de ajedrez en un plano infinito, la afinación de una cuerda de guitarra y … hay muchos otros ejemplos. ¡Pero qué torpe de mí! Nunca se me ocurrió una cadena de péndulos de longitud creciente. ¡Qué torpe soy! Vuelvo a ver el vídeo que es un alucine… mis alumnos van a alucinar… con péndulos.

Ah, ¿qué no sabes lo que es el aliasing? Los matemáticos también le llaman fenómeno de Gibbs, los ingenieros se refieren a él como efecto de Nyquist, los músicos le llaman afinación, y … ¿aún no sabes lo que es el aliasing?

PS (contestación a Iñaki): ¿Qué tiene que ver el aliasing y la afinación? No tienen nada que ver… es una frase para suscitar comentarios (y los ha suscitado)… “una licencia poética” de bloguero. Por eso no he dicho nada en los comentarios… Hasta ahora. Pido perdón a todos.

Permitidme que  explique el porqué se me cruzaron los cables.

Lo primero, qué es la generación de alias: la aparición de señales de baja frecuencia “ficticias” en una señal de alta frecuencia debido al muestreo a una frecuencia inferior a la frecuencia de Nyquist (que existe si la señal tiene frecuencia máxima y es igual al doble de dicha frecuencia). ¿Por qué aparecen los alias? Porque el muestreo hace que el espectro se vuelva periódico y se produce una suma de las altas frecuencias de la señal en periodos consecutivos del espectro.

Con un dibujo pésimo en plan cadenas de texto. Si el especro es “Λ_._Λ” tras el muestreo se repite como “…Λ_._ΛΛ_._ΛΛ_._Λ…” (y así sucesivamente hacia ambos lados). Las señales de alta frecuencia (el cero está en el “.”) de los extremos de intervalos sucesivos “ΛΛ” están próximas y producen al superponerse parcialmente a una señal de baja frecuencia o alias “Λ_I_Λ” (donde el “I” en lugar del “.” representa el alias).

Lo segundo, ¿cómo afinan los músicos? Utilizan la suma de frecuencias próximas lo que produce una señal de frecuencia suma de muy alta frecuencia y otra de frecuencia resta de baja frecuencia. Esta última se puede interpretar como un “alias” (el famoso “batido” o “guagua” de la afinación de una guitarra o un piano con un diapasón). Este batido (como bien comenta más abajo Iñaki) es un batido en la amplitud y no en la frecuencia (aunque a veces también es audible como una señal de baja frecuencia). De ahí que crucé los “cables” y relacioné aliasing y afinación.

Los dos conceptos no tienen nada que ver el uno con el otro, pero ambos están íntimamente relacionados: la adición de ondas próximas de cierta frecuencia “genera” señales de una frecuencia mucho más baja (sí, Iñaki, en el segundo caso en amplitud que no en frecuencia).

Lo dicho. No tienen nada que ver aliasing y afinación, pero quería ver el debate que generaba la entrada… y lo ha generado.

Gracias a todos por vuestros comentarios.