Fotos del impacto de una gota de líquido viscoso sobre una superficie lisa

Lo dicho en el titular, fotos de una gota de líquido que impacta sobre una superficie lisa, dura y seca, que se disemina en forma de una lámina de pequeño espesor. Fotos en las que ms significa milisegundos, kPa significa kilopascales, y cSt significa centiStokes. La foto está extraída del artículo técnico de Michelle M. Driscoll, Cacey S. Stevens, Sidney R. Nagel, “Thin Film Formation During Splashing of Viscous Liquids,” ArXiv, 16 May 2010. Me ha gustado la foto y punto. Por cierto, se trata de gotas de aceite de silicona y la gota a 1 cSt tiene un diámetro de 3’4 mm y la más viscosa con 10 cSt solo de 3’1 mm. Y no voy a decir más.

El contraejemplo a la conjetura de Hirsch de Francisco Santos (Universidad de Cantabria)

Faltan dos días para que se inicie el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM 2010) en la India. Un buen momento para recordar el resultado matemático más importante de este año, hasta hoy, protagonizado por un español. Francisco Santos Leal encontró un contraejemplo a la conjetura de Hirsch en programación lineal propuesta en 1957. Hay muchas fuentes en la web para esta noticia. Gaussianos contactó con el propio Francisco quien nos explicó de primera mano la noticia en ^DiAmOnD^, “Francisco Santos encuentra un contraejemplo que refuta la conjetura de Hirsch,” Gaussianos, 24 de Mayo de 2010. El texto era un extracto de un artículo que aparecería en la “La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.” Francisco tuvo la gran idea de publicar dicho artículo, en español, también en ArXiv, gratis para todos. Francisco Santos, “Sobre un contraejemplo a la conjetura de Hirsch,” ArXiv, 19 Jul 2010 [La Gaceta de la RSME 13: 525-538, 2010]. No sé, di por hecho que en Gaussianos dedicarían una entrada a dicha publicación. Sin embargo, parece que se les ha pasado. Solo se hicieron eco de la publicación del artículo técnico en inglés, Francisco Santos, “A counterexample to the Hirsch conjecture,” ArXiv, 14 Jun 2010, en su entrada ^DiAmOnD^, “El contraejemplo de Francisco Santos,”  Gaussianos, 16 de Junio de 2010. Permitidme unas líneas sobre el contraejemplo. Más información obviamente en el artículo de La Gaceta.

Un problema de programación lineal es un problema de optimización del tipo Maximizar/minimizar

,

sujeto a las restricciones

El método más famoso y más utilizado para resolver este problema es el método del símplice (también conocido como método del simplex) popularizado/redescubierto por George Dantzig (en realidad el método era ya conocido desde la época de Fourier a principios del s. XIX para resolver sistemas de desigualdades y ha sido redescubierto muchas veces, siendo el ruso L. V. Kantorovitch quien recibió en 1975 el Premio Nobel de Economía por su redescubrimiento alrededor de 1939, cosas de la historia). Este problema de optimización puede parecer una menudencia, casi una trivialidad, pero su resolución gracias al método del símplice es, sin lugar a dudas, el problema matemático que más dinero ha generado en toda la historia. Durante la II Guerra Mundial se utilizó para planificar operaciones militares (por eso se llama investigación de operaciones al campo de estudio de la optimización de funciones y problemas). Hoy en día, no solo todo matemático, sino también todo ingeniero y todo economista estudia investigación operativa.

¿Cuál es la idea del método del símplice? La región de puntos del espacio de n dimensiones que cumple con las restricciones es un politopo (la versión en n dimensiones de un poliedro en 3 dimensiones o de un polígono en 2 dimensiones). La solución del problema es un vértice de este politopo (en 2 dimensiones un vértice del polígono y en 3 dimensiones un vértice del poliedro). El problema no tiene solución si el politopo es el conjunto vacío, puede haber infinitas soluciones, si la solución es una arista o una cara del politopo, y la solución puede ser no acotada, si el politopo no es un conjunto acotado. La idea del método del símplice es determinar un vértice del politopo; si el origen es un vértice (cumple las restricciones), se toma el origen y se habla del método del símplice de una sola fase; si el origen no es un vértice, se habla del método del símplice de las dos fases, donde la primera fase es otro problema del mismo tipo pero con una función objetivo diferente, cuya solución es un vértice del politopo). El método del símplice consiste en ir saltando de vértice a vértice, solo entre vértices adyacentes (unidos por una arista en el politopo), mientras se pueda ir mejorando el valor de la función objetivo. Un símplice es el politopo formado por un vértice y todos n vértices adyacentes, en n dimensiones (en 2 dimesiones un símplice es un triángulo y en 3 dimensiones es un tetraedro). El salto de un vértice a otro adyacente se puede interpretar como el salto de un símplice a otro símplice adyacente. El algoritmo del símplice acaba cuando no podemos saltar a ningún vértice (o símplice) que mejore el valor de la función objetivo. El salto de un vértice a otro se obtiene aplicando el método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. Omitiré más detalles matemáticos (bien conocidos por matemáticos, ingenieros, economistas, …).

Como el algoritmo del símplice se basa en saltar de un vértice a otro, el número de pasos del algoritmo depende del número mínimo de pasos que hay dar para conectar dos vértices cualesquiera del politopo. A este número se le llama diámetro (combinatorio) del grafo del politopo. Dados dos vértices cualesquiera es el número mínimo de aristas por las que hay que pasar para conectar ambos vértices considerando el politopo como si fuera un grafo. La Conjetura de Hirsch (1957) afirma que el diámetro (combinatorio) del grafo de un politopo de dimensión n definido por m desigualdades no puede ser nunca mayor que m - n. Parece una tontería, pero es un resultado cuya demostración ha escapado de las manos de los matemáticos durante los últimos 50 años. Francisco Santos ha encontrado un politopo de dimensión 43 con 86 caras y un diámetro mayor que 43. Para construir este contraejemplo de la conjetura ha utilizado una generalización del Teorema de los n pasos de Klee y Walkup. Francisco ha demostrado la existencia de su contraejemplo aplicando 38 veces un resultado matemático llamado Lema del Huso aplicado a un politopo en 5 dimensiones y 48 caras que viola cierta el Teorema de Klee y Walkup. Este politopo aparece explícitamente en su demostración, sin embargo, Francisco aún no ha sido capaz de construir y verificar explícitamente que su politopo de dimensión 43 realmente viola la Conjetura de Hirsch. Su demostración no es constructiva. Los interesados en saber qué es el teorema de los n pasos y el lema del huso pueden recurrir al artículo en La Gaceta de Francisco. Los interesados en los detalles de la demostración tendrán que pelearse con el artículo técnico en inglés en ArXiv (la demostración ocupa unas 20 páginas del artículo, que tiene 27).

¿Para qué sirve todo esto? Para estudiar la complejidad computacional (el número máximo de pasos) del método del símplice. El método del símplice es un método muy utilizado y es bastante eficiente en la práctica pero el análisis de su complejidad presenta muchas dificultades matemáticas. Hay varias variantes del método del símplice en las que se ha demostrado que su complejidad en el peor caso es exponencial (no polinómica). Estas variantes dependen de cómo se elige el nuevo vértice al que saltar a partir del vértice actual (regla de la selección del pivote). Sin embargo, no se sabe si existe alguna regla de elección de pivotes que garantice que dicha variante del método tiene una complejidad en el peor caso polinómica. En la práctica, los experimentos por ordenador con problemas aleatorios, han demostrado que la complejidad (número de pasos) del método está entre 2 (m-n) y 3  (m-n), donde m es el número de restricciones (desigualdades, incluyendo las de positividad de las variables de decisión) y n la dimensión del vector solución (nótese que m>n por el teorema de Rouché-Frobenius para sistemas lineales).

Todo parece indicar que las técnicas del teorema generalizado de los n pasos utilizado por Francisco Santos permitirán abrir nuevas vías de ataque al problema del estudio de la complejidad computacional del método del símplice. Esperemos que así sea. En cualquier caso, enhorabuena Francisco y deseamos volver a tener noticias tuyas en un futuro cercano.

Los científicos que citan más, reciben más citas, según un estudio de 50000 artículos publicados en Science

Un análisis de 53.894 artículos publicados en la revista Science durante el último siglo (1901-2000) indica que los artículos más citados son los que incluyen un mayor número de referencias. Gregory D. Webster, psicólogo de la Universidad de Florida, Gainesville, EEUU, director de esta investigación afirma que “hay una fuerte relación entre el número de citas que recibe un documento y su número de referencias, por lo que quien quiera ser más citado, debería citar a más personas.” Webster también ha encontrado el mismo efecto en otras revistas, como el Journal of Consulting and Clinical Psychology, y Evolution and Human Behavior. Webster ha presentado su trabajo el 7 de agosto en la Conferencia de la Sociedad Internacional para la Psicología de la Ciencia y la Tecnología, Berkeley, California. Sorprende que a finales del siglo XX la correlación entre citar y ser citado ha aumentado en un factor de tres respecto a principios de siglo. Webster afirma que “según la mayoría de indicadores este efecto es muy grande y sorprende que sea más importante en los artículos estándar que en los artículos de revisión.” ¿Por qué ocurre? Webster ha emprendido una investigación a base de entrevistas con científicos para tratar de entender este fenómeno. Su opinión es que la causa es el altruismo recíproco (pórtate bien con los que se porten bien contigo). Jonathan Adams, un experto en bibliometría para Thomson Reuters, dice que aunque los hallazgos son “interesantes,” no son “sorprendentes.” Nos lo ha contado Zoë Corbyn, “An easy way to boost a paper’s citations. An analysis of over 50,000 Science papers suggests that it could pay to include more references,” News, Nature, Published online 13 August 2010. El artículo de G.D. Webster se titula “”Scientists Who Cite More Are Cited More: Evidence from over 50,000 Science Articles,” International Society for the Psychology of Science and Technology, 2010 Conference Scientific Program, August 7.

PS (19 agosto 2010): Cuando escribí esta entrada, basándome en una noticia aparecida en Nature, no estaban disponibles las transparencias de la charla de Webster en la web, pero ahora ya están disponibles. Gracias a ellas podemos contemplar la gráfica de los resultados que sustentan la correlación observada por Webster. Aquí la tenéis.

No hay que ser un experto en estadística para obsevar que la correlación positiva (observada que ambos ejes son logarítmicos) entre las Referencias (eje de abcisas) y Citas (eje de ordenadas) es completamente espuria. Quien vea una línea recta “gruesa” en esta figura que levante la mano. Una figura de este tipo claramente muestra que no hay ningún tipo de correlación entre ambas variables. Como bien nos ha indicado nuestro lector José Luis Ortega, a quien agradezco el comentario, Philip Davis discute con detalle esta correlación espuria en ”Reference List Length and Citations: A Spurious Relationship,” Scholarly Kitchen, 18 August 2010.  Recomiendo encarecidamente la lectura de dicha entrada.

La correlaciones espurias (no sustentadas por un modelo/explicación subyacente) son uno de los grandes problemas de la ciencia moderna. Davis nos pone el ejemplo del incremento en el consumo de helados que está correlacionado con el incremento del número de asesinatos (no están relacionados pero ambos ocurren en verano). Yo pondría el ejemplo de los tests que demuestran que los niños con pies más grandes son capaces de sumar mejor (obviamente, los niños de mayor edad suman mejor que los más pequeños). Las correlaciones espurias son algo que siempre tenemos que tener presentes.

Este último ejemplo lo he extraído de Bartolo Luque Serrano, “Mentiras, pecados y abusos estadísticos,” Web Personal Bartolo, Unidad Docente de Matemática Aplicada y Estadística, E.T.S.I. Aeronáuticos, Universidad Politécnica de Madrid. Aprovecho esta ocasión, tan buena como cualquier otra, para recomendar la web de Bartolo Luque y un repaso a su buena lista de publicaciones. Tengo una asignatura pendiente, una entrada sobre su libro “El mundo es un pañuelo.”

Una imagen que ilustra el corrimiento al rojo de 46420 cuásares

Espectro visible e infrarrojo cercano para 46420 cuásares según SDSS-3. (C) X. Fan y SDSS.

 

A veces “bucear” en el pasado gracias a Internet te lleva por caminos inesperados. A veces una imagen vale más que mil palabras. La imagen de arriba muestra el espectro (entre 400 nm y 900 nm) de 46420 cuásares obtenido por el telescopio del Sloan Digital Sky Survey (en su tercera publicación de datos, actualmente ha observado más de 120000 cuásares). Cada espectro se ha convertido en una línea horizontal. Las bandas brillantes representan picos en el espectro que corresponden a la emisión de ciertos iones de hidrógeno, carbono, oxígeno, magnesio e hierro. Estas líneas de emisión están desplazadas hacia longitud de ondas más grandes, corrimiento hacia el rojo (hacia la derecha en la figura) en función de la distancia a la que se encuentra el cuásar de nosotros, distancia que crece debido a la expansión del universo. Esta figura (que aparece en la portada de la web del SDSS) me parece muy interesante ya que es muy diferente a lo que uno está acostumbrado a ver como un espectro de un cuásar. En la web del SDSS “Redshift Gallery: Quasars” podéis ver múltiples espectros con z=0’1, 0’2, … 1’1, 1’2, … 4’1, 4’2, … 5’0. Permitidme tres ejemplos con z=0’1, 1’1 y 2’1. 

 

Las imágenes y las figuras en ciencia son muy importantes. La primera figura ese buena para ilustrarnos el corrimiento el rojo, pero quizás no tan buena para ayudar a determinar el corrimiento al rojo de una cuásar concreto. Las tres figuras de espectros concretos nos ilustran mucho mejor lo mucho que cambia el espectro de un cuásar conforme su incremento al rojo aumenta. La Visualización Científica es el campo de la ciencia que se dedica a estudiar como se deben presentar los datos para facilitar su comprensión. Como ciencia es más un arte que una técnica, un arte que requiere mucho conocimiento técnico, pero un arte al fin y al cabo.

Simplemente una estupidez…

Mucha gente piensa que el cine en 3D es “simplemente una estupidez” [1]. El séptimo arte es complicidad, una historia que nos entretiene, unas emociones que nos excitan y unas imágenes que nos seducen. “Quien es sincero consigo mismo debe admitir que regresa al cine para seguir maravillándose de lo que ve, para mantener intacta la capacidad de asombro. Uno ve cine por entretenimiento, por simple y llana diversión. [...] Aunque todo cinéfilo sabe que 95% del cine que se hace en el mundo es un producto espurio, técnicamente pobre, mal concebido y mal realizado” [2]. El cine 3D todavía no es el sensorama de Aldous Huxley en “Un mundo feliz” en el que los espectadores sienten las sensaciones físicas de los actores en pantalla (sobre todo en películas X) [3]. Pero ha llegado para quedarse. La discusión sobre el cine 3D siempre me recuerda a la maravillosa obra maestra de Victor Fleming “Lo que el viento se llevó” (1939).

“Lo que el viento se llevó” fue una de las primeras películas realizadas en color con (casi) la primera técnica de color de la historia, el Technicolor. Era un procedimiento muy caro y con los años fue substituido por otras técnicas peores pero mucho más baratas (como el Eastmancolor). La pureza de colores del Technicolor era maravillosa, comparable a la que se obtiene en la actualidad. El Technicolor surgió alrededor de 1920, pero no fue conocido por el gran público hasta que Walt Disney lo utilizó a principios de los 1930 (en cortometrajes de animación tan famosos como “Los tres cerditos”). Mucha gente decía en aquella época que el “color” solo servía para películas “infantiles” y que era “simplemente una estupidez…”

Las primeras películas de acción real en Technicolor se rodaron entre 1934 y 1935. Los buenos aficionados al cine afirmaban que el color no aportaba nada a una película y que solo servía para encarecer el precio de la entrada. Solo era recomendable para producciones infantiles como “El Mago de Oz” (1939), dirigida por Victor Fleming, que tuvo gran éxito. Los directores de cine serio debían basar sus películas en la la trama y en las actuaciones… el color era “simplemente una estupidez…”

Todo cambió con la película más cara y más larga de la historia (hasta aquel año). Una de las mejores películas de la historia. “Lo que el viento se llevó”  se estrenó en diciembre 1939. El color tiene una importancia capital en esta película. El color de cada vestido, de cada detalle del escenario, fue elegido con absoluta precisión para adecuarse a la trama. Los colores van cambiando conforme las escenas así lo demandan. Para Victor Fleming el color era una herramienta más en la película, igual que lo eran la trama, los actores, el escenario… El público en las salas se quedó alucinado. Era la primera película de la historia que utilizaba el color “de verdad” como parte íntegra, indisoluble de la película. ¿Recuerdas alguna escena de “Lo que el viento se llevó”? ¿Te la puedes imaginar en blanco y negro? Es imposible. Imposible. “Lo que el viento se llevó” demostró que el color no era “simplemente una estupidez…”

En los premios Oscar de 1939, “Lo que el viento se llevó” arrasó con 10 estatuillas (tenía 13 nominaciones). Fue la primera ocasión en la que el Óscar a la Mejor Fotografía se separó en dos categorías “Blanco y negro” y “Color” (en 1967 se unificaron de nuevo). El color fue poco utilizado durante los 1940. Sobre todo por la guerra, porque era caro y porque la mayoría de los directores no sabían explotarlo. Pero durante los 1950 el color se convirtió en algo necesario y obligatorio. Solo los directores de películas de autor siguieron usando el blanco y negro. Pocos de los que usaron el color llegaron a ser maestros en el uso del color. Pero hay muchas películas que tenemos grabadas en nuestra memoria en color. En las que el color es fundamental. Imprescindible. Sin el color serían otra película diferente. Durante los 1960 la diferencia más importante entre el cine y la televisión era que el cine era en color. Los que veían “Lo que el viento se llevó” en la televisión sabían que no estaban viendo “Lo que el viento se llevó” faltaba algo muy importante, el color. Sabían que el color no era “simplemente una estupidez…”

¿Qué pasará con el 3D? En mi opinión todavía no hay directores y profesionales del cine que sepan usar el 3D como debe ser usado, que exploten todo lo que puede ofrecer. Yo vi “Avatar” (2009) de James Cameron en 3D (la película más cara de la historia y la película de mayor recaudación). Volví a verla en el cine, por razones que no vienen al caso, en 2D. También la he visto en vídeo en casa (en 2D). En mi opinión, en la película “Avatar” el 3D está “forzado” y la película cambia muy poco si la ves en 2D. La trama argumental es sencilla y la película es previsible. Los efectos especiales en “Avatar” son muy espectaculares pero, en mi opinión, el 3D no es parte íntegra de la película, indisoluble a ella. Algún día veremos en el cine una película que vista en 2D ya no sea la misma película. Una película en la que cada detalle, cada minucia en 3D esté perfectamente elegida para la trama y las actuaciones de los actores. Una película en 3D cuyo impacto en el cine 3D iguale al impacto de “Lo que el viento se llevó” en el cine a color. Así lo creo. Aunque quizás me equivoque, porque el “3D es simplemente una estupidez…”

[1] Yo odio el cine en 3-D…,” Manuel moore’s Blog, Julio 28, 2010.

[2] Gabriel Trujillo Muñoz, Cine eres y en cine te convertirás,” Estudios sobre las culturas contemporáneas, 2: 125-136, 1996.

[3] Aldous Huxley en Un mundo feliz” (1932).