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Las matemáticas del bosón de Higgs, para las abuelas cansadas de cháchara (Parte I)

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Igor Campillo, físico y Director de Euskampus en la Universidad del País Vasco, Campus de Excelencia Internacional, lo ha dejado más claro que el agua en “La partícula que tu abuela nunca entenderá por mucho que se lo expliques,” Amazings.es, 17 julio 2012. “Me temo que todo este esfuerzo resulta vano desde el punto de vista conceptual, al menos si se aspira a explicar el bosón de Higgs “hasta a mi abuela”… “Comprender es acostumbrarse.” Según aprendemos, lo que nos había parecido inescrutable al principio resulta ser trivial, simplemente por el hecho de trabajar en ello. Por eso resulta tan difícil captar lo que es la mecánica cuántica, porque está fuera de nuestra experiencia cotidiana y uno no se puede acostumbrar a ella utilizando ejemplos de nuestro día a día. Sólo tras mucho operar y calcular, se empiezan a captar sutilezas, conceptos e implicaciones que de otra forma son inimaginables. Entender y explicar el bosón de Higgs sólo puede hacerse dentro del formalismo donde aparece. No podemos hacer “un como si”. No admite traducción e interpretación simultánea.”

¿Qué es el bosón de Higgs? La partícula con la que se puede observar el campo de Higgs. ¿Qué es el campo de Higgs? Un campo con el que interaccionan las partículas que tienen masa. Esta interacción es cuántica, pero podemos hacernos una idea de cómo funciona utilizando la teoría clásica de campos. Nos lo cuenta The Unapologetic Mathematician en “The Higgs Mechanism part 1: Lagrangians,” July 16, “The Higgs Mechanism part 2: Examples of Lagrangian Field Equations,” July 17, “The Higgs Mechanism part 3: Gauge Symmetries,” July 18, y “The Higgs Mechanism part 4: Symmetry Breaking,” July 19. Recomiendo una lectura a estas entradas.

He pensado en traducir dichas entradas, pero no tengo tiempo y ya hice algo parecido hace algún tiempo (abril de 1999). Quizás conviene recordarlo.

Figura 1: Potencial V(|φ|²) para m²>0 (gráfica izquierda) y m²<0 (gráfica derecha).

Generación de la Masa de las Partículas. I: Bosones Escalares de Goldstone y Higgs

El premio Nobel de Física de 1999 fue concedido a los físicos holandeses Gerard ‘t Hooft y Martinus Veltman por sus contribuciones a la renormalización de la teoría electrodébil y, con ella, de todo el Modelo Estándar de las partículas elementales. En el Modelo Estándar las masas de las partículas elementales se generan mediante una rotura espontánea de la simetría.

La rotura espontánea de la simetría fue descubierta por Heisenberg en 1932 en su estudio de los materiales ferromagnéticos, y aplicada por Nambu y Goldstone, a principios de los 1960, a teorías de campos en física de la materia condensada (teorías de aforo (gauge) global). En 1964, Higgs (y otros autores) la aplicó a teorías de aforo local descubriendo un mecanismo para la generación de la masa de las partículas elementales. Dicho mecanismo está en la base de la teoría electrodébil, desarrollada por Glashow, Weinberg y Salam, premios Nobel de Física en 1979. La teoría electrodébil es una teoría de aforo local SU(2)\times U(1) que unifica la fuerza electromagnética mediada por el fotón, que no tiene masa, y la fuerza débil mediada por los bosones vectoriales intermedios \mbox{W}^{\pm} y \mbox{Z}, que tienen masa no nula. En esta teoría, se produce una rotura espontánea de la simetría mediante el mecanismo de Higgs, por el cual los bosones vectoriales adquieren masa y queda como remanente una partícula masiva, el bosón escalar de Higgs, que ha sido encontrado experimentalmente el pasado 4 de julio de 2012.

‘t Hooft probó en su tesis doctoral, dirigida por Veltman, que una teoría de aforo local con rotura espontánea de la simetría, como la teoría electrodébil, es renormalizable. De esta forma se definió un procedimiento consistente para realizar cálculos de gran precisión en esta teoría y, entre ellos, la predicción de las masas de las partículas \mbox{W}^{\pm} y \mbox{Z}, descubiertas en el CERN en 1983, y del quark t (top), descubierto en el Fermilab en 1995.

En este artículo se estudiará la generación de masa mediante rotura espontánea de la simetría utilizando una teoría clásica de campos. Primero, repasaremos brevemente la notación tensorial (de índices) para vectores y covectores, la relatividad especial, la diferencia entre vectores axiales y polares, y la formulación covariante o relativista de las ecuaciones de Maxwell. Seguidamente, repasaremos la formulación lagrangiana de campos clásicos y su aplicación a un campo escalar cargado (complejo) que tiene simetría de aforo global de tipo U(1). Imponiendo la invarianza de las ecuaciones de este campo ante transformaciones de aforo locales se obtiene un campo electromagnético. Finalmente, estudiaremos la aplicación de la rotura de simetría al campo escalar cargado con simetría de aforo global, el mecanismo de Goldstone, y con simetría de aforo local, el mecanismo de Higgs, que permite al campo electromagnético adquirir masa “tragándose” una de las componentes del campo escalar y dejando como remanente a la otra, el bosón de Higgs.

Vectores y covectores

Sea un vector \mathbf{x} en el espacio vectorial V\equiv\mathbb{R}^3, con componentes \mathbf{x} = (x^1, x^2, x^3) = (x, y , z), y \{\mathbf{e}_i\}_{i=1}^3 una base de dicho espacio vectorial. Entonces, se puede expresar \mathbf{x} en coordenadas como

\mathbf{x}=\sum_{i=1}^3 x^i\mathbf{e}_i = x^i \mathbf{e}_i,

donde en la última expresión hemos usado el convenio de suma de índices repetidos de Einstein, según el cual los términos (productos) con índices repetidos representan la suma de dichos términos respecto a dichos índices.

Se denomina espacio vectorial dual V' al espacio de formas lineales (covectores) en V. Un covector \mathbf{a}\in V' es una función lineal \mathbf{a} que transforma un vector V en un número \mathbb{R}, es decir, tal que

\mathbf{a}(\alpha\mathbf{x}+ \beta \mathbf{y})=\alpha \mathbf{a}(\mathbf{x})+ \beta \mathbf{a}(\mathbf{y}),

donde \alpha y \beta son números (escalares). En función de las coordenadas de \mathbf{x} podemos escribir \mathbf{a}(\mathbf{x}) como a_i x^i (recuerda que esto significa a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3); gracias a la linealidad a_i = \mathbf{a}(\mathbf{e}_i).

Asociada a la base de vectores \mathbf{e}_i, podemos elegir covectores \mathbf{e}^j que cumplan

\mathbf{e}^j(\mathbf{e}_i) = g^j_i = \delta^j_i = \left\{\begin{array}{ll} 0, \quad & i\ne j, \\ 1, \quad & i= j,\end{array}\right.

donde \delta_i^j es la delta de Krocneker. Estos covectores cumplen que \mathbf{e}^j(\mathbf{x})=x^j, y se comprueba que forman una base de V', lo que permite escribir \mathbf{a} = a_j\mathbf{e}^j, ya que

\mathbf{a}(\mathbf{x})= (a_j \mathbf{e}^j)(\mathbf{x}) = a_j \mathbf{e}^j(\mathbf{x}) = a_j x^j \equiv a_i x^i,

donde hemos usado que los índices son mudos. La dimensión de V es igual a la dimensión de V' y, por tanto, son espacios vectoriales isomorfos, luego podemos considerar un vector \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 tanto como vector x^i o como covector x_i. A los vectores y covectores también se les denomina vectores contravariantes x^i y covariantes x_i, respectivamente. Para subir y bajar índices se usa el tensor fundamental g_i^j = g_{ij}= g^{ij}, actuando de la forma

x^i g^j_i =x^j, \qquad x^i g_{ij} = x_j, \qquad x_i g^{ij} = x^j.

El espacio-tiempo euclídeo (t,\mathbf{x}) \in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3 es el espacio invariante ante transformaciones de
Galileo, que son las que dejan invariante el tiempo y la distancia euclídea en el espacio, definida mediante el producto escalar euclídeo

\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V' \rightarrow \mathbb{R}, \qquad \langle \mathbf{x}, \mathbf{a} \rangle = \mathbf{a}(\mathbf{x}) = a_i x^i.

Como V y V' son isomorfos, se puede definir el producto escalar como un producto interior

\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb{R}.

Para distancias infinitesimales obtenemos la condición

ds^2 = dx_i dx^i = g_{ij} dx^j dx^i.

Relatividad especial

La relatividad especial se basa en el principio de constancia de la velocidad de la luz (c) y usa el espacio-tiempo de Minkowski que es invariante ante trasformaciones de Lorentz, que son las que preservan la métrica pseudo-euclídea

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.

Al contrario que en el espacio-tiempo euclídeo, los vectores contravariantes y los covariantes en el espacio de Minkowski tienen componentes que difieren (aunque solo en su signo), en concreto,

x = x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (c t, \mathbf{x}) = (c t, x, y, z),

x_\mu = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (c t, -\mathbf{x}) =(c t, -x, -y, -z),

respectivamente. Introduciendo el tensor métrico fundamental

g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) = ( g_{\mu\nu} )^{-1} =g^{\mu\nu},

podemos escribir la métrica como

ds^2 = dx_\mu dx^\mu = g_{\mu\nu} dx^\nu dx^\mu.

Se definen los operadores diferenciales

\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}=(\partial_0, \partial_1, \partial_2, \partial_3)=\left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \mathbf{\nabla} \right),

\partial^\mu=g^{\mu\nu}\partial_\nu=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\mathbf{\nabla} \right),

que conducen al operador de segundo orden

{\partial_\mu}\partial^\mu=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right),

de d’Alembert, que es invariante Lorentz.

Vectores polares y axiales

Un vector (o un campo vectorial) \mathbf{a}(x,y,z) se denomina axial (pseudovector) o polar (vector) en función de si cambia o no, respectivamente, de signo cuando se realiza una reflexión espacial, (x,y,z)\rightarrow (-x,-y,-z). La importancia de esta diferencia se debe a que el producto vectorial de dos vectores polares \mathbf{a}\times\mathbf{b} es un vector axial.

Introduciendo el tensor completamente antisimétrico de rango 3 de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} definido como

\varepsilon_{123}=\varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = 1,

\varepsilon_{132}=\varepsilon_{213}=\varepsilon_{321}=-1,

\varepsilon_{ijk}=0, \quad \mbox{en otro caso},

se escribe el producto vectorial \mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b} en componentes como c_{i} = \varepsilon_{ikl} a_k b_l (recuerda que hay que sumar respecto a los índices repetidos, en este caso, \sum_{kl}).

Asociado al producto vectorial podemos escribir un tensor anti-simétrico de rango 2 de la forma c_{ik} = a_i b_k - a_k b_i = - c_{ki}, que permite escribir (suma índices repetidos)

c_{i} = \frac{1}{2} \varepsilon_{ikl} c_{kl} = \varepsilon_{ikl} a_k b_l, \qquad c_{ik} = \varepsilon_{ikl} c_{l}.

Así, para el rotacional \mathbf{R}=\nabla\times\mathbf{c} tenemos

R_i = -\frac{1}{2} \varepsilon_{ikl} \left(\frac{\partial c_k}{\partial x_l} - \frac{\partial c_l}{\partial x_k}\right).

En general, todos los vectores axiales \mathbf{c} se pueden representar como tensores anti-simétricos de rango 2 de la forma c_{ik} = \varepsilon_{ikl} c_{l}, con lo que podemos escribir R_{ik} =\varepsilon_{ikl} R_{l}.

Formulación covariante de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético (con unidades en el sistema gaussiano) toman la forma

(1) \qquad \nabla\times \mathbf{E} + \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0,

(2) \qquad \nabla\times \mathbf{B} - \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{E} = 4\pi \rho,

(3) \qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \mathbf{j} = 0,

donde \mathbf{E}, \mathbf{B}, \rho, \mathbf{j} y c son el campo eléctrico, la intensidad de campo magnético, la densidad de carga, la corriente de carga y la velocidad de la luz, respectivamente. Las ecuaciones (1) corresponden a la Ley de Faraday, un campo magnético variable genera un campo eléctrico, y a la ausencia de cargas magnéticas (monopolos). Las ecuaciones (2) corresponden a la Ley de Ampère con el término añadido por Maxwell que permite la generación de ondas electromagnéticas, y a la ley de Gauss, la carga total en un volumen determina el campo en su superficie. Finalmente, la ecuación (3) es la ley de conservación de la carga.

Las ecuaciones (1) quedan automáticamente satisfechas si se introducen dos potenciales, uno escalar o eléctrico, \phi, y otro vectorial o magnético, \mathbf{A}, de forma que

\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}, \qquad \mathbf{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \phi,

(ya que \mbox{div\,rot\,}\mathbf{A} =\nabla\cdot\nabla\times\mathbf{A} = 0, y \mbox{rot\,grad\,}\phi = \nabla\times\nabla\phi= 0).

En relatividad especial podemos definir un cuadrivector potencial A_\mu = (\phi, \mathbf{A}) = (A_0, A_i) y los campos eléctrico y magnético se escriben

E_i = -\frac{1}{c}\frac{\partial A_i}{\partial t} - \nabla \phi = -\partial_0 A_i - \partial_i A_0,

B_i = -\frac{1}{2} \epsilon_{ijk} \left( \partial_j A_k - \partial_k A_j \right).

Definiendo el tensor covariante antisimétrico

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu,

obtenemos que, de lo dicho anteriormente,

F_{i0} = E_i, \qquad F_{ij} = -\varepsilon_{ijk} B_k,

F_{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 0 & E_1 & E_2 & E_3 \\-E_1 & 0 & -B_3 & B_2 \\ -E_2 & B_3 & 0 & -B_1 \\ -E_3 & -B_2 & B_1 & 0 \end{array}\right).

Definiendo un cuadritensor completamente antisimétrico de cuarto rango \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (igual a 1 para permutaciones pares de \mu\nu\rho\sigma = 0123, a -1 para permutaciones impares y a 0 en otro caso), las ecuaciones (1) se pueden escribir como

\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0, \qquad \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma},

donde \tilde{F}^{\mu\nu} es el tensor dual de F_{\mu\nu}.

Introduciendo un cuadrivector corriente J_\mu = (\rho,\mathbf{j}/c) = (\rho, j_i/c), podemos escribir las ecuaciones (2) como

\partial^\mu F_{\mu\nu} = 4\pi J_\nu.

Además, se cumple automáticamente la ecuación de continuidad \partial^\mu J_\mu = 0, ya que

\partial^\mu \partial^\nu F_{\mu\nu} =\partial^\mu \partial^\nu \left(\partial_\mu A_\nu- \partial_\nu A_\mu\right)= \partial^2 \left(\partial^\nu A_\nu - \partial^\mu A_\mu\right) = 0.

A partir del tensor del campo F_{\mu\nu} podemos definir dos invariantes

F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = \mathbf{H}^2 -\mathbf{E}^2 = \mbox{inv.},

\varepsilon^{iklm}F_{ik}F_{lm} = \mathbf{E}\cdot\mathbf{H}=\mbox{inv.},

que indican que la energía se conserva y el campo electromagnético es transversal, respectivamente.

El campo electromagnético es invariante ante transformaciones de aforo (gauge) de tipo A_\mu \rightarrow A_\mu -\partial_\mu f, donde f es una función escalar arbitraria, ya que F_{\mu\nu} (los campos \mathbf{E} y \mathbf{H}) no cambian ante dicha transformación.

Teoría clásica de campos

En teoría de campos relativistas se especifican las ecuaciones para los campos \phi_i(x), mediante un principio de “mínima” acción: la acción

S=\int {\cal {L}}(\phi_i, \partial_\mu\phi_i)\,d^4 x,

donde {\cal {L}} es la densidad lagrangiana, debe ser estacionaria \delta S=0. Operando obtendremos las ecuaciones de Euler-Lagrange

\delta S=\int \left[\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi_i}\delta \phi_i + \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu\phi_i)}\delta (\partial_\mu\phi_i)\right]\, d^4 x,

e integrando por partes usando \delta(\partial_\mu\phi_i) = \partial_\mu (\delta\phi_i) y que \delta \phi_i = 0 en el contorno, obtenemos

\delta S=\int \left[ \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi_i} - \frac{\partial }{\partial x^\mu} \left(\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu\phi_i)} \right)\right]\,\delta \phi_i\, d^4 x = 0,

que conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange

(4) \qquad \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi_i}- \frac{\partial }{\partial x^\mu}\left(\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu\phi_i)} \right) = 0,

para cada campo \phi_i.

Campo escalar complejo con potencial no lineal cuártico

Consideremos un campo escalar complejo con una auto-interacción no lineal cuártica,

{\cal {L}} = g^{\mu\nu} ( \partial_\mu \phi) ( \partial_\nu \phi^*) - V(\phi^*\phi),

donde

V(\phi^*\phi) = m^2\,\phi^*\phi + \frac{\lambda}{2}\,(\phi^*\phi)^2,

\phi = \phi_1+\mbox{i} \phi_2, y \phi^* = \phi_1-\mbox{i} \phi_2 se pueden considerar como dos campos independientes. El parámetro m, en la versión cuántica de este campo se convertirá en la masa de las partículas. El parámetro \lambda representa la constante de auto-interacción de las partículas del campo consigo mismas.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange (4) dan

\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi} = -\frac{\partial V}{\partial \phi} = -\phi^*\,\frac{\partial V}{\partial (\phi^*\phi)}, \qquad \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial \phi^*} = -\phi\,\frac{\partial V}{\partial (\phi^*\phi)},

\frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = g^{\mu\nu} ( \partial_\nu \phi^*) = \partial^\mu \phi^*, \qquad \frac{\partial {\cal {L}}}{\partial (\partial_\mu \phi^*)} = \partial^\mu \phi,

y como \partial{V}/\partial{(\phi^*\phi)} = m^2 + \lambda(\phi^*\phi), obtenemos

({\partial_\mu}\partial^\mu + m^2 + \lambda\,\phi^*\phi ) \phi = 0, \quad ({\partial_\mu}\partial^\mu + m^2 + \lambda\,\phi^*\phi ) \phi^* = 0,

para las ecuaciones de este campo relativista. En la versión cuántica de esta teoría estas ecuaciones representan una partícula (\phi) y su antipartícula (\phi^*) de espín 0 (bosón escalar) de masa m.

Tanto la lagrangiana {\cal {L}} como las ecuaciones de campo son invariantes ante transformaciones de aforo globales,

\phi \longrightarrow e^{\mbox{i}\Lambda}\,\phi, \qquad (\Lambda \mbox{ constante}),

es decir, transformaciones de fase o de tipo U(1). La invarianza U(1) conduce a la conservación de la carga eléctrica. Calculando la 4-divergencia de la densidad de corriente

J^\mu = \mbox{i}(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu\phi^*),

obtenemos aplicando las ecuaciones del campo

\partial_\mu J^\mu = \mbox{i} (\partial_\mu\phi^* \partial^\mu \phi + \phi^*{\partial_\mu}\partial^\mu \phi - \partial_\mu \phi \partial^\mu\phi^* - \phi{\partial_\mu}\partial^\mu \phi^*) = 0,

con lo que la carga eléctrica

Q=\int J^0 \,d^3x=\frac{\mbox{i}}{c} \int \left({\phi^*}\frac{\partial \phi}{\partial t}-\phi \frac{\partial {\phi^*}}{\partial t}\right) \, d^3 x,

se conserva dQ/dt = 0. Es necesario recurrir a la versión cuántica de la teoría para que en la definición de Q aparezcan e, la carga del electrón, y \hbar, la constante de Planck, así como para obtener que la carga eléctrica está cuantizada Q=n\,e. Nótese que un campo escalar real (\phi=\phi^*) representa partículas neutras Q=0.

Teoría de aforo local para el campo escalar complejo

La invarianza U(1) global del campo escalar complejo indica que podemos seleccionar la fase del campo arbitrariamente, pero si cambiamos la fase en un punto del espacio debemos hacerlo simultáneamente en todos los puntos. Sin embargo, esto es incompatible con la relatividad especial, ya que implica que una señal (el cambio de fase en un punto) ha de propagarse a una velocidad infinita. Para restaurar la causalidad física debemos considerar cambios de fase locales, es decir, la teoría con invarianza de aforo U(1) local,

\phi \longrightarrow e^{-\mbox{i}\Lambda(x)} \,\phi, \qquad \Lambda(x)=\Lambda(x^\mu).

Considerando un cambio infinitesimal \Lambda \ll 1, se obtiene

\phi \rightarrow \phi + \delta \phi = \phi - \mbox{i} \Lambda \phi, \qquad \delta \phi = -\mbox{i} \Lambda \phi,

\partial_\mu \phi \rightarrow \partial_\mu \phi - \mbox{i} (\partial_\mu \Lambda)\phi - \mbox{i} \Lambda ( \partial_\mu \phi)),

con lo que \delta(\partial_\mu \phi) \ne - \mbox{i} \Lambda (\partial_\mu \phi) y \partial_\mu \phi no se transforma covariantemente, es decir, como lo hace \phi. Por ello, la lagrangiana tampoco es invariante

\delta {\cal {L}}=\delta (( \partial_\mu \phi) ( \partial^\mu \phi^*)) - \delta V(\phi^*\phi)=\left( - \mbox{i} \Lambda (\partial_\mu \phi) - \mbox{i} (\partial_\mu \Lambda)\phi \right)( \partial^\mu \phi^*)+( \partial_\mu \phi) \left( \mbox{i} \Lambda (\partial^\mu \phi^*) + \mbox{i} (\partial^\mu \Lambda)\phi^* \right)= \partial_\mu \Lambda ( - \mbox{i} \phi \partial^\mu \phi^* + \mbox{i} \phi^* \partial^\mu \phi ) = (\partial_\mu \Lambda)J^\mu,

ya que \delta (\phi^*\phi) = 0.

Para restaurar la invarianza de aforo hay que introducir un campo vectorial A_\mu (con las mismas unidades que \partial_\mu) acoplado a la corriente J^\mu, y que se transforme adecuadamente. Debemos añadir

{\cal {L}}_1 = -e \,J^\mu A_\mu, \qquad \mbox{tal que } A_\mu \rightarrow A_\mu + \frac{1}{e} \partial_\mu \Lambda,

con lo que obtenemos el término requerido

\delta {\cal {L}}_1=- e (\delta J^\mu)A_\mu - e J^\mu (\delta A_\mu)=-e (\delta J^\mu)A_\mu - J^\mu (\partial_\mu \Lambda),

pero a costa de introducir un nuevo término a cancelar

-e A_\mu (\delta J^\mu)=-e \mbox{i} A_\mu \,\delta (\phi^*\partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^*)=- 2 e A_\mu (\partial^\mu \Lambda) \phi^* \phi,

lo que nos obliga a introducir otro término

{\cal {L}}_2=e^2 A_\mu A^\mu \phi^* \phi,

\delta {\cal {L}}_2=2 e^2 A_\mu \delta (A^\mu) \phi^* \phi=2 e A_\mu (\partial^\mu \Lambda) \phi^* \phi.

De esta forma {\cal {L}} + {\cal {L}}_1 + {\cal {L}}_2 es invariante ante transformaciones U(1) locales.

El campo vectorial A_\mu también puede interactuar consigo mismo de forma invariante. Definiendo

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu,

\delta F_{\mu\nu}=\partial_\mu \frac{1}{e}\partial_\nu \Lambda- \partial_\nu \frac{1}{e}\partial_\mu \Lambda = 0,

podemos añadir a la lagrangiana

{\cal {L}}_3=- \frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu},

y obtener como lagrangiana total

{\cal {L}}_{{T}} = (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi^*) - \mbox{i} e (\phi^*\partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^*) A_\mu + e^2 A_\mu A^\mu \phi^* \phi - V( \phi^*\phi) - \frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}= (D_\mu \phi)(D^\mu \phi^*) - V( \phi^*\phi) - \frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu},

donde hemos introducido la derivada covariante

D_\mu \phi=(\partial_\mu + \mbox{i} e A_\mu )\phi, \qquad D^\mu \phi^* = (\partial^\mu - \mbox{i} e A^\mu) \phi^*,

que se transforma como \phi,

\delta(D_\mu \phi)=\delta(\partial_\mu \phi) + \mbox{i} e (\delta A_\mu)\phi + \mbox{i} e A_\mu \delta \phi =-\mbox{i} \Lambda \delta(D_\mu \phi).

En la lagrangiana total {\cal {L}}_{{T}}, ha sido necesario introducir de forma natural un campo electromagnético con objeto de garantizar la invarianza U(1) local de la lagrangiana original.

Las ecuaciones de Maxwell (1) se satisfacen automáticamente para F_{\mu\nu}. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo A_\mu

\frac{\partial {\cal {L}}_{{T}}}{\partial A_\mu} - \partial_\nu \left( \frac{\partial {\cal {L}}_{{T}}}{\partial (\partial_\nu A_\mu)}\right) = 0,

conducen a las ecuaciones (2)

\partial_\nu F^{\mu\nu}=- \mbox{i} e (\phi^*\partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^*) + 2 e^2 A^\mu \phi^*\phi = - \mbox{i} e (\phi^* D^\mu \phi - \phi D^\mu \phi^*) = -e \mbox{\cal J}^\mu,

utilizando como corriente la versión covariante

\mbox{\cal J}^\mu=\mbox{i}(\phi^* D^\mu \phi - \phi D^\mu \phi^*),

que también se conserva \partial_\mu \mbox{\cal J}^\mu = 0.

Es importante notar que el campo electromagnético no tiene masa (m_A=0), ya que el término de masa

{\cal {L}}_M = m_A^2 A_\mu A^\mu,

no es invariante ante transformaciones U(1). Por ello, las partículas del campo electromagnético, los fotones, han de viajar a la velocidad de la luz.

Finalmente, debemos notar que e, la constante de acoplamiento entre el campo electromagnético A_\mu y el campo escalar \phi, juega un papel doble. Por un lado, es la carga eléctrica, una cantidad que se conserva e = \int \mbox{\cal J}^0\,dV, y por otro lado, mide la fuerza con la que la partícula \phi interactúa con el campo electromagnético A_\mu.

Rotura espontánea de la simetría

La rotura espontánea de la simetría la descubrió Heisenberg trabajando con materiales ferromagnéticos, imanes naturales. A baja temperatura, todos los espines, pequeños dipolos magnéticos asociados a los átomos del material, están alineados en una determinada dirección, la de norte-sur del imán, y el material no es simétrico cuando lo rotamos (de ahí que las brújulas siempre apunten al norte aunque las giremos). A alta temperatura, la magnetización desaparece, los espines se alinean en direcciones aleatorias y el material se vuelve simétrico, no cambia cuando lo rotamos. Existe una temperatura crítica T_{\mbox{crit}} a la que se produce la rotura espontánea de la simetría. El estado físico, o de mínima energía, para T>T_{\mbox{crit}} es simétrico, pero para T<T_{\mbox{crit}} es asimétrico y está infinitamente degenerado ya que la dirección en la que se alinean los espines se elige prácticamente al azar, si se repite el experimento de calentar y enfriar muchas veces en todas las ocasiones se obtienen direcciones norte-sur completamente distintas.

Bosón de Goldstone

Estudiaremos ahora, la aplicación de la ruptura espontánea de la simetría al campo escalar \phi^4 complejo presentado más arriba. El estado de mínima energía para este campo se determina minimizando el potencial V, en concreto,

\frac{\partial V}{\partial \phi}=\phi^*\,\frac{\partial V}{\partial (\phi^*\phi)} = m^2 \phi^* + \lambda\phi^*(\phi^*\phi) = 0.

Cuando m^2>0, V tiene un mínimo para \phi^*=\phi=0. Pero para m^2<0 tiene un máximo local en \phi=0 e infinitos mínimos para

(5) \qquad \phi^*\phi=|\phi|^2 = -\frac{m^2}{\lambda} = a^2.

Todos los mínimos se encuentra en |\phi|=a, un círculo en el plano (\phi_1, \phi_2), donde \phi = \phi_1+\mbox{i} \phi_2 como se muestra en la figura que aparece más arriba.

En una teoría cuántica, \phi es un operador y la condición de mínima energía determina el valor esperado del campo en el vacío, es decir, cuando no hay ninguna partícula

|\langle 0 | \phi | 0 \rangle|^2=a^2.

Los estados con una, dos o n partículas se obtienen añadiendo estas partículas una a una al vacío, que puede no coincidir con \phi=0. Tomando coordenadas polares,

(6) \qquad \phi(x) = (a + \rho(x))\,e^{\mbox{i}\theta(x)},

obtenemos para el estado del vacío

|\langle 0 | \phi | 0 \rangle| = a, \qquad |\langle 0 | \rho | 0 \rangle| = 0, \qquad |\langle 0 | \theta | 0 \rangle| = 0.

Este campo tiene las mismas características que el ejemplo del ferromagnetismo: tenemos infinitos estados de vacío degenerados que están conectados por la simetría de la teoría, cambiar la fase, de tal forma que la elección de un vacío concreto (como la dirección de magnetización) rompe la simetría, fija una fase dada.

Podemos considerar a \rho y \phi como los campos físicos, con los que expresaremos el lagrangiano {\cal {L}} = (\partial_\mu \phi) (\partial^\mu \phi^*)- V. Operando

V(\phi^*\phi)=V(a + \rho)=m^2 (a+\rho)^2 + \frac{\lambda}{2} ( a + \rho)^4= \lambda a^2 (a+\rho)^2 + \frac{\lambda}{2} ( a + \rho)^4= \frac{\lambda}{2} \rho^4 + 2 a \lambda \rho^3 + 2 \lambda a^2 \rho^2 - \frac{\lambda}{2} a^4,

donde se ha usado la ec. (5), y para el otro término

(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu {\phi^*})= (\partial_\mu \rho) (\partial^\mu \rho) + (a + \rho)^2 (\partial_\mu \theta) (\partial^\mu \theta).

El lagrangiano tiene un término en \rho^2, por lo que el campo $\rho$ tiene una masa dada porm_{\rho}^2 = 2 \lambda a^2, mientras que la ausencia de término en \theta^2 indica que \theta es un campo sin masa. Como resultado de una ruptura espontánea de la simetría dos campos escalares con masa (\phi y \phi^*) se han convertido en un campo con masa y otro sin ella.

La Figura de más arriba muestra que, para m^2>0 pequeño, mover el vacío desde el origen hasta el punto |\phi|=a cuesta energía, que se convierte en la masa del campo \rho para m^2<0. Mover \theta alrededor del círculo de degeneración del vació no cuesta energía, por lo que este campo permanece sin masa. La partícula \theta se denomina bosón de Goldstone. El teorema de Goldstone dice que toda ruptura de simetría de un teoría cuántica de campos global genera una partícula de espín cero sin masa.

Bosón de Higgs

El mecanismo de Higgs consiste en aplicar una rotura de simetría a un campo con simetría de aforo local. Consideremos el campo escalar \phi^4 complejo acoplado a un campo electromagnético, presentado más arriba. Tomando, con m^2<0, el campo en forma exponencial (6) alrededor del estado de mínima energía (5), obtenemos fácilmente como nueva lagrangiana

{\cal {L}}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + e^2 a^2 A_\mu A^\mu + (\partial_\mu \rho)(\partial^\mu \rho)- \mbox{i} e a (A^\mu \partial_\mu \rho - A_\mu \partial^\mu \rho)- m^2 a^2- 2 m^2 a \rho - m^2 \rho^2 - \lambda a^4 - 4 \lambda a^3 \rho - 6 \lambda a^2 \rho^2 + \cdots,

donde hemos eliminado términos de orden superior; la nueva densidad lagrangiana muestra que el campo vectorial A_\mu, que representaba al fotón, ha adquirido masa (m_A=ea) “comiéndose” al bosón escalar \theta, el bosón de Goldstone, que no tiene existencia física gracias a la simetría U(1) local, mientras que el bosón escalar \rho, bosón de Higgs, sigue siendo masivo. A partir de dos bosones escalares con masa y un bosón vectorial sin masa hemos obtenido, gracias a la rotura espontánea de la simetría, un bosón vectorial y un bosón escalar ambos con masa.

En la parte II de este artículo abordaremos el mecanismo de Higgs en teorías de aforo no abelianas con grupos de simetría O(3) y SU(2), lo que nos anticipará su aplicacióin a la teoría electrodébil.

Bibliografía

L.H. Ryder, “Quantum Field Theory,” (2nd. ed.), Cambridge University Press (1996).

A.A. Sokolov et al., “Electrodinámica Cuántica,” Editorial Mir, Moscú (1989).

N. Nélipa, “Physique des Particules Élémentaires,” Editorial Mir, Moscú (1981).

Cómo fabricar nanopartículas utilizando la inestabilidad que hace que el chorro líquido de un grifo gotee

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Se publica en Nature un nuevo método para fabricar partículas esféricas de tamaño diverso, desde unos 20 nanómetros hasta unos 2 milímetros, basado en la inestabilidad de Rayleigh-Plateau en un chorro líquido, la que hace que un grifo gotee. En la fabricación de fibras ópticas por estirado de una preforma calentada en un horno, la velocidad de estirado no puede superar cierto valor crítico, pues en caso contrario aparece esta inestabilidad y el núcleo de la fibra colapsa. Pero este grave problema ha sido convertido en virtud, pues permite la fabricación de microgotas esféricas. El núcleo de la preforma, que se convertirá en las partículas esféricas negras de la figura, es triseleniuro de diarsénico, mientras que el recubrimiento es de un polímero, de color ámbar en la figura, polietersulfona (PES). Hay otros métodos de fabricación de microgotas esféricas, pero pocos son tan eficientes para generar una suspensión de nanopartículas de decenas de nanómetros. Las aplicacicones, sobre todo en biomedicina, son muy prometedoras. Nos lo cuentan Ali Passian, Thomas Thundat, “Materials science: The abilities of instabilities,” Nature, Published online 18 July 2012, que se hacen eco del artículo técnico de Joshua J. Kaufman et al., ”Structured spheres generated by an in-fibre fluid instability,” Nature, Published online 18 July 2012.

Esta figura muestra la fabricación por estirado de la fibra. La preforma (a) se calienta en un horno a cierta altura hasta que se licúa y cae por la gravedad como caería un chorro de leche condensada. La fibra se solidifica al caer y su núcleo es muy pequeño comparado con el revestimiento, como muestra la figura (b). El estirado se logra enrollando la fibra en un tambor que hace rotar a gran velocidad (a). La novedad viene más allá de este tambor, donde se coloca otro tambor que estira más aún la fibra provocando la aparición de la inestabilidad de Rayleigh-Plateau y el goteo del núcleo de la fibra (c). En función del diámetro del núcleo de la preforma, el perfil de temperatura del horno y la velocidad de estirado se logra fabricar una gran variedad de micropartículas esféricas, tanto en la microescala (e) como en la nanoescala (f).

Este vídeo muestra una simulación tridimensional de la evolución de la inestabilidad que provoca la formación de las gotas en el interior de la fibra de polímero; se han simulado las ecuaciones de Navier-Stokes para el chorro líquido compuesto para bajos números de Reynolds. La gran limitación del método de Kaufman y sus colegas es el tipo de materiales que se pueden utilizar para fabricar las nanopartículas. Cualquier material que cambie sus propiedades al ser calentado, que se degrade o cambie de estado, provocará inestabilidades anteriores a la formación de las gotas. Otra gran limitación es la dificultad de encapsular substancias en las nanopartículas.

Kaufman y colegas han demostrado además que es posible sintetizar micropartículas de dos materiales con dos caras, lo que los autores llaman “partículas de Jano” (por el dios de la mitología romana que tenía dos caras). Para ello basta introducir la estructura de Jano en el núcleo de la preforma, como muestra la figura. Estas partículas son muy interesantes porque se pueden utilizar en sensores, actuadores y dispositivos de conversión de energía, así como bloques de construcción para la auto-ensamblaje de estructuras. Obviamente, el procedimiento de fabricación de estas “partículas de Jano” requerirá importantes avances técnicos antes de llegar a aplicaciones comerciales.

Los núcleos ligeros con igual número par de protones y neutrones se ordenan como si fueran un sólido compuesto de partículas alfa

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Ciertos núcleos ligeros, como el berilio-8, el carbono-12, el oxígeno-16 y el neón-20 (en la figura) se pueden entender como un “cristal” de partículas alfa (núcleos de helio-4 formados por dos protones y dos neutrones), gracias a la fuerza fuerte “efectiva” que confina a los neutrones y protones en el núcleo atómico. La estructura cristalina de estos núcleos contrasta con la imagen del núcleo que presentan la mayoría de los libros de texto, una especie de “bolsa” esférica y casi homogénea de protones y neutrones (como una gota líquida). Ya en 1938, Hafstad y Teller conjeturaron que los núcleos con masa atómica múltiplo de cuatro podrían ser descritos en términos de disposiciones geométricas de partículas alfa. Los nuevos resultados experimentales publicados en Nature muestran que dicha idea era correcta, aunque no en los detalles, que son más próximos a las ideas de Ikeda y sus colegas en la década de los 1960. Nos lo cuenta Martin Freer, “Nuclear physics: Nucleons come together,” Nature 487: 309–310, 19 July 2012, haciéndose del artículo técnico de J.-P. Ebran, E. Khan, T. Nikšić, D. Vretenar, “How atomic nuclei cluster,” Nature 487: 341–344, 19 July 2012.

Según los resultados de Ebran y sus colegas, los núcleos tienen una estructura de “racimo” (cluster), en lugar de la estructura habitual para un cristal de átomos, o de la estructura de líquido cuántico que presentan otros núcleos. Lo interesante es que la nueva estructura nuclear tiene un papel crucial en la síntesis de elementos en las estrellas gigantes rojas. En ellas la energía se genera a través de la fusión de tres núcleos de helio para formar carbono-12, proceso que ocurre en dos etapas. En la primera, dos partículas alfa se fusionan para formar berilio-8, cuya vida media es de unos 10-16 segundos; si antes de que se desintegre captura a otra partícula alfa se formará el carbono-12. Esta captura se canaliza gracias al llamado estado de Hoyle, introducido por Fred Hoyle en 1954. El trabajo de Ebran y sus colegas muestra que la estructura “cristalina” de estos núcleos, debida a la fuerza “fuerte” es fundamental para entender la materia nuclear del interior las estrellas gigantes rojas.

Por qué no se observan galaxias espirales con corrimiento al rojo z > 2

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Las galaxias espirales son muy comunes en nuestro entorno local (corrimientos al rojo z  ≈  1), pero solo se conocen dos ejemplos para z>2, HDFX 28, con z = 2,011, y Q2343-BX442, con z = 2,18. Hay dos explicaciones posibles, una es que los instrumentos actuales no son tan sensibles como para observar las estructuras espirales de estas galaxias y la otra es que a dichas distancias los discos galácticos son tan “calientes” que no se pueden formar brazos espirales estables de gran duración. Un nuevo artículo en Nature, que estudia la galaxia Q2343-BX442, apunta a que ambas ideas son incorrectas; esta galaxia tiene un disco “caliente” y presenta brazos espirales que pueden ser observados con instrumentos como el HST/WFC3. Como esta galaxia está acompañada de una galaxia satélite más pequeña, los autores proponen que la formación de los brazos espirales exige, por un lado, que la galaxia tenga suficiente masa para tener un disco estable, y por otro que esté acompañada de una galaxia satélite en proceso de fusión mutua. Además, las espirales aparecen y desaparecen en una escala de tiempo de unos ≤ 100  millones de años, o Δ z  ≤  0,08 para Q2343-BX442, por lo que han de ser observadas en una ventana de tiempo adecuada, en la que los brazos estén más visibles; además, la galaxia debe estar orientada de forma adecuada para que este patrón sea visible desde nuestra dirección. El artículo técnico es David R. Law et al., “High velocity dispersion in a rare grand-design spiral galaxy at redshift z = 2.18,” Nature 487: 338–340, 19 July 2012 [información suplementaria] [arXiv:1207.4196].

El nuevo estudio compara las medidas obtenidas en el infrarrojo por la Cámara de Gran Campo 3 del Telescopio Espacial Hubble (HST/WFC3) con resultados de modelos numéricos tridimensionales del disco galáctico. Los datos indican que el disco presenta brazos espirales en rotación con velocidades ±150 km/s con una dispersión media en la velocidad de σm = 66 ± 6 km/s; en los brazos espirales la dispersión pico alcanza un valor de σ = 113 ± 14 km/s. El modelo numérico indica que el disco de la galaxia está inclinado unos 42  ±  10 ° respecto a nuestra línea de visión. Estas observaciones indican que Q2343-BX442 tiene brazos espirales incluso con un disco caliente z  ≈  2. Como los estudios espectroscópicos indican que las galaxias como ésta son bastante frecuentes para z  ≈  2, la hipótesis de los autores parece bastante razonable. No es que haya pocas galaxias espirales para z > 2, lo que pasa es que no es fácil que los veamos pues tienen que coincidir varias circunstancias de forma simultánea para que podamos obervarlas.