X Carnaval de Matemáticas: Un matemático español y los polinomios ortogonales excepcionales

Te recuerdo que organizo la X Edición del Carnaval de Matemáticas. Te animo a contribuir con tu granito de arena (no hace falta tener un blog, puedes darte de alta en la web del Carnaval de Matemáticas y publicar tu entrada allí). Por supuesto, si tienes un blog lo más fácil es publicar la entrada en tu propio blog. El formato de la entrada es libre: desde un elaborado artículo científico a una simple imagen, pasando por el comentario de una película, un podcast o un vídeo. La única condición es que trate sobre las matemáticas en cualquiera de sus aspectos.

Mi primera contribución al carnaval está relacionada con la entrada de Sergio Pérez Acebrón, “¿En qué ha cambiado tu opinión este año gracias a la ciencia?,” Amazings.es, 30 Dic. 2010. Yo he cambiado de opinión muchas veces este año gracias a la ciencia, pero seleccioné para Amazings.es una de ellas, relacionada con la física. Para esta entrada voy a seleccionar un cambio de opinión relacionado con las matemáticas.

Yo pensaba que la teoría de polinomios ortogonales estaba muerta y que no había nuevas ideas felices en este campo hasta que descubrí en 2010 el trabajo de David Gómez-Ullate, de la Universidad Complutense de Madrid, y sus colegas (el trabajo original es de 2008). La idea de los polinomios ortogonales excepcionales es tan simple, que cuando uno la lee se pregunta ¿cómo no se me ocurrió a mí? Pero así son las sorpresas en matemáticas. En 2010 yo cambié de idea respecto a los polinomios ortogonales y la teoría de Sturm-Liouville al descubrir que están tan vivas como si se acabaran de descubrir. 

Los polinomios ortogonales y sus propiedades aparecen en gran número de problemas aplicaciones en física, en química y en matemáticas. La teoría tuvo sus inicios a principios del s. XIX con los trabajos de Legendre y Laplace en mecánica celeste, y con la teoría de Sturm y Liouville en los 1830, alcanzando toda su generalidad gracias a Chebyshev en los 1850. El teorema de Bochner (1929) clasificó todas las familias de polinomios ortogonales que eran solución de un problema de Sturm-Liouville. Durante el resto del s. XX poco más quedaba por hacer, más allá de estudiar su evaluación numérica y estudiar generalizaciones más exóticas. Pero el s. XXI nos ha traído una gran sorpresa de la mano del matemático español David Gómez-Ullate y sus colegas. Una generalización trivial de una familia de polinomios ortogonales cuyo primer polinomio es una constante es considerar que el primer polinomio tenga un grado mayor de cero. ¿Una idea trivial? Quizás, pero han sido necesarios 80 años para que se le ocurriera a alguien. Los polinomios ortogonales excepcionales son un tema muy candente y van a dar mucho que hablar en los próximos años por su gran número de aplicaciones en química teórica, en física teórica y en la matemática de los sistemas integrables. Por ello, el artículo que presentó esta idea es uno de los más citados en matemáticas durante el año 2010. Al segundo coautor le entrevistan en “Niky Kamran Discusses Orthogonal Polynomials,” New Hot Paper Commentary, November 2010. Para los interesados en los artículos técnicos: David Gomez-Ullate, Niky Kamran, Robert Milson, “Exceptional orthogonal polynomials and the Darboux transformation,” J. Phys. A 43: 434016, 2010 [ArXiv, 13 Feb 2010], y David Gomez-Ullate, Niky Kamran, Robert Milson, “An extended class of orthogonal polynomials defined by a Sturm-Liouville problem,” J. Math. Anal. Appl. 359: 352-367, 2009 [ArXiv, 24 Jul 2008].

El teorema de Bochner (1929) afirma que si una sucesión infinita de polinomios es solución del problema de autovalores de segundo orden

entonces  y deben ser polinomios de grados  y , respectivamente. Más aún, si la sucesión  es un sistema de polinomio ortogonales, entonces tiene que ser (salvo por una transformación afín en ) uno de los sistemas clásicos de polinomios ortogonales, es decir, los de Jacobi, Laguerre o Hermite. Gómez-Ullate et al. han demostrado que existen sistemas de polinomios ortogonales, definidos por problemas de Sturm-Liouville, más allá de estas familias clásicas si se permite que el primer polinomio de la suceción tenga un grado mayor de cero, es decir, familias de polinomios ortogonales con la forma , donde . Esta clase de polinomios siempre se puede extender hasta el grado cero, pero los primeros polinomios  no son de cuadrado integrable y por tanto son solo soluciones formales a la ecuación diferencial.

Pongamos un ejemplo de familia de polinomios excepcionales, los polinomios de Laguerre , denotados por , , cuyos primeros miembros son

para  Estos polinomios son ortogonales respecto a un producto interior cuya función peso es

por lo que estos polinomios son ortogonales respecto al productor interior dado por

Como se puede observar, la sucesión de polinomios de Laguerre empieza con un polinomio de grado 1. Otra familia de polinomios ortogonales excepcionales es la familia de polinomios de Jacobi (remito para su definición exacta a los artículos técnicos).

Gómez-Ullate et al. demuestran en su artículo que la sucesión , con , corresponde a las autofunciones que son solución de ecuaciones diferenciales de la forma

donde  y son polinomios de grados ,  y , respectivamente.

Más aún, han demostrado que todos los polinomios ortogonales excepcionales con son o polinomios de Laguerre o polinomios de Jacobi . La caracterización completa de los polinomios ortogonales excepcionales para , hasta donde yo sé, sigue siendo un problema abierto.

Aunque esta generalización de los polinomios ortogonales parece muy sencilla, tan sencilla, las aplicaciones de los polinomios ortogonales excepcionales están empezando a surgir en muchísimos campos, como los sistemas cuánticos integrables, que se pueden resolver de forma exacta. Sin lugar a dudas, estas nuevas familias de polinomios ortogonales tendrán una larga y próspera vida durante el s. XXI. ¿Qué más ideas felices nos deparará este siglo?