Los teóricos de cuerdas ya tienen un resultado experimental que explicar: Los oxígenos intersticiales en los cupratos superconductores tienen estructura fractal

El oxígenos intersticiales en las capas que separan los planos de óxidos de cobre en los cupratos superconductores de alta temperatura crítica presentan una organización autosemejante, invariante a transformaciones de escala, una organización fractal desde la escala de los micrómetros hasta la de los milímetros, como han demostrado experimentalmente Fratini et al. en Nature. A mayor grado de fractalidad mayor temperatura crítica. Nadie sabe cuál es el mecanismo responsable de este efecto. Ni los teóricos de cuerdas más osados han sido capaces de predecir una estructura fractal para los oxígenos en los cupratos. Una gran sorpresa para todos. ¿Se esconde el secreto de los superconductores en la teoría de los fractales? Nos lo cuenta Jan Zaanen, “High-temperature superconductivity: The benefit of fractal dirt,” Nature 466: 825–827, 12 August 2010, haciéndose eco del artículo técnico de ”Scale-free structural organization of oxygen interstitials in La₂CuO_4+y,” Nature 466: 841–844, 12 August 2010.

Uno de los enigmas más intrigantes de la física teórica moderna es el mecanismo físico responsable de la superconductividad de alta Tc en cupratos (óxidos de cobre) y pnicturos (óxidos de hierro). Observar la estructura cristalina detallada de estos materiales tan complejos es muy difícil. Fratini et al. han utilizado una nueva técnica llamada microdifracción por luz sincrotrón para determinar la estructura tridimensional de los oxígenos en el cuprato superconductor La₂CuO_4+y hasta la escala de los milímetros. El resultado es sorprendentemente hermoso: los oxígenos intersticiales forman patrones geométricos semejantes a diferentes escalas, que van desde un micrómetro hasta fracciones de milímetro. Los fractales aparecen en la naturaleza por doquier, pero nadie pensaba que se encontraran en los cupratos y menos aún que afecten directamente a la superconductividad: la Tc aumenta cuando la fractalidad crece. Este descubrimiento sugiere que alguna propiedad cuántica aún desconocida que emerja gracias a la fractalidad puede ser el mecanismo que resuelva el misterio de los superconductores de alta Tc.

El concepto del experimento de Fratini et al. es muy simple, pero ha requerido una de las instalaciones de radiación sincrotrón más grandes del mundo (ESRF o European Synchrotron Radiation Facility). La difracción utilizando rayos X de alta energía (12–13-keV) ha permitido determinar la posición espacial de los átomos de oxígeno en una escala nanométrica. La distribución espacial observada muestra el comportamiento de una ley de potencias, que asegura la existencia de una invariancia de escala. Una estructura fractal asombrosa que ha pillado por sorpresa a todos los especialistas.

¿Qué origina los patrones fractales en los oxígenos intersticiales? Se cree que los patrones fractales se originan durante el enfriamiento rápido de la muestra hasta la temperatura de nitrógeno líquido. Los oxígenos son moléculas muy móviles por lo que Jan Zaanen sospecha que actúa alguna forma novedosa de “turbulencia” asociada a la “congelación” del “líquido” formado por los oxígenos en el cristal. De hecho, utilizando dos métodos (protocolos) de enfriamiento diferentes los Fratini et al. han observado que cambia la escala hasta la que se observa la fractalidad, hasta 180 y 400 micrómetros, respectivamente, y además también cambia la temperatura crítica que pasa de Tc = 32 K hasta Tc = 40 K. La escala a la que finaliza la fractalidad determina la temperatura crítica. Este fenómeno es imposible de entender utilizando la teoría convencional (BCS) para la superconductividad en la que el estado superconductor es un estado condensado de Bose-Einstein para los bosones que se forman cuando los electrones se unen en pares (de Cooper). ¿Por qué el mecanismo de emparejamiento debería ser sensible a cambios sutiles en el desorden de la estructura cristalina a una escala de longitud tan grande como cientos de micrómetros?

En los metales y materiales superconductores convencionales los electrones forman un gas (líquido de Fermi) en el que las interacciones cuánticas son débiles. No es así en los superconductores de alta Tc. Recientemente se ha aplicado la teoría de cuerdas para entender el estado fuertemente acoplado de los electrones en un líquido que no es de Fermi. La dualidad AdS/CFT se ha propuesto como herramienta matemática para entender el comportamiento cuántico de los electrones en un superconductor de alta Tc. ¿Se pude incorporar la estructura fractal de los defectos del cristal en el marco de esta teoría? Por ahora nadie lo sabe.

Los físicos teóricos de cuerdas están de enhorabuena. Ya lo hemos dicho muchas veces en este blog. Las nuevas teorías físicas requieren la guía de los resultados experimentales. Este nuevo resultado experimental, inesperado, sorprendente, mágico, …, rondará los cerebros de los mejores físicos de cuerdas del mundo que ya tienen algo que explicar. La búsqueda de la explicación de este comportamiento gracias a la teoría BCS y sus variantes parece imposible. La búsqueda de la explicación utilizando técnicas AdS/CFT se me antoja prometedora (Jan Zaanen no es de la misma opinión).

Eres experto en teoría de cuerdas y no te estás leyendo este artículo técnico ahora mismo. ¡No me lo puedo creer!

La Harley Davidson roja de Francis Collins

Francis Collins, 60 años, candidato permanente al Premio Nobel, Premio Príncipe de Asturias a la Investigación Científica y Técnica en 2001, que fue director del Consorcio Internacional de Secuenciación del Genoma Humano, y que es el actual director de los Institutos Nacionales de Salud de EE.UU. (NIH). En Nature le dedican un extensa entrevista en la que loan sus grandes logros al frente de la NIH y destacan que es motero. Todas los días, 15 minutos en su Harley roja le llevan de casa al trabajo y viceversa. No sé, no me imaginaba yo a Collins de motero. Si me lo dicen de Craig Venter, me lo creo. Pero Collins me parecía más serio. No sé, quizás es porque ahora las Harleys las llevan lo señores con traje y corbata. Si alguien disfruta con las loas y el peloteo le gustará el artículo de Meredith Wadman, “Francis Collins: One year at the helm,” News Feature, Nature 466: 808-810, 11 August 2010.

Ya hay una wiki para el análisis de la demostración de P≠NP de Deolalikar

Algunos de los mayores genios de la matemática están trabajando en la verificación de la demostración de Deolalikar, como el genial Terence Tao (que según su blog estaba de vacaciones), Timothy Gowers, Gil Kalai, Ken Regan y Suresh Venkatasubramanian, entre otros. Un grupo de grandes mentes pensantes que está estudiando la prueba de forma organizada y pública gracias a una wiki. Vinay (Deolalikar) se ha ofrecido a responder a todas las preguntas generadas en las discusiones de dicha wiki. La wiki “Deolalikar’s P!=NP paper“ promete presentar todos los progresos sobre el análisis de la demostración y si aparecen errores menores podremos seguir los progresos para su solución, muy en la línea del proyecto Polymath.

En la blogosfera una de las mejores fuentes de información sobre el problema P≠NP es el blog de Dick Lipton llamado “Gödel’s Lost Letter and P=NP” que está dedicando un buen número de entradas a explicar en un lenguaje fácil la demostración de Deolalikar: “Update on Deolalikar’s Proof that P≠NP,” August 10, 2010; “Issues In The Proof That P≠NP,” August 9, 2010; y “A Proof That P Is Not Equal To NP?,” August 8, 2010. El lenguaje de Lipton no es tan fácil como el de Dana Chivvis, “P=NP=WTF?: A Short Guide to Understanding Vinay Deolalikar’s Mathematical Breakthrough,” AOL News, August 10, 2010, pero, seamos serios, ella se limita a explicar qué significan P y NP, y poco más.

Empecemos por Dana. Su artículo nos recuerda que “P significa “tiempo polinómico” y se refiere a un conjunto de problemas cuyas soluciones son fáciles de encontrar; NP significa “tiempo polinómico no determinista” y se refiere a un conjunto de problemas cuyas soluciones son difíciles de encontrar, pero fáciles de verificar; y Algoritmo es un conjunto de instrucciones utilizadas para resolver un problema. Usamos algoritmos sin pensar en ello en nuestra vida cotidiana, como cuando tratamos de averiguar por qué una bombilla no se enciende” [BTW no entiendo por qué Dana utiliza el ejemplo de cambiar una bombilla, cuando yo hubiera puesto el ejemplo de hacer un café o cocinar un huevo]. “Tiempo polinómico se refiere a que la ejecución de un algoritmo requiere muy poco tiempo, es “eficiente,” en concreto una potencia del tamaño de los datos necesarios para ejecutar el algoritmo. Los problemas en la clase ”P” son aquellos cuyas soluciones se pueden obtener en tiempo polinómico. Los problemas en la clase ”NP ” son los que tienen soluciones que se pueden verificar en tiempo polinomial, pero se requiere un tiempo exponencial (“mucho más tiempo”) para obtener su solución.” El que quiera algo más, que se lea el artículo de Dana.

Los artículos de Richard Jay (“Dick”) Lipton son mucho más interesantes. El primero, 8 de agosto, aunque dice poco ha recibido más de 150 comentarios, muchos de los cuales son muy interesantes. Os recomiendo seguir los comentarios de KWRegan, de vloodin y de Lenka Zdeborova. Un comentario de vloodin indica que ha encontrado una hipótesis en la prueba que es discutible. Zdeborova nos recuerda que dicha hipóteis podría abrir una puerta trasera: un problema k-SAT podría tener ciertas simetrías ”ocultas” que resbalarían entre los resquicios de la prueba de Deolalikar.

El segundo artículo de Dick, fechado el 9 de agosto, nos presenta 4 posibles problemas/errores en la demostración. Lo primero que nos recuerda es que la demostración se acaba de publicar en la web y nadie ha tenido tiempo todavía de estudiar con suficiente profundidad el artículo (de más de 100 páginas). Incluso si la demostración de Vinay Deolalikar contiene errores ha hecho una gran favor a la comunidad de matemáticos al compartir sus ideas con todos. Una tormenta de ideas (brainstorming) alrededor de su artículo podría resolver dichos problemas y conducir finalmente a la demostración correcta.

La demostración se basa en una reducción al absurdo. El autor proclama que P=NP implica la existencia de cierto algoritmo en P para cierto tipo de problemas k-SAT cuya existencia contradice ciertas propiedades estadísticas bien conocidas y demostradas rigurosamente de cualquier instancia de un problema k-SAT. Los problemas de la demostración apuntan a y convergen en la sección 7.2 del artículo. Los problemas son los siguientes:

1. Un problema encontrado por James Gate, Arthur Milchior y David Barrington y Lance Fortnow (ver también Barrington y Milchoir) es el siguiente. Todo problema NP se puede escribir mediante una fórmula de la lógica de primer orden gracias a la introducción de una relación de orden (<) adecuada, que siempre existe. Hay un teorema que caracteriza así la clase NP. Sin embargo, la clase P no se puede caracterizar tan fácilmente y es necesario que dicho orden exista, caracterización de P gracias a FO(LFP). Es un problema abierto (aún no resuelto y que parece muy difícil) determinar si es posible encontrar siempre dicho orden. Deolalikar compensa este defecto utilizando un retrueque técnico que le permite introducir un orden válido para los problemas k-SAT en P que el obtiene a partir de la suposición P=NP. Parece que no está claro si este truco funciona siempre para todos estos problemas como Deolalikar afirma. 

2. Otro problema encontrado por Paul Christiano y también Barrington es el siguiente. El artículo requiere que cierto predicado, fórmula lógica en FO(LFP), cumpla cierta propiedad (sea unario). Para que cumpla dicha propiedad, Deolalikar realiza una reescritura (reestructuración) de dicha fórmula para un problema k-SAT aleatorio que está basada en un procedimiento que utiliza una variable k’, pero no está claro si dicho procedimiento funciona cuando k’=k. Los argumentos de Deolalikar para garantizar que así sea parece que no están del todo claros.

3. La demostración de Deolalikar utiliza un teorema que podemos escribir crípticamente como FOL+LFP = P. La demostración de este teorema utiliza la técnica de la inducción y obtiene de forma constructiva una fórmula para cada problema en P. Sin embargo, Deolalikar usa este teorema sin recurrir a dicha construcción explícita y utiliza directamente la fórmula final (el punto fijo o FP de LFP) lo que genera ciertas dudas sobre si lo está usando correctamente o no (Christiano y KWRegan). Parece que está cuestión debería formar parte de la discusión presentada en la sección 7.2 pero no aparece.

4. Finalmente, hay un problema íntimo con la misma idea (método) de la demostración encontrado por Cris Moore y corroborado por Alif Wahid. La estrategia de la demostración parece aplicable solo a un subconjunto de todos los problemas k-SAT aleatorios posibles, un subconjunto grande, pero no a todos ellos. No está claro que la línea argumental de Deolalikar sea aplicable a todos ellos.

Estos cuatro problemas de la demostración no significan que la demostración sea incorrecta. La demostración es un primer boceto (first-draft) y es de esperar que contenga ciertos errores menores que tendrán que ser pulidos (así ocurrió ya con la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat y con el primer preprint de la demostración de Grisha Perelman de la conjetura de Poincaré). La cuestión importante es si la propia estrategia de la prueba es correcta. Si lo es, todos estos problemas serán resueltos en los próximos meses. Si no lo es, la demostración quedará como un gran alarde técnico a punto de lograr la gloria.

El tercer artículo de Dick trata de ayudar al estudio de la demostración de Deolalikar y su análisis, propiendo tres problemas relacionados con ella para los que las técnicas utilizadas en la demostración podrían ser prometedoras. Solo os comentaré el primer problema propuesto y os animo a los matemáticos a considerar también los otros dos.

Una de las ideas clave de la demostración de Deolalikar es la representación de algoritmos mediante fórmulas de la lógica de primer orden. Empecemos recordando la representación en árbol de una expresión aritmética en lógica booleana (que casi todo el mundo estudió en la parte de la Lógica de los cursos de Filosofía en Bachillerato). Estas expresiones usan variables lógicas que pueden valer 1 (verdad) y 0 (falso), y operadores de conjunción (y-lógica o ∧) y de disyunción (o-lógica o ∨). Por ejemplo, la fórmula de la figura de la derecha es ((α∧β∧γ∧δ)∨(α∧ζ∧θ)) y significa que es verdad o α y β y γ yδ (simultáneamente) o α y ζ y θ. Toda fórmula lógica se puede escribir en forma de árbol con una estructura similar a esta, una disyunción de conjunciones. Los que recuerden algo de lógica habrán estudiado este resultado. El tamaño de este árbol (número de hojas) es una función del número de variables (en la figura hay 6 variables y 7 hojas). En general una fórmula de este tipo tiene un número exponencial (no polinómico) de hojas como función del número de variables. Muchas fórmulas lógicas se pueden simplificar, por ejemplo, aplicando las leyes de Morgan, lo que conduce a un árbol asimétrico que tiene una profundidad mayor de 2 (como el de la figura). La profundidad es el mayor número de flechas que hay que recorrer para llegar desde la raíz (∨ en la figura) hasta cualquiera de sus hojas (las variables α, β, etc. en la figura). 

Dick nos propone considerar el subconjunto de todas las fórmulas lógicas llamadas fórmulas UTC (uniform tree computation). Son fórmulas que se pueden reescribir con un árbol más sencillo, pero asimétrico, que tenga un número de hojas que sea un polinomio en el número de sus variables, cuya profundidad (la del árbol) sea una constante fija y que cumple una condición técnica llamada “uniformidad” (en la que entraré). Dick nos propone demostrar que un problema k-SAT no puede ser resuelto mediante una fórmula UTC (un resultado ya conocido) utilizando las técnicas matemáticas utilizadas por Vinay en su nueva demostración. El problema considera Vinay en su demostración de P≠NP es algo más complejo.

El ascenso y la caída del Rubbiatrón en Zaragoza (LAESA y el acelerador de energía propuesto por Carlo Rubbia)

Recordemos la historia. En 1997 se creó una sociedad privada con participación del Instituto Aragonés de Fomento (aprobado por las Cortes de Aragón) llamada Laboratorio del Amplificador de Energía, S.A. (LAESA), presidida por Miguel Ángel Hidalgo, con el objetivo de concretar los proyectos científicos y técnicos que permitiesen la construcción de un prototipo de Rubbiatrón en un plazo breve de tiempo (se hablaba de 6 años) con una potencia mínima de 100 MW.  El profesor Juan Antonio Rubio de la Universidad de Zaragoza anunció a bombo y platillo el 27 de abril de 1997 en el Heraldo de Aragón “¡Un prototipo de 100-250 MW en 2002!” Pero el proyecto de LAESA era inviable por muchas razones (la poca madurez científica del proyecto, el elevado coste en plena recesión de la industria nuclear, etc.) y LAESA quebró a finales de 2001, lo que se anunció a la chita callando el 27 de septiembre de 2001 en El Mundo. Ya hacía dos años que no había contactos entre LAESA y Carlo Rubbia. Me parece que Rubbia nunca se tomó en serio que España fuera capaz de lograr con éxito la construcción de un prototipo del Rubbiatrón. Basta recordar sus palabras en la entrevista que le hizo Gérard Chevalier, “Carlo rubbia protons, neutrons, plomb et megawatts,” Entretien, La Recherche 302 (10), 1997 (fue traducida al español en la revista Mundo Científico). GC: ¿España está dispuesta a pagar todo el desarrollo de un prototipo? CR: No. Creo que un programa puramente nacional no tendría sentido hoy en día. España (…) ha expresado su interés, (…) pero en todo caso la operación tendría que ser controlada por Euratom (…) Los españoles nos han ofrecido un lugar, Italia otro, en Francia, Cadarache sería una posibilidad. No es una instalación peligrosa… Poco ilusionado se veía a Rubbia en octubre de 1997 cuando la creación de LAESA ya había sido aprobada.

Los interesados en detalles técnicos pueden consultar Carlo Rubbia, Juan Antonio Rubio, et al., “Conceptual design of a fast neutron operated high power energy amplifier,” CERN-AT-95-44 ET, 29 Sep 1995 (164 pp.) y C. Rubbia, S. Buono, Y. Kadi, J.A. Rubio, “Fast neutron incineration in the energy amplifier as alternative to geologic storage: The case of Spain,” CERN-LHC-97-001-EET, 17 Feb 1997 (69 pp.). El ascenso y la caída del Rubbiatrón nos los cuenta André Gsponer, “In memoriam: L’amplificateur d’énergie nucléaire de Carlo Rubbia (1993 — 2003),” La Gazette Nucléaire, No. 209/210, novembre 2003. Permitidme un resumen en español.

El 24 de noviembre de 1993, Carlo Rubbia, físico de partículas, Premio Nobel de Física 1984, Director General del CERN desde 1989 a 1993, justo antes de abandonar este último cargo anunció en un rueda de prensa que él, el genio, el Premio Nobel, había logrado encontrar la solución a todos los problemas de la energía nuclear: procesar los residuos radioactivos y obtener energía a partir de ellos por un procedimiento sin riesgo para la proliferación de armas nucleares. Como podéis imaginar todos los medios se hicieron eco. Hoy en día hubiera sido un bombazo en internet, pero en aquel momento la internet estaba dando sus primeros pasos fuera del CERN y muy pocos usábamos con regularidad Mosaic 1.0 (yo lo usaba para acceder a los artículos de ArXiv). Pronto ya tenía página web personal y todo gracias a Ricardo, pero esa es otra historia… (en el Internet Archive – Wayback Machine solo aparece la versión de 1997). Pero volvamos a Carlo Rubbia.

André Gsponer es muy crudo en sus comentarios. “Carlo Rubbia había reinventado el agua caliente. Un tipo de reactor tan antiguo como las propias centrales nucleares actuales. En estos últimos el combustible se mantiene en un estado crítico estable (K=1) que a su vez mantiene en estado estable la reacción en cadena. El “descubrimiento” de Carlo Rubbia fue que la adición de neutrones desde el exterior al combustible puede llevar a una producción neta de energía en un sistema donde el combustible está, en principio, en un estado subcrítico (K <1), que elimina todo riesgo a priori de una explosión nuclear (K > 1). El sistema puede considerarse como un “amplificador” de energía en el que la energía necesaria para la fuente externa de neutrones es amplificada por un factor G=1/(1-K). El valor de G puede ser muy grande si K está muy cerca de 1.”

Carlo Rubia proponía “como fuente exterior de neutrinos un acelerador de partículas. Por ejemplo, los protones pueden producir neutrones por espalación al golpear un material formado por núcleos pesados (como plomo o bismuto). El reactor híbrido de fisión por espalación es uno más de las múltiples propuestas de sistemas nucleares híbridos que aparecen continuamente en todo debate sobre el futuro de la energía nuclear. Se han propuesto también reactores híbridos de fusión termonuclear que aprovechan la espalación.” El gran problema de todas estas propuestas es que K tiene que estar muy próxima a 1. Si por cualquier razón K se hace mayor que 1 (accidente o similar) nos encontraremos con que tenemos un reactor termonuclear de fisión convencional y con todos los problemas que lleva aparejados (residuos nucleares, riesgo de explosión, etc.). Nos cuenta Gsponer que el 09 de diciembre 1993 estos riesgos ya fueron puestos en claro en un artículo en la prestigiosa revista Nucleonics Week (no he encontrado el enlace). El gran problema del Rubbiatrón es la seguridad: si queremos que el amplificador tenga una ganancia G alta necesitamos que el reactor de fisión funcione cerca del punto crítico (K>0’98) y los riesgos se aproximan tanto a los de un reactor convencional que deja de tener sentido esta una nueva tecnología. Para un valor de K<0’95, la ganancia G de energía es tan pequeña que las pérdidas hacen que el sistema no sea económicamente competitivo.

Según Gsponer, Rubbia decidió proponer el uso de torio en lugar de uranio como combustible (no solo para evitar la producción de plutonio) sino como herramienta de márketing para redirigir la atención de los medios, del público general y de los políticos lejos de la energía nuclear de fisión y de la mala prensa que tiene. Su enfoque de reactor híbrido capaz de destruir los residuos nucleares de otros reactores da la impresión de tener todas las ventajas de la energía nuclear y un mínimo molestias. No es así y ya el 21 de noviembre de 1995 en una audiencia parlamentaria del gobierno francés sobre el Rubbiatrón, presidida por Claude Birraux y abierta a la prensa, el público se sorprendió cuando el propio Carlo Rubbia propuso que las aplicaciones más interesantes del Rubbiatrón no eran civiles sino militares (producción de plutonio y tritio). Para el gobierno de EEUU este tipo de iniciativas se consideran “guerra preventiva” y son contrarias al derecho internacional.

Los problemas de seguridad el Rubbiatrón quizás se puedan resolver pero para ello se requieren muchos años de investigación. Por ejemplo, la interfaz entre el acelerador y el reactor es una ventana de tungsteno que separa el vacío del plomo fundido, según cálculos detallados realizados por Jacques Maillard y su estudiante de doctorado Fabienne Bacha puede romperse tras algunas horas debido a la intenso bombardeo por los protones acelerados. El 5 de julio de 2002 se realizó un experimento en laboratorio para confirmarlo y tras 36 horas de irradiación a plena potencia la ventana se rompió (un “incidente” en cuyo estudio intervino personalmente el propio André Gsponer). Obviamente, hay otras opciones para la ventana. Carlo Rubbia incluso llegó a proponer eliminarla (algo parecido a lo que se hace en un reactor nuclear por confinamiento inercial). Pero hacerlo requiere un reanálisis completo de todos los cálculos para evitar todo tipo de problemas de seguridad.

En 2003, según Gsponer, Rubbia ha abandonado por completo la idea del Rubbiatrón y se ha centrado en liderar grandes proyectos de instalaciones científicas (p.ej. el Laboratorio de Gran Sasso, que estudia la desintegración del protón, y su proyecto ICARUS, para el estudio de los neutrinos) y en cargos de carácter más político que científico (p.ej. es asesor científico del CIEMAT, España).

Para Gsponer, el ascenso y la caída del proyecto del amplificador de energía de Carlo Rubbia merece un análisis detallado por parte de los historiadores de la ciencia ya que se trata de un ejemplo ilustrativo de uno de los grandes problemas de la ciencia: un líder puede llevar a muchos colaboradores por un camino equivocado sin tener que rendir cuentas cuando el proyecto fracasa. También puede ser caso de estudio para los sociólogos: un ejemplo de como el prestigio de recibir un Premio Nobel permite que una idea abocada al fracaso tenga una gran repercusión en los medios de comunicación, la política, las grandes instituciones y la sociedad en su conjunto. Para Gsponer, los filtros internos de la ciencia han funcionado en el caso del Rubbiatron (resultados técnicos de algunos científicos aislados contrarios a las opiniones de un Premio Nobel).