X Carnaval de Matemáticas: Todas las entradas que han participado

Tito Eliatron, akas. José Antoino Prado Bassas, doctor en matemáticas (Universidad de Sevilla) y divulgador en “Tito Eliatron Dixit” me pidió en noviembre de 2010 que alojara la Décima Edición del Carnaval de Matemáticas en enero de 2011; tuve mis dudas, ya sabéis lo enfollinao que estoy, además la eterna rivalidad que hay entre malacitanos y sevillanos me hizo pensar en darle un corte a Tito.

Fueraparte bromas, la verdá de la buena es que no lo dudé un momento. El mes en el que se iniciaban los actos en celebración del Centenario de la Real Sociedad Matemática Española era chipendi lerén para organizar el carnaval en mi blog. Tito lo anunció en la web  del Carnaval de Matemáticas en diciembre de 2010 y yo anuncié en este blog que “Francis organiza la X Edición del Carnaval de Matemáticas” el 9 de enero; el plazo para contribuir terminaba el 28 de enero y hoy, 31 de enero, me comprometí a publicar una recopilación de todas las entradas.

Y es que hablando en malacatí desde el barrio de chupa y tira, confieso que pensé que me iba a dar un amacuco leyendo la jartá de contribuciones; estaba atacao, pero ya metío en el changuay, no podía hacer el culitripe, sino Tito iba a pensar que me había roado tras haberle dado el equilicué. No es que las entradas sean para troncharse, no hay telanga de por medio para esternillarse, pero sin ser lameplatos creo que hay poco tenguerengue. Ojalay que seas un echao p’alante y disfrutes como este mengui leyendo las contribuciones y que no estés tan enfollinao como yo. Sin más, no quiero que digas que este nota es un rajón y un apoyardao, te dejo con las contribuciones que están fetén.

Mis contribuciones al carnaval fueron: “Un matemático español y los polinomios ortogonales excepcionales,” 17 enero 2011; “Una suma finita para calcular la función de partición,” 22 enero 2011; “Atención, pregunta, ¿se pude oir la forma de un tambor?,” 24 enero 2011; y “Dulcinea del Toboso y los números primos,” 27 enero 2011.

Martes, 11 de enero de 2011: Miguel García (ingeniero segoviano de telecomunicaciones y amazer), Milhaud, nos habla de ”Fibonacci: el hombre que introdujo la numeración árabe en Europa,” Recuerdos de Pandora, que me ha recordado la exposición “La Vida de los Números” en el ICM 2006 Madrid. La primera aparición de los números arábigos en Europa fue en el año 976 en el folio 12 del Códice Vigilano (que relata la Crónica Albeldense), que se conserva en la biblioteca de El Escorial, a las afueras de Madrid. Como se ve en la imagen de abajo, los números 1, 2, 6, 7, 8 y 9 presentan su grafía actual, mientras que los números 3, 4 y 5 son un poco diferentes.

Domingo, 16 de enero de 2011: Dani Torregrosa (químico y amazer) nos preguntó ”¿Quién fue (o es) el matemático más importante de la Historia?,” Ese punto azul pálido (Pale Blue Dot), y contestó lo mismo que yo hubiera dicho: Euclides (325-265 a.C.) por escribir “Los elementos,” uno de los libros más influyentes del saber y la ciencia matemática de toda la historia. Entra vértigo al pensar que esta obra, aún vigente, tiene más de 2200 años.

Lunes, 17 de enero de 2011: Javier Omar (estudiante de matemáticas en Puerto Rico) en “Ferretería Matemática: El bingo como manipulativo en el aula de matemáticas,” La Covacha Matemática, se hace eco de la iniciativa del “profesor de matemáticas Antonio Martín [quien] utiliza el juego de bingo como estrategia manipulativa para que los alumnos aprendan las tablas de multiplicar: en vez de cantarse el número, se dicta una multiplicación para que los estudiantes marquen el producto en sus cartones.” Javier ”incluye enlace a una plantilla de bingo en blanco para bajar en PDF.”

Lunes, 17 de enero de 2011: Juan Pablo (Argentina) en “1597.- Loterias, seguros, alarmas y mantenimiento,” en Juan de Mairena [v.2.71828], tras “la cantidad de posts sobre las loterías, (…) algunos [incluso] ofensivos: que el juego es el impuesto al idiota, que es para los imbéciles…,” decide contraatacar defendiendo “no el juego, ni mucho menos, [sino] al jugador patológico, a la conducta completamente racional de jugarse un numerito de vez en cuando, o un billete una vez al año a la lotería.” Para ello utiliza el concepto económico de “utilidad esperada.” Tras tratar las loterías “deja para una segunda parte el resto: la relación con los seguros y las alarmas y el mantenimiento.” ¿Por qué? Porque se fue “a hacer una quiniela.”

Martes, 18 de enero de 2011: Juan Martínez-Tébar Giménez (profesor de matemáticas en Chinchilla, Albacete), en “El laberinto de Sierpinski,” Los matemáticos no son gente seria, nos recomienda el libro “Todo por demostrar” de varios autores (ed. Anaya y RSME), 2010, que recoge once relatos seleccionados dentro de la quinta edición del concurso literario “Relatos Cortos RSME-ANAYA 2008″, organizado por la Real Sociedad Matemática Española y patrocinado por la Editorial Anaya, con la colaboración de las editoriales Nivola y Proyecto Sur. Juan destaca el relato de Antonio Bueno Aroca titulado “El laberinto de Sierpinski.”

Martes, 18 de enero de 2011: Manoli (matemática y profesora de Matemáticas en un I.E.S. de Priego de Córdoba) en “Recien pasado el día más triste del año. 17 de enero: “Blue Monday”,” Viaje a Ítaca con Manoli, nos comenta varios usos curiosos de la matemática en nuestra vida diaria. Como que “en 2005 el investigador Cliff Arnal de la Universidad de Cardiff (Reino Unido), obtuvo una fórmula [que demuestra] que el tercer lunes de cada año es el día más triste del mismo. (…) [Pero,] quién está detrás de ese estudio.” No os lo desvelo para que no dejéis de leer a Manoli. O como que “José Manuel Rey de la Universidad Complutense de Madrid (…) [ha utilizado la] teoría del control óptimo alumbrada [por] el matemático ruso Lev Pontryagin (…) para explicar por qué en España hay un divorcio cada 80 segundos. (…) Su bello modelo teórico, plasmado en la revista científica PLoS ONE en una integral y una ecuación ininteligibles para cualquier persona ajena a las matemáticas, muestra “un mecanismo diabólico que hace que, aunque uno se case muy enamorado y diseñe muy bien su esfuerzo, sea muy fácil fracasar”. (…) Fórmulas que, si no nos valen para explican nuestras emociones, sin duda entretienen y nos hacen olvidar éste, ya pasado, lunes triste.”

Martes, 18 de enero de 2011: Jesús Soto (España) en “MathJax: fórmulas matemáticas en los navegadores,” La aventura de las matemáticas, nos habla de MathJax del Project Euclid, “una librería open-source escrita en JavaScript, que permite la visualización de las fórmulas matemáticas en los navegadores Web (…) [en] LaTeX y MathML. (…) A diferencia de los plugins que utilizamos en WordPress, MathJax no genera imágenes y permite copiar directamente el código TeX desde nuestros editores al editor del blog. ” Yo no conocía a MathJax, así que ha sido todo un descubrimiento.

Miércoles, 19 de enero de 2011: Ángel Alonso (vinicultor en La Rioja) en ”Propuesta de nueva signación y composición de Conjuntos de Números y su transcendencia en el Teorema de Pitágoras,” Solo se vive una vez (que yo sepa) no lo olvides, nos propone una clasificación de conjuntos de números diferente de la aceptada por la comunidad científica, según la cual los números complejos pueden ser autoasimétricos (A), autoasimétricos reales (AR), autosimétricos (S), autosimétricos reales (SR), imaginarios o autoortogonales (I), etc. Como él mismo confiesa, “es muy probable que todo esto os parezca disparatado, (…) pero espero que al menos os haya aportado una perspectiva distinta, que en mayor o menor medida, siempre ayudan a enriquecer nuestra manera de entender las cosas.”

Miércoles, 19 de enero de 2011: Ana de la Fuente (matemático y profesora en I.E.S. en Ciudad Rodrigo, Salamanca), alias Anuska, en “Resolución de problemas,” ¡TIERRA A LA VISTA!, nos habla de la capacidad de los niños para razonar y para enfrentarse a la resolución de un problema. Nos recuerda la anécdota (apócrifa) de Gauss niño y nos propone un reto/problema: “Tenemos una fracción reducida p/q = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ··· − 1/1318 + 1/1319. Demostrar que p es divisible por 1979, es decir, p es múltiplo de 1979.” ¡Te animas a resolver este problema! En cualquier caso, visita su blog.

Jueves, 20 de enero de 2011: Manuel Sánchez Angulo (profesor de microbiología en la Universidad de Miguel Hernández de Elche, España) en “Lotka y Volterra,” Curiosidades de la Microbiología, mata tres pájaros de un tiro, pues participa en el XV carnaval de la Física, en el I carnaval de la Química y en el X carnaval de Matemáticas (la entrada es larga y muy completa por lo que es una buena participación en los tres carnavales). En 1925 se publicó el primer libro de Biomatemática, escrito por Alfred J. Lotka; en él se extendía la ecuación logística (de Pierre F. Verhulst) de un solo ser vivo a dos seres vivos en interacción (depredador y presa). Vito Volterra, catedrático italiano de Física Matemática llegó a la misma solución. Hoy en día las ecuaciones acopladas de Lotka-Volterra son el ejemplo paradigmático de un sistema dinámico no lineal con un ciclo límite en dimensión dos. Un gran avance para la Biología y el gérmen de la Biomatemática.

 Jueves, 20 de enero de 2011: Iván Rivera (ingeniero ciudadrealeño de telecomunicaciones) en ”P=NP: y ahora viene cuando la matan,” Brucknerite, nos habla de “Antibodies” una historia corta de la colección “Toast” de Charlie Stross, desencadenada por “el descubrimiento de que el problema del viajante tiene solución en tiempo polinómico, y por tanto que P = NP.” Un motivo que aprovecha para recordar algunas ideas sobre teoría de la complejidad y mencionar la reciente demostración (incorrecta en mi opinión) de P=NP obtenida por V. F. Romanov, “Non-Orthodox Combinatorial Models Based on Discordant Structures,” ArXiv, (17 Nov 2010; last revised 12 Jan 2011) de la que se hacen eco en “Polynomial Time Code For 3-SAT Released, P==NP,” Slashdot, 20 january 2011.

Sean Gourley on ”the mathematics of war” (TED Talk).

Viernes, 21 de enero de 2011: César Tomé López (químico, acosmista y amazer) en “Cliodynamics: una aproximación matemática a la historia,” Experientia docet, se hace eco de la aparición del primer número de la revista internacional Cliodynamics: Journal of Theoretical and Mathematical History (que a mí, como a muchos otros, me recuerda a la psicohistoria de Hari Seldon en “La Fundación” de Isaac Asimov). “Poco a poco se va abriendo paso la visión de que es posible estudiar la historia desde una aproximación puramente científica, en la que los modelos matemáticos deben contrastarse con los datos empíricos. (…) Sorprendentemente las matemáticas son capaces de expresar las leyes que rigen el universo. Incluyendo las de la historia humana.”

Viernes, 21 de enero de 2011: Javier Omar (estudiante de matemáticas en Puerto Rico) en “El Triángulo de Pascal: la herramienta multiusos de los matemáticos,” La Covacha Matemática, nos cuenta que la navaja suiza del matemático es el Triángulo de Pascal, “en honor al matemático, físico, filósofo, y teólogo francés Blaise Pascal.” Una herramienta muy conocida, pero aún interesante. He de confesar que yo mismo he utilizado esta “navaja suiza” en mis investigaciones en interpolación polinómica en múltiples dimensiones y sus aplicaciones al desarrollo de métodos en diferencias finitas generalizadas. Pero eso es otra historia…

Sábado, 22 de enero de 2011: Rafalillo (estudiante malagueño de ingeniería) nos plantea un acertijo matemático en ”Jugando con el 2011,” El mundo de Rafalillo, en concreto “escribir el número primo 2011″ de forma matemática usando solo los dígitos del 0 al 9, pero ningún número de más de un dígito (no vale 2^11 − 37). La recopilación de soluciones aparecerá el viernes 4 de febrero, así que aún estás a tiempo de aportar una nueva solución. “Eso sí, no se puede consultar en Internet nada.” Como dice el gran divulgador matemático argentino Adrián Paenza hay que “disfrutar de pensar, de tener un problema, de regodearse aun cuando uno no pueda encontrar la solución pero lo tiene como un desafío” [fuente].

Sábado, 22 de enero de 2011: Alejandro Álvarez Silva (físico, divulgador científico y ensayista) en “CERO, VACÍO, NADA,” Simbiotica’s Blog, nos ofrece una reflexión entre la filosofía y la metafísica. “En la física clásica los conceptos de cero, vacío y nada eran prácticamente lo mismo, (…) [pero en] la física moderna cero, vacío, y nada dejaron por siempre de ser lo mismo: ¡En nuestro universo conocido sólo el vacío se sostiene, la nada ha dejado de existir! (…) La nada ha quedado como un concepto filosófico o metafísico.”

Sábado, 22 de enero de 2011: Antonio Roldán Martínez (matemático y profesor de Enseñanza Media jubilado) en “Redondez de un número,” Números y hoja de cálculo, nos habla de números redondos; según “Paul Hoffman (“El hombre que sólo amaba los números”) son aquellos que poseen más divisores primos (iguales o distintos) que los demás de su misma magnitud. (…) En la práctica la redondez es la suma de los exponentes que aparecen en su descomposición factorial. (…) La redondez de 320 es 7, porque 320 = 2⁶ × 5, y por tanto R(320) = 6+1 = 7.” Aprovecho la ocasión para recomendar el libro de Hoffman, una interesante biografía del genial Paul Erdös (léase ”erdish”); un personaje repleto de anécdotas curiosas.

Domingo, 23 de enero de 2011: Planck en ““ADIVINANDO” DATOS PERSONALES,” REVOLUCIÓN CIENTÍFICA, nos propone un truco numérico para adivinar la edad y el número del portal de una persona utilizando operaciones aritméticas. “Aunque la explicación parece extraña, casi “mágica” es muy sencilla y se explica con matemáticas elementales. (…) Podéis realizar este truco con familiares o amigos para observar su cara de sorpresa !Para que luego digan que las matemáticas son aburridas!”

Domingo, 23 de enero de 2011: Javier Omar (estudiante de matemáticas en Puerto Rico) en “La integración curricular como estrategia reformadora en el aula de matemáticas,” La Covacha Matemática, empieza recordando la metodología docente ECA: “exploración, conceptualización y aplicación” y luego se centra “en la estrategia de integración curricular (EIC). Simplemente se ofrece en la clase aplicaciones de temas de otras materias ajenas a la que ofrezca el maestro, con el propósito de que aprendan dos temas de dos clases distintas n el periodo de una,” como “Inglés y Matemática de décimo grado, (…) Historia de la Antigüedad y Matemáticas de sexto grado (…) y Español Avanzado y Matemáticas en cuarto año de escuela superior (último año de secundaria).” Una propuesta interesante, aunque he de confesar que creo que la EIC es peligrosa sino se aplica correctamente. Pero no es éste ni el lugar ni el momento para opinar al respecto.

Lunes, 24 de enero de 2011: César Tomé López (químico, acosmista y amazer) en “BZ: un oscilador espaciotemporal químico,” Experientia docet, en su segunda entrada para este carnaval también mata tres pájaros de un tiro, pues no solo en el X carnaval de Matemáticas, sino también en el XV carnaval de la Física y en el I carnaval de la Química. ¡Qué buenos recuerdos me trae la ecuación de Belousov-Zhabotinsky! Las soluciones numéricas de esta ecuación tienen algo hipnótico, casi “mágico.” César nos cuenta los problemas que tuvo Boris P. Belousov para publicar su modelo de una reacción química oscilante. “Muchos grandes químicos [opinaban que] no es posible su existencia porque se estaría violando la Segunda Ley de la Termodinámica, así, con mayúsculas. (…) Años después, Anatol M. Zhabotinsky refinó la reacción (…) y logró publicar la que hoy se conoce como reacción de Belousov-Zhabotinsky (reacción BZ).” En los 1970, tres matemáticos de la Universidad de Oregón crearon un modelo simplificado con tres ecuaciones diferenciales acopladas para explicar la reacción BZ que llamaron “Oregonator.” Uno de los problemas modelo para verificar la calidad de métodos numéricos, que yo he usado en múltiples veces durante mis investigaciones. Gracias, César, ¡qué buenos recuerdos me ha traído tu entrada!

Lunes, 24 de enero de 2011: José A. Prado-Bassas (profesor de matemáticas en la Universidad de Sevilla, padre del Carnaval de Matemáticas y amazer), alias Tito Eliatron, en “Una aberración felizmente imposible,” Tito Eliatron Dixit, mata dos pájaros de un tiro y participa también en I Carnaval de la Química, con una breve entrada al hilo de una cita que escuchó en una charla en Sevilla, que él mismo organizó, de César Tomé López sobre “El surgimiento de la Química como ciencia exacta.” Tito nos recuerda que si bien a principios del s. XIX era cierto que “para saber Química no hacía falta más que las 4 operaciones aritméticas básicas y, si acaso, unas nociones sencillas de resolución de ecuaciones simples. Hoy por hoy, para poder ejercer de Químico (…) hace falta un profundo conocimiento matemático y, en particular, de las Ecuaciones Diferenciales.” De hecho, yo mismo he aportado mis conocimientos en este campo a algún que otro ingeniero químico interesado en ciertos procesos catalíticos.

Lunes, 24 de enero de 2011: Miguel Ángel Morales Medina (matemático por la Universidad de Granada, editor del boletín de la Real Sociedad Matemática Española y amazer), alias ^DiAmOnD^, en ”Centenario de la Real Sociedad Matemática Española,” Gaussianos, nos confiesa que “teniendo en cuenta que soy el editor del Boletín de la RSME, creo que es delito no haber escrito todavía un artículo hablando sobre su Centenario;” yo también hablé de él un poco antes, el 21 de enero, para este Carnaval. Él habla de primera mano, claro está. Nos confiesa que: “Tuve la oportunidad de conocer a mucha gente. Llevo cerca de un año siendo el editor del Boletín, pero la verdad es que apenas conocía a gente relacionada con la RSME, ni siquiera a gente relacionada con matemáticas a nivel universitario. (…) La verdad es que me alegro de haber asistido al acto.” Os recuerdos sus palabras finales “Si alguno de vosotros (o cualquier otra persona a la que le apetezca que nos conozcamos) tiene pensado asistir a alguno de los actos del Centenario que lo comente en este post o que contacte conmigo.” Yo seguramente asistirí a algún que otro acto, así que quizás coincida con ^DiAmOnD^ allí.

Lunes, 24 de enero de 2011: Joaquín García Mollá (matemático y profesor en un I.E.S. de Alcalá de Guadaíra, muy cerca de Sevilla) en “Doblando un papel hasta la Luna y más allá,” Matemáticas interactivas y manipulativas, nos hace la pregunta “¿Doblando un papel podemos llegar a la Luna…..?. Con la ayuda de las Matemáticas” Joaquín nos demuestra que ”con 43 dobleces sobrepasamos la Luna (439.804.65 km) y con 49 dobleces superamos la distancia media entre la Tierra y el Sol.” Una “curiosa actividad (…) con la que se puede trabajar con grandes números y su notación científica, los cambios de unidades, manejar la calculadora, trabajar las progresiones geométricas y con la que hemos dado rienda suelta a la imaginación.”

Lunes, 24 de enero de 2011: Fernando Blasco en “Dalí,” Mastemáticas, nos habla del interés del genial pintor por la Ciencia, porque “mola ver a un artista interesado por la ciencia. Además, el 11-1-2011 se ha inaugurado en Florida un museo con obras de Salvador Dalí. ¿Numerología?” Yo también he visto “el documental llamado “Dimensión Dalí” en el que se narra la relación de Dalí con la Ciencia en el marco de un congreso organizado por Jorge Wagensberg en el Teatro-Museo Dalí de Figueres,” y es muy interesante. Ya conocía que “uno de los cuadros más famosos de Dalí es Corpus Hipercubicus, (…) muestra a Jesús en una cruz muy particular: el desarrollo (tridimensional) de un hipercubo en dimensión 4, mientras María está situada sobre el desarrollo plano de un cubo.” Pero el documental, como nos indica Fernando en su entrada también nos ofrece otras sorpresas.

Martes, 25 de enero de 2011: Pachi Tapiz (informático en Helvetia y profesor en la Universidad Pública de Navarra) en “Una novela matemática: El teorema del loro (Denis Guedj),” Letrinas, nos habla de “posiblemente su novela preferida entre las que tienen a las matemáticas como ingrediente fundamental. (…) A lo largo de la novela sus protagonistas van realizando un recorrido por la historia de las matemáticas. (…) Tal y como decía el poeta, esta novela es un camino largo, lleno de aventuras y de experiencias, en la que su final es lo menos importante.” He de confesar que yo he leído esta novela y que a mí no me gustó. Aún así fue un best-seller en Francia y yo, como Pachi, también la recomendaría, aunque especialmente a los adolescentes a los que les guste las matemáticas, y a todos los que quieran sentirse adolescentes leyendo las 544 páginas de esta novela.

Martes, 25 de enero de 2011: José Luis Rodríguez Blancas (matemático y profesor en la Universidad de Almería) en “Curva de Hilbert con hilo,” Juegos topológicos, nos recuerda que muchas curvas fractales se pueden utilizar como trabajo de manualidades para jóvenes y no tan jóvenes. Eso sí, solo se podrá implementar una curva prefractal, con un número finito (y pequeño) de iteraciones. Por ejemplo, “la 4ª iteración de la curva de Hilbert, con una sola tirada de hilo, [requiere usar] 206 alfileres para sujetar la curva.” José Luis nos ofrece varias fotos de alumnos “clavando alfileres durante la Semana de la Ciencia 2010 de la UAL.” ¿Cuántos metros de hilo y cuántos alfileres serían necesarios para construir la 10ª iteración? Si no quieres molestarte en calcularlo, José Luis te ahorra el trabajo y te lo muestra en una tabla, junto a la fórmula matemática que ha utilizado. Una curiosa entrada a la que solo le falta hablar de las antenas fractales basadas en la curva de Hilbert, que se utilizan en tecnología RFID.

Miércoles, 26 de enero de 2011: Miguel Ángel Morales Medina (matemático por la Universidad de Granada, editor del boletín de la Real Sociedad Matemática Española y amazer), alias ^DiAmOnD^, en ”Construir las tangentes comunes a dos circunferencias,” Gaussianos, nos explica cómo “construir las tangentes interiores a dos circunferencias [utilizando un] applet de GeoGebra donde [podemos] ver paso a paso dicha construcción.” Muy interesante y refrescante. Hace tiempo que no repasaba este tipo de construcciones.

Miércoles, 26 de enero de 2011: José A. Prado-Bassas (profesor de matemáticas en la Universidad de Sevilla, padre del Carnaval de Matemáticas y amazer), alias Tito Eliatron, en “Matemáticos premios Nobel de…. Química,” Tito Eliatron Dixit, vuelve a matar dos pájaros de un tiro y participa con esta entrada en los carnavales de Química y Matemáticas. “Herbert A. Hauptman, se licenció en Matemáticas en la Universidad de Columbia en 1939, (…) y con Jerome Karle, físico-químico de formación, como director, se doctoró en 1954 con la tesis titulada “An N-Dimensional Euclidean Algorithm,” colaboración muy fructífera que les llevó a obtener el Premio Nobel de Química en 1985. (…) Un matemático de formación gracias a elementos propios de las Matemáticas logró resolver un problema crucial de la Química. El Nobel de Química, pues, lo obtuvo gracias a las Matemáticas.” Tito también nos habla de “Dudley R. Herschbach, licenciado en Matemáticas en 1954 por la Universidad de Standford, (…) doctor en Química Física en 1958 esta vez en Harvard, quien en 1986 recibió el premio Nobel de Química por el desarrollo de la dinámica de procesos químicos elementales.” Muy interesante, Tito, sin lugar a dudas.

Miércoles, 26 de enero de 2011: Claudio Meller (Argentina) en “600 – Una rareza,” Números y algo más…, nos reta a resolver un problema: “Raíz cuadrada (RAREZA) = RAR + EZA.” ¿Te animas a resolverlo? Yo ya sé la solución. Ayuda: RAR+EZA es el producto de dos primos menores de cien.

Jueves, 27 de enero de 2011: JLPdelaC (que fue mi profesor, ahora es mi compañero y siempre un buen amigo), alias quiviscumque, en “La improbable historia de Probable,” Contra esto y aquello, nos aclara “¿cómo puede ser que “prueba” y “probable” tengan significados casi antagónicos?” gracias a la etimología y la historia. ”Euclides (…) acaba sus demostraciones con: “ὅπερ ἔδει δεῖξαι” (hóper édei déixai), “lo que precisamente era necesario mostrar.” [Para] el concepto de “demostración” Euclides emplea el correspondiente sustantivo δεῖξις (deixis) o su compuesto ἀπόδειξις (apódeixis). (…) ¿Qué hicieron los latinos cuando tuvieron que traducir las obras de los lógicos y matemáticos griegos?” Os recomiendo que disfrutéis con la entrada de quiviscumque que concluye con un rotundo “si dijéramos “aprobable” en lugar de “probable” la paradoja con que iniciábamos este envío quizás desapareciera; pero el lenguaje también tiene sus razones que la razón no comprende…”

Jueves, 27 de enero de 2011: El guacho en ”De contar, las integrales y los carnavales (de matemáticas),” Scientia potentia est, nos habla de la Integral de Riemann, sus limitaciones y de la Integral de Lebesgue. Riemann es “válido para las curvas ‘razonables,’ (…) [siendo] un ejercicio divertido (y fácil) tratar de encontrar una función que no se pueda integrar en el sentido de Riemann.” Contando monedas el guacho nos ilustra cómo ir más lejos de Riemann y llegar a la “Integral de Lebesgue.” Una buena forma de motivar la introducción de la teoría de la medida que, aunque bien conocida, siempre es un placer volver a releer.

Jueves, 27 de enero de 2011: Byron Narváez (estudiante universitario de ciencias en Quito, Ecuador) en “PARADOJAS MATEMÁTICAS,” Ciencia - Barcedavid, nos cuenta tres paradojas matemáticas. La primera paradoja demuestra que 1=2 (gracias a una división por cero) y es bien conocida. La segunda y tercera paradojas son más interesantes y utilizan el concepto de límite aplicado a figuras geométricas. Por ejemplo, la segunda presenta un triángulo ABC para el que AB=AC+CB al mismo tiempo que AB^2=AC^2+CB^2 (la paradoja es debida al uso incorrecto del concepto de límite). Os animo a leerlas, son muy curiosas.

Viernes, 28 de enero de 2011: Planck en “LOS MEJORES MATEMÁTICOS,” REVOLUCIÓN CIENTÍFICA, recopila los retratos “de los que pueden ser los 50 mejores matemáticos de la historia” y nos reta a “intentar averiguar su nombre y cual fue su contribución fundamental a las matemáticas.” Prueba y dime, ¿cuántos has adivinado? No me engañes y no te engañes… Por cierto, finaliza su contribución con “los que considera pueden ser los 10 mejores.” Compáralos con tu propia lista…

Viernes, 28 de enero de 2011: Germán Fernández Sánchez (físico granadino formado en Madrid, doctorado en el CERN y volcado en la divulgación científica y la literatura) en “La paradoja de la lotería de Navidad,” El neutrino, nos describe la solución a una paradoja que le comentó su hermano que calculó “que la probabilidad de que salga el gordo en un bombo y nuestro número en el otro es de 1/1.787 * 1/85.000 = 1/151.895.000, (…) [cuando] sólo se venden 85.000 números [y] la probabilidad que tiene cada número de ganar el gordo debe ser de 1/85.000.” Germán nos describe “la forma correcta de calcular la probabilidad de que nos toque el gordo, teniendo en cuenta el desarrollo del sorteo.” Anticipo el reesultado, “la probabilidad total [es la que] tenía que ser.” La entrada de Germán me ha recordado a Richard W. Hamming y su libro “The Art of Probability,” porque los cálculos en teoría de la probabilidad son siempre un arte. El arte de la probabilidad.

Viernes, 28 de enero de 2011: Joaquín García Mollá (matemático y profesor en un I.E.S. de Alcalá de Guadaíra, muy cerca de Sevilla) en “Pitágoras y el Puente del Dragón,” Matemáticas interactivas y manipulativas, nos habla de trigonometría aplicada a un puente de José Luis Manzanares en la circunvalación de su ciudad y nos recuerda que, a veces, basta con aplicar el teorema de Pitágoras. “El puente se inspira de forma directa en la obra del arquitecto barcelonés Antonio Gaudí y en particular en el dragón que decora una de las fuentes del parque Güell en Barcelona (…) y es una buena oportunidad para trabajar con los chavales de 2º ESO y 4º ESO los mosaicos regulares y uniformes.” Habrá que estar atentos a su blog para disfrutar de su presentación de los grupos de simetría discretos y su aplicación a los teselados del plano.

Viernes, 28 de enero de 2011: E. Gracián en “Laplace,” Blog de Sangakoo, nos presenta una breve biografía de Pierre-Simon Laplace, genio de las matemáticas entre los siglos XVIII y XIX. “[Laplace] fue profesor de Napoleón en el Cuerpo Real de Artillería” y tuvo cierta repercusión política. “Los dos campos de investigación a los que Laplace dedicó mayor esfuerzo a lo largo de toda su carrera científica versaron sobre las aplicaciones de las Matemáticas a la Astronomía y la Teoría de Probabilidades.” Una breve biografía que nos recuerda una figura cuya repercusión en las aplicaciones de la matemática ha sido enorme. Por cierto, la iniciativa Sangakoo, “una nueva forma de aprender matemáticas,” me parece muy interesante. Os recomiendo una visita.

Viernes, 28 de enero de 2011: Claudio Meller (Argentina) en “601 – Números pseudo narcisistas,” Números y algo más…, nos reta a resolver un segundo problema, esta vez con números narcisistas (como 153 = 1³ + 5³ + 3³) y pseudonarcisista (obtenidos repitiendo el proceso varias veces). “¿Cuál es el número pseudonarcisista más pequeño?” Nos da una pista, tiene tres cifras. Yo he cometido el error de leer los comentarios y allí está. No lo cometas tú y disfruta resolviendo el problema (lo dicho, contente, reflexiona y no mires los comentarios).

Viernes, 28 de enero de 2011: Byron Narváez (estudiante universitario de ciencias en Quito, Ecuador) en “IDENTIDAD DE EULER,” Ciencia de Barcedavid, nos presenta un PDF publicado a través de Scribd.com y escrito en Scientific WorkPLace (una versión tipo WYGIWYS de un editor de LaTeX). Yo prefiero un editor a pelo, como LyX. La entrada nos habla de e^(i π)+1=0, una identidad matemática que raya la magia. Incluye la demostración de Euler basada en series de potencias (aunque cita al blog Gaussianos como fuente) y realiza algunos comentarios sobre su uso.

Viernes, 28 de enero de 2011: Carlos Angosto Hernández (matemático y profesor en la Universidad Politécnica de Cartagena) en “3 colores y una distancia,” Zurditorium, nos ofrece un problema de lógica, geometría y matemáticas. “¿Es posible pintar un folio de tamaño estándar (A4) con tan solo 3 colores de forma que no haya 2 puntos del mismo color que disten tan solo 2 cm? Si es posible… ¿cómo lo harías?” Yo interpreto la pregunta como que no haya 2 puntos del mismo color con una distancia entre sí igual a 2 cm exactamente. Mi primer pensamiento fue que la solución era obvia, con teselas todas iguales, pero tras dibujarla en papel observé que estaba equivocado, el diámetro de cada tesela tiene que ser menor que 2 cm y la distancia entre teselas del mismo color mayor que 2 cm. Como decía Alfréd Rényi (aunque muchos lo atribuyen a Paul Erdös) “un matemático es una máquina que convierte café en teoremas.” Yo he necesitado el reposo de tomar un café tras la comida para lograr la respuesta. Es imposible hacerlo. Una demostración por contradicción es sencilla. Basta imaginar que ya se tiene la solución. Se dibuja un triángulo equilátero de lado 2 cm cuyos vértices tienen colores diferentes. Se dibuja otro triángulo equilátero que comparta con el primero una arista, los vértices más alejados comparten el mismo color (solo hay tres). ¿Qué pasa con todos los puntos separados dicha distancia de uno de estos vértices? Como los dos triángulos son arbitrarios, todos estos puntos deben tener el mismo color. Pero en una circunferencia de dicho radio siempre hay dos puntos separados una distancia menor que su radio (mayor que 2 cm por construcción). QED

Hasta donde tengo constancia, estas son todas las entradas que han participado en la X Edición del Carnaval de Matemáticas. Espero no haberos aburrido con el listado y os animo a participar en la próxima edición (febrero de 2011), el primer aniversario del carnaval, que organizará el propio Tito Eliatron Dixit.

PS (1 feb. 2011): Siempre hay una excepción que confirma la regla y siempre hay una contribución al carnaval que se le escapa al organizador.

Miércoles, 26 de enero de 2011: Javier Oribe Moreno (estudiante sevillano de matemáticas en la U.N.E.D.) en “Noticias,” El Máquina de Turing, participa con una escueta “recopilación de noticias acerca de las matemáticas que ha encontrado rebuscando por internet.” Tiene una buena excusa: “los exámenes de febrero.” Suerte, ya que el trabajo no es la única garantía del éxito. Yo también estudié en la U.N.E.D., pero desde Málaga y Ciencias Físicas. ¡Ah! Y ánimo, que ya te queda muy poquito.

El multiverso, ciencia o pseudociencia

Peter Woit se pregunta si es inmoral el multiverso, si es inmoral que muchos científicos de prestigio hablen del multiverso, concepto que raya la pseudociencia, si es inmoral que muchos científicos se enriquezcan vendiendo best sellers engañando a la gente haciéndoles creer que la idea el multiverso es ciencia y no mera pseudociencia. Por supuesto que esta breve entrada será criticada por muchos, aún así quisiera recomendar la lectura de “Is the Multiverse Immoral?,” Not Even Wrong, January 29th, 2011. El multiverso está de moda y muchos físicos teóricos de prestigio se han apuntado al carro de vender muchos libros hablando del multiverso (Michio Kaku “Parallel Worlds” (2004), Leonard Susskind “The Cosmic Landscape“ (2005), Alex Vilenkin “Many Worlds in One” (2006), Sean Carroll “From Eternity to Here” (2010), John Gribbin “In Search of the Multiverse” (2010), Stephen Hawking & Leonard Mlodinow “The Grand Design” (2010), Brian Greene “The Hidden Reality” (2011) o Steven Manly “Visions of the Multiverse” (2011), como los más destacados). Una inundación de libros que viene acompañada de artículos en revistas de divulgación científica, en prensa, en radio y en T.V. Ahí queda eso.

Por qué podrían ser inseguras las colisiones a 8 TeV c.m. en el LHC del CERN durante 2011

Los 1232 imanes superconductores en el LHC del CERN contienen más de 10.000 conexiones eléctricas de cobre no superconductoras que incluyen soldaduras. Tras el análisis del accidente de 19 de septiembre de 2008 se descubrió que muchas de estas soldaduras eran inapropiadas. Más aún, falló el sistema de protección que tenía que detectar este tipo de fallos. Un sistema de “amplificadores térmicos” que detectan defectos en estas soldaduras midiendo su resistencia eléctrica; es peligroso un incremento de la resistencia superior al 2% (asociado a una soldadura que se despega ligeramente) y el sistema térmico incrementa en un factor de 200 el valor de este incremento de la resistencia para facilitar su medida (en el accidente de 2008 la soldadura “despegada” provocó un arco eléctrico de 9.000 amperios y dejó el tubo del LHC como se ve en la fotografía de abajo). El sistema de protección y medida se denomina CSCM por Copper Stabilizer Continuity Measurements. Los técnicos del LHC detectaron en 2009 unos 80 estabilizadores de cobre que podrían fallar. Antes de incrementar la energía de las colisiones, lo que implica mayores campos magnéticos y mayores corrientes eléctricas a través de las soldaduras, hay que sustituir estos estabilizadores y chequear de nuevo el resto. Incluso hay técnicos que están trabajando en un sistema térmico mejorado, más preciso y robusto. Durante 2010 se ha demostrado que las colisiones a 7 TeV c.m. (cada uno de los haces de protones a 3’5 TeV) son seguras. Pero nadie puede asegurar que lo sean a 8 TeV c.m. (aunque muchos así lo creen); por ello la recomendación oficial el viernes pasado en el workshop de Chamonix, Francia, ha sido que durante 2011 se mantenga la energía de las colisiones a 7 TeV c.m. Durante 2011 se reparará y/o mejorará el sistema de amplificadores térmicos,  lo que permitirá considerar un incremento de energía en las colisiones hasta 8 TeV c.m. para el año 2012. La decisión final se tomará en enero de 2012. El problema con el sistema de protección nos lo contó Adrian Cho en ”Particle Physics: More Bad Connections May Limit LHC Energy or Delay Restart,” Science 325: 522-523, 31 July 2009, y en “Particle Physics: Sotto Voce, LHC Repair Plan Points to Weaknesses in Original Design,” Science 322: 1620-1621, 12 December 2008, y nos lo han contado de nuevo en Chamonix. 

Una pena, la propuesta final para el LHC del CERN durante 2011 no contempla colisiones a 8 TeV c.m.

El futuro a corto plazo de las colisiones en el LHC del CERN se ha discutido en el Chamonix 2011 LHC Performance Workshop, 24-28 de enero. La propuesta final es que el LHC deberá funcionar durante 2011 y 2012, la parada técnica de un año y pico se retrasará a 2013, pero con colisiones a 7 TeV c.m. (como en 2010). Solo si todo va bien durante 2011 se podría tomar la decisión de pasar a colisiones a 8 TeV c.m. durante 2012. Las colisiones a 8 TeV c.m. en 2011 podrían incrementar el riesgo de que alguna conexión no soportara el intenso campo magnético y se quemara. Prima la seguridad ante todo. Los técnicos tienen que realizar ciertas mejoras técnicas durante 2011 para que en 2012 sean absolutamente seguras las colisiones a 8 TeV c.m. Todos los rumores y todas las opiniones que apuntaban a colisiones a 8 TeV c.m. durante 2011 se han desvanecido de un plumazo. Las colisiones a 7 TeV c.m. son seguras; las colisiones a 10 TeV c.m. son inseguras; la conclusión de Chamonix 2011 es que no merece la pena el riesgo de utilizar colisiones a 8 TeV c.m. comparado con los beneficios esperados (posible descubrimiento antes de 2013 del Higgs, de la SUSY, física más allá del modelo estándar, etc.). Una pena para muchos (los físicos que trabajan en los experimentos), pero gran tranquilidad para muchos otros (los técnicos responsables de la operación del LHC). Más información sobre Chamonix 2011 en Philip Gibbs, “Chamonix conference considers LHC running parameters,” viXra log, 25-Jan-2011 (update 28-Jan-2011), Francis, “A summary of “Chamonix 2011 LHC Performance Workshop”,” Francis’ world inside out, January 25, 2011, Peter Woit, “News From Chamonix,” Not Even Wrong, January 28th, 2011, y Geoff Brumfiel, “LHC will run to end of 2012,” The Great Beyond, January 28, 2011.

¿Qué podemos esperar que se obtenga a finales de 2011 en el LHC del CERN? Si todo va bien, y este año pasado ha ido a las mil maravillas, se puede esperar que se acumulen unos 3/fb de datos de colisiones (unas 67 veces más colisiones que durante todo 2010). Aún así, el compromiso oficial de los técnicos del LHC es garantizar un mínimo de 1/fb (unas 22 veces más colisiones que en 2010). Para 2012 podríamos esperar unas 5/fb de datos con colisiones a 7 TeV c.m. y solo unos 3/fb si las colisiones son a 8 TeV c.m.

La esperanza de encontrar con seguridad el bosón de Higgs en 2013 se desvanece por momentos. Todo depende de cuantos datos se acumulen y a qué energía. Parace razonable obtener unos 5/fb de datos de colisiones para finales de 2012 en cada uno de los experimentos CMS y ATLAS. Una combinación de ambos experimentos totalizará unos 10/fb de datos. Las estimaciones teóricas indican que con unos 10/fb de datos y colisiones a 8 TeV c.m. hay garantías de descubir el bosón de Higgs (si existe y pocos lo dudan) en el rango de masas de 114 a 600 GeV/c². Para colisiones a 7 TeV c.m. solo se obtendrá cierta evidencia en el rango entre 114 y 120 GeV/c² (para muchos el rango más probable para el Higgs). La diferencia en sensibilidad para el Higgs entre usar 7 y 8 TeV c.m. es del orden del 30% (que no es mucho, pero tampoco es poco). Si en 2011 las colisiones son a 7 TeV c.m. y en 2012 son a 8 TeV c.m. el análisis será más difícil ya que combinar los datos de colisiones a diferente energía es muy difícil. La clave será cuántos datos de colisiones se logren obtener en 2012.

¿Cómo comparan los resultados del LHC durante 2011 a 7 TeV c.m. con los resultados del Tevatrón? En el rango de masas bajo, entre 114 y 130 GeV/c² el Tevatrón tiene ventaja sobre el LHC por su mayor cantidad de datos acumulados (el LHC puede estudiar modos de desintegración fuera del alcance del Tevatrón pero necesita muchas colisiones para estudiarlos). Entre 120 y 200 GeV/c², a finales de 2011, tanto el Tevatrón como el LHC obtendrán límites de exclusión para el Higgs muy similares (si es que no tiene una masa en dicho rango), pero el descubrimiento del Higgs es harina de otro cantar.

En resumen, quizás el Higgs se nos escape entre los dedos entre 2011 y 2012, y su descubrimiento se retrase a finales de 2014 o incluso 2015. Un lustro es poco tiempo para una instalación científica cuya vida mínima serán 25 años o más, aún así entre los físicos de los experimentos del LHC hay cierta desazón porque se prima más la seguridad de la máquina y la imagen pública del CERN que la búsqueda de nueva física. Todavía se siente en los hombros el peso del accidente del LHC en septiembre de 2008.

PS: La decisión final sobre el LHC será tomada por la dirección del CERN el lunes 31 de enero por la mañana; nadie espera sorpresas y se piensa que aceptarán la propuesta final del workshop en Chamonix, Francia. Ya os enteraréis el lunes cuando el CERN haga el anuncio oficial y toda la prensa se haga eco del mismo.

PS (31 ene. 2011): Daniel Clery, “CERN Gives Higgs Hunters an Extra Year,” Science MagazineNews, 28 January 2011.

PS (31 ene. 2011): El comunicado de prensa oficial del CERN es “CERN announces LHC to run in 2012,” Geneva, 31 January 2011. También merece la pena leer a Tommaso Dorigo, “The LHC Will Run At 7 TeV In 2011 And 2012,” A Quantum Diaries Survivor, January 31st 2011; Lubos Motl, “LHC will run at 2x 3.5 TeV in 2011, 2012,” The Reference Frame, January 31, 2011; “CERN announces LHC to run in 2012,” Symmetry Breaking, January 31, 2011; y muchas otras fuentes.

X Carnaval de Matemáticas: Dulcinea del Toboso y los números primos

Fragmento 1095 de “El Quijote en youtube” http://www.youtube.com/elquijote

Los números primos aparecen hasta en la sopa, digo, hasta en la segunda parte del Quijote (1615), “El Ingenioso Caballero don Quijote de la Mancha,” en su ”Capítulo IV: Donde Sancho Panza satisface al bachiller Sansón Carrasco de sus dudas y preguntas, con otros sucesos dignos de saberse y de contarse” podemos leer lo siguiente (o escucharlo en el vídeo de youtube que abre esta entrada):

“Dicho esto, rogó al bachiller que, si era poeta, le hiciese merced de componerle unos versos que tratasen de la despedida que pensaba hacer de su señora Dulcinea del Toboso, y que advirtiese que en el principio de cada verso había de poner una letra de su nombre, de manera que al fin de los versos, juntando las primeras letras, se leyese: Dulcinea del Toboso.

El bachiller respondió que, puesto que él no era de los famosos poetas que había en España, que decían que no eran sino tres y medio, que no dejaría de componer los tales metros, aunque hallaba una dificultad grande en su composición, a causa que las letras que contenían el nombre eran diez y siete; y que si hacía cuatro castellanas de a cuatro versos, sobrara una letra; y si de a cinco, a quien llaman décimas o redondillas, faltaban tres letras; pero, con todo eso, procuraría embeber una letra lo mejor que pudiese, de manera que en las cuatro castellanas se incluyese el nombre de Dulcinea del Toboso.”

Al ser el número 17 un número primo, no es divisible en números menores, por lo que el bachiller no pudo componer un poema utilizando solo estrofas de dos versos (pareados), ni solo estrofas de tres versos (tercetos o soleás), ni solo estrofas de cuatro versos (cuartetos, cuartetas, seguidillas o redondillas), ni solo estrofas de cinco versos (quintillas), ni solo estrofas de seis versos (sextillas), ni solo estrofas de siete versos (pavanas), ni solo estrofas de ocho versos (octavillas u octavas), ni solo estrofas de nueve versos (novenas o estancias), ni solo estrofas de diez versos (décimas o redondillas castellanas); aunque sí podría haber compuesto un poema con una décima y una pavana (pero ya se sabe, las pavanas eran para cantar y las décimas para recitar).

Esta es mi tercera contribución para la X Edición del Carnaval de Matemáticas que organiza el blog que estás leyendo ahora mismo. Te animo a contribuir con tu granito de arena (mañana, 28 de enero es el último día que se aceptarán contribuciones). No hace falta tener un blog, puedes darte de alta en la web del Carnaval de Matemáticas y publicar tu entrada allí. El día 31 se publicará en este blog una recopilación de todas las entradas.

Y es que hablando de números primos…

Los números primos gemelos son los primos consecutivos cuya diferencia es igual a dos, como 17 y 19, o 617 y 619, o 100314512544015 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰ – 1 y 100314512544015 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰ + 1; ¿hay infinitos primos gemelos? Nadie lo sabe. ¿Hay infinitos números primos cuya diferencia sea 4? Nadie lo sabe. ¿Todo número par mayor de 2 puede ser la diferencia de dos números primos? Nadie lo sabe.

Los números primos de Mersenne son los primos que tienen la forma 2ª-1. Hoy sólo se conocen 47 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos 2^43.112.609−1, un número de casi trece millones de cifras publicado en octubre de 2010. ¿Hay infinitos números primos de Mersenne? Nadie lo sabe.

Un botón de muestra sobre números primos en la web: “Factor Clock;” Lisa Zyga, “New Pattern Found in Prime Numbers,” PhysOrg.com, traducido por Kanijo, “Nuevo patrón encontrado en los números primos,” Ciencia Kanija, eco en Gaussianos y en Microsiervos; ^DiAmOnD^, “Una nueva solución al problema de Sierpinski, un nuevo número primo,” Gaussianos; Miguel Ángel Abánades Astudillo, “Los Números Primos: de Euclides a Internet;” Ivo Basso Basso, Jorge Campos Parra, Rodrigo Ramirez Candia, “Sobre algunas conjeturas en aritmética;” Trébede, “Algunos tipos de números primos,” en la trébede; A Vanbrugh, “Por qué el 1 dejó de ser un número primo,” Universitas Universitatis; Salvador Ruiz Fargueta, ”Números primos, números de una sola pieza,” La bella teoría; Ignacio Munguía, “Los díscolos números primos (I),” “(II),” ”(III),” “(IV),” “(V),” “(VI),” “(VII),” “(VIII),” y “(IX),” GenCiencia; “Hallan el primo de Mersenne número 44,” Neofronteras; ”Calendario primo,” Espejo Lúdico; omalaled, “El béisbol y los números primos,” Historias de la Ciencia; “La espiral de números primos de Sack,” cgredan blog; alpoma, “La espiral de Ulam,” Tecnología Obsoleta; “Espirales y números primos,” Microsiervos; Claudio, “201 – Una nueva fórmula para generar números primos,” Números y algo más..; Maikelnai, “El 73.939.133, un extraño número primo,” Maikelnai’s blog; Adrián Paenza, “ISBN,” Página 12; “11111…11111 es primo,” Microsiervos; “The first fifty million primes;” Carlos Paris, “Primal Chaos (Visualizations);” Eric W. Weisstein, “Mersenne primes,” MathWorld Headline News;y “Prime Curios!“

Por qué las ballenas son tan grandes

Las ballenas son los animales marinos más grandes. El gran tamaño de las ballenas les permite retener una gran cantidad de oxígeno mientras bucean, de forma que pueden explorar aguas más profundas y buscar alimento de manera más eficiente. Esta es la conclusión de un nuevo estudio que vincula el tamaño con la velocidad de natación y el metabolismo. Las ballenas son tan grandes porque tienen un metabolismo endotermo (mantienen la temperatura corporal constante, como otros mamíferos y aves) y son buceadoras (respiran oxígeno del aire), por lo que su metabolismo aeróbico les permite nadar durante mayor tiempo y a mayor velocidad que los peces (como el tiburón ballena) de similar tamaño. Los animales buceadores que respiran oxígeno del aire en la superficie del océano tienen que conservarlo con cuidado bajo el agua para maximizar su eficiencia. Como el coste energético de nadar crece con la velocidad, se pensaba que los animales buceadores ascendían y descendían a la velocidad que minimiza el coste energético y el oxígeno consumido para una distancia recorrida dada. Watanabe y sus colegas, gracias a un análisis energético y biomecánico, concluyen que los buceadores de mayor tamaño nadan más rápido (su velocidad de natación crece con la masa elevada a una potencia 0’05) gracias a estudios telemétricos sobre la velocidad de natación de 37 especies de mamíferos, aves y tortugas marinas. También predicen que los animales ectotérmicos de bajo metabolismo (como las tortugas cuya temperatura depende del ambiente) nadan más despacio que los animales endotérmicos de alto metabolismo del mismo tamaño corporal. De hecho, el pez vivo más grande (el tiburón ballena o Rhincodon typus) no supera los 12 metros de longitud, un tamaño “pequeño” en comparación con la mayoría de las 15 especies de ballenas conocidas; las ballenas más pequeñas son las ballenas francas pigmeas (Caperea marginata) tienen un tamaño de unos 6’5 m y las rorcuales aliblancos (Balaenoptera acutorostrata) que casi alcanzan los 10 m. Nos lo ha contado Graeme D. Ruxton, “Zoology: Why are whales big?,” Nature 469: 481, 27 January 2011, que se hace eco del artículo técnico de Yuuki Y. Watanabe et al., “Scaling of swim speed in breath-hold divers,” Journal of Animal Ecology 80: 57–68, January 2011.

Por cierto, ¿por qué no hay aves y tortugas gigantes que bucean en los océanos? Según Ruxton, tal vez la diferencia estriba en que las aves y las tortugas deben regresar a tierra para reproducirse; en tierra su tamaño debe estar limitado pues carecen de la flotabilidad del agua que les ayuda a soportar gran parte de su peso.

El telescopio espacial Hubble descubre la galaxia con mayor corrimiento al rojo (z≈10)

Ver una galaxia con z ≈ 10 significa que la vemos como era 500 millones de años despúes de la gran explosión (Big Bang), cuando el universo tenía tan solo el 4% de su edad actual. No se ha observado ninguna otra galaxia con z>8 y la comparación entre la nueva galaxia y las encontradas con z ≈ 8 (unos 200 millones de años más tarde) indica que su tasa de formación estelar es un ~10% inferior, lo que sugiere que el estudio de las galaxias con z > 9-10 es crucial para entender la formación de las primeras galaxias. Hay que recordar que ya se han observado unas 6.000 galaxias con 6>z>3, es decir, entre 900 y 2.000 millones de años tras la gran explosión, pero se han observado muy pocas galaxias con z ≈ 8 (la más antigua conocida tenía z ≈ 8.2). Nos lo cuenta Naveen A. Reddy, “Cosmology: A glimpse of the first galaxies,” Nature 469: 479–481, 27 January 2011, que se hace eco del artículo técnico de R. J. Bouwens et al., “A candidate redshift z ≈ 10 galaxy and rapid changes in that population at an age of 500 Myr,” Nature 469: 504–507, 27 January 2011.

La nueva galaxia ha sido observada gracias a la nueva cámara de gran campo (WFC 3 por Wide Field Camera) instalada a mediados de 2009 en el telescopio espacial Hubble. Este instrumento es 30 veces más sensible que la WFC 2 y permite encontrar galaxias muy débiles de alto corrimiento al rojo. Técnicamente, han utilizando un método llamado “discontinuidad galáctica Lyman” (Lyman break galaxy) que busca mediante un filtro azul la línea Lyman-α en el espectro del hidrógeno galáctico. La técnica utiliza las imágenes obtenidas por la WFC3 a través de varios filtros y su análisis es complicado. Por ello será necesario que se confirme el corrimiento al rojo de la nueva galaxia por un método independiente. Aún así, se trata de un gran hallazgo que ha merecido ser publicado en Nature.

¿Cómo dieron origen a las primeras galaxias las fluctuaciones primordiales tras la gran explosión? La única manera de contestar a esta pregunta es mediante el estudio de las primeras galaxias, que se formaron tras la fase de reionización (6 < z < 20, o entre 150 y 1.000 millones de años tras la gran explosión). “Se piensa que la reionización ocurrió cuando las primeras generaciones de estrellas de población III y cuásars emitieron radiación que reionizó el universo, volviendo a hacerlo un plasma ionizado” [wiki]. El nuevo hallazgo sugiere una conexión estrecha entre la formación de galaxias y la materia oscura en el universo temprano. Parece ser que el crecimiento de las primeras galaxias refleja el de los halos de materia oscura de dichas galaxias. Esta similitud sugiere que, a pesar de la compleja física de la formación galáctica, la formación estelar está dominada por efectos gravitatorios; gracias a ello se puede estimar la luminosidad de una galaxia primigenia. 

La gran esperanza de los cosmólogos para estudiar en detalle la formación de las primeras galaxias es el telescopio espacial James Webb (JWST), cuyo lanzamiento está programado para 2014. Un espejo mucho mayor y unos detectores infrarrojos mucho más sensibles (capaces de observar galaxias con z > 10) permitirá un estudio detallado del papel de las primeras galaxias en la reionización. Todo el mundo espera que el JWST revolucione nuestro conocimiento sobre las galaxias más distantes y más débiles.

Cuándo comenzará la persecución a quien firma un artículo científico sin haber participado

Xavier Bosch

Una práctica muy habitual hoy en día es que haya autores de un artículo científico que ni siquiera se lo hayan leído; firman porque son los “jefes” y tienen que aparecer como coautores sin haber hecho nada, para qué molestarse siquiera en leerse el artículo. En inglés separan entre ghostwriters (autores “fantasmas”) o guestwriters (autores “invitados”). A pesar de la importancia de la autoría de artículos en la promoción profesional y que cada día es más importante tener en cuenta el número de autores a la hora de valorar un trabajo, muy pocos organismos públicos de financiación tienen políticas que eviten esta práctica fraudulenta. Algunos países ya han empezado a tomar medidas al respecto, pero muchos otros (como EE.UU. y España) aún hacen la vista gorda. Por ejemplo, la legislación danesa de 2009 sobre investigación contempla la coautoría fraudulenta como una falta grave y han publicado una guía para investigadores noveles con objeto de prevenir estas prácticas. ¿Cuándo comenzarán en España las políticas de prevención de esta práctica fraudulenta? Reflexiona sobre ello Xavier Bosch (Universidad de Barcelona, España) en un breve comentario en Nature: ”Treat ghostwriting as misconduct,” Nature 469: 472, 27 January 2011. De hecho, para Xavier, esta práctica fraudulenta debería ser penalizada al mismo nivel que el plagio, ya que, en cierto sentido, es una forma de plagio encubierto.

Los jugadores de tenis más prestigiosos de la historia según el algoritmo PageRank

Una variante del algoritmo PageRank de Google aplicada al análisis de 133.261  partidos de tenis de la ATP jugados por 3.700 tenistas profesionales entre 1968 y 2010 indica que el jugador de tenis “más prestigioso” de la historia es Jimmy Connors (EE.UU. 1970-1996), seguido de Ivan Lendl (EE.UU. 1978-1994), John McEnroe (EE.UU. 1976-2002) y Guillermo Vilas (Argentina, 1969-1992). Manuel Orantes (España 1968-1984) es el número 15, y Rafael Nadal (España 2002-2010) es el número 24; no hay ningún otro español entre los 30 primeros puestos. Los datos analizados se han obtenido de la web de la ATP (Association of Tennis Professionals). Solo se han considerado los partidos de Grand Slam y del ATP World Tour (un total de 3640 torneos entre 1968 y 2010). El artículo técnico es Filippo Radicchi, “Who is the best player ever? A complex network analysis of the history of professional tennis,” ArXiv, 20 Jan. 2011.

El algoritmo PageRank se basa en la idea de que el prestigio de un jugador no está relacionado con su número de victorias sino con la calidad de las victorias: un jugador gana más prestigio cuando le gana a jugadores con más prestigio que a jugadores con menor prestigio. Para determinar el prestigio, Radicchi ha construido un grafo que conecta los tenistas de la ATP de tal forma que el jugador j se conecta con el i cada vez que el jugador i le gana un partido al jugador j. Cada conexión entre los jugadores j e i recibe un peso w(j,i) igual al número de veces que el jugador j ha perdido con el jugador i. Para determinar el “prestigio tenista” de cada jugador se asume que cada jugador inicialmente tiene un prestigio igual a la unidad y que el prestigio se transmite a través de los enlaces de la red multiplicada por el peso. El cálculo del prestigio requiere resolver un problema de álgebra lineal (un sistema acoplado de ecuaciones lineales).

Los interesados en todos los detalles del análisis realizado disfrutarán con la lectura del artículo original. Me limitaré a resumir algunos resultados curiosos. Entre los 10 jugadores de mayor prestigio se encuentran 9 jugadores que han sido número 1 de la ATP. Jimmy Connors es el jugador con la trayectoria más regular y más larga de entre todos los jugadores, llegando a estar en el top 10 de la ATP durante 16 años consecutivos (1973-1988). Rafael Nadal, el número uno actual del ránking de la ATP, ocupa el puesto 24 en el ránking de prestigio aunque tiene una trayectoria muy corta por su gran calidad como jugador; si solo se tienen en cuenta el número de sus victorias ocuparía el puesto número 40.

Rod Laver fue el mejor jugador entre 1968-1971 (cuando el ránking de la ATP todavía no existía). Por décadas, los mejores jugadores fueron Jimmy Connors (1971-1980), Ivan Lendl (1981-1990), Pete Sampras (1991-2000) y Roger Federer (2001-2010). Los mejores jugadores en tierra batida, césped y cemento son Guillermo Vilas, Jimmy Connors y Andre Agassi, respectivamente.

En resumen, un artículo curioso del que disfrutarán todos los aficionados al tenis. Acabaré copiando el listado de los 30 tenistas más prestigiosos.

En fin, lo dicho, que mañana me pondré. Prometido

Gran entrada de Sergio Parra, “¿Qué es la procrastinación y por qué tendemos a ella?,” GenCiencia, 20 de enero de 2011. “La procrastinación es el hábito de aplazar las cosas que deberíamos hacer, enredándonos en tareas menos importantes o incluso gastando nuestro tiempo deliberadamente en cosas que nos obligamos a creer que son más perentorias. Todo ello por miedo, por pereza, porque analizar demasiado algo nos lleva a la parálisis… porque nuestro cerebro está diseñado para ello.“

“Internet en sí mismo es una fuente infinita de procrastinación.”

Según el psicólogo Gary Marcus, “entre el 15 y el 20 por ciento de todos los adultos se ven crónicamente afectados; y no puedo por menos que preguntarme si el resto sencillamente miente. A la mayoría de las personas les preocupa la tendencia a postergar; en general la describen como algo malo, perjudicial y estúpido. Y, sin embargo, casi todos incurrimos en ella.“

X Carnaval de Matemáticas: Atención, pregunta, ¿se pude oir la forma de un tambor?

“Es imposible reconocer la forma de un tambor escuchando sólo su sonido“ como conjeturó el matemático Mark Kac en 1966 y demostraron en 1992 los matemáticos C. Gordon, D. Webb y S. Wolpert. Dos regiones del plano se llaman isoespectrales si comparten el mismo espectro (los mismos autovalores) para el operador de Laplace en dicha región (los mismos valores de λ tales que Δu+λu=0 en el interior de la región y u=0 en el contorno) [wiki]. Para los interesados en este tema acaba de aparecer un artículo de revisión muy interesante: O. Giraud, K. Thas, “Hearing shapes of drums - mathematical and physical aspects of isospectrality,” Rev. Mod. Phys. 82, 2213 (2010) [ArXiv, 6 Jan 2011]. El siguiente vídeo youtube quizás llame la atención a quienes no lo conozcan ya (lo siento, está en inglés).

Esta es mi tercera contribución a la X Edición del Carnaval de Matemáticas que organizo yo mismo en este mi blog. Puedes publicar tu contribución en tu propio blog o en la web del Carnaval de Matemáticas. Esta contribución es muy cortita para que veas que también se aceptan contribuciones cortitas; no hay desgranarse los sesos para contribuir con tu granito de arena al Carnaval.

La búsqueda del quark top entre 1990 y 1995

El 1 de enero de 1990 encontrar el quark top era el problema más importante para los físicos de partículas elementales. El modelo estándar necesitaba el quark top de forma desesperada para resolver muchos de sus problemas; aunque algunos físicos habían desarrollado variantes del modelo estándar sin quark top, la mayoría de los físicos estaba convencido de que el quark top existía. Los colisionadores de leptones como DESY (colisiones electrón-positrón) indicaban que la masa del quark top era superior a 27 GeV/c² y los colisionadores de hadrones como SPS del CERN (colisiones protón-antiprotón) apuntaban a un valor mayor de 41 GeV/c² (límites similares a los conocidos en 1988). El modelo estándar (mínimo) era compatible con un quark top cuya masa fuera inferior a 200 GeV/c². Por tanto, en enero de 1990 la masa del quark top podía tener un valor cualquiera entre 41 y 200 GeV/c²; muy pocos pensaban que el valor correcto sería más próximo a 200 que a 41, como al final resultó ser (173 GeV/c²). Pocos se atrevían a considerar un quark top pesado, uno con una masa superior a la del bosón W, y muy pocos se atrevían a estudiar las consecuencias de estas ideas con objeto de guiar el análisis de los experimentos. Lejos quedaban las estimaciones de la masa del quark top que afirmaban en 1981 que su masa era mayor de 19 GeV/c², e inferior a 47 GeV/c², o las estimaciones de 1986 que apuntaban a una masa en el intervalo entre 30 y 70 GeV/c². 

El 1 de enero de 1990 algunos aún tenían esperanza de que el experimento UA2 del SPS en el CERN, bajo la dirección de Carlo Rubbia, lograra descubrir el quark top en Europa; pero para la mayoría el “único chico en la ciudad” era el Tevatrón del Fermilab, en Batavia, cerca de Chicago (EE.UU.) con sus colisiones protón-antiprotón a 1’8 TeV c.m. Se estimaba entonces que el Tevatrón descubriría el quark top con 10 /pb (inversos de picobarn) de datos de colisiones si tenía una masa menor de 120 GeV//c², pero necesitaría 100 /pb si su masa era menor de 200 GeV/c². El nuevo director del Fermilab, John Peoples, lograría el sueño, el Tevatrón descubriría el quark top; era solo cuestión de tiempo, ¿pero cuánto tiempo? Quizás era inminente o quizás se necesitarían unos cinco años, se decía entonces. John Peoples cogió el testigo de la dirección del Fermilab el 20 de abril de 1989 de la mano de Leon Lederman (ya Premio Nobel en 1988, hoy muy conocido entre el público general como autor del libro “La partícula divina” junto a Dick Teresi, en 1993). Yo creo que en 1990 Lederman se veía como futuro director del flamante Supercolisionador Superconductor (SSC), cuya construcción fue abortada en 1993 porque la estimación de su coste se había triplicado desde 1988.

El 8 de enero de 1990 las esperanzas de descubrir el quark top en Europa se desvanecieron de repente. El experimento CDF del Tevatrón (DZero inició su andadura en febrero de 1992) publicó los resultados de su primera búsqueda del quark top con colisiones protón-antiprotón a 1’8 Tev c.m., tras analizar los primeros 4’4 /pb de colisiones. Se excluía que el quark top tuviera una masa entre 28 y 72 GeV/c² al 95% C.L., es decir, el quark top tenía una masa mayor de 72 GeV/c² (solo analizaron un modo de desintegración, eμ; hubo que esperar a enero de 1992 para el análisis de los modos ee y μμ, que con los mismos datos elevó el límite inferior para la masa del quark top a 91 GeV/c² al 95% C.L.). El experimento UA2 del SPS en el CERN, que junto al experimento UA1 descubrió los bosones W y Z en 1983, era incapaz de observar un quark top tan pesado; 1990 fue el último año de colisiones de UA2. La estrella del CERN en 1990 era el colisionador de leptones LEP (colisiones electrón-positrón) que inició su andadura en agosto de 1989. LEP tampoco era capaz de descubrir un quark top tan pesado.

En septiembre de 1990 las medidas más precisas de las masas de los bosones W y Z permitían estimar la masa más probable del quark top en 151 GeV/c², siendo en cualquier caso menor de 200 GeV/c² al 95% C.L. Estas estimaciones no mejoraron mucho hasta finales de 1992. Los interesados en conocer cómo las mejores medidas de precisión de la teoría electrodébil de 1992 permitían restringir la masa del quark top disfrutarán con el artículo de Jonathan L. Rosner (octubre de 1992).

En abril de 1994, el experimento DZero del Tevatrón publicó el análisis de sus primeros 15 /pb de colisiones a 1’8 TeV c.m. (el artículo se envió en enero). La masa del quark top era mayor de 131 GeV/c² al 95% C.L. (se analizaron las desintegraciones eμ+jets, ee+jets, e+jets, y μ+jets). El quark top estaba a punto de ser descubierto. Enviado el 18 de mayo y publicado el 11 de julio, el experimento CDF del Tevatrón tras analizar 19’3 /pb de colisiones proclamó la primera evidencia de la existencia del quark top con una masa de 174 ± 17 GeV/c² (el análisis más completo se publicó el 1 de septiembre). Quizás era pronto para proclamar un descubrimiento, la certeza era solo de 2’8  σ y un descubrimiento requiere 5  σ, de hecho solo se observaron 12 eventos candidatos, cuando el fondo era de 6 eventos; además, DZero no había logrado confirmar esta evidencia. Aún así, la masa observada era consistente con la estimación teórica obtenida por el LEP en el CERN a partir de los datos de precisión electrodébil (teoría más experimentos en LEP) durante el verano de 1994, en concreto 165 ± 15 GeV/c².

La observación definitiva del quark top fue obtenida por CDF y DZero del Tevatrón en el Fermilab (los artículos fueron enviados en febrero de 1995, anunciados en rueda de prensa el 2 de marzo y publicados el 3 de abril). CDF analizó 67 /pb de datos de colisiones y observó con una certeza de 4’8 σ el quark top con una masa de 176 ± 12 GeV/c² en el canal de desintegración tt → WWbb. Por su parte, DZero analizó 50 /pb de datos de colisiones y observó con una certeza de 4’6 σ el quark top con una masa de 199 ± 29 GeV/c² (DZero observó 17 eventos candidatos sobre un fondo de 4).

Cinco años fueron necesarios para proclamar el descubrimiento del quark top. El CERN desistió cuando el Tevatrón cogió el guante.

En la actualidad, la prioridad es la búsqueda del bosón de Higgs; el Tevatrón ha desistido (por falta de financiación y por falta de confianza); el LHC en el CERN ha recogido el guante y es difícil, sino imposible, que no encuentre el Higgs en los próximos cinco años (quizás incluso antes). El descubrimiento será tardío si la masa del Higgs ronda los 115 GeV/c², pero igual que pasó con el quark top, el peor caso es el más probable según los tests de precisión de la teoría electrodébil.

X Carnaval de Matemáticas: Una suma finita para calcular la función de partición

¡¿Una teoría que revela la naturaleza de los números?! Kanijo, “Nueva teoría revela la naturaleza de los números,” Ciencia Kanija, 21 ene. 2011, que traduce a Carol Clark, “New theories reveal the nature of numbers,” Emory University Research News, 20 jan. 2011, nos deja con la miel en los labios.  Menos mal que Sarah C. Kavassalis, “Finite formula found for partition numbers,” The Language of Bad Physics, 20 Jan. 2011, nos aclara un poco el asunto (se hace eco de un EurekaAlert a partir de la noticia de Clark). ¿Qué es lo que ha hecho Ken Ono? Muy fácil, ha encontrado una expresión matemática con un número finito de términos para la función de partición. Una suma con un número finito de términos, en lugar de una serie con un número infinito de términos, como la famosa fórmula de Rademacher. ¿Es esto un avance importante en teoría de números? Sí, porque la función de partición aparece en muchos problemas tanto de matemáticas puras como aplicadas; la nueva fórmula promete muchas aplicaciones en física estadística, mecánica cuántica, e incluso teoría de cuerdas. Kavassalis afirma que todo esto huele a Medalla Fields, no lo creo, hay que recordar que Ono supera los 40 (aunque sus coautores son más jóvenes). Aprovechando que organizo el X Carnaval de Matemáticas creo necesario aclarar algo todo este asunto, en la medida de mis posibilidades.

La función de partición p(n) cuenta el número de maneras de descomponer el número n como suma de enteros positivos (menores que n, claro) teniendo en cuenta que dos sumas que solo difieren en el orden de los sumandos se cuentan una sola vez. Pongamos un par de ejemplos. El número 4 se puede escribir de 5 formas, en concreto, 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1, es decir, p(4)=5. El número 6 se puede escribir de 11 formas, en concreto, 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1. Los primeros ocho valores de la función de partición aparecen en la figura de arriba, llamada diagramas de partición de Ferrer. La función de partición crece bastante rápido como muestran sus primeros valores: p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11, p(7)=15, p(8)=22, p(9)=30, p(10)=42, p(11)=56, p(12)=77, p(13)=101, p(14)=135, p(15)=176, …, p(100)=190569292, …, p(1000) = 24061467864032622473692149727991, …

En el siglo XVII, Leonhard Euler obtuvo la función generatriz de la función p(n), dada por

Como bien dice Kanijo en su entrada, esta fórmula permite obtener un algoritmo recursivo para calcular p(n). Pero “el método es lento y poco práctico para números grandes. En los siguientes 150 años, el método sólo se implementó con éxito para calcular las primeras 200 particiones de números.“

En 1918, Srinivasa Ramanujan y G.H. Hardy inventaron el “método del círculo” que permite obtener una aproximación asintótica a la función de partición. Ken Ono ha escrito sobre la historia de este descubrimiento en su recomendable artículo “The Last Words of a Genius.” El trabajo parte de un descubrimiento de Ramanujan, como muchos otros junto a Hardy. Para ciertos valores de n la función de partición se puede evaluar utilizando aritmética modular. Por ejemplo, p(5 m + 4) = 0 (mod 5), es decir, el resto de dividir p(5m+4) entre 5 es 0; de hecho  p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135, … Igualmente, p(7 m + 5) = 0 (mod 7), de hecho, p(5)=7, p(12)=77, etc., y p(11 m + 6) = 0 (mod 11), de hecho p(6)=11, p(17)=297, etc. Estas fórmulas se pueden generalizar a potencias de 5, 7 y 11, así como a ciertos otros números. El trabajo conjunto de Ramanujan y Hardy permitió obtener la aproximación asintótica para la función de partición dada por

En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para la función de partición basada en una serie infinita pero convergente; hay varias formas de escribir esta fórmula, yo copio aquí ésta

                     

Como esta serie es convergente, para evaluarla numéricamente basta truncarla con un número suficiente de términos como para garantizar que su valor redondeado al entero más próximo no cambia debido al resto de los términos. De hecho, hay cotas al error que se comete que ayudan a utilizar esta fórmula en la práctica. Aún así, lidiar con una serie infinita en múltiples aplicaciones tiene ciertos inconvenientes.

¿Qué es lo que han logrado Ken Ono y sus colegas? En 2007 obtuvieron una fórmula para calcular p(n) que tiene solo un número finito de términos. En concreto la fórmula es

donde es una forma débil de Maass; por lo que parece demuestran en el nuevo artículo de 2011 que su expresión también se puede evaluar con un número finito de sumandos, pero mis parcos conocimientos en estos tópicos no me permitirán entender con detalle por qué es así. De hecho, la representación de esta función que presentan los autores en el artículo de 2007 es en forma de serie infinita, pero cuando la evalúan en un ejemplo concreto resulta que la convierten mágicamente en una expresión con un número finito de sumandos. En el nuevo trabajo, parece ser, han logrado demostrar que eso siempre es posible utilizando una expresión matemática recurrente que los autores afirman que tiene una forma “fractal” (funciones l-ádicas fractales, les llaman). Ayer 21 de enero dieron una conferencia técnica sobre el nuevo trabajo que el lunes próximo aparecerá en forma de preprint. Habrá que estar al tanto, aunque no creo que yo sea capaz de entender los detalles.

Espero haber aclarado un poco el asunto. El trabajo previo de estos autores es muy técnico para mí. Los interesados en más detalles podrán ver la demostración de la nueva fórmula obtenida en 2007 por Jan Hendrik Bruinier y Ken Ono en ”An algebraic formula for the partition function,” y un trabajo posterior sobre las congruencias de Ramanujan y su relación con la nueva fórmula “fractal” en Amanda Folsom, Zachary A. Kent y Ken Ono, “l-adic properties of the partition function.” En qué avanza el trabajo que se publicará el lunes próximo sobre este último trabajo, habrá que esperar al lunes para saberlo.

X Carnaval de Matemáticas: Centenario de la Real Sociedad Matemática Española

Te recuerdo que organizo la X Edición del Carnaval de Matemáticas. Te animo a contribuir con tu granito de arena (no hace falta tener un blog, puedes darte de alta en la web del Carnaval de Matemáticas y publicar tu entrada allí). Por supuesto, si tienes un blog lo más fácil es publicar la entrada en tu propio blog. El formato de la entrada es libre: desde un elaborado artículo científico a una simple imagen, pasando por el comentario de una película, un podcast o un vídeo. La única condición es que trate sobre las matemáticas en cualquiera de sus aspectos.

Mi segunda contribución al carnaval quiere recordar a todos los lectores de este blog que este año, 2011, se celebra el Centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Ayer, 20 de enero, se celebró la apertura del centenario.

“La RSME llega a su centenario en 2011 siendo una sociedad moderna y activa que trabaja para servir de apoyo a los matemáticos españoles en su empeño por mejorar la investigación, la enseñanza a todos los niveles, la amplitud de las aplicaciones, la estima del público y el reconocimiento por parte de las instituciones. Sus más de 1700 miembros, pertenecientes a todos los ámbitos del estudio y de la profesión matemática, te invitamos a participar en las conferencias, exposiciones, debates y otros actos que servirán de reconocimiento a todos los que hicieron posible nuestros cien años de historia y de reflexión sobre los retos a los que nos tendremos que enfrentar en los próximos cien y, por supuesto, a unirte a nosotros como socio y contribuir a construir el futuro de la RSME.”

Este año se celebrarán actos por toda España. Por ejemplo, el “Congreso Bienal de la RSME” se celebrará del 1 al 5 de febrero en Ávila. Este año yo no asistiré, pero muchos de mis compañeros y amigos sí lo van a hacer; seguro que disfrutarán (no sólo de Ávila y su Muralla, declarada Patrimonio de la Humanidad). Entre las conferencias invitadas destaca uno de los galardonados con la Medalla Fields en el ICM2010 (Cédric Villani). Estas conferencias invitadas cubrirán un amplio espectro de temas y, junto a las sesiones especiales, mostrarán la vitalidad de la matemática española y su relación con grandes escuelas de investigación en los países científicamente más avanzados.

También se organizan múltiples “Jornadas Científicas,” encuentros de dos o tres días que pretenden mostrar la diversidad de campos de actividad matemática, muy en particular (pero no solo) aquellos en los que resultados recientes se aplican a otras disciplinas:

• El 8 de abril, Sevilla, “Jornada de Matemáticas y Química” (que forma parte de las celebraciones en 2011 del Centenario de la Real Sociedad Matemática Española y del Año Internacional de la Química;  en ella se ofrecerán algunas muestras de la importante relación entre ambas ciencias.
• Del 1 al 3 de junio, Barcelona, “Jornadas sobre los problemas del milenio“
• Del 6 al 8 de junio, Granada, “Jornadas de Matemáticas y Ciencias de la Vida“
• Del 12 al 14 de julio, Santiago de Compostela, “Jornadas de Transferencia y Matemática Industrial“
• Del 8 al 10 de noviembre, Zaragoza, “Jornadas de Historia de las Matemáticas”
• 17 y 18 de noviembre, Murcia, “Jornadas de Criptografía“

Hay muchas otras actividades, solo quisiera acabar destacando la “Exposición RSME-Imaginary” (colección permanente), en CosmoCaixa Madrid (Alcobendas), que podréis visitar si pasáis por Madrid entre el 20 enero y el 6 de junio, de martes a domingos y festivos, de 10:00 a 20:00 h.

Las ballenas asesinas de ballenas

La orca (Orcinus orca) se llama “ballena asesina” en inglés. En el Golfo de Alaska unos biólogos marinos observaron como un grupo de orcas se estaba dando un festín con un ballenato y estaban bloqueando la migración de un grupo de ballenas grises. La falsa creencia de que las orcas no se comen a otras ballenas parece ser falsa. Durante 102 días (en 4 años), los biólogos observaron siete ataques de orcas a ballenas grises durante su migración, incluyendo tres muertes. Las orcas cazan a las ballenas grises jóvenes en grupos de tres o cuatro, bien coordinadas, mordiendo a su presa en múltiples lugares para que se desangre y nadando encima de su orificio nasal para ahogarla. En varias ocasiones las madres de los ballenatos arremetieron con ferocidad contra las orcas en defensa de sus retoños, abortando con éxito la cacería. Estos biólogos han publicado un estudio sobre el efecto de la depredación de las orcas sobre otros cetáceos en peligro de extinción. Según ellos, las orcas cambiaron de dieta debido a la presión de los balleneros que esquilmaron sus presas, pasando de cazar a otras ballenas a cazar a leones marinos y otros mamíferos que el cambio climático ha puesto a su alcance. Gracias a las políticas de protección de los cetáceos, las orcas están volviendo a disfrutar de sus presas de siempre. Nos lo cuenta Virginia Morell, “Marine Biology: Killer Whales Earn Their Name,” Science 331: 274-276, 21 January 2011, haciéndose eco del artículo técnico de Lance G. Barrett-Lennard, C.O. Matkin, J.W. Durban, E.L: Saulitis, D. Ellifrit, “Predation on gray whales and prolonged feeding on submerged carcasses by transient killer whales at Unimak Island, Alaska,” Marine Ecology Progress Series 421: 229-241, In Press, 2011.

Las orcas son miembros de la familia Delphinidae, de los delfines marinos, y en cautiverio comen pescado. Sin embargo, los balleneros en el siglo XIX y principios del XX sabían que las orcas también se comían a otras ballenas y algunas incluso se alimentaban de los cadáveres de cetáceos que estaban atados a los balleneros. ¿Cuál es el efecto de la depredación de las orcas sobre la población de ballenas grises? Barrett-Lennard ha estimado que las orcas eliminan al menos al 33% de la población de ballenatos de ballenas grises nacidos cada año. Las fotografías de individuos adultos de ballenas grises muestran gran número de cicatrices que Barrett-Lennard y sus colegas asocian al rastro de los dientes de las orcas. No solo la población de ballenas grises sufre los estragos de las orcas, también se han documentado en ballenas jorobadas (Balaena mysticetus) y en ballenas de cabeza arqueada (Balaena mysticetus). También se cree que las orcas están causando problemas en la población de narvales (Monodon monoceros).

Según Barrett-Lennard las políticas de conservación para mamíferos marinos deben tener bien presente la depredación de las orcas. ¿Hay que proteger la población de orcas? ¿O hay que proteger las poblaciones de otras ballenas de los ataques de las orcas?

Físicos británicos logran entrelazar 10 mil millones de pares de cubits en un cristal de silicio ultrapuro

Un equipo de investigadores de la Universidad de Oxford, Reino Unido, han logrado entrelazar de forma simultánea 10.000.000.000 pares de cubits (bits cuánticos) en un cristal de silicio. El siguiente paso será entrelazar estos pares de cubits entre sí para formar un ordenador cuántico masivo. Si lo logran en los próximo años habrán dado un paso de gigante hacia los ordenadores cuánticos integrados con tecnología de estado sólido. No parece fácil, pero tampoco imposible. Nos lo ha contado Eugenie Samuel Reich, “Silicon quantum computer a possibility,” News, Nature, Published online 19 January 2011, haciéndose eco del artículo técnico de Stephanie Simmons et al., “Entanglement in a solid-state spin ensemble,” Nature, Published online19 January 2011. 

Los computadores cuánticos utilizan cubits en lugar de los bits utilizados por los ordenadores convencionales. Un cubit es más poderoso que un bit porque corresponde a dos números reales en lugar de solo dos dígitos binarios {0,1}. Estos números reales representan el estado de superposición cuántico α|0>+β|1> (aunque α y β son números complejos, con cuatro componentes reales, el cubit siempre se puede representar como un punto en una esfera, caracterizado por dos ángulos, latitud y longitud). El secreto de los computadores cuánticos, por el cual son más poderosos en ciertas tareas que los computadores clásicos, es la posibilidad de entrelazar diferentes cubits entre sí durante la ejecución de un cómputo. El gran problema de los computadores cuánticos es que estos estados entrelazados son muy inestables y se destruyen fácilmente (la famosa decoherencia cuántica). El récord del ordenador cuántico con un mayor número de cubits entrelazados hasta hoy es solo de 12 cubits. Muy pocos para que sea de ninguna utilidad práctica (la mayoría de las aplicaciones prácticas requieren más de 1 millón de cubits entrelazados).

Stephanie Simmons, su director de tesis John Morton, y otros colegas, han logrado entrelazar 10 mil millones de pares de cubits almacenados en los estados cuánticos de átomos de fósforo incrustados en un cristal de silicio enfriado a 2’9 Kelvin. Han entrelazado el espín del núcleo de los átomos de fósforo con el espín de uno de los electrones que los orbita. Ahora el problema que tendrán que resolver los investigadores es como entrelazar estos átomos de fósforo entre sí. No parece fácil, pero Morton cree que no es imposible con las tecnologías actuales.

La gran ventaja de usar tecnologías de estado sólido (silicio dopado con fósforo) para implementar un computador cuántico es la gran versatilidad de esta tecnología y su posible compatibilidad con la utilizada en los computadores convencionales. El gran inconveniente es que el silicio ultrapuro utilizado (isótopo 28 Si) no tiene nada que ver con el silicio que se usa para los chips en microelectrónica. Cualquier rastro del isótopo 29 Si, que es magnético, destruiría el entrelazamiento de los cubits.

El “jefe” (Morton) afirma que serán necesarios entre 3 y 5 cinco años de investigación para lograr entrelazar los átomos de fósforo entre sí en el cristal de silicio. La tecnología para controlar uno a uno los átomos de fósforo parece asequible, pero aún no se sabe cuántos átomos de fósforo lograrán entrelazar entre sí.

Aún así, la esperanza es lo último que se pierde y la tecnología de los computadores cuánticos avanza lenta pero segura hacia la gloria. El siglo XXI promete ser el siglo de los computadores cuánticos para aplicaciones de propósito específico. Lo que no sé es si yo llegaré a verlo, o será cosa de mis nietos.

Mi opinión sobre la fusión fría alcanzada por los italianos Focardi y Rossi

Una de nuestros lectores, Juan, preguntaba mi opinión sobre la supuesta fusión fría lograda por unos italianos de la Universidad de Bolonia y presentada en rueda de prensa el sábado 15 de enero de 2011. Le contesté que el enlace al blog Journal of Nuclear Physics (curioso nombre para un blog) que presenta el resultado estaba caído; solo pude leer lo que se decía en Next Big Future. Más tarde he podido leer dicho artículo (que incluye vídeos en youtube en italiano, fáciles de entender). Andrea Rossi y Sergio Focardi afirman haber logrado la fusión nuclear en frío utilizando níquel e hidrógeno mediante un nuevo proceso “bajo secreto industrial”que permite obtener más energía de la consumida para ponerlo en marcha. ¿Cómo demuestran este exceso de energía? Calentando agua… Sí, calentando agua… Buena demostración, sin lugar a dudas, nada que ver con Pons y Fleischmann que afirmaron en 1984 haber detectado neutrones. Si algún despistado quiere leer el artículo “técnico” de los autores es S. Focardi, A. Rossi, “A new energy source from nuclear fusion,” Blog “Journal of Nuclear Physics,” March 22, 2010.

La idea es que un núcleo de hidrógeno (un protón, p) y el núcleo de un isótopo de níquel (Ni) reaccionan formando un núcleo excitado de cobre (Cu) que decae en otro isótopo de níquel liberando energía. Según los autores, promediando los isótopos presentes en el níquel usado en su experimento estiman una producción de energía de unos 35 MeV. Los italianos no aclaran el “secreto” del sistema y para no mojarse indican que no conocen los detalles “íntimos” del proceso físico. Aún así, en su opinión el mecanismo es cuántico, algún tipo de efecto túnel de alta frecuencia que logra que las fuerzas electromagnéticas superen las fuerzas nucleares durante un tiempo muy corto (hablan de picosegundos) de tal forma que el principio de incertidumbre de Heisenberg permita un exceso de energía que es recuperado por el dispositivo. Los interesados pueden consultar la patente. Obviamente, la física que todos conocemos impide esta generación “gratis” de energía.

¿Cuál es mi opinión sobre todo esto? Otra magufada más… Ni la rueda de prensa ni los artículos “técnicos” tienen por donde cogerlos. He perdido un buen rato con este asunto pero bueno, espero al menos haber logrado que pocos de vosotros lo perdáis también.

Todo esto me recuerda las palabras de Bernard J. Feldman (Physics Today, pág. 12, Nov. 2010) sobre la diferencia entre la fusión fría de Pons y Fleischmann y la superconductividad a alta temperatura. Feldman recuerda lo que pasó en el siguiente congreso de la Sociedad de Física Americana (APS) tras el anuncio de estos dos descubrimientos. En el caso de la superconductividad de alta temperatura, más de cien físicos informaron de que habían logrado repetir el experimento y habían observado la superconductividad de alta temperatura. En el caso de la fusión fría de Fleischman y Pons, muchas menos charlas y la mayoría muy críticas con la fusión fría, incluyendo físicos a los que les había sido imposible repetir el resultado. Por cierto, Feldman contesta a unas cartas al director en relación a su reseña al libro de David L. Goodstein, “On Fact and Fraud: Cautionary Tales from the Front Lines of Science,” Princeton University Press, 2010. Libro que desde aquí recomiendo.

XV Carnaval de Física: Cómo producen electricidad las bacterias oceánicas Shewanella

Manuel Sánchez, autor de “Curiosidades de la Microbiología,” organiza la XV Edición del Carnaval de la Física. El límite para enviar entradas es el 25 de enero; él recopilará las entradas el 30 de enero en su blog. ¡Anímate y participa! Como el blog anfitrión quiere que “si es posible, que las entradas traten un tema que tenga alguna relación con el mundo de la Física y sus relaciones con los mundos de la Biología y/o de la Química,” mi primera entrada será, faltaría más, de microbiología: las bacterias capaces de producir electricidad.

El catabolismo, el conjunto de reacciones químicas que transforma los nutrientes en energía, produce electrones innecesarios como desechos; respiramos para que las moléculas de oxígeno lleguen a través de la sangre a nuestras células, acepten estos electrones de desecho e iones de hidrógeno produciendo agua. Pero las bacterias que viven en entornos que carecen de oxígeno (como la bacteria marina Shewanella oneidensis), no pueden digerir estos electrones sobrantes y los excretan a través de su membrana si entran en contacto con un mineral extracelular adecuado, como hierro, manganeso u óxidos de uranio. Los físicos y los químicos pueden aprovechar estos electrones para obtener pilas de combustible basadas en bacterias. Baterías eléctricas vivas que pueden usarse para producir biocombustibles o como fuentes renovables de energía. Muchos habréis oído de hablar de este asunto pero, ¿cómo excretan electrones estas bacterias? Nadie lo sabe, pero muchos físicos están tratando de averiguarlo. Nos lo cuenta Ashley G. Smart, “Two experiments, two takes oon electric bacteria,” Physics Today 63: 18-20, December 2010 [copia gratis].

Todavía es un misterio para la ciencia el mecanismo exacto por el que las proteobacterias  Shewanella excretan electrones. Las dos explicaciones más habituales son: (1) estas bacterias segregan unas moléculas lanzadera que se difunden en la superficie del metal, depositan los electrones, y retornan a la pared celular para repetir el proceso; y (2) estas bacterias en contacto con un metal adecuado, liberan directamente los electrones a través de la pared celular. Los investigadores que defienden la primera hipótesis afirman que las moléculas lanzadera son flavinas, como la riboflavina (vitamina B2); pero algunas bacterias productoras de electricidad como las geobacterias son incapaces de secretar flavinas. Los investigadores que defienden la segunda hipótesis afirman que si las proteobacterias del género Geobacter son capaces de transferir directamente electrones a través de su membrana, por qué no lo van a poder hacer sus primas hermanas del género Shewanella.

La solución podría ser el experimento, pero los experimentos no son como Salomón (que fue capaz de decidir la madre del bebé). Dos grupos de investigadores han demostrado que ambas hipótesis podrían ser correctas.

La primera hipótesis ha sido corroborada por Charles Lieber (Universidad de Harvard) y Bradley Ringeisen (Laboratorio de Investigación de la Marina en Washington, DC). La segunda hipótesis ha sido corroborada por Mohamed El-Naggar (Universidad de California del Sur) y Yuri Gorby (Instituto de J. Craig Venter en San Diego, California). Quizás la solución sea salomónica, ambas hipótesis son correctas: dos mecanismos alternativos en la Shewanella para la misma función.

Lieber y Ringeisen han desarrollado una pila de combustible basada en nanoelectrodos multicapa alternando oro y titatnio sobre un sustrato de cristal. En lugar de exponer directamente el cultivo bacteriano a estos nanoelectrodos, han recubierto los nanoelectrodos con una capa aislante de 400 nanómetros de nitruro de silicio en la que han hecho agujeros. Como muestra la figura de arriba, electrodo de la izquierda, en un caso eran muchos agujeros muy pequeños, de unos cientos de nanómetros de diámetro, y en el otro caso, electrodo de la derecha en la figura, la ventana era enorme, de unos 6×10 μm. En ambos casos, el área total expuesta las bacterias era idéntica. Y en ambos casos la respuesta del electrodo fue idéntica: unos 5 pA tras unos 20 minutos, como muestra la figura de arriba, derecha. Según Lieber y Ringeisen la razón es que hay una molécula lanzadera capaz de penetrar en los agujeros más pequeños sin necesidad de que la pared celular de la bacteria haga contacto con los nanoelectrodos.

Resuelto el asunto. No, ya que las proteobacterias Shewanella tienen un flagelo cuyo diámetro es menor que los agujeros utilizados y podría penetrar por ellos hasta hacer contacto con los nanoelectrodos. Gorby decidió estudiar si estos flagelos son capaces de conducir la electricidad (y excretar electrones). Gracias a la ayuda de El-Naggar, experto en fabricación de nanohilos han logrado medir la resistencia eléctrica del flagelo (figura de arriba, izquierda) y resulta que mide 1 Ω·cm (como un semiconductor moderado). Más que suficiente para ser responsable del flujo total de electrones por segundo (la corriente eléctrica) que produce la cada bacteria Shewanella. Para verificar su resultado han depositado bacterias sobre una matriz de oro y óxido de silicio (figura de arriba, derecha) y han utilizado un microscopio de fuerza atómica para determinar la resistividad de forma directa y han obtenido el mismo resultado (1 Ω·cm).

En resumen, los flagelos con un diámetro entre 5 y 10 nm podrían atravesar los agujeros del primer experimento y conducen lo suficiente como para ser responsables del efecto observado sin que exista ninguna molécula lanzadera. Pero Lieber y Ringeisen no dan su brazo a torcer y han decidido probar de otra forma su hipótesis. Han bañado un cultivo de proteobacterias con un fluido rico en flavinas y luego han retirado dicho fluido. La corriente ha desaparecido de repente, aunque muchas bacterias seguían adheridas al electrodo. Luego han vuelto a introducir el fluido y la corriente ha vuelto a recuperarse.

Entonces, ¿cuál de las dos hipótesis es la correcta? Quizás sean correctas las dos. La evolución podría haber dotado a las proteobacterias de dos mecanismos alternativos para excretar los electrones de desecho de su catabolismo.

Publicar en revistas de acceso gratuito (open access)

Solo el 10% de los artículos científicos se publican en revistas de acceso gratuito (Open Access), pero el 90% de los científicos cree que el acceso gratuito es beneficioso para la ciencia. Así lo indica una encuesta realizada el año pasado a 53.890 científicos/autores de 162 países (solo 38.358 han contestado a todas las preguntas). Los resultados se acaban de publicar en el Simposio SOAP (Proyecto Europeo FP7), 13 de enero. Para los interesados en este tema, las transparencias de las cuatro charlas presentadas están disponibles gratis, como no iba a ser menos: “The landscape of Open Access Publishing today,” “What scientists think about Open Access Publishing today,” “Open Access Publishing today: what scientist do and why,” y “Where Open Access Publishing is coming from and where it is going to.” Permitidme algunos números para ir abriendo boca.

El número total de revistas de acceso gratuito es de 4032, de las que 2838 son solo en inglés, aunque el 22% de todas las revistas científicas son mixtas y publican artículos de acceso gratuito (un 2% del total). En las revistas de acceso gratuito en inglés se han publicado un total de 116.883 artículos. El 90% de las editoriales tiene una sola revista de acceso gratuito, el 9% tiene menos de 10 (491 revistas), y solo 5 editoriales tienen más de 50. Menos del 10% de las editoriales publican más del 75% de todos los artículos de acceso gratuito.

¿Qué impacto tienen estas 2838 revistas? Solo 313 (11%) tienen índice de impacto en el ISI-JCR (2008), aunque 1176 (41%) son indexadas en Scopus (2009). Como se observa en la figura de arriba para cuatro áreas (Biología, Medicina, Geociencias y Química), el índice de impacto medio de las revistas de acceso gratuito es menor que el del resto porque su número es más pequeño, pero su comportamiento es similar al del resto de las revistas en todas las áreas.

La opinión general de los científicos entrevistados es que las revistas de acceso abierto son beneficiosas para la ciencia (más o menos el 90% de las opiniones, dependiendo del campo del saber). Los científicos que ven problemas en este tipo de publicaciones indican que puede afectar al proceso de revisión por pares (ya que los autores pagan por publicar), puede crecer el número de revistas que publican trabajos de baja calidad científica, si los autores tienen que pagar por publicar tendrán menos dinero para investigar, y no hay ningún beneficio en que los artículos sean de acceso gratuito para el público en general. Los científicos a favor de estas publicaciones afirman que los resultados de la investigación pagada con fondos públicos debe ser de acceso gratuito, los artículos de acceso gratuito son más leídos y más citados que los que no lo son, y el acceso a las revistas por suscripción penaliza la investigación de las instituciones que no pueden pagar sus altos costos (como en las universidades en países en vías de desarrollo).

Para los interesados en más detalles, les remito a las transparencias indicadas más arriba o la página web del Proyecto SOAP.

PS (20 ene. 2010): Gretchen Vogel, “Open Access Gains Support; Fees and Journal Quality Deter Submissions,” Science 331: 273, 21 January 2011, también se hace eco del informe publicado por el proyecto SOAP.

X Carnaval de Matemáticas: Un matemático español y los polinomios ortogonales excepcionales

Te recuerdo que organizo la X Edición del Carnaval de Matemáticas. Te animo a contribuir con tu granito de arena (no hace falta tener un blog, puedes darte de alta en la web del Carnaval de Matemáticas y publicar tu entrada allí). Por supuesto, si tienes un blog lo más fácil es publicar la entrada en tu propio blog. El formato de la entrada es libre: desde un elaborado artículo científico a una simple imagen, pasando por el comentario de una película, un podcast o un vídeo. La única condición es que trate sobre las matemáticas en cualquiera de sus aspectos.

Mi primera contribución al carnaval está relacionada con la entrada de Sergio Pérez Acebrón, “¿En qué ha cambiado tu opinión este año gracias a la ciencia?,” Amazings.es, 30 Dic. 2010. Yo he cambiado de opinión muchas veces este año gracias a la ciencia, pero seleccioné para Amazings.es una de ellas, relacionada con la física. Para esta entrada voy a seleccionar un cambio de opinión relacionado con las matemáticas.

Yo pensaba que la teoría de polinomios ortogonales estaba muerta y que no había nuevas ideas felices en este campo hasta que descubrí en 2010 el trabajo de David Gómez-Ullate, de la Universidad Complutense de Madrid, y sus colegas (el trabajo original es de 2008). La idea de los polinomios ortogonales excepcionales es tan simple, que cuando uno la lee se pregunta ¿cómo no se me ocurrió a mí? Pero así son las sorpresas en matemáticas. En 2010 yo cambié de idea respecto a los polinomios ortogonales y la teoría de Sturm-Liouville al descubrir que están tan vivas como si se acabaran de descubrir. 

Los polinomios ortogonales y sus propiedades aparecen en gran número de problemas aplicaciones en física, en química y en matemáticas. La teoría tuvo sus inicios a principios del s. XIX con los trabajos de Legendre y Laplace en mecánica celeste, y con la teoría de Sturm y Liouville en los 1830, alcanzando toda su generalidad gracias a Chebyshev en los 1850. El teorema de Bochner (1929) clasificó todas las familias de polinomios ortogonales que eran solución de un problema de Sturm-Liouville. Durante el resto del s. XX poco más quedaba por hacer, más allá de estudiar su evaluación numérica y estudiar generalizaciones más exóticas. Pero el s. XXI nos ha traído una gran sorpresa de la mano del matemático español David Gómez-Ullate y sus colegas. Una generalización trivial de una familia de polinomios ortogonales cuyo primer polinomio es una constante es considerar que el primer polinomio tenga un grado mayor de cero. ¿Una idea trivial? Quizás, pero han sido necesarios 80 años para que se le ocurriera a alguien. Los polinomios ortogonales excepcionales son un tema muy candente y van a dar mucho que hablar en los próximos años por su gran número de aplicaciones en química teórica, en física teórica y en la matemática de los sistemas integrables. Por ello, el artículo que presentó esta idea es uno de los más citados en matemáticas durante el año 2010. Al segundo coautor le entrevistan en “Niky Kamran Discusses Orthogonal Polynomials,” New Hot Paper Commentary, November 2010. Para los interesados en los artículos técnicos: David Gomez-Ullate, Niky Kamran, Robert Milson, “Exceptional orthogonal polynomials and the Darboux transformation,” J. Phys. A 43: 434016, 2010 [ArXiv, 13 Feb 2010], y David Gomez-Ullate, Niky Kamran, Robert Milson, “An extended class of orthogonal polynomials defined by a Sturm-Liouville problem,” J. Math. Anal. Appl. 359: 352-367, 2009 [ArXiv, 24 Jul 2008].

El teorema de Bochner (1929) afirma que si una sucesión infinita de polinomios es solución del problema de autovalores de segundo orden

entonces  y deben ser polinomios de grados  y , respectivamente. Más aún, si la sucesión  es un sistema de polinomio ortogonales, entonces tiene que ser (salvo por una transformación afín en ) uno de los sistemas clásicos de polinomios ortogonales, es decir, los de Jacobi, Laguerre o Hermite. Gómez-Ullate et al. han demostrado que existen sistemas de polinomios ortogonales, definidos por problemas de Sturm-Liouville, más allá de estas familias clásicas si se permite que el primer polinomio de la suceción tenga un grado mayor de cero, es decir, familias de polinomios ortogonales con la forma , donde . Esta clase de polinomios siempre se puede extender hasta el grado cero, pero los primeros polinomios  no son de cuadrado integrable y por tanto son solo soluciones formales a la ecuación diferencial.

Pongamos un ejemplo de familia de polinomios excepcionales, los polinomios de Laguerre , denotados por , , cuyos primeros miembros son

para  Estos polinomios son ortogonales respecto a un producto interior cuya función peso es

por lo que estos polinomios son ortogonales respecto al productor interior dado por

Como se puede observar, la sucesión de polinomios de Laguerre empieza con un polinomio de grado 1. Otra familia de polinomios ortogonales excepcionales es la familia de polinomios de Jacobi (remito para su definición exacta a los artículos técnicos).

Gómez-Ullate et al. demuestran en su artículo que la sucesión , con , corresponde a las autofunciones que son solución de ecuaciones diferenciales de la forma

donde  y son polinomios de grados ,  y , respectivamente.

Más aún, han demostrado que todos los polinomios ortogonales excepcionales con son o polinomios de Laguerre o polinomios de Jacobi . La caracterización completa de los polinomios ortogonales excepcionales para , hasta donde yo sé, sigue siendo un problema abierto.

Aunque esta generalización de los polinomios ortogonales parece muy sencilla, tan sencilla, las aplicaciones de los polinomios ortogonales excepcionales están empezando a surgir en muchísimos campos, como los sistemas cuánticos integrables, que se pueden resolver de forma exacta. Sin lugar a dudas, estas nuevas familias de polinomios ortogonales tendrán una larga y próspera vida durante el s. XXI. ¿Qué más ideas felices nos deparará este siglo?