La ecología humana permite comprender cómo nos relacionamos con los demás y permite desarrollar modelos matemáticos de nuestro comportamiento, basados en ecuaciones diferenciales ordinarias y estocásticas no lineales. Strogatz en 1988 introdujo el primer modelo matemático del amor (o del enamoramiento). Sprott en 1994 introdujo términos no lineales y una dinámica mucho más interesante. Desde entonces muchos otros lo han mejorado. La última aportación es el artículo de Cherif y Barley que introduce un modelo estocástico del amor. Una buena excusa, como cualquier otra, para recordar el amor, las matemáticas y el amor a las matemáticas. Un tema tan apasionante seguro que levanta pasiones. El artículo técnico es Alhaji Cherif, Kamal Barley, “Stochastic Nonlinear Dynamics of Interpersonal and Romantic Relationships,” ArXiv, Submitted on 30 Oct 2009. Por cierto, esta entrada es la mejor excusa posible para recordar al genial Kiyosi Ito, uno de los padres de la teoría de ecuaciones estocásticas, primer ganador del Premio Gauss de la IMU, quien concede las Medallas Fields, concedido en el ICM 2006 de Madrid, quien falleció el 10 de noviembre de 2008, ya entonces (agosto 2006) estaba muy enfermo y recogió el premio su hija (actriz y cantante famosa en Japón), que se hizo la foto de rigor con Su Majestad Juan Carlos I de España.
Las relaciones románticas son las relaciones interpersonales más importantes en la vida social humana, especialmente durante la adolescencia. Más del 70% de los estudiantes de formación secundaria declaran que están viviendo o han vivido una relación romántica. En adultos la mayoría de estas relaciones fracasa, en el sentido de que no concluye en la formación de una pareja, compromiso estable o matrimonio. El estudio experimental de las relaciones románticas es difícil, por ello los expertos en ecología humana recurren a modelos matemáticos similares a los utilizados en ecología. Esta rama de la ciencia se inició con el análisis mediante ecuaciones diferenciales lineales de las relaciones románticas en la obra Romeo y Julieta de Shakespeare que realizó Strogatz en 1988 con fines docentes (“Love affairs and differential equations“). Desde entonces muchísimos matemáticos han utilizado las “ecuaciones del amor” para facilitar la docencia de la dinámica de sistemas no lineales (como Sprott en “Dynamical models of love,” quien también ha estudiado la felicidad en “Dynamical models of happiness“). Estos autores han introducido correcciones no lineales al modelo de Strogatz y lo han extendido, por ejemplo, a los triángulos amorosos. Además, se han utilizado modelos matemáticos más avanzados como ecuaciones con retrasos y modelos estocásticos, como los desarrollados por Cherif y Barley en el nuevo artículo que comentamos.
Los modelos más sencillos son del tipo Strogatz-Sprott y se basan en cuatro estados posibles de enamoramiento que se muestran en la figura de la izquierda: (I) deseo correspondido (eager beaver), saber que la otra persona nos ama refuerza nuestro propio amor hacia ella; (II) amor precavido (cautious lover), rechazamos nuestros propios sentimientos pero los de la otra persona refuerzan nuestro amor; (III) amor ermitaño (hermit), rechazamos nuestros propios sentimientos y los de la otra persona; y (IV) tímido narcisista (narcissistic nerd), nuestro amor es intenso pero nos hecha para atrás que la otra persona también nos ame. El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales acopladas para las variables que miden el amor hacia la persona amada, correspondiendo los valores positivos a sentimientos positivos (amistad, pasión, en función de la magnitud del valor) y valores negativos a sentimientos negativos (antagonismo, desdén). El modelo propuesto es el siguiente
donde las constantes representan la atracción hacia al otro. Los parámetros indican el grado con que un individuo ha internalizado sus propios sentimientos y su propia autoestima. Los parámetros $\beta _{i}$ representan el efecto de refuerzo que los sentimiento de la otra persona provoca en nosotros. La constante introduce una función de retorno que, según los autores, modela el amor entre Steve Urkel y Laura Winslow en la teleserie “Cosas de casa”: Cuando Steve se desespera, el antagonismo de Laura se reduce por su sentimiento de compasión hacia él.
Este sistema dinámico tiene un punto de equilibrio dado por
que es no negativo y asintóticamente estable si y sólo si
donde y es la función de retorno linealizada. En cualquier otro caso, el equilibrio es inestable.
Basándose en este modelo, Alhaji Cherif y Kamal Barley introducen un nuevo modelo de carácter estocástico que presenta una mayor diversidad de comportamientos dinámicos. Este modelo corresponde a una proceso de Markov continuo cuya tabla de transición aparece a la izquierda y que conduce a una ecuación diferencial estocástica en el sentido de Ito, de la forma
Supongo que la mayoría de los lectores de este blog no conocerán este tipo de modelos matemáticos, así que no entraré en muchos detalles (los interesados en lo mínimo de lo mínimo pueden consultar T.E. Govindan, “Ecuaciones diferenciales estocásticas“). Hoy en día hay muy buenos métodos numéricos (y software en Internet) para la resolución de este tipo de ecuaciones estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas para el modelo de Cherif-Barley son
Lo más interesante del modelo estocástico es que presenta comportamientos que no se observan en el modelo determinista, con lo que su dinámica es mucho más rica e interesante. La figura de arriba muestra comportamiento oscilatorio para valores de los parámetros para los que el sistema determinista no lo presenta. La figura de abajo muestra la aparición de dos puntos de equilibrio estables y la transición (difusión) entre ellos.
El análisis de los resultados del modelo de Cherif-Barley en su propio artículo es pobre, pero se me antoja que los resultados son muy interesantes y darían para una extensa discusión. Sin embargo, como siempre, mi intención es solo mostraros cosas curiosas que os llamen la atención y os provoquen una lectura de artículos técnicos que de otra manera, quizás, nunca llegaríais a conocer.
Los profesores de mateamática aplicada o de asignaturas de modelado de sistemas podrían proponer a sus estudiantes como práctica el desarrollo de un modelo del amor y las relaciones románticas. Ya algunos lo han hecho, como nos cuenta Kari, guapa estudiante de física en Perú, en su blog y con bastante éxito entre los alumno, según ella misma. Los alumnos tuvieron que exponer sus trabajos y sus razonamientos fueron realmente curiosos: “No podía creer como defendían sus puntos de vista hablando tan abiertamente de ese tema del cual a muchos en más de 3 años nunca escuché hablar y teniendo en cuenta que la última conversación que tuve con ellos fué sobre las propiedades del Hamiltoniano cuántico.”
Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro. La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones de periodo doble. Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica sobre este tipo de rutas. Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría, la Teoría de las Cascadas de Periodo Doble, en un artículo que acabará siendo publicado en PRL (tiempo al tiempo). Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada de este tipo presenta también infinitas más. Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan en dimensión arbitraria. Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones, pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés). Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo, parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2. El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke, “The cascades route to chaos,” ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.
En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones de la aplicación logística. Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457… se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar. La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3 que aparece alrededor de 3,8284… Este comportamiento es bastante genérico y se observa en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.
Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística) y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada, luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico. Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico. Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas. En este sentido este artículo presenta el primer gran resultado de la teoría de las cascadas de doble periodo a la que desde este blog le auguramos un sustancioso futuro.
La Biología Sintética se define como “una aproximación rigurosa a la Biología desde la Ingeniería basada en la aplicación del diseño de sistemas a procesos biológicos complejos” [fuente]. Su objetivo fundamental es desarrollar una biblioteca de BioBricks (bioladrillos), ”unidades modulares básicas de ADN que realizan una función simple. Un BioBrick es un fragmento de ADN que codifica el código genético de un elemento funcional conocido y que puede ser empalmado con cualquier otro BioBrick para formar un módulo complejo.” Uno de los biobricks más famosos es el interruptor genético (genetic toggle switch) que se utiliza para controlar el apagado/encendido de la expresión de un gen. Desde un punto de vista matemático, un interruptor biológico es un sistema biológico que presenta una biestabilidad, que puede estar en dos estados posibles. Este sistema permite la generación de comportamiento oscilatorio autosostenido (un ciclo límite). Su análisis dinámico y numérico se presenta en bastante buen detalle en el artículo técnico de Didier Gonze, “Coupling oscillations and switches in genetic networks,” Biosystems, Article in Press, 2009, que desde aquí recomiendo no sólo a los aficionados a la biología sino también a los aficionados a la matemática.
He de confesar que recientemente yo mismo analicé el comportamiento matemático de este sistema biológico y descubrí por mí mismo muchos de los resultados que aparecen revisados en el artículo de Didier Gonze. Una revisión bibliográfica a posteriori me permitió comprender que lo que yo creía descubriemientos novedosos en realidad eran conocidos ya hace una década. Coronar una montaña, aunque uno no sea el primero en lograrlo, siempre es todo un logro. Contemplar el camino recorrido con los ojos de otros siempre nos muestra detalles que estuvieron a nuestro alcance pero que omitimos por distracción o ignorancia.
El interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli,” Nature 403: 339-342, 20 January 2000 [en la figura de la izquierda se omite la representación de las proteínas]. Es habitual modelar matemáticamente la inhibición (represión) mediante una ley de Hill con un exponente de cooperatividad n. La formulación matemática de la izquierda está adimensionalizada.
La figura de arriba ilustra la dinámica del interruptor cuando los parámetros permiten la biestabilidad, cuando el parámetro a1 se encuentra en el intervalo entre las dos bifurcaciones de punto de silla (SN1=1.4 y SN2=6.8) que muestra la figura superior izquierda. En dicho caso, la intersección de las dos nullclinas (funciones no lineales del miembro derecho del modelo matemático) presenta tres puntos fijos, dos estables y uno inestable central (figura abajo izquierda). Las trayectorias en tiempo típicas del sistema se muestran en la figura superior derecha. Dependiendo de las condiciones iniciales el sistema puede converger a uno de los dos posibles estados estacionarios estables. Es importante recordar que cuando a1>SN2 o a1<SN1 el sistema se comporta de forma monoestable (sólo hay un punto estacionario estable), no ilustrado en la figura de arriba. El comportamiento oscilatorio es debido a la histéresis del sistema que se muestra en la figura inferior derecha y que conduce a oscilaciones autosostenidos de tipo ciclo límite (siguiendo las flechas en la figura). La variación del parámetro a1 requiere que se acople al gen X una proteína que active su expresión, normalmente mediante una ley de Michaelis-Menten. Esta proteína P1 se suele denominar represilador (no mostrada en el modelo matemático).
La parte más bonita del análisis matemático de este problema es el estudio del efecto de los parámetros del represilador P1 (que actúa como un forzamiento) en los diagramas de bifurcación del sistema. La figura de arriba muestra la aparición de comportamiento birrítmico para forzamientos alrededor de los dos puntos en los que se presenta la bifurcación de punto de silla. En este caso, las variables X o Y presentan una comportamiento oscilatorio de pequeña amplitud alrededor de sus valores en estado estacionario. Hasta dos ciclos límites estables se pueden observar en este caso. Todo depende del forzamiento introducido por el represilador, que permite inducir un comportamiento oscilatorio en un estado inicialmente estable.
Sin entrar en más detalles de este análisis dinámico me gustaría acabar recalcando que este su simplicidad permite utilizarlo como modelo de nivel intermedio en cursos de dinámica no lineal y caos. En dicho caso, conviene recalcar al alumno que este tipo de sistemas se ha observado biológicamente y ponerle algunos ejemplos (son fáciles de encontrar en la literatura).
El libro de Edward N. Lorenz, el padre científico del efecto mariposa, titulado “The Essence of Chaos,” es una lectura obligada a los interesados en el caos determinista. Prácticamente sin fórmulas (salvo el capítulo sobre métodos numéricos) nos presenta muchos resultados interesantes. Uno de ellos es la caída caótica en una ladera ondulada, similar al efecto de la nieve llamado mogul en la jerga del esquí. Para los interesados en la formulación matemática detrás de las gráficas y comentarios de Lorenz, hemos de recomendar el trabajo en el software Mathematica desarrollado por (el ya emérito) Robert M. Lurie, “A Review and Demonstration of The Essence of Chaos by Edward N. Lorenz,” ArXiv, 12 Oct 2009 [publicado originalmente en Mathematica in Education and Research 11: 404-422, 2006]. El artículo incluye los códigos en Mathematica que permiten reproducir sus resultados. Los que sólo quieran jugar con el software pueden recurrir a “Chaos While Sledding on a Bumpy Slope,” Wolfram Demostrations Project, que incluye el código fuente. Los aficionados al caos, la matemática aplicada y/o Mathematica, que disfruten.
Un sistema cuántico puede mostrar el efecto túnel incluso sin una barrera que atravesar, es el efecto túnel dinámico. En la figura c se muestran los estados caóticos (verde) y no caóticos (marrón y violeta) de un sistema clásico. El modelo cuántico de dicho sistema caótico salta por efecto túnel dinámico entre los estados clásicos estables, evitando los estados caóticos. Una ilustración experimental de este fenómeno de “caos cuántico” ha sido obtenida por Jessen y sus colegas, quienes han logrado visualizar este efecto túnel con gran detalle, permitiendo la reconstrucción completa del estado cuántico del sistema conforme ocurre dicho proceso. Una exquisita visualización (incluye animaciones) de como el sistema cuántico “evita” atravesar las regiones caóticas que sólo existen (o están permitidas) en el sistema clásico. El experimento ilustra a las mil maravillas las grandes dificultades que ofrece la transición de lo clásico a lo cuántico y viceversa, que muchos libros de texto (y físicos) asumen casi como trivial. Nos lo cuenta Daniel A. Steck, “Quantum mechanics: Passage through chaos,” News and Views, Nature 461: 736-737, 8 October 2009, haciéndose eco del magnífico artículo técnico de S. Chaudhury, A. Smith, B. E. Anderson, S. Ghose, P. S. Jessen, “Quantum signatures of chaos in a kicked top,” Nature 461: 768-771, 8 october 2009.
La mecánica clásica y la mecánica cuántica se llevan como el perro y el gato. Cuando se aman, se aman de corazón, pero cuando se odian, los pelos se erizan. La mecánica clásica permite la existencia de sistemas caóticos, es decir, sistemas deterministas no lineales disipativos muy sencillos cuyo comportamiento es impredecible debido a la fuerte dependencia con respecto a las condiciones iniciales. La mecánica cuántica es lineal y conservativa (no disipativa), por definición, luego no puede presentar comportamiento caótico determinista. El modelo cuántico asociado a un sistema clásico caótico no presenta caos. Este es el llamado problema del caos cuántico. Si la mecánica clásica es un límite de la cuántica, cómo es posible que exista el caos determinista. Además, cómo ocurre este proceso de transición entre lo clásico y lo cuántico para los sistemas caóticos.
Jessen y sus colegas han estudiado experimentalmente el comportamiento de la versión cuántica de un sistema caótico con extremo detalle y con énfasis en la transición entre lo cuántico y lo clásico, mostrando que en dicha transición se produce un efecto túnel dinámico. En el efecto túnel convencional una partícula cuántica puede atravesar un barrera de potencial con una probabilidad no nula. En el efecto túnel dinámico el sistema recorre el espacio de fases clásico a saltos cuánticos sin atravesar las regiones caóticas que el sistema cuántico no puede describir. La impredecibilidad del sistema caótico clásico se refleja en cierta impredecibilidad en el sistema cuántico, pero por razones diferentes. En el primer caso es debida a la fuerte dependencia con los cambios en las condiciones iniciales del sistema (pequeños cambios producen enormes diferencias en la dinámica resultante conforme el tiempo transcurre). En el segundo caso la impredecibilidad es debida a las transiciones aleatorias por efecto túnel entre estados no caóticos. Más aún, el sistema cuántico puede presentar estados entrelazados en los que se encuentra en un estado de superposición entre los varios estados estables (no caóticos) posibles. En este sentido, presenta una impredicibilidad adicional ya que no está en un estado concreto sino en una especie de mezcla de posibles estados.
El artículo de Jessen y sus colegas no considera en detalle la física íntima de la transición entre lo clásico y lo cuántico ya que no son capaces de transformar gradualmente el sistema clásico en cuántico o viceversa. Esta transición es extremadamente difícil de estudiar. Sin embargo, Steck cree que este trabajo nos acerca hacia los experimentos futuros que podrán observarla. La mecánica cuántica nos sigue ofreciendo sorpresas después de más de un siglo de trabajos teóricos y experimentales. Lo que daría P.A.M. Dirac por haber dispuesto de este experimento en vida.
El caos determinista en sistemas hamiltonianos (que conservan la energía) se llama estocasticidad y es muy diferente al caos en sistemas disipativos (como el atractor de Lorenz). Marco Frasca nos presenta un buen ejemplo de esta diferencia. El teorema KAM garantiza que una pequeña perturbación de un sistema hamiltoniano lo modifica muy ligeramente. ¿Qué pasa cuando la perturbación es infinitamente grande? Uno esperaría que el sistema se volviera ergódico y la estocasticidad se mantuviera, sin embargo, pasa todo lo contrario, el sistema se recupera y se comporta como si hubiera sido perturbado ligeramente. Es algo que parece paradójico, pero es una de las claves de la diferencia entre el caos en sistemas disipativos y en sistemas hamiltonianos. La demostración de Frasca utiliza técnicas de dualidad en teoría de perturbaciones, ahora muy de moda en teoría de cuerdas, pero es sencilla (cualquiera que haya estudiado mecánica analítica puede comprenderla). Marco nos lo resume en su blog ”KAM theorem and ergodicity,” The Gauge Connection, June 25th, 2009. El artículo técnico es de fácil lectura para cualquier físico o matemático: Marco Frasca, “Dual Lindstedt series and KAM theorem,” ArXiv, 29 May 2009, aceptado para publicación en el Journal of Mathematical Physics, 9 Sep 2009 ["KAM tori reforming to be published," The Gauge Connection, September 9th, 2009].
Las trayectorias “naturales” de un sistema hamiltoniano integrable son cuasiperiódicas, se descomponen en un conjunto de trayectorias periódicas (se suele decir que el sistema se mueve en toros, es decir, “donuts” multidimensionales). Una perturbación pequeña (extremadamente pequeña en el teorema original de Kolmogorov, probado por Arnold y Moser, llamado teorema KAM) preserva estas trayectorias cuasiperiódicas (preserva los toros). Conforme la perturbación crece, los toros empiezan a destruirse y para una perturbación (suficientemente) grande todos los toros se destruyen y el sistema dinámico recorre gran parte del espacio de fases a su alcance, lo que técnicamente se denomina ergodicidad o, si lo prefieres, caos hamiltoniano.
¿Qué pasa cuando la perturbación no es grande sino infinitamente grande? Es decir, la inversa de la escala de la perturbación es infinitamente pequeña. Uno esperaría que la ergodicidad y el caos completamente desarrollado se mantuviera en este caso. Sin embargo, la sorpresa descubierta por Marco es que ocurre completamente lo contrario. Ha demostrado un teorema KAM dual por el cuál una perturbación infinitamente grande provoca la reaparición de los toros y el retorno a un movimiento cuasiperiódico no caótico. La ergodicidad para perturbaciones grandes desaparece para perturbaciones infinitamente grandes. Si no lo veo, no lo creo.
¿Entonces por qué la mayoría de los sistemas hamiltonianos (p.ej. en mecánica celeste) parecen comportarse de forma ergódica? La respuesta es sencilla, porque están compuestos por un gran número de partículas (o componentes). Su ergodicidad la explica la mecánica estadística y no la presencia de perturbaciones debido a sus interacciones mutuas.
¿Cuál es la importancia de este resultado? La mecánica cuántica no relativista está descrita por un sistema hamiltoniano que cumple la teorema KAM. Según el nuevo teorema KAM dual, la transición entre lo cuántico y lo clásico no hay que buscarla en una constante de Planck infinitamente pequeña, sino en el número de objetos (estados) cuánticos. Cuando el número de constituyentes del sistema cuántico es suficientemente grande, se comportará como un sistema clásico.
Es curioso lo lejos que nos lleva un resultado sencillo en mecánica clásica cuando lo contextualizamos en el marco de la mecánica cuántica. Si no me equivoco, el trabajo de Marco Frasca dará bastante que hablar.
“Tú, la mar y un vino.” No es necesario que la mar esté picada para que observemos en alta mar que las olas no son ondulaciones suaves, sino que presentan picos puntiagudos. En estos picos, la derivada matemática de la superficie del mar no está definida. La ausencia de derivada, aunque sólo sea en ciertos lugares, complica mucho el modelado matemático de las olas en alta mar. Camassa y Holm descubrieron en 1993 una ecuación en derivadas parciales que modela la propagación de ondas (singulares) con picos, que llamaron “solitones picados” (peaked solitons), que hoy llamamos “picones” (peakons). Dicha ecuación es integrable, se puede escribir matemáticamente su solución general, demostrándose que cualquier onda acaba descomponiéndose en un tren (una serie) de picones (como muestra la figura que ilustra esta entrada). La ecuación de Camassa-Holm se puede derivar asintóticamente a partir de las ecuaciones de Euler para un fluido utilizando la aproximación de aguas someras (shallow water). Un buen resumen sobre la teoría de picones lo podéis encontrar en Darryl D. Holm, “Peakons,” Encyclopedia of Mathematical Physics 4: 12-20, 2006 (ArXiv preprint, 29 Aug 2009). El artículo original de Roberto Camassa y Darryl D. Holm, “An integrable shallow water equation with peaked solitons,” Phys. Rev. Lett. 71: 1661-1664, 1993 (ArXiv preprint, 13 May 1993).
Los aficionados a la matemática aplicada y a la física de ondas no lineales, o quienes al menos sepan qué es la ecuación de Korteweg-de Vries, disfrutarán con el artículo de Holm, muy bien ilustrado y con una matemática bastante asequible (al menos para mí, que me dedico a estos temas). Los demás se pueden conformar con saber que la mar picada ya forma parte de la realidad que la matemática es capaz de describir con precisión.
Por cierto, una pregunta, ¿sabes lo que es la inestabilidad (modulacional) de Benjamin-Feir?
Generar números aleatorios es imposible. Los números aleatorios son necesarios en máquinas tragaperras de casinos, sistemas de criptografía, simulaciones de Montecarlo, etc. Estas aplicaciones tienen que conformarse con generadores de números pseudoaleatorios. Las aplicaciones que requieren números pseudoaletorios de gran calidad, que sean extremadamente aleatorios, se beneficiarán del descubrimiento de Igor Reidler et al. de la Universidad de Bar-Ilan, Israel. Las fluctuaciones en la intensidad de la luz en un láser caótico, gracias a un sistema de retroalimentado, cuya salida es prácticamente impredecible, permiten fabricar un generador de números pseudoaleatorios extremadamente rápido y de gran calidad. Nos lo cuenta Sonja Grondalski, “The fast and the random,” Physics, July 13, 2009, y el artículo técnico es I. Reidler, Y. Aviad, M. Rosenbluh, and I. Kanter, “Ultrahigh-Speed Random Number Generation Based on a Chaotic Semiconductor Laser,” Phys. Rev. Lett. 103: 024102, July 10, 2009.
En la figura, se muestra el esquemad el generador hardware de números aleatorios. LD es el diodo láser, BS es un divisor de haz (beam splitter), ND es un filtro de densidad neutra, M es un espejo y PD es un fotodetector de alta velocidad. La señal generada por el láser es continua obteniéndose un resultado numérico mediante muestreo gracias a un conversor analógico/digital.
El sistema es muy simple y requiere básicamente un simple diodo láser acoplado a un circuito electrónico muy simple que funciona a 2.5 GHz. El diodo láser oscila a puede generar números aleatorios de 8 bits con un ancho de banda de 12.5 Gbits/s. El sistema ha pasado todos los tests de aleatoridad que se le han aplicado con sorprendentes resultados. Una fuente fiable y extremadamente rápida de números aleatorios para muchas aplicaciones prácticas.
Los lectores habituales de este blog sabéis que le tenemos especial cariño a Didier Sornette, sociofísico especialista en burbujas financieras, que ya predijo el estallido de la burbuja de los precios del petróleo. Su nuevo análisis de la bolsa de Shanghai muestra que el mercado de valores chino presenta claros indicios de una burbuja financiera. Ha crecido ya un 65% este año. ¿Cuándo estallará? Muy pronto, estallará durante este verano (Didier afirma que entre el 17 y 27 de julio con un intervalo de confianza del 80%). El artículo técnico, como siempre con los de Didier, es fácil de leer para todos, K. Bastiaensen, P. Cauwels, D. Sornette, R. Woodard, W.-X. Zhou, “The Chinese Equity Bubble: Ready to Burst,” ArXiv, Submitted on 10 Jul 2009.
“En medio de la crisis que mantiene a los inversores de todo el planeta con un pie en el acelerador y el otro en el freno, China ha vuelto a sorprender a propios y extraños. El dato habla por sí mismo: el índice de referencia de la bolsa de Shanghai rompió hace días la barrera de los 3.000 puntos, disparándose un 65 por ciento desde principios de año. La percepción colectiva de que la situación económica en China es más saludable y sólida que en el resto del planeta. En las últimas semanas, entre revisiones al alza del crecimiento económico en el país asiático, la confianza ha derivado en euforia bursátil total. [...] Hay una disparidad indiscutible entre el estatus de la bolsa y la economía real. La explosión bursátil se debe, en gran medida, al exceso de liquidez. Los expertos no dudan de que tanta liquidez está bombeando una vieja conocida de los mercados en el gigante asiático: la burbuja bursátil.”
Didier Sornette y su grupo ha aplicado sus técnicas de análisis al índice compuesto de Shanghai (SSE) entre el 15 de octubre de 2008 y el 9 de julio de 2009 (ver la figura, arriba). El ajuste de sus modelos a los resultados observados muestra un crecimiento más rápido que exponencial, señal indiscutible de la presencia de una burbuja. La extrapolación de los modelos durante 100 días a partir del 9 de julio de 2009 (líneas a trazos en la figura) muestra que la burbuja podría estallar próximamente, entre el 10 de julio y el 10 de agosto de 2009. El valor pico estimado está entre el 17 y 27 de julio de 2009 para la proyección de los cuartiles 20%/80%.
El artículo de Didier promete que pronto presentarán un nuevo artículo con un análisis más detallado, incluyendo una comparación con la burbuja financiera china que estalló en octubre de 2007. Habrá que estar al tanto.
La correlación entre la llamada “gota fría” en la costa mediterránea española y el fenómeno climatológico llamado el “El Niño“ es baja (un 0.4) salvo cuando hay una Oscilación Decenal del Pacífico (PDO) caliente. El año pasado comenzó un periodo PDO frío. Así que este año no se prevee una “gota fría” fuerte, crucemos los dedos, ya que en estas cosas, ya se sabe, nunca se sabe. La estadística juega muchas veces malas pasadas. La correlación entre ENSO y PDO fue publicada en Davide Zanchettin, Stewart W. Franks, Pietro Traverso, Mario Tomasino, “On ENSO impacts on European wintertime rainfalls and their modulation by the NAO and the Pacific multi-decadal variability described through the PDO index,” International Journal of Climatology 28: 995 – 1006, 13 Aug 2007.
Oficialmente, el fenómeno climatológico de El Niño comenzó hace un par de semanas (tras tres meses mostrando una anomalía de +0.5 °C en el océano Pacífico ecuatorial) [ppt/pdf]. El fenómeno climatológico cuasi-periódico más energético del mundo, también llamado ENSO (Oscilación Austral El Niño), que alterna entre El Niño (periodos cálidos), periodos de calma, y La Niña (periodos fríos). El Niño es un fenómeno considerado caótico (determinista) y por tanto impredecible. ¿Por qué es (casi) imposible preveer el fenómeno de El Niño/La Niña? Técnicamente ENSO es un oscilador no lineal con dos estados estables (atractores), las fases fría y caliente, y una transición caótica. Algo parecido, que me perdonen los expertos, al efecto mariposa en el atractor de Lorenz. Que transita de una “ala” de la mariposa a otra de forma impredecible.
Las consecuencias de El Niño son tan impredecibles como el mismo fenómeno en sí. Por ejemplo, influye en el número de ciclones tropicales en el Atlántico. La semana pasada se publicó en Science un artículo que trataba de mejorar la predicción de estos ciclones dividiendo el periodo de ENSO como El Niño en dos fases: calentamiento del este del Pacífico (eastern Pacific warming, EPW) y calentamiento del centro del Pacífico (central Pacific warming, CPW). El primero (EPW) es prácticamente indistinguible de El Niño “clásico,” sin embargo, el segundo (CPW) no es igual que “EL Niño” aunque ha sido confundido con él en el pasado. Los autores, Kim et al., han encontrado que el número de ciclones crece en los periodos CPW (igual que ocurre cuando se produce La Niña), al contrario que cuando se produce El Niño. Además, CPW es mucho más fácil de predecir que El Niño. Por ello, este nuevo descubrimiento mejora la predictibilidad de ciclones asociados a la oscilación ENSO. Nos lo contó Greg J. Holland, “Predicting El Niño’s Impacts,” Science 325: 47, 3 July 2009, sobre el artículo técnico de Hye-Mi Kim, Peter J. Webster, Judith A. Curry, “Impact of Shifting Patterns of Pacific Ocean Warming on North Atlantic Tropical Cyclones,” Science 325: 77-80, 3 July 2009.
Todas las simulaciones por ordenador de la mecánica celeste del sistema solar indican que la trayectoria del planeta Mercurio es la más inestable de todas. Las mejores simulaciones hasta el momento indican que hay un 1% de posibilidades de que su excentricidad crezca en los próximos 5000 millones de años (antes de que el Sol se convierta en gigante roja) provocando inestabilidades en los planetas menores, como su colisión contra Venus, o que Venus colisione con la Tierra, o incluso que Marte colisione con la Tierra. Ninguno llegaremos a verlo pero a todos nos gusta pensar que hay un 99% de posibilidades de que el sistema solar sea estable hasta que el Sol empiece a hacer de las suyas. Nos lo comenta el especialista Gregory Laughlin, “Planetary science: The Solar System’s extended shelf life,” News and Views, Nature 459: 781-782, 11 June 2009 , siendo el artículo técnico J. Laskar, M. Gastineau, “Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars and Venus with the Earth,” Nature 459: 817-819, 11 June 2009 . Por cierto, en Science Now también se hacen eco de la noticia, Phil Berardelli, “Solar System on a Collision Course,” ScienceNOW Daily News, 10 June 2009 .
Las simulaciones numéricas más precisas del movimiento de los planetas en el Sistema Solar dejan de ser válidas tras unas decenas de millones de años. No tiene sentido calcular una única trayectoria más allá debido a nuestras incertidumbres en la posición y velocidad exactas de los planetas ahora mismo. Si se quiere estudiar la estabilidad del sistema solar a más largo plazo hay que recurrir a simulaciones de Montecarlo en las que se perturbe aleatoriamente las condiciones iniciales dentro de sus márgenes de error sistemáticos. Sólo los resultados promediados estadísticamente tienen algún valor predictivo.
Laskar y Gastineau han simulado en un supercomputador todo el sistema solar, incluyendo la luna y la corrección postnewtoniada debido a la teoría de Einstein durante 5000 millones de años (han estudiado 2501 órbitas). La figura de la izquierda, arriba, muestra la excentricidad máxima de Mercurio cuando sólo se aplican las leyes de Newton a todos los planetas, y abajo el nuevo resultado relativista incluyendo la luna. En concreto son solo 201 órbitas en las que se ha variado sólo la posición de Mercurio, aletariomente, en un intervalo de [-380,380] cm (sí, has leído bien, centímetros). Un cambio tan pequeño y en 5000 millones de años las diferencias son enormes.
Lo más relevante es que las nuevas simulaciones muestran que la excentricidad máxima de Mercurio fluctúa mucho menos de lo que se pensaba, aún así, a partir de unos 3000 millones de años, 121 simulaciones muestran excentricidades muy grandes y de ellas 34 acaban con una colisión planetaria. En las 2501 simulaciones realizados, el 1% presenta colisiones de Mercurio con el Sol, de Mercurio con Venus, de Venus con la Tierra, e incluso de Marte con la Tierra.
Por cierto, los autores del artículo confiesan que 14 de las 2501 simulaciones en un supercomputador todavía no habían acabado (cuando escribieron el artículo y no sabían cuando acabarán), no han alcanzado 5000 millones de años (porque necesitan pasos de tiempo extremadamente pequeños). Curioso. Realmente curioso, pero inútil. Literalmente “At the time of writing, 14 of these have not yet reached 5 Gyr and may still be running for a few months, as their step size is greatly reduced.”
En resumen, el sistema solar nos parece eterno, pero ni el Sol lo es, ni los planetas interiores lo son ncesariamente. El más “inestable,” como es de esperar, es Mercurio. La estabilidad del sistema solar seguirá requierendo supercomputadores a pleno rendimiento durante muchos años.
La figura ilustra la gran variedad de formas que pueden adoptar los cristales de nieve. En última instancia, esta gran variedad de formas (morfología) de los cristales es una función de la temperatura y de la supersaturación del vapor de agua en el momento en el que crecen (esto se descubrió hace 75 años) y hoy creemos entender sus principios físicos generales. El cristal empieza a crecer alrededor de una pequeña impureza química disuelta en el aire. La estructura molecular de la superficie del cristal de hielo es extremadamente sensible a los factores ambientales, siendo esta sensibilidad la última responsable de su gran variedad morfológica. El proceso de solidificación limitada por la difusión explica gran número de los patrones que observamos, como el crecimiento de dendritas. Los mecanismos físicos que gobiernan la formación de cristales de nieve, un caso particular de la dinámica del crecimiento cristalino en fase de vapor, se estudian con detalle en el artículo de revisión de Kenneth G. Libbrecht, “The physics of snow crystals,” Reports on Progress in Physics 68: 855-895, 2005 , de donde he extraído las figuras de esta entrada y que recomiendo a los interesados en detalles técnicos. En esta entrada me limitaré a mostraros imágenes. ¿Más vale una imagen que mil “palabros”?
Diagrama morfológico de los cristales de nieve en función de la temperatura y del grado de supersaturación del vapor de agua. (C) Furakawa
Johannes Kepler en 1611 escribió el primer tratado científico dedicado a la morfología de los cristales de nieve desde un punto de vista científico. René Descartes también los estudió en 1637 en su tratado sobre los fenómenos meteorológicos “Les Météores.” Estas primeras investigaciones observaron la variedad de los cristales pero no pudieron explicarla. Desde finales del s. XIX, con la aparición de la fotografía, Wilson Bentley catalogó varios miles de imágenes de cristales de nieve (publicadas en 1931). Las bellas imágenes de Bentley son las responsables de que los cristales de nieve se hayan convertido en un icono del invierno. Ukichiro Nakaya realizó los primeros estudios en laboratorio del crecimiento cristalino en los 1930, obteniendo los primeros cristales de nieve “sintéticos” a diferentes temperaturas y supersaturaciones. El diagrama morfológico de más arriba es producto de su trabajo. Muestra el crecimiento de cristales de nieve a una presión estándar de 1 atmósfera (actualmente se ha extendido hasta temperaturas de -70°C. En la naturaleza muchos copos de nieve son policristalinos (unión de diferentes tipos de cristales) ya que las condiciones de temperatura y supersaturación pueden cambiar mientras crecen y pueden aparecer nueva impurezas o puntos de nucleación, lo que incrementa la variedad de sus formas.
El crecimiento de los cristales de nieve viene controlado por varios factores en competición: la difusión de las partículas de hielo, las pérdidas de calor latente por la solidificación, y la formación del frente de solidificación que determina las condiciones de contorno para la difusión. Son tres fenómenos que compiten entre sí. Dependiendo de las condiciones ambientales, uno de estos fenómenos pueda dominar sobre el resto o dos de ellos pueden competir entre sí sin contar con el tercero. Como estos fenómenos son no lineales su competición es responsable de la enorme variedad y belleza de la morfología de los cristales resultantes. Los que tengan acceso al artículo original y estén interesados en los detalles, disfrutarán con el artículo de Libbrecht, cuyo contenido matemático más técnico ha sido reducido al mínimo. Un buen artículo del que os mostraré, para acabar, otra más de sus múltiples y bellas fotografías de cristales de nieve.
La propiedades ópticas de los nanotubos de carbono han sido poco exploradas. Su diámetro, pocos nanómetros (nm), es muy inferior a la longitud de onda de la luz (la visible entre 380 y 780 nm). La óptica cuántica permite que nanotubos de carbono iluminados con luz convencional (no coherente) emitan luz láser (coherente) permitiendo la fabricación de un láser de nanotubos de carbono. La física es elemental y conocida, ahora es el turno de los físicos experimentales que habrán de llevarlo a la práctica. El artículo teórico es de Z. L. Guo, Z. R. Gong, C. P. Sun, “On quantum optical properties of single-walled carbon nanotube,” ArXiv preprint, 15 Apr 2009 .
¿Cómo pueden tener respuesta óptica objetos tan pequeños (200 veces más pequeños que luz incidente)? Las propiedades ópticas de los nanotubos provienen de los electrones que se propagan por ellos. Estos electrones pueden sufrir transiciones electrónicas que conlleven la emisión de fotones. Los nanotubos pueden dispersar (reflejar) fotones y absorberlos a frecuencias muy concretas (asociadas a los saltos de nivel energético para los electrones). También son (foto)luminiscentes, la luz absorbida excita un electrón, generando un “hueco” y creando un par electrón-hueco (un excitón) cuya vida media es corta (unos 0.1 nanosegundos), por lo que se relaja generando fonones (vibraciones del nanotubo) y fotones de luz.
Las propiedades ópticas más interesantes de los nanotubos son no lineales y provienen de la interacción entre los fotones que se dispersan en el nanotubo cuando éste es iluminado con un láser y los que éste emite por luminiscencia. Como son interacciones fotón a fotón, son debidas a efectos cuánticos y sus propiedades son muy interesantes. Por ejemplo, se observan oscilaciones de Rabi. Si se ilumina un nanotubo con luz convencional (no coherente), algunos fotones provocan que algunos electrones se exciten y otros fotones que pasen cerca de electrones excitados pueden provocar que se “relajen” al estado fundamental, emitiendo fotones, todos con la misma fase y frecuencia (luz coherente). Esta emisión estimulada (ya descubierta por Einstein) de tipo coherente ante la incidencia de luz no coherente permite obtener un láser de nanotubos.
La física cuántica del proceso es elemental, por lo que es de esperar que este fenómeno sea verificado experimentalmente en poco tiempo. Un nanoláser de nanotubos de carbono es un dispositivo que promete un halagüeño futuro.
El adversario había utilizado su escudo láser de haces de Airy ultraintensos (algo parecido a las franjas que se ven bajo un arco iris). Los pulsos láser intensos filamentan ionizando el aire que se transforma en líneas de plasma que actúan como un medio autoenfocante, formando “balas de luz” (light bullets). En un campo de Airy adecuado, estas “balas de luz” en lugar de seguir una línea recta se desvían y se curvan. Aunque parezca sorprendente, así ha sido demostrado en laboratorio. Nos lo cuenta Jérôme Kasparian, Jean-Pierre Wolf, “Laser Beams Take a Curve,” Science 324: 194-195, 10 April 2009 , haciéndose eco del artículo técnico Pavel Polynkin, Miroslav Kolesik, Jerome V. Moloney, Georgios A. Siviloglou, Demetrios N. Christodoulides, “Curved Plasma Channel Generation Using Ultraintense Airy Beams,” Science 324: 229-232, 10 April 2009 .
Esquema experimental utilizado. Izquierda, arriba, campo cercano del haz de Airy. Derecha, arriba, fotografía del campo lejano "desviado." Derecha, abajo, simulación numérica.
Nuestra experiencia más directa con láseres son los punteros láser que se venden en las tiendas de todo a 1€. Luz láser (casi) monocromática (roja o verde), muy direccional (el haz se propaga en línea recta largas distancias) y coherente. En relación a esto último, hay que notar que son láseres semiconductores poco colimados (de mala calidad) que al proyectarlos en una pared muestran un disco de luz con un patrón moteado, con ciertas líneas radiales más intensas, resultado de la interferencia del haz consigo mismo (dicho patrón no se mostraría si la luz no fuese coherente).
Los láseres de pulsos ultracortos intensos son otra cosa completamente diferente. Su luz no es monocromática sino que presenta un espectro de colores bastante ancho (el fenómeno técnico se denomina supercontinuo). Muestran su coherencia sólo a escalas de tiempo muy cortas, entre uno y varios ciclos del campo eléctrico, con lo que no es posible observarla fácilmente. Son fuentes de luz tan intensas que, cuando se propagan por el aire, pueden ionizar los átomos del aire y crear un plasma a su paso. Este plasma presenta un índice de refracción no lineal de tipo Kerr que autoenfoca la luz, generando un fenómeno curioso que a la vista parecen “gotas alargadas” de luz, por ello se denominan “balas de luz” (light bulltets). Estas balas de luz se propagan en línea recta. Sin embargo, Polynkin et al. han mostrado que si atraviesan que los canales de plasma y las balas de luz que permiten verlos se desvían cuando atraviesan una red especial, llamada de Airy, formada por haces con intensidades ultraaltas.
Eres director de cortometrajes de ciencia y ficción y quieres incorporar esta idea a tu nuevo guión. ¡Cuidado! La desviación o curvatura del haz que han obtenido Polynkin et al. no es muy grande, una desviación máxima de 24 cm en una distancia de 2.8 km. ¡Es que las pistolas láser se usan desde muy lejos!
¿Para qué puede servir esta nueva tecnología en la práctica? Hay aplicaciones muy técnicas en metrología láser de alta potencia. Más “de andar por casa” todo es “ciencia ficción.” Así que, “imaginación al canto.”
¿Os suena Airy? ¿Os suena su teoría del arco iris? Los haces de Airy son conocidos de la teoría del arco iris. En condiciones atmosféricas óptimas, entre el arco primario y el secundario se encuentra una zona más oscura y “debajo” del primario se observan unas bandas alternas, las bandas de Airy. Recordad que un arco iris es circular y que las bandas de Airy se encuentran en el interior del círculo. ¿Cómo ver un arco iris circular? Desde un avión. Yo ví uno, nos lo indicó el piloto, en un viaje a Cuba. No he vuelto a verlo en directo. ¿Algún sitio un poco más cercano a tierra? Aunque pueda parecer sorprendente el siguiente vídeo lo muestra desde un aerogenerador (un molino de viento) en la provincia de A Coruña. Espectacular.
(c) Christophe Champod et al. "Fingerprints and other ridge skin impressions," CRC Press, 2004.
Las huellas dactilares tienen un origen parcialmente genético, pero no únicamente genético. Las huellas dactilares de los gemelos, que comparten el mismo código genético, tienen muchos rasgos en común, pero un CSI las puede distinguir, aunque hay gemelos encarcelados por un crimen cometido por su hermano. Los patrones de las huellas son el resultado de campos de fuerza elástica no lineales en competición en la capa basal de células entre la dermis y la epidermis. Pequeños cambios en la forma de cada dedo embrionario y de la futura yema del dedo conducen a grandes cambios en la forma de los plieges de la piel. Una vez la huella se ha formado, ya no cambia para el resto de la vida. La unicidad dactilar, desde el punto de vista CSI, nos lo cuenta el artículo técnico de Anil K. Jain, Salil Prabhakar, Sharath Pankanti, “On the similarity of identical twin fingerprints,” Pattern Recognition 35: 2653-2663, 2002 , y desde el punto de vista de la teoría de formación de patrones en el desarrollo embrionario Michael Kücken, “Models for fingerprint pattern formation,” Forensic Science International 171: 85-96, 2007 .
¿Cómo se forman las huellas dactilares? Realmente no se sabe. La biología de la formación de las huellas dactilares durante la embriogénesis es extremadamente complicada y es difícil identificar los procesos biológicos más relevantes. Aún así, se han propuesto diferentes mecanismos de formación. El artículo de Kücken nos revisa los modelos más importantes propuestos, aunque el autor “tira para casa” y propone que su propio modelo es el mejor, Michael Kücken, Alan C. Newell, “Fingerprint formation,” Journal of Theoretical Biology, 235: 71-83, 2005 . Es un modelo matemático muy interesante. De hecho, Alan C. Newell, con un índice-h de 46 según el ISI WOS, es uno de los grandes especialistas en teoría de solitones y dinámica no lineal del mundo, y también un reconocido bebedor de cerveza Guinness (como lo demuestra en los congresos internacionales a los que asiste).
Los dedos empiezan a separarse unos de otros en el feto durante la sexta semana generando ciertas asimetrías en la forma geométrica de cada dedo. Las yemas de los dedos empiezan a definirse a partir de las séptima semana. A partir de la décima semana, empiezan a formarse las primeras ondulaciones que formarán la huella, patrones que van creciendo y deformándose hasta “rellenar” el dedo completo. La formación de la huella se da por finalizada alrededor de la semana número 19. A partir de ese momento las huellas dactilares ya dejan de cambiar por el resto de la vida del individuo. La figura de arriba ilustra algunos pasos de este proceso (del artículo de Kücken).
¿Por qué se inicia el proceso de formación de las huellas? El modelo de Kücken-Newell se basa las ecuaciones de la elasticidad de von Karman, dos ecuaciones en derivadas parciales acopladas fuertemente no lineales. Sin entrar en detalles técnicos, es el resultado de una deformación (plegamiento) en una capa de células de la piel, la capa basal entre la epidermis y la dermis, que sufre un crecimiento celular rápido que genera esfuerzos que la contraen como una goma elástica, generando el relieve de la huella. La siguiente ilustración muestra el proceso.
(c) Christophe Champod et al. "Fingerprints and other ridge skin impressions," CRC Press, 2004.
¿Cómo este proceso genera las estructuras de las huellas digitales? Medante una competición entre diferentes fuerzas, las que forman los plieges de la piel y las que tratan de restringir el crecimiento adaptándose a la forma geométrica de la punta del cada dedo en fase embrionaria. Estos campos de fuerza deforman los patrones que inicialmente emergen logrando que adopten formas diversas. La siguiente figura ejemplifica algunos de estos campos de fuerza y nos presenta un resultado de “huella” generada por simulación numérica de las ecuaciones de Kücken-Newell.
(c) Christophe Champod et al. "Fingerprints and other ridge skin impressions," CRC Press, 2004.
¿Por qué las huellas dactilares son únicas? Porque son el resultado de un proceso de formación de patrones no lineal con fuerte dependencia con las condiciones iniciales. Pequeños cambios en el campo de fuerzas elástico que genera las huellas son amplificados y conducen a grandes cambios en el patrón final. La teoría de Kücken-Newell es matemáticamente bonita y físicamente razonable, pero requiere ser contrastada con resultados experimentales in vivo. No es fácil obtenerlos.
Los pizzeros acrobáticos son capaces de hacer maravillas con una pizza entre las manos. El comportamiento de la masa, un disco flexible en rotación, puede ser realmente sorprendente. Su dinámica no lineal es caótica determinista a altas velocidades. El secreto del pizzero es controlar la pizza al borde del caos, régimen en el que se haría impredecible su movimiento. Un análisis matemático riguroso utilizando la teoría de la elasticidad es complicado, pero su comportamiento caótico ya se muestra en un modelo newtoniano sencillo, basado en el uso de fuerzas impulsivas y pérdidas por rozamiento tipo Coulomb. Este modelo es suficientemente sencillo como para ser ilustrado en un primer curso de mecánica para ingenieros o para físicos. Para los que gusten de los detalles, disfrutarán de K.-C. Liu, J. Friend(a) and L. Yeo, “The behavior of bouncing disks and pizza tossing,” Europhys. Lett. 85: 60002, 26 March 2009 .
No ofreceré más detalles del modelo, así que os dejaré con un vídeo del campeón del mundo en malabarismo con pizzas. Sencillamente, genial, lo que es capaza de hacer.
“El movimiento se demuestra andando.” Si una revista internacional “funciona” sin editor principal, ¿puede cualquier otra lograrlo? Un buen grupo de eficientes administrativos, ¿puede sustituir al editor principal de una revista internacional? El editor y los administrativos son los únicos que cobran dinero. Los restantes miembros del comité editorial no cobran un euro. Los revisores técnicos de los artículos tampoco. ¿Realmente son necesarios varios administrativos? Quizás uno fuera suficiente. Los sistemas de envío de artículos online han automatizado la mayoría de las operaciones entre la revista y los autores. Fácilmente se podrían automatizar también las operaciones entre la revista y los revisores. ¿Puede funcionar una revista internacional sin editor principal? Chaos, Solitons & Fractals (CS&F), la revista que ha protagonizado ya varias entradas en este blog, “es que le tenemos un cariño especial,” nos muestra como una revista puede seguir funcionando, casi como si no pasara nada, sin editor principal. Hoy ha publicado su primer número de 2009 y su primer número sin editor (el número que aparece fechado el 15 de enero de 2009).
Yo no tengo ningún interés especial en comunicarme con los “editores” (no científicos) de Elsevier encargados de llevar sobre sus hombros la revista CS&F. Richard Poynder, periodista, autor del blog “Open and Shut?,” y quien también profesa cierto “cariño” por CS&F, lo hace por nosotros. El domingo 15 de febrero de 2009 publicó “Chaos, Solitons & Fractals: Update,” en el que anunciaba de palabras de la portavoz de la editorial Elsevier, Shira Tabachnikoff, que el primer número de CS&F de 2009 (que en 2008 era una revista quincenal) aparecerá el 20 de febrero (online) y el 10 de marzo (en papel). Para los que no lo sepan, CS&F no tiene editor principal desde noviembre de 2008, cuando Elsevier anunció que se (le) “jubilaba.” En la web de Elsevier se ha publicado que se anunciará el nuevo editor de CS&F en el primer número de 2009. ¿Quién será? No sé vosotros, a mí me pica la curiosidad.
El 21 de febrero, Poynder se levantó “inquieto” ya que el primer número de 2009 de CS&F no apareció. Se puso en contacto de nuevo con la portavoz Shira Tabachnikoff que le dijo (con otras palabras) “espera, candela, espera.” Desafortunadamente, 949 artículos aceptados (visibles online y con DOI, políticas de Elsevier) estaban esperando ser publicados (tener su “huequecito” en papel). Al ritmo y volumen habitual, más de un año (más de 24 números) de la revista.
El 27 de febrero, todavía estaba sin ser publicado y Poynder no pudo callarse ”Chaos, Solitons & Fractals: Still looking for an editor“ con ya 965 artículos aceptados (con DOI y visibles online) esperando “ver la luz” en papel. Poynder le preguntó a la portavoz de Elsevier, ¿pero qué pasa? Le contestaron que aparecería online el 2 de marzo (hoy).
“The delay in publishing this issue is due to very pragmatic, operational reasons. The latest update I have been given is that the journal is now in line to be uploaded onto ScienceDirect and we expect on Monday [2nd March] it will be up.”
Tatachín, tatachán, hoy, sí estimado lector, hoy, se ha publicado. ¡Ya ha aparecido! ¿Quién es… quién es el nuevo editor principal? Lo siento, se siente…
Publisher’s note. “The Founding Editor for Chaos, Solitons and Fractals Dr El Naschie has retired as Editor-in-Chief. The publisher will work with the editorial board and other advisors to identify a new editor. This is likely to also lead to revision of the aims and scope of the journal, as well as the editorial policies and submission arrangements. Prospective authors can keep informed of the progress on this through the journal’s homepage.”
Extraído del número publicado hoy de “Chaos, Solitons & Fractals, Volume 39, Issue 1, 15 January 2009, Page v,” número de la revista que contiene 472 páginas. “Fresquito y jugosito.”
Ya sólo quedan 916 artículos aceptados esperando tener volumen, número y página de inicio en la revista.
CS&F ha arrancado en 2009 sin editor principal. Para el que no lo sepa, no hay ninguna diferencia con un número normal. Quizás, muchos números más aparezcan sin tenerlo. ¿Demostrará CS&F que una revista internacional puede “vivir” sin editor principal? Sólo el tiempo lo dirá.
En una entrada anterior tratamos de los solitones en el Estrecho de Gibraltar, que son ondas internas (en la interfaz entre dos fluidos) de tipo solitón (ondas solitarias no lineales robustas). La teoría es bonita, pero lo más interesante es ver este tipo de ondas por uno mismo. Un experimento en laboratorio es fácil de realizar (hay que tener un poco de cuidado, nada más): Daniel Bourgault and Clark Richards, “A laboratory experiment on internal solitary waves,” American Journal of Physics 75: 666-670, July 2007 [versión gratis]. El Dr. Bourgault realiza este experimento con sus alumnos del curso PHYS 3900, “Properties of Internal Solitary Waves,” que incluye los programas en Matlab necesarios para el análisis de los datos. En las fotos del Estrecho de Gibraltar se observan trenes de solitones (es decir, grupos de varios solitones en serie).
El experimento es de dificultad media, por lo que lo ideal es que sea realizado por varios alumnos. Si queréis que trabajen más, pueden repetir el trabajo (está en francés) más detallado “Étude de la propagation d’une onde solitaire à l’interface d’un fluide bicouche,” Lise BRINON-GARCIA, Anne-Lise GAUTIER, Quentin PIERRE, Mélody WOLK, sous la direction de Pascale BOURUET-AUBERTOT, Février 2008 . Si repetís el experimento, no dejéis de grabarlo en youtube (seréis los primeros).
El láser ha revolucionado los últimos 50 años de tecnología. Es un tipo de luz de color muy puro (su espectro en frecuencia es muy delgado) y permite concentrar mucha energía en un solo color. Si queremos luz aparentemente blanca necesitamos tres fuentes láser, de colores rojo, verde y azul, siendo este último color el más caro tecnológicamente. El resultado parece blanco, pero en realidad es la suma de tres espectros de frecuencia delgados colocados alrededor de tres frecuencias (colores) dados. Por contra, la luz blanca del Sol es un espectro prácticamente plano para todas las frecuencias (colores) visibles. ¿Se puede construir un láser que genere luz blanca “solar”? Sí, gracias a un fenómeno no lineal llamado supercontinuo, descubierto a finales de los 1960 por Alfano y Shapiro.
Hay una relación muy sencilla entre la duración de un pulso en tiempo y el ancho de su espectro de frecuencias (colores puros del arco iris que lo forman). Un pulso corto tiene un espectro ancho. Un espectro delgado correponsde a un pulso largo. El espectro más delgado posible, un frecuencia pura, correponde a una onda plana distribuida por todo el espacio. La luz de un láser corresponde a un espectro bastante delgado, siendo luz coherente, produciendo un haz bien colimado. En un medio no lineal ciertos pulsos de corta duración (solitones) se vuelven inestables (inestabilidad de modulación) y evolucionan descomponiéndose (fisión de solitones) en pulsos aún más cortos, es decir, incrementando la anchura de su espectro, ensanchando su número de colores. Cuando el espectro es suficientemente ancho tenemos luz blanca. El fenómeno de fisión ha de parar y lo hace gracias a un efecto de Raman (Raman-induced self-frequency shift). Si el pulso original era coherente y de alta energía, tendremos luz blanca coherente de alta energía. La fuente ideal de luz blanca en muchas aplicaciones prácticas.
La óptica no lineal reserva muchas sorpresas. Entre ellas que el supercontinuo se puede autogenerar incluso a partir de ruido, espontáneamente gracias a la inestabilidad de modulación, aunque en este caso se genera luz blanca incoherente (por contra a la luz láser blanca, que es coherente). ¿Podría controlarse este proceso espontáneo de alguna manera para que produjera luz coherente? Sorprendentemente sí, utilizando un pulso láser “semilla”, que “deriva” el supercontinuo incoherente generado espontáneamente a partir de ruido hacia un supercontinuo coherente. La gran ventaja de la coherencia, como en el caso láser, es qeu se se consigue mayor potencia (hasta 30 dB más en este caso). El trabajo es D. R. Solli, C. Ropers, B. Jalali, “Active Control of RogueWaves for Stimulated Supercontinuum Generation,” Physical Review Letters 101: 233902, 5 December 2008 .
El fenómeno mostrado en este artículo es similar al que controla un transistor semiconductor (salvando las distancias). Una señal (de potencia) pequeña controla una señal de mayor potencia (la generación espontánea del supercontinuo a partir del ruido). Ahora mismo la generación de luz láser blanca mediante supercontinuo es muy cara (requiere láseres potentes, más caros de los habituales, y un medio fuertemente no lineal adecuado, normalmente fibra óptica no lineal, que es más cara que la convencional). Quizás avances en la línea de este artículo podrán abaratar los costes y permitirnos utilizar de forma práctica estas fuentes de luz blanca “casi mágicas.” Si es así, asistiremos a toda una revolución en fotónica.
El Hajj es la peregrinación que realizan los musulmanes a La Meca, Arabia Saudí. El musulmán debe peregrinar al menos una vez en la vida a la ciudad de La Meca, siempre y cuando tenga los medios económicos y las condiciones de salud necesarias. Se realiza durante el duodécimo mes del calendario musulmán. Más de 3 millones de fieles se congregan en un solo día en La Meca para realizar el Hajj.
Una tragedia ocurrió el 12 de enero de 2006 en el puente de Jamarat, en la ciudad saudita de Mina, cerca de La Meca, en la última jornada de la peregrinación anual, con al menos 345 peregrinos aplastados por una avalancha humana. La foto presenta el nuevo puente de Jamarat que ha sido diseñado utilizando los más recientes avances en el estudio de las avalanchas de multitudes humanas, para evitar la posible causa de la tragedia: la turbulencia de la multitud (crowd turbulence), D. Helbing, A. Johansson and H. Z. Al-Abideen, “The Dynamics of Crowd Disasters: An Empirical Study,” Physical Review E 75, 046109, 2007 [ArXiv preprint]. La página web de los autores nos muestra algunos vídeos utilizados en su análisis así como un análisis de las ondas de “presión” humana estimadas por su algoritmo de análisis de dichas imágenes. Recomiendo ver los cuatro porque son muy interesantes.
Los investigadores utilizaron los datos de las cámaras instaladas para filmar la multitud en el puente para extraer las posiciones y velocidades de los peatones en función del tiempo. Los autores han observado que incluso en multitudes con una densidad muy alta de personas (hasta 10 por metro cuadrado), el movimiento de la multitud no está completamente parado. Ello provoca que haya densidades locales altas (supercríticas). Cuando la densidad es baja, la multitud avanza de forma fluida (flujo laminar). Sin embargo a altas densidades pueden aparecer una transición brusca entre el flujo laminar y dos nuevos tipos de flujo. Por un lado, las ondas avance-parada (stop-and-go) que aparecen cuando la densidad es alta y el flujo se encuentra por debajo de un flujo crítico. Este tipo de ondas son similares a las ondas de choque en el tráfico de automóviles. Por otro lado, el flujo humano turbulento, cuando las “presiones” en la multitud superan un cierto umbral (este tipo de flujo no se da en vehículos, que se sepa). En flujo turbulento, las personas pierden el control de su marcha, se les salen los zapatos, se atrancan con los vestidos de otros, encuentran dificultades para respirar, lo que unido al calor puede provoca ansiedad y hasta asfixia. Más aún, el acceso a los caídos para darles la atención requerida se vuelve imposible. Se “masca” la tragedia.
Lo importante de este trabajo de investigación, aparte de descubrir un nuevo fenómeno de interés científico, es que permite sacar conclusiones sobre como diseñar las vías de paso (como el puente de Jamarat) para multitudes con objeto de evitar las condiciones que provocan un flujo “peligroso”. Los autores presentan en su artículo una serie de recomendaciones sobre cómo rediseñar este puente en concreto. Desafortunadamente, como se lamentan los autores en su web (ver los párrafos finales) no todas sus recomendaciones han sido consideradas en el diseño. Ciertas decisiones políticas, de mayor prioridad, así como otras decisiones de equipos de expertos sauditas independientes, muchas veces en conflicto con las recomendaciones de estos expertos “extranjeros” también han sido tenidas en cuenta. Como era de esperar.
El siguiente video muestra las recomendaciones gubernamentales para la próxima Hajj con especial énfasis en el tránsito por el nuevo puente de Jamarat. Aunque con un locutor en árabe, creo que no es difícil entender qué están contando, incluso si apagáis el sonido. El primer tercio habla de la construcción del nuevo puente, el segundo de las medidas de seguridad contra tragedias que incorpora y el último tercio son recomendaciones a los peregrinos para hacer más cómodo su viaje.
Los modelos más sencillos son del tipo Strogatz-Sprott y se basan en cuatro estados posibles de enamoramiento que se muestran en la figura de la izquierda: (I) deseo correspondido (eager beaver), saber que la otra persona nos ama refuerza nuestro propio amor hacia ella; (II) amor precavido (cautious lover), rechazamos nuestros propios sentimientos pero los de la otra persona refuerzan nuestro amor; (III) amor ermitaño (hermit), rechazamos nuestros propios sentimientos y los de la otra persona; y (IV) tímido narcisista (narcissistic nerd), nuestro amor es intenso pero nos hecha para atrás que la otra persona también nos ame. El modelo se basa en dos ecuaciones diferenciales acopladas para las variables 
Basándose en este modelo, Alhaji Cherif y Kamal Barley introducen un nuevo modelo de carácter estocástico que presenta una mayor diversidad de comportamientos dinámicos. Este modelo corresponde a una proceso de Markov continuo cuya tabla de transición aparece a la izquierda y que conduce a una ecuación diferencial estocástica en el sentido de Ito, de la forma
![dX_{1} =\left[-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} \right]dt-\sqrt{\alpha _{1} X_{1} } dW_{1} +\sqrt{\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} } dW_{2},](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=dX_%7B1%7D+%3D%5Cleft%5B-%5Calpha+_%7B1%7D+X_%7B1%7D+%2B%5Cbeta+_%7B1%7D+X_%7B2%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B2%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B1%7D+%5Cright%5Ddt-%5Csqrt%7B%5Calpha+_%7B1%7D+X_%7B1%7D+%7D+dW_%7B1%7D+%2B%5Csqrt%7B%5Cbeta+_%7B1%7D+X_%7B2%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B2%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B1%7D+%7D+dW_%7B2%7D%2C&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 "dX_{1} =\left[-\alpha _{1} X_{1} +\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} \right]dt-\sqrt{\alpha _{1} X_{1} } dW_{1} +\sqrt{\beta _{1} X_{2} \left(1-\varepsilon X_{2} ^{2} \right)+A_{1} } dW_{2},")
![dX_{2} =\left[-\alpha _{2} X_{2} +\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} \right]dt+\sqrt{\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} } dW_{3}-\sqrt{\alpha _{2} X_{2} } dW_{4}.](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=dX_%7B2%7D+%3D%5Cleft%5B-%5Calpha+_%7B2%7D+X_%7B2%7D+%2B%5Cbeta+_%7B2%7D+X_%7B1%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B1%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B2%7D+%5Cright%5Ddt%2B%5Csqrt%7B%5Cbeta+_%7B2%7D+X_%7B1%7D+%5Cleft%281-%5Cvarepsilon+X_%7B1%7D+%5E%7B2%7D+%5Cright%29%2BA_%7B2%7D+%7D+dW_%7B3%7D-%5Csqrt%7B%5Calpha+_%7B2%7D+X_%7B2%7D+%7D+dW_%7B4%7D.&bg=fafcff&fg=2a2a2a&s=0 "dX_{2} =\left[-\alpha _{2} X_{2} +\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} \right]dt+\sqrt{\beta _{2} X_{1} \left(1-\varepsilon X_{1} ^{2} \right)+A_{2} } dW_{3}-\sqrt{\alpha _{2} X_{2} } dW_{4}.")
El interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “
Laskar y Gastineau han simulado en un supercomputador todo el sistema solar, incluyendo la luna y la corrección postnewtoniada debido a la teoría de Einstein durante 5000 millones de años (han estudiado 2501 órbitas). La figura de la izquierda, arriba, muestra la excentricidad máxima de Mercurio cuando sólo se aplican las leyes de Newton a todos los planetas, y abajo el nuevo resultado relativista incluyendo la luna. En concreto son solo 201 órbitas en las que se ha variado sólo la posición de Mercurio, aletariomente, en un intervalo de [-380,380] cm (sí, has leído bien, centímetros). Un cambio tan pequeño y en 5000 millones de años las diferencias son enormes.
El láser ha revolucionado los últimos 50 años de tecnología. Es un tipo de luz de color muy puro (su espectro en frecuencia es muy delgado) y permite concentrar mucha energía en un solo color. Si queremos luz aparentemente blanca necesitamos tres fuentes láser, de colores rojo, verde y azul, siendo este último color el más caro tecnológicamente. El resultado parece blanco, pero en realidad es la suma de tres espectros de frecuencia delgados colocados alrededor de tres frecuencias (colores) dados. Por contra, la luz blanca del Sol es un espectro prácticamente plano para todas las frecuencias (colores) visibles. ¿Se puede construir un láser que genere luz blanca “solar”? Sí, gracias a un fenómeno no lineal llamado supercontinuo, descubierto a finales de los 1960 por Alfano y Shapiro.
La óptica no lineal reserva muchas sorpresas. Entre ellas que el supercontinuo se puede autogenerar incluso a partir de ruido, espontáneamente gracias a la inestabilidad de modulación, aunque en este caso se genera luz blanca incoherente (por contra a la luz láser blanca, que es coherente). ¿Podría controlarse este proceso espontáneo de alguna manera para que produjera luz coherente? Sorprendentemente sí, utilizando un pulso láser “semilla”, que “deriva” el supercontinuo incoherente generado espontáneamente a partir de ruido hacia un supercontinuo coherente. La gran ventaja de la coherencia, como en el caso láser, es qeu se se consigue mayor potencia (hasta 30 dB más en este caso). El trabajo es D. R. Solli, C. Ropers, B. Jalali, “
