El método más rápido para determinar el espín del bosón de Higgs

Hay un método para saber si la partícula descubierta en el LHC el 4 de julio es una partícula de espín cero escalar (0+), pseudoescalar (0-), o si tiene espín dos (2+), que se basa en un método ya propuesto para las colisiones en LEP. Como no, John R. Ellis y varios colegas han rescatado este método basado en la distribución de la masa invariante en las colisiones que producen un Higgs y un bosón vectorial W o Z, es decir, las colisiones pp→ZH, y pp→WH. Utilizando simulaciones por ordenador en PYTHIA y Delphes, estos físicos han mostrado que las colisiones acumuladas a fecha del 4 de julio podrían ser suficientes para decidir esta importante cuestión. Como es obvio, todavía el método no ha sido aplicado a datos reales. Según este artículo teórico, los datos actuales en el LHC7+LHC8 podrían presentar mucho ruido, pero los datos recabados por el Tevatrón (combinando DZero y CDF) serían suficientes. Lo que reafirma la enorme importancia de los datos de colisiones obtenidos por el Tevatrón en la búsqueda del Higgs. Por supuesto, habrá que esperar cierto tiempo hasta que los físicos experimentales apliquen este método a los datos reales de colisiones, aunque todo apunta a que en los próximos meses se podría decidir la cuestión del espín de la nueva partícula descubierta en el LHC  con una masa entre 125 y 126 GeV. El artículo técnico, para los interesados en los detalles, es John Ellis et al., “A Fast Track towards the `Higgs’ Spin and Parity,” arXiv:1208.6002, Subm. 29 Aug 2012.

PS (8 sep. 2012): Solo en el canal difotónico, con 25 /fb de colisiones en ATLAS y CMS, ya es posible determinar el espín del Higgs (separando espín cero de espín dos al menos a 5 sigmas) según el artículo de Alexandre Alves, “Is the New Resonance Spin 0 or 2? Taking a Step Forward in the Higgs Boson Discovery,” arXiv:1209.1037, Subm. 5 Sep 2012.

Un nuevo artículo sobre la física de la caída de un slinky

No tengo tiempo de presentar una discusión detallada de este artículo, que modela la física de la caída de un muelle poco rígido (o slinky) a un nivel de primer curso de física. La idea básica es que la parte de abajo del slinky no se mueve porque cae el centro de gravedad y mientras cae la parte inferior y la superior se acercan siguiendo la física de la propagación de ondas. Discutí sobre este asunto bastante con alguna gente y me ha gustado volver a releer estas ideas. Espero que los profesores de física interesados en ilustrar la caída del slinky a sus alumnos aprovechen este nuevo artículo de R. C. Cross, M. S. Wheatland, “Modeling a falling slinky,” arXiv:1208.4629, Subm. 22 Aug 2012.

Más información en este blog:

“Los problemas sencillos son los que más quebraderos de cabeza dan,” 12 octubre 2011.

“XXXII Carnaval Física: No se puede hacer más lento,” 21 junio 2012.

La mayoría de las reacciones metabólicas están catalizadas por enzimas generalistas, que reconocen diferentes sustratos

Las enzimas son proteínas que catalizan reacciones químicas logrando que la velocidad de la reacción crezca muchos órdenes de magnitud. Los libros de texto afirman que las enzimas son muy selectivas y están especializadas en catalizar una única reacción química con un sustrato específico. Sin embargo, el 65% de las reacciones químicas conocidas en el metabolismo de la bacteria Escherichia coli son catalizadas por solo el 37% de sus enzimas, que actúan como tales en varios sustratos, es decir, son generalistas y presentan varios sitios activos. Se publica un artículo en Science que trata de contestar por qué la evolución ha hecho que algunas enzimas sean “promiscuas” y otras muy “especializadas.” Su respuesta es el contexto in vivode la reacción química en la red metabólica a la que pertenece; este contexto parece ser la causa de que algunas enzimas hayan evolucionado hacia una alta especificidad. De hecho, las enzimas especializadas suelen ser esenciales, presentan un mayor flujo metabólico y para el control de dicho flujo requieren una mayor regulación de su actividad. Más aún, la existencia de gran número de enzimas generalistas es una propiedad conservada en todos los taxones de seres vivos, tanto en arqueas, como bacterias y eucariontes. No hay evidencia de una convergencia evolutiva general de las enzimas hacia la especialización; solo algunas presentan esta tendencia, mostrando que la presión de la selección natural intracelular también afecta a la evolución de las enzimas. El artículo técnico es Hojung Nam et al., “Network Context and Selection in the Evolution to Enzyme Specificity,” Science 337: 1101-1104, 31 August 2012.

La manera óptima de disfrutar un caramelo esférico

Hay físicos que parece que diseñan sus estudios buscando un Premio Ig Nobel. Tres investigadores de Graz, Austria, han estudiado la disolución de un caramelo esférico en la boca con objeto de determinar si es mejor romperlo en dos con los dientes o dejarlo intacto. Como es de esperar, lo mejor para que el caramelo dure más tiempo en boca es no partirlo. Sin embargo, la tasa de transferencia de masa es mínima en el caso de la esfera, luego romper el caramelo en dos permite disfrutar de una mayor cantidad de caramelo disuelto en la saliva. Qué opción es la más apetitosa es una cuestión de gustos, por supuesto. Los autores del estudio presentan un modelo elemental del proceso y lo comparan con resultados experimentales. Los interesados en los detalles disfrutarán de Andreas Windisch, Herbert Windisch, Anita Popescu, “Sticky physics of joy: On the dissolution of spherical candies,” arXiv:1208.5925, Subm. 29 Aug 2012.

El modelo de los autores es muy sencillo. Los caramelos son esferas de azúcar con radio, densidad y masa inicial constantes. Esta aproximación es buena durante la primera fase de la disolución del caramelo, como ha mostrado el estudio experimental, ya que éste mantiene su forma esférica mientras disminuye su radio, es decir, la tasa de transferencia de masa es constante, sea c. Por tanto,  dm/dt = -c S(m), donde m(t) es la masa del caramelo en el instante t, y S(m) es su área superficial. Esta ecuación permite obtener una variación dm/dt = -c A m^2/3, donde A es una constante que depende de la densidad del caramelo. La solución de esta ecuación diferencial es m(t) = (a – k t)³, donde a = m(0)^1/3 y k=A/3 (más detalles en el propio artículo). Este modelo está en buen acuerdo con los resultados experimentales, como muestra la figura, salvo para caramelos muy pequeños, de unos 2 mm de diámetro. Los autores creen que los fabricantes parten de un núcleo de este tamaño de alta densidad que rodean con caramelo de una densidad menor. Por tanto, el caramelo no es una esfera homogénea. La extensión del modelo matemático de los autores a este caso es muy sencilla y puede ser un bonito ejercicio para alumnos de primeros cursos de universidad (de física, por el modelo, o de matemáticas, por la solución de la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas).

El futuro de la física del bosón de Higgs

El descubrimiento del bosón de higgs es el final de la historia de su búsqueda y el principio de la historia de la física del bosón de Higgs. Su descubrimiento es el amanecer de una nueva era en la física de partículas porque hay muchas preguntas sobre la naturaleza del bosón de Higgs que necesitan respuesta. Por ejemplo, por qué el Higgs es tan ligero, con una masa de solo unos 100 GeV. La supersimetría y las dimensiones extra en el espaciotiempo son posibles soluciones a este problema. Si los neutrinos son partículas de Majorana (son idénticos a su propia antipartícula), entonces su pequeña masa no es debida al campo de Higgs; pero si son partículas de Dirac, tampoco sabemos por qué solo se observan neutrinos levógiros. Todo indica que hay física más allá del modelo estándar, pero no sabemos si el LHC será la máquina capaz de sacarla a la luz; por ello ya se está diseñando nuevas máquinas, como el ILC (Colisionador Lineal Internacional), aunque su financiación, en plena crisis económica, es una “tarea difícil.” La única solución es la globalización, lo que implica que el ILC no se construirá en Europa o EEUU; quizás en Japón, como nos lo cuentan Jon Butterworth, “Particle physics: Beyond the Higgs,” Nature 488: 581–582, 30 August 2012, y Matthew Chalmers, “After the Higgs: The new particle landscape. Physicists are planning the powerful accelerators they will need to study the Higgs boson and its interactions in detail,” Nature News, 29 August 2012.

Cuando pensar en sexo o tener un orgasmo provoca estornudos

Los estudios médicos de casos excepcionales son realmente curiosos y a veces no son tan excepcionales. Los británicos Mahmood F. Bhutta y Harold Maxwell documentaron en el Journal of the Royal Society of Medicine que el caso de un paciente que no podía parar de estornudar al pensar en sexo les llevó a estudiar este incómodo problema que también hay quien lo padece durante el orgasmo. Una situación realmente embarazosa que hace que muy pocos soliciten ayuda médica. Por sorprendente que parezca, el problema es más común de lo que te puedes imaginar. El acto reflejo de estornudar, que limpia las fosas nasales de partículas, material infeccioso y otros irritantes nasales, es un fenómeno que aún guarda muchos secretos.

El problema ya se documentó en el siglo XIX y un joven otorrinolaringólogo alemán, Fliess, amigo de Freud, desarrolló una teoría para explicar la neurosis nasal refleja; según él, las membranas de las mucosas nasales y los genitales estarían conectados porque ambas contienen tejido eréctil. Obviamente, fue ridiculizado por otros médicos de su época debido a estas ideas tan fantasiosas. Bhutta y Maxwell han idnetificado a 132 personas de ambos sexos con este problema (20 en un primer estudio y 112 en su secuela). Hay personas que no pueden evitar estornudar al mirar el sol, síndrome ACHOO (Alberto Alvarez-Perea, ”Cuando la luz provoca estornudos,” Xataka Ciencia, 2007), o después de comer.

La identificación de dos hermanos y un padre con este problema sugiere que en ciertos casos puede haber algún problema genético asociado y que esta molesta patología podría ser heredable. Los autores del estudio opinan que la causa podría ser una mala conexión neuronal en el sistema nervioso parasimpático, el que controla las funciones y actos involuntarios. La respuesta fisiológica que incita estos estornudos todavía es una incógnita por desvelar y hay otras hipótesis, como nos comentan en sus artículos técnicos Mahmood F. Bhutta, Harold Maxwell, “Sneezing induced by sexual ideation or orgasm: an under-reported phenomenon,” Journal of the Royal Society of Medicine 101: 587-591, 2008 [acceso gratuito] y en “Further cases of unusual triggers of sneezing,” Journal of the Royal Society of Medicine 102: 49, 2009 [también de acceso gratuito].

La fotografía que abre esta entrada está extraída de Carian Thus, “Embarrassing Conditions: When Sexual Thoughts Make You Sneeze Uncontrollably,” United Academics Magazine, August 7, 2012, visto en Tommaso Dorigo, “Yes, I have that twisted nerve too – I sneeze when I shouldn’t,” AQDS, August 26th, 2012. Las figuras con la presión faríngea durante un estornudo y su variación temporal están extraídas de W. Burke, “Why do we sneeze?,” Medical Hypotheses 78: 502-504, April 2012.

Descanse en paz, William P. Thurston (1946-2012)

El pasado 21 de agosto falleció de cáncer, a los 65 años de edad, el matemático estadounidense William P. Thurston (me he enterado al repasar las últimas entradas del blog gaussianos). Thurston es famoso por su extensión al caso tridimensional del teorema de geometrización (u homogeneización), uno de los resultados clave de la geometría del siglo XIX. Recuerda, toda variedad topológica bidimensional admite una estructura geométrica de curvatura constante (u homogénea), es decir, es una variedad diferenciable (o riemanniana) difeomorfa a la esfera (curvatura positiva igual a la unidad), al plano euclídeo (curvatura nula) o al plano proyectivo (curvatura negativa igual a menos uno). Por ejemplo, el toro admite una métrica homogénea que lo dota de curvatura nula. A principios de los 1970 parecía imposible extender este teorema a variedades tridimensionales, pero a finales de los 1970 se descubrió que las variedades de curvatura negativa eran menos salvajes de lo esperado; gracias al trabajo de Thurston toda la dificultad se concentró en las variedades de curvatura positiva, es decir, el dominio de la conjetura de Poincaré, la llamada conjetura de eliptización. Thurston recibió la Medalla Fields en 1982 por este trabajo. Como muchos ya sabéis, Grigory Perelman utilizó el flujo de Ricci con cirugía para demostrar la conjetura de geometrización de Thurston y como caso particular la conjetura de Poincaré (trabajo por el que se le premió con la Medalla Fields en 2006, aunque rechazó dicho galardón).

El trabajo clave de Thurston es “Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry,” Bull. Amer. Math. Soc. 6: 357-381, 1982. Explicar en detalle solo el enunciado del teorema de geometrización de Thurston-Perelman ya nos llevaría demasiado lejos. Muy brevemente podemos decir que toda variedad diferenciable tridimensional se puede descomponer (con una descomposición de esferas) en un conjunto de esferas y de subvariedades primas (aesféricas, que no son esferas), y que éstas se pueden descomponer a su vez  (con una descomposición de toros) en un conjunto de toros y de subvariedades irreducibles (atoroidales, que no son toros), y que éstas últimas, módulo ciertos grupos de simetría, pueden ser dotadas de métricas “homogéneas” de 8 tipos diferentes.

En persona dicen que Thurston dejaba a todos boquiabiertos por su conocimiento enciclopédico de geometría y topología diferencial, pero sus trabajos matemáticos fueron muy criticados por su falta aparente de rigor (por cierto, muy al estilo del trabajo de Perelman). La demostración de Thurston de 1982 para variedades de curvatura negativa contenía varios “agujeros” que Thurston no se molestó en rellenar, pues opinaba que su “esquema” de demostración era una demostración en toda regla, opinión contraria a la de muchos expertos. Finalmente, se rellenaron los “agujeros” en dos trabajos de otros autores en 1999 y 2000. Quizás por ello muchos expertos hablaban de la conjetura de geometrización como dos conjeturas en una, la de hiperbolización y la de eliptización. Cuando Perelman publicó en 2002 y 2003 su demostración de la conjetura de geometrización podemos afirmar que, por un lado, demostró de forma independiente el teorema de hiperbolización de Thurston y, por otro, demostró la conjetura de eliptización de Thurston, conjetura que es “casi” equivalente a la conjetura de Poincaré; por todo ello, el teorema de geometrización de variedades tridimensionales debe recibir el nombre conjunto de Thurston-Perelman, reservándose el nombre de teorema de Perelman para la conjetura de Poincaré.

También recibió la Medalla Fields en 1982 el padre del análisis geométrico, Shing-Tung Yau, por demostrar en 1977 la conjetura de Calabi, ahora llamada teorema de Yau (que demuestra la existencia de las variedades de Calabi-Yau). Según cuenta Yau, él fue quien le sugirió a Richard Hamilton en 1982 el uso del flujo de Ricci como vía de ataque para demostrar la conjetura de eliptización de Thurston. La demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré usa herramientas de análisis geométrico en la línea marcada por el programa de Hamilton-Yau, aunque incorporando algunas ideas revolucionarias (como el uso de herramientas para EDP hiperbólicas aplicadas a una EDP parabólica).

Más información en los blogs de Peter Woit y Terence Tao, en su universidad (Cornell), Scientific American, The New York Times, MacTutor, y muchos otros.

También os recomiendo su artículo “Mathematical Education,” Notices of the AMS 37: 844-850, 1990 [arXiv:math/0503081].

Un estudio a largo plazo en primates sobre las dietas bajas en calorías afirma que no tienen efecto sobre la longevidad

Hace más de 75 años que se sabe que las dietas bajas en calorías aumentan la esperanza de vida y mejoran la salud (aparente) de ratones y ratas. Sin embargo, un nuevo estudio, iniciado en 1980, afirma que este resultado no es extrapolable a primates y humanos. La restricción calórica en macacos Rhesus solo incrementa la longevidad del 0,1 % de los sujetos, comparado con los controles. Se dividieron los macacos en dos grupos, los jóvenes (entre 1 y 14 años de edad) y los viejos (entre 16 y 23 años de edad) y se sometió a la mitad de cada grupo a una dieta con una restricción calórica del 30%. La vida media de un macaco Rhesus es de 27 años (la edad de los dos que aparecen en esta fotografía). El estudio de Mattison et al. indica que los animales a dieta tienen una incidencia de cáncer y diabetes menor, pero un mayor riesgo de enfermedades cardiovasculares. Como resultado, ambos efectos parece que se compensan. Obviamente, el estudio no es concluyente pues el efecto de la composición de la dieta no puede ser descontado de los resultados. También hay que destacar que este estudio realizado por el NIA (National Institute on Aging) contradice un estudio previo realizado por el WNPRC (Wisconsin National Primate Research Center); sin embargo, dicho estudio no separó la mortalidad causada por los efectos de la edad de la debida a otras causas; según los autores del nuevo trabajo un reanálisis de sus datos ofrece conclusiones similares a las del nuevo artículo. Nos lo ha contado Steven N. Austad, “Ageing: Mixed results for dieting monkeys,” Nature, Published online 29 August 2012, que se hace eco del estudio de Julie A. Mattison et al., “Impact of caloric restriction on health and survival in rhesus monkeys from the NIA study,” Nature, Published online 29 August 2012.

PS (31 ago. 2012): Más información en Mitch Leslie, “Hungry Monkeys Not Living Longer,” Science NOW, 29 August 2012, que nos recuerda que dentro de 10 años se obtendrán información más fiable sobre estos estudios. La pena es que 10 años parece mucho tiempo.

PS (3 sep. 2012): Recomiendo la traducción de Kanijo, “La restricción de calorías no ayuda a largo plazo,” Ciencia Kanija, Sep 03, 2012 [Nature News].

Nota dominical: El experimento de Galileo en la torre de Pisa lo realizó Riccioli en la torre Asinelli de Bolonia

Descripción de Riccioli de su experimento en la torre Asinelli publicado en su libro Almagestum Novum (1651).

Muchos libros de texto de física relatan la leyenda del experimento que realizó Galileo Galilei (1564-1642) en la torre de Pisa, arrojando dos objetos, uno pesado y el otro ligero, para comprobar que ambos caían al suelo al mismo tiempo. No hay constancia histórica de que Galileo realizara dicho experimento. Sin embargo, el astrónomo y jesuita italiano Giovanni Battista Riccioli (1598-1671) realizó dicho experimento en 1644 en la famosa torre Asinelli de Bolonia, Italia, describiendo sus resultados en su obra enciclopédica Almagestum Novum (1651). El “archienemigo” de Galileo (gran parte de las 1500 páginas de esta obra son críticas a la obra del pisano) lo hizo para demostrar que Galileo había mentido en sus Diálogos. Sin embargo, al aplicar el método científico con rigor, acabó dándole la razón [1]. Su experimento en esta torre de 97,6 metros de altura logró medir la aceleración de la gravedad de forma directa, obteniendo un valor de 9,6 m/s², un valor increíblemente bueno para su época (su error es menor del 5%) [2]. Esta obra también incluye 77 argumentos en contra de que la Tierra se mueve, criticando el “Eppur si muove” de Galileo, aunque el rigor científico de Riccioli también le llevó a incluir 49 argumentos a favor [3]. Quizás conviene recordar a este gran científico jesuita.

Por cierto, Riccioli es famoso por los mapas de la Luna que incluyó en su Almagestum, donde introdujo la nomenclatura de “mares” utilizada en la actualidad (famosa desde que el Apolo 11 aterrizó en el Mare Tranquillitatis en 1969).

Riccioli describe sus experimentos en los títulos II y III del Capítulo XXVI del libro IX, Sección IV del segundo volumen de su Almagestum Novum, páginas 384-387 (tienes una traducción del latín al inglés en [1]). Su objetivo era demostrar que Galileo estaba equivocado, que los cuerpos más pesados caen antes y que era incorrecta la ley de Galileo que afirma que la aceleración de la gravedad es constante. En el título III, Riccioli dice que sospecha que Galileo no llevó a cabo los experimentos de caída de cuerpos que describe en sus Diálogos porque no le cuadran los resultados. En la página 164 de la versión en latín, dice Galileo que una bola de hierro de 100 libras romanas dejada caer desde una altura de 100 codos alcanza el suelo en 5 segundos. Sin embargo, los experimentos de Riccioli indican que una bola de arcilla de 8 onzas soltada desde 187 codos (280 pies) llega al suelo en solo 4,3 segundos. Según Riccioli, o Galileo no llegó a realizar nunca el experimento, o utilizó un “cronómetro” mal calibrado. Por eso, dedica el título II a describir su cronómetro frailesco.

Como cronómetro de precisión, Riccioli decidió contar las oscilaciones de péndulos bien calibrados. Él mismo se entrenó junto a dos frailes jesuitas, Francesco Maria Grimaldi y Giorgio Cassiani en el proceso de contar el número de oscilaciones del péndulo recitando (o cantando) en silencio los números del 1 al 10 en italiano vulgar (Vn, du, tri, quatr, cinq, sei, sett, ott, nov, dies) una y otra vez, contando las decenas con los dedos. El gran problema de estos cronómetros frailescos era el miedo, el terror a que una bola les cayera en la cabeza durante el experimento. Riccioli describe en el quinto experimento de su título II como realizó gran número de experimentos de prueba (con bolas de arcilla de ocho onzas) con objeto de lograr que los tres controlasen su miedo y ofrecieran una cuenta idéntica en todos los casos. Asegura Riccioli que sus dos colegas jesuitas llegaron a no presentar ninguna señal de sentir miedo y que nunca sufrieron daño alguno (aunque hubo ocasiones en que alguna bola estuvo a punto de causarles un buen disgusto). Las bolas de arcilla tardaban 26 oscilaciones del péndulo en caer desde una altura de 280 pies (unos 85 metros) en la torre de Asinelli (que corresponde a 4,3 segundos).

Riccioli no solo verificó las leyes de Galileo para la caída de los cuerpos, también estudió cómo frena la caída el rozamiento con el aire. Para ello realizó experimentos con bolas de diferentes tamaños y pesos, que describe en el título IV del Capítulo XXVI del libro IX, Sección IV del segundo volumen de su Almagestum Novum, páginas 387-389 (tienes una traducción del latín al inglés en [4]). Sus resultados están en buen acuerdo con un cálculo moderno, lo que nos da una buena del rigor científico con el que desarrolló sus experimentos.

Quizás, solo quizás, los profesores de física que cuenten a sus alumnos el experimento de Galileo también deberían mencionar la obra de Riccioli, al menos esta es la opinión bien fundada de Christopher M. Graney [2]. Opinión que yo comparto.

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[1] Christopher M. Graney, “Doubting, Testing, and Confirming Galileo: A translation of Giovanni Battista Riccioli’s experiments regarding the motion of a falling body, as reported in his 1651 Almagestum Novum,” arXiv:1204.3267, Subm. 15 Apr 2012.

[2] Christopher M. Graney, “Teaching Galileo? Get to know Riccioli! — What a forgotten Italian astronomer can teach students about how science works,” The Physics Teacher 50: 18-21, 2012 [arXiv:1107.3483].

[3] Christopher M. Graney, “126 Arguments Concerning the Motion of the Earth, as presented by Giovanni Battista Riccioli in his 1651 Almagestum Novum,” Journal for the History of Astronomy 43: 215-226, 2012 [arXiv:1103.2057].

[4] Christopher M. Graney, “Beyond Galileo: A translation of Giovanni Battista Riccioli’s experiments regarding falling bodies and “air drag”, as reported in his 1651 Almagestum Novum,” arXiv:1205.4663, Subm. 21 May 2012.

Francis se va de vacaciones hasta el 30 de agosto

Durante los próximos días estaré en un lugar donde no tendré conexión de internet. Solo hay programada una “Nota dominical.”

¿Cómo se puede saber el espín de la partícula descubierta el 4 de julio en el LHC del CERN?

En varios medios se ha destacado que aún no sabemos el espín de la partícula descubierta el 4 de julio de 2012 en el LHC del CERN es cero o dos; la desintegración de dicha partícula en dos fotones descarta que tenga espín uno, o espín semientero, pero aún no está confirmado que tenga espín cero (con una confianza estadística de al menos cinco sigmas). El bosón de Higgs predicho por el modelo estándar es una partícula neutra de espín cero, de tipo escalar (también las hay pseudoescalares), que se acopla al resto de las partículas de una forma muy concreta. Hay dos maneras de estudiar el espín de una partícula nueva. El camino fácil es estudiar en qué partículas se desintegra y en qué partículas no se desintegra; lo primero es más fácil que lo segundo, que requiere un gran número de colisiones. El camino difícil es estudiar la diferencia entre los ángulos de salida de los productos de desintegración para la partícula y para los eventos de fondo (ruido); este camino es difícil porque requiere un análisis muy técnico y delicado (llamado MELA), pero tiene la ventaja de que requiere analizar menos colisiones. El camino fácil nos los ilustró gráficamente muy bien Aidan Randle-Conde, “Spinning out of control!,” USLHC, Quantum Diaries, July 16th, 2012; el camino difícil lo discutió Richard Ruiz, “What Comes Next?,” USLHC, Quantum Diaries, July 3rd, 2012, y “What If It’s Not The Higgs?,” USLHC, Quantum Diaries, August 29, 2012.

La medida del espín de una partícula requiere proyectar dicho espín sobre cierto eje (o dirección en la que medimos). Un electrón tiene espín 1/2 y la medida de su espín en cierto eje permite obtener dos valores posibles  con espín +1/2 o -1/2. En general, una partícula con masa que tenga espín 1 (como un mesón J/ψ, o los bosones W y Z) puede tener tres estados de su espín proyectado sobre un eje +1, 0, y -1. Sin embargo, una partícula sin masa con espín 1 (como el fotón o el gluón) solo puede tener estados con espín +1 y -1. Por tanto, una partícula que se desintegra en dos fotones puede tener espín 0 = 1-1, o espín 2 = 1+1, pero no puede tener espín 1 ≠ 1 ± 1, o espín semientero.

El bosón de Higgs también se desintegra en parejas de fermiones, por ejemplo, dos quarks bottom (b) o dos leptones tau (τ), que son partículas de espín 1/2. Esta información puede usarse para descartar que el espín sea 2. Una partícula de espín 2 no puede desintegrarse en dos leptones tau, 2 ≠ 1/2 ± 1/2; la desintegración en dos quarks no nos sirve, porque suele ir acompañada de gluones, siendo posible la combinación 2 = 1/2 +1/2 + 1, como muestra la figura.

El camino difícil requiere aplicar la cinemática relativista, la ley de conservación del momento, para calcular el ángulo entre la trayectoria de los productos de desintegración y la trayectoria inicial de la partícula que se desintegra. Por ejemplo, en el caso de la desintegración del bosón de Higgs en un par de quark bottom (b) y antiquark bottom (bbar), la siguiente figura muestra la distribución de los ángulos en función del espín de la partícula para el caso de espín cero (figura izquierda) y espín dos (figura derecha). La diferencia está muy clara. Lo importante es que gracias a un análisis de este tipo se puede estudiar el espín de la partícula incluso si no hay colisiones suficientes para garantizar un descubrimiento en el canal bb.

El análisis MELA (Matrix Element Likelihood Analysis) se puede realizar para todos los modos de desintegración del Higgs (en especial los subcanales de los canales ZZ y WW), aunque el número de ángulos necesarios depende del número final de productos de desintegración. Por ejemplo, en el subcanal H → ZZ → 2e2μ, los cuatro leptones (dos electrones y dos muones) requieren especificar cinco ángulos, como indica la siguiente figura.

La ventaja de este tipo de análisis (repleto de trigonometría) es que permite diferenciar entre una partícula de espín cero escalar (0+) y pseudoescalar (0-). Para un Higgs con una masa de 125 GeV bastan unos 20 /fb de datos de colisiones para realizar esta distinción en el canal ZZ con 2 sigmas (siendo necesario 30 /fb para obtener unas 3 sigmas). Combinando varios canales, con unos 20 /fb de datos ya se pueden conocer estos detalles de la partícula descubierta el 4 de julio y confirmar si se trata el bosón de Higgs predicho por el modelo estándar o si no lo es.

Más información por ejemplo en “Yanyan Gao (Fermilab), “Property Measurements of Higgs-like Single Resonance at LHC MELA and Spin Hypothesis Separation,” July 15, 2012 [slides]; Markus Schulze et al., “MELA: Spin, parity, and couplings of a Higgs-like resonance,” March 28, 2012 [slides]; S. Bolognesi et al., “Determination of properties of a Higgs-like resonance at LHC: Separation of spin hypotheses,” ICHEP 2012 [slides].

El estado actual del LHC en el CERN

Hoy domingo a las 05:14 horas ha finalizado la inyección de protones Fill #2984 en el LHC del CERN, la de mayor luminosidad pico, ~7,4 × 10³³ /cm²/s, hasta el momento. Con una duración de 19 horas ha alcanzado una luminosidad integrada de 223 /pb, que casi ha alcanzado el récord obtenido por el Fill #2692, el 2 de junio, que alcanzó 237 /pb tras casi 23 horas de duración, con una luminosidad pico inicial de ~6,8 × 10³³ /cm²/s. Sin lugar a dudas en los próximos días asistiremos a nuevos récords de luminosidad. Información actualizada en LHC Performance and Statistics. Ahora mismo, ATLAS y CMS ya acumulan 11,54 /fb y 11,46 /fb, resp., con 1,15 /fb en LHCb [más info].

Como nos ha contado Steve Myers, “LHC operations and future plans,” CERN MAC (Machine Advisory Committee), August 16-17, 2012 [slides], el objetivo en 2012 es acumular suficientes colisiones para poder verificar que el bosón de Higgs observado este año es el predicho por el modelo estándar. En el anuncio del 4 de julio se había sobreestimado el número de colisiones necesarias para alcanzar 5 sigmas y de hecho ATLAS y CMS alcanzaron 5,9 y 5,8 sigmas, resp. Puede ocurrir que hubiera suerte y se haya disfrutado de una fluctuación estadística a favor. Quizás, incluso, a finales de este año haya una fluctuación en contra, con lo que no se puede asegurar cuántas colisiones serán necesarias para garantizar el descubrimiento del Higgs del modelo estándar. Steve Myers dice que si fuera estrictamente necesario, aún se podría retrasar más la parada larga (LS1) planificada para 2013.

Al ritmo actual se está produciendo unos 1,3 /fb a la semana, un número que está bastante bien. Sin embargo, ciertas partes de la máquina está sufriendo con la alta luminosidad pico que se está alcanzando. Por ejemplo, en la próxima parada técnica TS3 se reemplazará uno de los impulsores de la inyección (LHC injection kicker o MKI), en concreto el MKI8D (recuadrado en la figura), que ha presentado calentando en algunas inyecciones de protones por encima de los 62 ºC, la temperatura máxima de seguridad que evita que ciertos elementos de ferrita pierdan sus propiedades magnéticas (al alcanzar la temperatura de Curie).

La sustitución del MKI8D no está sujeta a ciertos riesgos que podrían retrasar la operación del LHC en la parte final de este año, pero se considera imprescindible. Por ejemplo, en la semana 24, hubo que retrasar el tiempo entre inyecciones para garantizar que MKI8D se enfriara convenientemente. El reemplazo de MKI8D, además de evitar problemas mayores, también tendrá múltiples beneficios pues sus prestaciones superarán con creces a las del actual (por ejemplo, se reducirán el número de UFOs provocados por los MKI).

Nota dominical: Abdus Salam y el premio Nobel que quizás no mereció

El premio Nobel de Física de 1979 para Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam y Steven Weinberg ha sido polémico por muchos motivos. Para algunos fue concedido de forma prematura cuando las pruebas a favor de la teoría electrodébil aún no eran concluyentes. Para otros, Abdus Salam no merecía haberlo recibido. Su artículo de 1968  sobre la teoría electrodébil, que le hizo merecedor del Nobel, fue escrito tras haber leído el artículo de 1967 de Weinberg. Además, dicho artículo no relacionó las masas de las partículas W y Z entre sí, como hizo Weinberg. Tampoco pasó por revisión por pares, pues fue publicado en las actas de un congreso. Más aún, se basa en un artículo previo junto a Ward en 1964 que presentaba una copia descarada del modelo que Glashow había presentado tres años antes. Y finalmente, su colaborador Robert Delbourgo afirma que él mismo fue quien llamó la atención de Salam sobre el artículo de Weinberg. Por todos estos argumentos, Frank Close considera que Abdus Salam no merecía el premio Nobel y nos lo cuenta en el capítulo 15, “Warmly admired, richly deserved,” de su último libro “The Infinity Puzzle: Quantum Field Theory and the Hunt for an Orderly Universe,” Basic Books, November 2011.

Cuando Salam defendió su tesis doctoral, uno de los miembros del tribunal, Rudolf Peierls, le preguntó si había alguna razón física para que el neutrino fuera una partícula sin masa. Salam le dijo que no la conocía. Peierls confesó que él tampoco. Pero Salam le dio vueltas a dicha idea y encontró una solución, la violación de la paridad; le ofreció a Peierls ser coautor, pero él declinó [1]. En 1971, Salam afirmaba por doquier que dicho trabajo era su mejor trabajo científico y que era un trabajo que merecía un premio Nobel.

En marzo de 1967, Tom Kibble (Imperial College), uno de los padres del mecanismo de Higgs en 1964, sugirió en un artículo [2] que habría que estudiar su aplicación a la teoría de Yang-Mills basada en SU(2)xU(1). Se cree que Weinberg empezó a trabajar en ello tras leer dicho artículo. Por lo que cuenta Frank Close en su libro, Kibble le propuso personalmente a Salam que también lo hiciera; de hecho, siempre llamó “mecanismo de Higgs-Kibble” a la rotura espontánea de la simetría.

Salam impartió tres conferencias en el Imperial College durante el otoño de 1967 sobre el tema. No se sabe casi nada de estas charlas, que aún siguen siendo un gran misterio. Asistieron entre 3 y 5 personas, nadie tomó notas y nadie recuerda lo que contó, pues estos temas eran muy exóticos en esta época. Kibble no pudo asistir porque estaba de sabático en EEUU. Robert Delbourgo asistió, pero no tomó notas, ni recuerda su contenido, aunque sospecha que debió ser similar al del artículo de Weinberg, porque cuando apareció dicho artículo se lo enseñó a Salam y éste le dijo que Weinberg había seguido sus mismos pasos.

La fecha de las charlas de Salam no la sabe nadie, pero Frank Close cree que debieron ser entre el 5 y el 21 de octubre de 1967. El 2 de octubre, Weinberg contó el artículo que estaba escribiendo en una conferencia Solvay en Bruselas, envió dicho artículo al finalizar dicha conferencia [4]. ¿Conocía Salam el contenido del trabajo de Weinberg antes de impartir sus charlas? Frank Close no pone la mano en el fuego.

Salam impartió un conferencia en 1968 en el 8th Nobel Symposium en Göteborg donde revisó su trabajo previo con Ward sobre el modelo SU(2)xU(1), añadiendo unos breves comentarios afirmando que la rotura espontánea de la simetría era el ingrediente que le faltaba a dicho modelo para ser una teoría viable. Se cree que esta charla fue la que le colocó en la antesala del premio Nobel. En el correspondiente artículo [3] en las actas (Proceedings) de dicho congreso citó solo tres referencias y una de ellas era el artículo de Weinberg de 1967 [4].

En enero de 1978, un famoso artículo de David Bailin y Norman Dombey sobre la teoría electrodébil apareció en la revista Nature [5]. Dicho artículo solo habla del “modelo de Weinberg,” citando el artículo de Weinberg en 1967, el de Glashow de 1961 y el Salam y Ward de 1964, pero no aparece ninguna mención a las contribuciones de Salam en 1967, o en 1968.

Una conferencia que nadie recuerda y un artículo en un congreso que cita el trabajo previo de Weinberg, ¿son suficientes para merecer un premio Nobel? ¿Cómo pudo recibir Salam un premio Nobel por una contribución tan escasa? Paul Matthews, amigo y colaborador de Salam, envió en 1976 una carta a Ivar Waller, presidente del Comité Nobel de Física, “confirmando” que había asistido a las tres conferencias de Salam, que habían tenido lugar antes de la publicación del artículo de Weinberg y que habían presentado la misma teoría. Además, Tom Kibble nominó a Salam para el Nobel de 1979 glosando sus virtudes y omitiendo cualquier referencia a su propio papel.

¿Mereció Abdus Salam el premio Nobel de Física de 1979? ¡Y a quién le importa!

[1] Abdus Salam, “On parity conservation and neutrino mass,”Il Nuovo Cimento 5: 299-301, 1957.

[2] T. W. B. Kibble, “Symmetry Breaking in Non-Abelian Gauge Theories,” Phys. Rev. 155: 1554–1561 (1967).

[3] Abdus Salam, “Weak and electromagnetic interactions,”in ”Elementary Particle Theory. Relativistic Groups and Analyticity,” Proceedings of the 8th Nobel Symposium, ed. N. Svartholm, Almquist and Wiksel, Stockholm, pp. 367-377 (1968) [reimpreso en la página 244 del libro "Selected Papers of Abdus Salam," World Scientific, 1994].

[4] Steven Weinberg, “A Model of Leptons,” Phys. Rev. Lett. 19: 1264–1266 (1967).

[5] David Bailin, Norman Dombey, “SU(2)xU(1): A gauge theory of weak interactions?,” Nature 271: 20-23, January 1978.

Aún no sabemos si el bosón de Higgs descubierto en el LHC es el predicho por el modelo estándar

Confirmar que el bosón de Higgs observado en ATLAS y CMS del LHC en el CERN con una masa de unos 125 GeV/c² es realmente la partícula predicha por el modelo estándar requiere verificar que se acopla a fermiones y bosones como predice la teoría, es decir, que su tasa de desintegración en diferentes canales es la predicha por el modelo estándar. El cociente entre la tasa observada y la predicha µ, combinando todos los canales disponibles ahora mismo (H → γγ, H → ZZ∗ → 4ℓ, H → WW∗ → ℓνℓν, H → ττ) conduce en ATLAS a µ = 1,40 ± 0,30 y en CMS a µ = 0,87 ± 0,23, lo que nos da un valor compatible con µ = 1. Lo interesante, obviamente, es medir este valor en cada canal, pues los impostores del Higgs pueden diferir solo en ciertos modos de desintegración. Abajo tenéis una tabla resumen, aún muy incompleta, pues se han estudiado pocos canales; en esta tabla destaca el valor del canal difotónico, ligeramente por encima del valor esperado. A finales de año habrá nuevos datos en canales tan importantes como H → bb, y H → Zγ, y durante el verano próximo quizás incluso en el muy raro H → μμ. Aún así, para estar completamente seguros, habrá que esperar a que se acumulen unos 100 /fb, es decir, hasta finales de 2016, según nos informa Abdelhak Djouadi, “Precision Higgs coupling measurements at the LHC through ratios of production cross sections,” arXiv:1208.3436, Subm. 16 Aug 2012.

Las tres clases de supernovas superluminosas

Las supernovas superluminosas (SLSNe) se caracterizan por una luminosidad pico mayor de 7 × 10⁴³ erg/s. Un nuevo artículo de Avishay Gal-Yam (Weizmann Institute) clasifica estas supernovas en tres tipos: SLSN-I, SLSN-II y SLSN-R. Las de tipo SLSN-II radian fotones que provienen de sus capas externas, ricas en hidrógeno, que ha sido depositado allí por las fuertes ondas de choque de la explosión. Las más raras son las de tipo SLSN-R, que son pobres en hidrógeno y presentan un alto contenido en ⁵⁶Ni radiactivo. El tercer tipo son las SLSN-I que también son pobres en hidrógeno, pero no presentan un grado significativo de radioactividad. El artículo técnico para los interesados en más detalles es Avishay Gal-Yam, “Luminous Supernovae,” arXiv:1208.3217, Subm. 15 Aug 2012 (como el artículo está embargado por haber sido aceptado en Science, la figura la he extraído de Shlomo Dado, Arnon Dar, “Super Luminous Supernova and Gamma Ray Bursts,” arXiv:1207.3630, Subm. 16 Jul 2012).

Las SLSNe todavía no tienen una explicación física consensuada. Una de las hipótesis más sugerentes es que resultan de la explosión de estrellas de quarks, las llamadas “quarknovas” (o quark novae). Esta hipótesis explica bastante bien ciertas características de las SLSN-II, aunque aún no está confirmada. Las estrellas de quarks son estrellas de materia extraña, similares a las estrellas de neutrones pero con un alto contenido de quarks s (o quark extraño). Ciertos cálculos apuntan a que la materia extraña es muy estable y podría formar estrellas. Sin embargo, repito, la opinión oficial de muchos expertos en supernovas es que no hay que recurrir a objetos tan exóticos como las estrellas de quarks para explicar las SLSNe. Más información sobre esta sugerente hipótesis en Mathew Kostka et al., “Quark Nova Signatures in Super-luminous Supernovae,” arXiv:1206.7113, Rachid Ouyed, Jan E. Staff, “Quark-Novae in Neutron Star-White-Dwarf Binaries: A model for luminous (spin-down powered) sub-Chandrasekhar-mass Type Ia Supernovae?,” arXiv:1111.3053, y Amir Ouyed et al., “A Spallation Model for 44Ti production in Core Collapse Supernovae,” arXiv:1208.1130.

Sobre el número de neutrinos según las medidas cosmológicas

La medida más reciente de la constante de Hubble, obtenida a partir de los datos del Hubble Space Telescope (HST) Key Project, ha reducido su error a solo el 2,8%, en concreto, H0 = 74,3 ± 2,1 km/s/Mpc. Este valor en combinación con otros datos cosmológicos apunta a que la ecuación de estado de la energía oscura es w = -1,08 ± 0,10, que el universo es plano Ωk = 0,007 ± 0,007, que la materia constituye el (27,8 ±  1,8) % y que el número efectivo de partículas relativistas es Neff = 4,13 ± 0,67. Este número difiere en dos sigmas del número de neutrinos medido en los experimentos de física de partículas, Neff = 3,05. El satélite Planck confirmará o refutará a principios de 2013 este resultado cosmológico. De hecho, fijando Neff = 3, se obtiene w = −1,38 ± 0,24. En estos cálculos se considera que la densidad de neutrinos (partículas relativistas sin masa) está relacionada con la densidad de fotones mediante la fórmula ρ(ν) = 0,2271 Neff ρ(γ). El resultado depende de si se toman o no hipótesis adicionales, como que el universo es plano (Ωk = 0) o que la ecuación de estado para la energía oscura es w = −1. La tabla de abajo muestra algunos de estos resultados. En la actualidad no se puede afirmar que estos datos cosmológicos apunten a la existencia de cuatro especies de neutrinos pues la incertidumbre todavía es muy alta. Más información en el artículo técnico Wendy L. Freedman et al., “Carnegie Hubble Program: A Mid-Infrared Calibration of the Hubble Constant,” arXiv:1208.3281, Subm. 16 Aug 2012.

PS (4 oct. 2012): Este resultado ha vuelto a ser noticia por la aceptación del artículo en The Astrophysical Journal 758: 24, October 1, 2012. Puedes consultar ”NASA’s Infrared Observatory Measures Expansion of Universe,” News, NASA, Oct. 3, 2012; “Measuring the Expansion of Universe – A Newly Refined Value for the Hubble Constant,” SciTechDaily, Oct. 4, 2012; y ”Expansion of Space Measurement Improved,” Carnegie Institution for Science, Oct. 3, 2012.

Si imaginas el electrón como una pequeña bolita, por qué no imaginas igual al bosón de Higgs

Me resulta realmente curioso que mucha gente imagine el electrón como una pequeña bolita cargada que gira sobre sí misma, pero que se imagine el bosón de Higgs como una “cosita” alargada, como un pequeño diagrama de Feynman. El bosón de Higgs es un partícula puntual, como lo es el electrón. ¿Por qué no se imagina la gente el bosón de Higgs como una pequeña bolita? No tengo ni idea, pero obviamente, ni el electrón es una bolita pequeña cuyo radio tiende a cero hasta hacerse puntual, ni el bosón de Higgs lo es. Permíteme un pequeño comentario al respecto.

Lo primero, qué es un electrón. No, no es una bolita pequeñita y cargada que gira sobre sí misma. Ni siquiera en el límite de radio tendiendo a cero. Los físicos creemos que el electrón es una excitación (fluctuación o vibración) localizada del campo electrón. El campo electrón permea todo el espaciotiempo (algunos físicos dicen que el vacío del campo electrón permea todo el universo, pero es lo mismo). Las excitaciones del campo electrón en las regiones donde no hay ningún electrón (el vacío) se llaman partículas virtuales (en ciertas circunstancias pueden convertirse en partículas, pero no son partículas). Como el electrón tiene una antipartícula llamada positrón, estas excitaciones virtuales son pares electrón-positrón virtuales. Sabemos que existen y hemos medido sus efectos (por ejemplo, afectan a los niveles atómicos de los electrones en los átomos). Ahora bien, por qué hay un número finito de electrones en el universo. Pues porque el Big Bang produjo un número finito de excitaciones localizadas tipo partícula electrón y como esta partícula es estable y no puede desintegrarse en nada, dichas excitaciones localizadas o partículas se han conservado hasta hoy en día.

Ahora podemos pasar al bosón de Higgs. ¿La gente se imagina el Higgs como una bolita pequeñita y neutra que no gira sobre sí misma? Mucha gente rehuye de esta imagen, pero como en el caso del electrón, no es eso. Los físicos creemos que el bosón de Higgs es una excitación (fluctuación o vibración) localizada del campo de Higgs. El campo de Higgs permea todo el espaciotiempo (algunos físicos dicen que el vacío del campo de Higgs permea todo el universo, pero es lo mismo). Las excitaciones del campo de Higgs en las regiones donde no hay ningún bosón de Higgs (el vacío) se llaman partículas virtuales; como el bosón de Higgs es idéntico a su antipartícula, estas excitaciones virtuales son bosones de Higgs virtuales. Sabemos que existen y resulta que las partículas masivas tienen masa porque interaccionan con estos Higgs virtuales (adquieren masa al interaccionar con el vacío del campo).

Por qué no hay Higgs por todos lados y su masa total no afecta a la densidad de masa-energía total del universo. Muy sencillo, el Higgs es una partícula con mucha masa y por tanto inestable, desintegrándose casi instantáneamente en partículas de menor masa (lo mismo le pasa al quark top y a las demás partículas con masa grande). Por ello, en el universo entero no hay ninguna excitación localizada estable de tipo partícula de Higgs. Para poder observar una partícula del campo de Higgs hay que excitar el campo con mucha energía (en una colisión protón-protón del LHC, por ejemplo) y la excitación resultante es inestable y se desintegra en unas billonésimas de billonésima de segundo en otras partículas (excitaciones de otros campos).

Desde el punto de vista de la teoría de campos no hay diferencia significativa en la relación entre la partícula llamada electrón y el campo electrón (que tiene cuatro componentes en dos parejas) y la relación entre el bosón de Higgs y el campo de Higgs (que a baja energía tiene una sola componente). Obviamente, uno tiene carga y el otro es neutro, uno es estable y el otro inestable. Pero conceptualmente tan partícula es uno como el otro. Si alguien afirma que “entiende” o intuye o se imagina qué es un electrón, debe también entender o intuir o imaginarse qué es un bosón de Higgs.

Yo sé que entender qué es un vacío cuántico y por qué es un “mar” repleto de partículas virtuales es difícil, pero no hay diferencia conceptual, repito, entre el vacío del campo electrón y el vacío del campo de Higgs. El segundo no es más misterioso que el primero. Aunque ambos son muy misteriosos para quien quiere verlos desde un punto de vista clásico.

Espero haber ayudado algo. Pido perdón si lo he complicado aún más.

Por qué las peces se agrupan en pequeños bancos para defenderse de sus predadores

Los animales que se mueven en grupo (rebaños, bandadas de pájaros, bancos de peces) lo hacen porque obtienen beneficios. Un estudio publicado en Science basado en peces ha demostrado que los pequeños grupos de peces reducen el riesgo de ser depredados porque confunden al depredador a la hora de estimar el movimiento de sus presas. El predador, antes de atacar, estima la trayectoria de la presa. Los peces individuales tienen una trayectoria mucho más simple (menos tortuosa) que los peces en un grupo pequeño (que cambian mucho más de orientación). Esta pequeña gran diferencia parece responsable de que los predadores cometan muchos más fallos de caza al atacar un grupo de presas que cuando atacan a una presa invidual. Este vídeo lo ilustra bastante bien con una perca (Lepomis macrochirus). El artículo técnico es C. C. Ioannou, V. Guttal, I. D. Couzin, “Predatory Fish Select for Coordinated Collective Motion in Virtual Prey,” Science, Published Online August 16 2012.

Atención, pregunta: ¿Conocía Hipatia de Alejandría los números negativos?

En la época en la que vivió Hipatia de Alejandría, los números negativos eran conocidos por los chinos y por los hindúes. Sin embargo, Diofanto de Alejandría no los conocía y pensaba que ecuaciones como 4 = 4 x + 20 eran absurdas (o falsas), ignorando la solución x = -4. No hay ninguna prueba documental que demuestre que Hipatia conociera los números negativos, pero tampoco hay ninguna en contra. Lanza al aire la duda Marek Abramowicz en “Niezwykła uroda równań Diofantosa” [pdf en polaco], una revisión del libro de Maria Dzielska, “Hypatia Z Aleksandrii,” que en español se ha editado como “Hipatia de Alejandría,” Ediciones Siruela, 2004. Nos lo cuentan Marek Abramowicz, Anna Cetera, “Did Hypatia Know about Negative Numbers?,” arXiv:1208.3274, Subm. 16 Aug 2012.

Conexión, curvatura y la geometría diferencial de las teorías de Yang-Mills

Volviendo la hilo que estaba siguiendo, resumo lo anterior. Las teorías de Yang-Mills son la versión no lineal de las ecuaciones de Maxwell, donde “no lineal” quiere decir que las excitaciones del campo tipo partícula pueden interaccionar entre sí (algo imposible en el electromagnetismo). Para especificar una teoría de Yang-Mills se necesita especificar una conexión en un fibrado y una métrica en su espacio base (el espaciotiempo). El grupo de estructura del fibrado representa las simetrías “internas” del campo, es decir, las transformaciones geométricas que se pueden aplicar a las componentes del campo sin que cambie la física descrita por dicho campo. Se llama “internas” a estas simetrías porque no afectan a los puntos del espaciotiempo (como las transformaciones de Lorentz y Poincaré). A estas transformaciones geométricas “internas” se les llama transformaciones gauge y a las teorías de Yang-Mills también se les llama teorías de campo gauge.

El párrafo anterior se puede repetir con símbolos matemáticos. Un campo de Yang-Mills es una conexión en un fibrado principal cuyo espacio base es el espacio de Minkowski en 4D, sea , y cuyo grupo de estructura (que coincide con el espacio de fibras) es un grupo de Lie, sea , con álgebra de Lie (recuerda que el álgebra de Lie es el espacio tangente a cada punto del grupo de Lie); la importancia del álgebra es que permite tratar de forma lineal las transformaciones no lineales del grupo, luego es más fácil cuantizar objetos que “viven” en el álgebra que en el grupo, pues la física cuántica es “intrínsecamente” lineal. En física, el fibrado principal se considera trivial , lo que significa que se asocia a cada punto del espaciotiempo una transformación geométrica “interna” del grupo que actúa sobre los campos definidos en dicho espaciotiempo.

El potencial del campo de Yang-Mills, la conexión, es una 1-forma , que a cada punto del espaciotiempo le asigna un elemento del álgebra de Lie; usando una base del álgebra, podemos escribir , donde se ha usado el convenio de suma de índices repetidos de Einstein, ,  son las coordenadas (locales) en el espaciotiempo , y ,  son los elementos de una base (también llamados generadores) del álgebra ; recuerda que los generadores del grupo se obtienen exponenciando los del álgebra.

Una teoría de Yang-Mills es una teoría gauge porque la intepretación física de se realiza módulo la acción del grupo (la aplicación de una transformación del grupo no afecta a la física). En concreto, si aplicamos una transformación arbitraria del grupo a cada punto del espacio, sea la matriz que la representa en la representación adjunta del grupo, los generadores del álgebra se transforman como , lo que induce una transformación gauge en el campo , pero la física descrita por y es exactamente la misma. Un estado físico de la teoría es una clase de equivalencia de los potenciales del campo bajo transformaciones gauge.

Los físicos derivan las ecuaciones del campo a partir de un principio variacional de acción extrema. La acción del campo de Yang-Mills viene determinada por la curvatura, una 2-forma con valores en  dada por , donde , y  son las constantes de estructura del álgebra , es decir, . En la literatura físico-matemática es habitual escribir (usando el lenguaje de las formas diferenciales).

Una transformación gauge no solo afecta a los potenciales, sino también a los campos vía la curvatura . Como la física (los campos y sus ecuaciones) tienen que ser invariantes ante transformaciones gauge, las ecuaciones del campo que se deducirán de aplicar un principio de “mínima” acción exigen que la acción se defina utilizando una expresión invariante gauge. En la teorías de Yang-Mills se utiliza la expresión más obvia, la 4-forma , donde es el dual de Hodge de  respecto a la métrica (aquí se ve como determinar la acción del campo requiere especificar una métrica); recuerda que esta expresión matemática contiene derivadas hasta el segundo orden de . La acción del campo en forma integral toma la forma

,

donde la constante positiva  es un parámetro adimensional llamado constante de acoplamiento.

Quizás conviene que comprobemos que la constante de acoplamiento es adimensional. Recuerda, en general, la dimensión de una magnitud física es el producto de las tres unidades fundamentales de longitud , tiempo y masa . Cuando se usan unidades en las que la velocidad de la luz y la constante de Planck , lo habitual en física teórica, tanto los tiempos como las masas se miden en unidades de longitud (en concreto, y ). Se comprueba fácilmente que la dimensión de la conexión (el potencial) es , la de la curvatura (los campos) es , y obviamente la de elemento de espaciotiempo , con lo que si la acción es adimensional también lo es .

La constante de acoplamiento adimensional es una propiedad en 4D y no es verdad en 3D, donde , implica que , ni en 2D, donde , implica que . Por tanto, en 2D y 3D la constante de acoplamiento tiene unidades de longitud, o de masa, y aparece de manera natural un parámetro de masa en la teoría de Yang-Mills; sin embargo, en 4D es adimensional y la teoría no tiene ningún parámetro de masa, luego en la teoría clásica no existe ningún “salto de masa” y cualquier versión cuántica de la teoría a nivel perturbativo (es decir, una aproximación en serie de potencias de la constante de acoplamiento) tampoco puede tener ninguno. Sin embargo, la versión cuántica de la teoría puede mostrar un “salto de masa” si de forma dinámica aparece un parámetro de masa, por ejemplo debido al efecto de términos no lineales como .

La ecuaciones para el campo clásico de Yang-Mills son ecuaciones hiperbólicas (ecuaciones de onda). En la teoría cuántica constructiva o axiomática se utiliza una transformación de Wick (que vuelve el tiempo complejo ) para transformar el espacio de Minkowski en un espacio euclídeo y obtener ecuaciones elípticas (ecuaciones de campo) para el campo. Siguiendo esta filosofía la acción del campo se escribe

,

que no afecta a la física descrita (pues la transformación de Wick se puede deshacer fácilmente) y facilita enormemente el análisis matemático del problema.

El comportamiento de las soluciones de un problema elíptico depende del tipo de singularidades que presenten. Si la curvatura no presenta singularidades y es de cuadrado integrable, , entonces el campo es autodual  y las soluciones del campo son de tipo solitón (llamadas en este contexto “instantones”). Se ha conjeturado que las ecuaciones de Yang-Mills autoduales son integrables (lo que permitiría escribir la expresión general de sus soluciones y realizar una cuantización directa), pero no está demostrado. Sin embargo, en física, se da el caso complicado, la curvatura no es de cuadrado integrable y presenta singularidades, y $latex F^{*}\neq\pm{F}$. Las singularidades pueden ser un conjunto finito de puntos aislados (soluciones llamadas “merons”), una curva unidimensional (soluciones llamadas “líneas de carga”), o superficies bidimensionales (soluciones llamadas “vórtices”). El análisis matemático detallado de todas estas soluciones es un problema abierto.

La manera más directa para un físico de realizar la cuantización de una teoría de Yang-Mills es utilizar una integral funcional de caminos; en ejemplos sencillos se ha demostrado que es equivalente a utilizar cualquier otro tipo de cuantización. Sin embargo, para el matemático este método está plagado de dificultades y se requiere el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas para entender estas integrales de forma rigurosa. El problema del milenio requiere desarrollar estas herramientas. De hecho, todos los libros y artículos de revisión sobre la teoría constructiva o axiomática de campos cuánticos (como el libro de Glimm y Jaffe, o los trabajos de Balaban o Rivasseau) omiten considerar las teorías de Yang-Mills pues prácticamente no hay nada que contar, más allá de un sinnúmero de dificultades.

En términos generales, la integral de caminos conecta los estados asintóticos de las partículas lejos del lugar de su interacción, antes y después de ésta, mediante la acción del campo. Los estados asintóticos son solución de las ecuaciones linealizadas del campo y describen las partículas del campo como partículas “libres” (algo que a los físicos no les gusta cuando se aplica a los “gluones” ya que estos estados “libres” no son observables como tales), llamémosles  y . Obviamente, estos estados “libres” sufren correcciones debidas a la autointeracción del campo no lineal de Yang-Mills (la interacción de estas partículas “libres” con el vacío las reviste y las confina impidiendo que sean observables).

Volviendo a la matemática, la integral funcional de caminos toma la forma

,

donde es la acción clásica del campo (que incluye otra integral en su definición). No hay una teoría rigurosa de las integrales de camino que nos permita lidiar con estos objetos tan complicados, a lo más podemos hacerlo con las gaussianas (las que tienen como integrando una exponencial de una forma cuadrática). Además, hay que factorizar el efecto de la simetría gauge en la métrica del espacio de conexiones , ya que solo hay que integrar utilizando las clases de equivalencia de las conexiones, las órbitas del grupo, es decir, todas las conexiones que se pueden obtener unas a partir de las otras utilizando las transformaciones del grupo conducen a la misma física y solo se deben contar una sola vez en la integral.

Para obtener un integrando gaussiano, siguiendo los pasos de la técnica de Fadéev y Popov, también introducida por ‘t Hooft, se puede realizar un cambio de variable de integración a , donde describe el efecto de las condiciones de contorno o estados asintóticos “libres” (normalmente se escribe ), tiene condiciones de contorno nulas y es la constante de acoplamiento. Utilizando este cambio de variable, se puede factorizar de la métrica en el espacio de conexiones la parte correspondiente a las órbitas del grupo, ya que el funcional es constante a lo largo de estas órbitas. Nótese que, fijado , una transformación gauge conduce a .

No quiero entrar en detalles muy técnicos, solo quiero mostrar dónde puede aparecer un parámetro con unidades de masa en la teoría. Gracias al cambio de variable anterior se puede obtener una integral gaussiana para que permite obtener los propagadores de las partículas (los “gluones” libres) de la teoría. Para dar sentido a dicha integral hay que regularizarla introduciendo un valor de corte, es decir, substituyendo una integral infinita por ; para la dependencia respecto a y debe desaparecer en los resultados finales obtenidos, algo que solo ocurrirá si la teoría es renormalizable (ésta es una de las definiciones de renormalizabilidad). La primera integral diverge logarítmicamente como . El parámetro tiene unidades de longitud, es decir, de masa y en la literatura física a veces se escribe , donde corresponde a la “masa” de las partículas “libres” de la teoría.

Un cálculo detallado (ver los detalles en las referencias de más abajo), conduce a

,

donde es el valor del operador de Casimir del grupo en su representación adjunta y se han omitido correcciones de orden superior. Sin entrar en más detalles de teorías cuánticas de campos, lo importante de esta expresión para es la aparición de un parámetro dimensional . El problema del “salto de masa” está relacionado con la posibilidad (bastante razonable a la vista de esta expresión) de que los estados asintóticos de las partículas (descritos por ) dependan del parámetro de forma explícita y por tanto correspondan a partículas con masa (aunque no le guste a un físico, los “gluones” de la teoría serían partículas con masa).

Obviamente, en QCD, el confinamiento de los gluones hace que los estados asintóticos “libres” tengan que ser neutros respecto a la carga de color, las llamadas glubolas (“glueballs”). No se debe confundir esto con el problema del salto de masa que describe estados de la teoría que no pueden ser observados. Ya hablé de la confusión típica entre los físicos de hablar de “salto de masa” para las glubolas, cuya masa es mayor que la de un protón (un gigaelectrónvoltio). En el problema del milenio, el salto de masa no puede superar la escala de energía de confinamiento, , que ronda los 270 megaelectrónvoltios, y las estimaciones hablan de valores incluso muchísimo más pequeños.

La masa de las partículas de la teoría (los “gluones” no confinados) corresponde al espectro del operador hamiltoniano (u operador de energía) de la teoría y si existe el salto de masa se puede demostrar que dicho espectro será , donde el valor corresponde a la energía del vacío, el valor a la masa de los “gluones” libres de la teoría y aparece un espectro continuo de energía a partir del valor . Si no existe el salto de masa, algo de lo que dudan pocos expertos, pero que hasta que no se demuestre lo contrario es una posibilidad que no podemos descartar de forma rotunda, el espectro sería , exactamente el mismo que en la teoría clásica de Yang-Mills (los “gluones” no confinados podrían tener una energía arbitraria). El salto de masa es una propiedad genuínamente cuántica que no aparece en la teoría clásica.

Toda esta derivación “formal” es conocida desde los 1970, pero nadie sabe cómo realizarla de forma matemáticamente rigurosa. Por un lado, hay que demostrar que la integral de caminos es un objeto bien definido, lo que requiere una construcción rigurosa de la medida en el espacio de conexiones, es decir, de un objeto aparentemente tan trivial como . Una vez logrado hay que determinar el espectro de la teoría resultante y comprobar si el operador de energía (el generador de las traslaciones en el tiempo) presenta un salto de masa en su espectro.

Definir la medida en el espacio de conexiones en una teoría en redes (lattice Yang-Mills) es fácil pero no se sabe obtener su límite continuo o límite para volumen infinito. Este es un posible camino para resolver el problema del milenio, aunque ahora mismo no hay “buenas ideas” sobre cómo llevarlo a cabo. Tampoco se sabe si una versión rigurosa del procedimiento formal esbozado más arriba conducirá a una solución del problema (de hecho, la mayoría los expertos opina que esto no se puede hacer y que hay que partir de ideas completamente nuevas). La situación actual del problema del salto de masa es que no hay ningún camino abierto que parezca prometedor. Mucha gente opina que es uno de los problemas del milenio más difíciles, sino el más difícil.

El salto de masa (la masa de los gluones) es un fenómeno no observado en la Naturaleza debido al efecto del confinamiento, es decir, existen efectos cuánticos que impiden que se observen en la Naturaleza estados libres de los gluones con masa. Por ello, el problema del salto de masa está relacionado con el confinamiento porque su efecto no es observable debido al confinamiento. Sin embargo, esta relación no se puede explotar porque tampoco existe una teoría matemática rigurosa que explique el confinamiento; de hecho, no se sabe si tal teoría ayudará a resolver este problema al permitir separar su efecto o no. La mayoría de los expertos opina que no es una buena vía de ataque tratar de resolver el problema del confinamiento y que ocurrirá al contrario, la solución del problema del sato de masa ayudará a entender el primero y no al revés.

No aburro más. Los interesados en más detalles técnicos deben saber que he seguido el hilo del artículo de L. D. Faddeev, “Mass in Quantum Yang-Mills Theory,” arXiv:0911.1013. A los que quieran más detalles les recomiendo el libro (que está en español y es fácil de conseguir) A. A. Slavnov, L. D. Faddéev, “Introducción a la teoría cuántica de los campos gauge,” Editorial URSS, 1999. Por supuesto, hay mucha literatura adicional, pero no quiero marear mucho más sobre este tema. Recomiendo la lectura del último libro (aún en proceso de escritura y gratis en su web) de Vincent Rivasseau. Las charlas del congreso “Mathematical Foundations of Quantum Field Theory” January 2012, también son un buen punto de partida para conocer a los expertos en estos asuntos y seguir sus publicaciones.