Vídeo de la simulación computacional de la formación de hidrato de metano

El hidrato de un gas es el material que se obtiene al congelar una mezcla de agua y gas, de tal forma que la retícula molecular del hielo encierre a dicho gas. El “hielo de metano” o hidrato de metano es el ejemplo más habitual y se encuentra bajo las capas de lodo marino. Sorprendentemente es un material inflamable, arde al acercar una llama, y podría ser utilizado como combustible, pero el metano es un gas de invernadero. ¿Cómo se forma el hidrato de metano? Matthew R. Walsh y sus colaboradores de la Colorado School of Mines, EEUU, han utilizado simulaciones dinámicas moleculares para estudiar la formación espontánea del hidrato de metano y su crecimiento. Los resultados del ordenador permiten seguir el proceso en detalle en una escala de microsegundos. El proceso se basa en la formación de “jaulas” moleculares en las que se ven encerrados los átomos de metano que se van autoorganizando hasta formar una estructura ordenada similar a un cristal. Este proceso es espontáneo porque es energéticamente favorable. Los dos vídeos que acompañan esta entrada ilustran este proceso de nucleación y “enjaulamiento” del metano en la retícula de hielo. El artículo técnico es Matthew R. Walsh, Carolyn A. Koh, E. Dendy Sloan, Amadeu K. Sum, David T. Wu, “Microsecond Simulations of Spontaneous Methane Hydrate Nucleation and Growth,” Science Express, Published Online October 8, 2009. Los detalles de las simulaciones por ordenador realizadas se encuentran en la Información Suplementaria.

Las simulaciones han requerido un día de trabajo cada 75 ns (nanosegundos) de simulación en un supercomputador de 23 TFLOP (“billones” de operaciones en coma flotante por segundo), constituido por un cluster de procesadores. Se han simulado 512 átomos de metano y 2944 moléculas de agua (hielo) enfriados a una temperatura de 305 K y a una presión de 10 MPa (megapascales). El dominio tridimensional simulado es un cubo con un lado de 5 nm (nanómetros) con condiciones de contorno periódicas. Se ha utilizado un paso de tiempo de 2 fs (femtosegundos).

El vídeo que abre esta entrada muestra un detalle de las fases iniciales de formación de las “jaulas” de hielo que encierran a las moléculas de metano dando lugar al crecimiento y formación del hidrato de metano. Sólo se muestran algunas de las moléculas de agua (esferas pequeñas) y de metano (esferas grandes). Han sido seleccionadas las que acaban formando parte de la estructura que se observa al final. Los enlaces de hidrógeno entre las moléculas de agua se muestran como líneas rojas a trazos.

El vídeo que cierra esta entrada muestra una visualización durante de 2 μs de tiempo real de la nucleación del hidrato de metano y su crecimiento a una temperatura de 250 K y una presión de 50 MPa. Las moléculas de agua se muestran como línes sólidas negras, los enlaces de hidrógeno entre las moléculas de agua se muestran como líneas a trazos rojas y las moléculas de metano como esferas sólidas azules, que cuando quedan “enjauladas” pasan a tener un color verde claro.

PS (20 nov. 2009): Ya se ha publicado el artículo en Science 326: 1095-1098, 20 November 2009, acompañado de una interesante Perspective de Pablo G. Debenedetti y Sapna Sarupria, “Chemistry: Hydrate Molecular Ballet,” Science 326: 1070-1071, 20 November 2009.

Nanotoxicología: Respirar nanotubos de carbono produce fibrosis pulmonar, una causa de cáncer de pulmón

¿Son tóxicos los nanotubos de carbono? Ratones que han inhalado nanotubos de carbono multicapa en una sola dosis presentan rastros de dichos nanotubos en sus pulmones y tras varias semanas han desarrollado fibrosis pulmonar, una de las causas del cáncer de pulmón. James Bonner de la Universidad de Carolina del Norte, Raleigh, EEUU, y sus colegas han expuesto ratones a aerosoles de nanopartículas (nanotubos de carbono multicapa) durante 6 horas tanto en dosis altas de 30 miligramos por metro cúbico como a dosis bajas de 1 miligramo por metro cúbico. En dosis altas, los macrófagos, un tipo de glóbulos blancos que fagocitan elementos extraños, han engullido los nanotubos y los han conducido por los bronquios y bronquiolos. Tras varias semanas después de la exposición, estos ratones han desarrollado fibrosis pulmonar (pequeñas cicratices en las vías respiratorias) de tipo subpleural. En dosis bajas no se observan estos efectos así como tampoco en dosis altas de nanopartículas de carbón. La fibrosis pulmonar está asociada al desarrollo de algunos cáncer de pulmón. Aunque el estudio no lo demuestra directamente, podría ser que la inhalación de nanotubos de carbono puede ser la causa del desarrollo de tumores pulmonares. Los trabajadores de las empresas de nanotecnología que bregan diariamente con nanotubos deberán tener muy presentes estos estudios: deberán tratar en lo posible de no respirar un ambiente cargado de nanotubos. Nos lo cuentan en “Nanotoxicology: Lung penetration,” Nature 461: 1176, 29 October 2009, haciéndose eco del artículo técnico Jessica P. Ryman-Rasmussen et al. “Inhaled carbon nanotubes reach the subpleural tissue in mice,” Nature Nanotechnology, Published online: 25 October 2009.

La evolución en acción observada en 40000 generaciones de Escherichia coli durante 20 años

En el año de Darwin, Richard Lenski tenía que demostrar la selección natural en acción. Él y su grupo han cultivado desde 1988 doce poblaciones de un clon de la bacteria Escherichia coli B (clon REL606) llamado ancestro. Cada cultivo se ha mantenido a temperatura constante, 37 °C, con un suplemento fijo de glucosa, 25 mg/l, transferiendo cada día 0.1 ml de cultivo a un cultivo fresco de 9.9 ml. Periódicamente se han criogenizado a –80 °C muestras de las bacterias cuyo genoma ha sido secuenciado y su fenotipo analizado. Durante las primeras 20000 generaciones las mutaciones se acumularon a un ritmo constante, 2 cada 1000 generaciones, siendo la mayoría beneficiosas para el éxito reproductivo (fitness) de los descendientes de REL606. La selección natural en acción. El fitness creció fuertemente, aunque de forma no lineal, a un ritmo relativo de 1.5 en las primeras 5000 generaciones, que más tarde se hizo más lento (ver la figura de arriba). Las 20000 generaciones siguientes una mutación en el gen mutT (que codifica una proteína que repara el ADN) provocó un fuerte incremento en la tasa de mutaciones (de 45 mutaciones en total en las primeras 20000 generaciones se pasó a 600 en las últimas 20000, gráfico insertado en la figura). La mayoría de estas mutaciones no han tenido un impacto en las proteínas codificadas por el genoma de la bacteria luego no han repercutido en su fenotipo. La hipótesis usual de que la selección natural y la evolución progresan a un ritmo constante queda refutada con este experimento, que muestra claramente que la evolución progresa por periodos alternos de rápida evolución fenotípica (con pocas mutaciones que incrementan el fitness) y etapas de mantenimiento de los linajes más exitosos (con muchas mutaciones que no afectan al fenotipo). Nos lo cuenta Paul B. Rainey, “Evolutionary biology: Arrhythmia of tempo and mode,” Nature 461: 1219-1221, 29 October 2009, haciéndose eco del artículo técnico de Jeffrey E. Barrick et al., “Genome evolution and adaptation in a long-term experiment with Escherichia coli,” Nature 461: 1243-1247, 29 October 2009. Las 27 páginas de información suplementaria describen en detalle todas las mutaciones y los polimorfismos de un sólo nucleótido observadas durante este interesante experimento.

 

Y el 29 de octubre de 1969 nació Internet…

Vinton G. Cerf, actualmente vicepresidente de Google y entonces uno de los programadores jefe del proyecto, nos cuenta hoy en Nature como nació la Internet cuando Charley Kline, un estudiante del Network Measurement Center de la Universidad de California, Los Angeles (UCLA), envió el primer mensaje desde un ordenador a otro utilizando la red ARPANET. El otro ordenador se encontraba a 500 km. en el Stanford Research Institute. Kline quería enviar la palabra “login” pero sólo logró teclear la “l” y la “o” momento en que ambas máquinas se colgaron. La red ARPANET es el gérmen de lo que hoy en día es la Internet. Un artículo muy emotivo que podréis leer en Vinton G. Cerf, “The day the Internet age began,” Nature 461:1202-1203, 29 October 2009.

A mitad de los 1960, Robert Taylor, director del Information Processing Techniques Office de la Advanced Research Projects Agency (entonces llamada ARPA, ahora llamada DARPA)  del departamento de Defensa de los EEUU lanzó  como proyecto experimental  el desarrollo de una red de comunicaciones basada en conmutación de paquetes. El proyecto fue liderado por Lawrence Roberts. El 2 de septiembre de 1969, el primer nodo de esta red fue instalado en el Network Measurement Center. El 29 de octubre Kline realizó su primer test del funcionamiento de esta red, que falló estrepitosamente. En diciembre de 1969 ya había 4 nodos de la ARPANET. Vinton G. Cerf era entonces uno de los programadores jefe que desarrollaron el software de comunicaciones para la Internet, programas para el acceso a ordenadores remotos, transferencia de ficheros entre ellos, correo electrónico, etc.

Robert Kahn de la compañía Bolt Beranek and Newman (BBN) encargada de diseñar los protocolos de comunicación (interfaces de procesado de mensajes les llamaban entonces) fue el encargado de la primera demostración pública de la ARPANET en la primera International Conference on Computer Communication, en Washington DC, octubre de 1972. Los programadores del Xerox Palo Alto Research Center decidieron desarrollar una red local de comuncaciones (LAN) inventando la Ethernet.

Kahn y Cerf colaboraron juntos en el desarrollo de un protocolo de control de la transmisión (transmission control protocol o TCP) y la arquitectura básica de la Internet. En septiembre de 1973 presentaron un artículo que se publicó en 1974 (V. Cerf, R. Kahn, “A Protocol for Packet Network Interconnection,”, IEEE Trans. on Communications 22: 637-648, May 1974, gratis aquí) que describía cómo interconectar un número arbitrariamente grande de redes de conmutación de paquetes y ordenadores conectados a ellas. Con financiación de la ARPA el nuevo protocolo empezó a ser implementado en 1975. En noviembre de 1977 se hizo un test en una red con tres concentradores (gateway). En 1978 estos protocolos y otros para e-mail, FTP y acceso remoto a terminales ya estaban completamente operativos en una primitiva Internet. El protocolo actualmente en uso, TCP/IP, fue implementado por primera vez en 1982.

En 1983 la red ARPANET fue dividida en dos redes, una militar MILNET, y otra civil (universidades, ONGs, centros de investigación y centros del gobierno). En 1986 se lanzó la red NSFNET de la National Science Foundation y en 1990 ARPANET oficialmente “murió.” Todos sus nodos y concentradores se incluyeron en la NSFNET. En 1995, NSFNET fue retirada ya que la Internet comercial ofrecía un servicio similar para la comunidad académica norteamericana a mucho menor coste. La Internet actual se “comió” a las redes que fueron sus “padres.”

Ni ARPANET ni Internet se desarrollaron para un propósito en particular. Eran redes abiertas a todo lo que se quisiera colgar en elllas. La filosofía de “la libertad ante todo” ha sido la clave del éxito de Internet.

PS (29 octubre 2009): El artículo de Miquel Barceló, “Internet, un proyecto militar fracasado. La conexión que supuso el inicio de la Red se logró, hoy hace 40 años, entre dos instituciones académicas de Estados Unidos,” El País, 29 otubre 2009, es el complemento ideal a lectura de esta entrada.

La velocidad máxima teórica de un ordenador se alcanzará dentro de 75 años

La ley de Moore afirma que casi cada 2 años se duplica la velocidad de procesamiento de información de los microprocesadores, los cerebros de los ordenadores. Así se ha cumplido en los últimos 40 años. Y seguirá cumpliéndose si nuevos ”transistores cuánticos” sustituyen a los transistores actuales. ¿Hasta cuándo? ¿Hay algún límite teórico? Lev Levitin y Tommaso Toffoli de la Universidad de Boston, Massachusetts, EEUU, han refinado los límites teóricos actuales que dependen del tiempo mínimo que necesita una partícula para cambiar de un estado cuántico a otro. Este tiempo depende de la energía involucrada, lo que implica que existe un límite teórico máximo a la velocidad de procesamiento de un ordenador dependiendo de la cantidad de energía que utilice. Si la ley de Moore se sigue aplicando dicho límite indica que entre 75 y 80 años se alcanzará la velocidad máxima físicamente posible para el procesamiento de información (utilizando ordenadores cuánticos si es que llegan a construirse). Nos lo han contado en muchos foros, como “In 75 years will reach the maximum possible processing speed,” ntra-net, 16-10-2009, y en “Physics: Quantum speed limit,” Nature, Research Highlights, October 29, 2009. El artículo técnico es Lev B. Levitin, Tommaso Toffoli, “Fundamental Limit on the Rate of Quantum Dynamics: The Unified Bound Is Tight,” Phys. Rev. Lett. 103: 160502, 2009 [gratis en ArXiv].

Técnicamente los autores han unificado dos desigualdades ya conocidas. Por un lado, una desigualdad obtenida a partir de un resultado de Mandelstam y Tamm (1945), obtenida por Fleming (1973), Anandan y Aharonov (1990) y Vaidman (1992), que afirma que el mínimo tiempo necesario para cambiar el estado cuántico de un sistema está acotado por donde ,  es el hamiltoniano del sistema y  su función de onda. Por otro lado, una desigualdad obtenida por Margolus y uno de los autores, Levitin, en 1998, dada por donde es la energía media del sistema cuántico (supuesto que el estado de menor energía tiene asignado un valor cero). Levitin y Toffoli en el nuevo artículo generalizan ambas desigualdades demostrando que

,

donde . Esta desigualdad generaliza las dos anteriores de una forma aparentemente trivial, pero requiere un análisis cuidadoso. Para las dos desigualdades anteriores coinciden entre sí. Para han demostrado que para todo existe una familia  de estados  tales que , y que para existe una familia  de estados  tales que . Esto completa el círculo y muestra que la nueva desigualdad comprende a los dos anteriores como casos particulares y las unifica.

Un transistor monomolecular basado en el fulereno C60 y electrodos superconductores

La escala de integración más alta posible para un transistor es utilizar una única molécula. El problema de este tipo de transistores monomoleculares es la presencia de estados cuánticos espurios para la conductancia que penalizan su funcionamiento. Una manera de evitar estos efectos es utilizar contactos superconductores. Investigadores franceses han logrado el primer transistor monomolecular fiable basado en una molécula del fulereno C60 entre dos electrodos de Alumino/Oro cuyo único inconveniente es que funciona a una temperatura por debajo de 1 Kelvin. El artículo técnico es Clemens B. Winkelmann, Nicolas Roch, Wolfgang Wernsdorfer, Vincent Bouchiat, Franck Balestro, “Superconductivity in a single-C60 transistor,” Nature Physics, Published online 25 October 2009 [versión gratis en ArXiv, que no incluye la información suplementaria disponible aquí].

La simulación eficiente del modelo de Hubbard para los electrones en un sólido implicará la igualdad de las clases de complejidad P=NP=QMA

Las clases de complejidad clásicas y cuánticas se relacionan entre sí de una forma complicada que todavía no conocemos en detalle y por ahora todo son hipótesis. Las clases P y BQP son las clases de problemas resolubles de forma eficiente (polinómica) en ordenadores clásicos y cuánticos, resp. Las clases NP y QMA contienen los problemas de decisión que creemos que son más difíciles para ordenadores clásicos y cuánticos, resp., para los que existen algoritmos eficientes, clásicos y cuánticos, resp.,  que permiten decidir si una solución es correcta o no. Un artículo reciente en Nature Physics ha demostrado que las clases QMA, NP y P colapsarían (serían iguales entre sí), resolviendo la conjetura P versus NP con una igualdad, si se puede resolver de forma eficiente la simulación de sistemas cuánticos descritos por la teoría del funcional densidad (DFT). Por ejemplo, si un modelo concreto, el modelo cuántico de Hubbard, se puede simular en tiempo polinómico. Nadie cree que esto sea posible, pero carecemos de una demostración, todavía. Nos lo cuenta el experto en la teoría de la complejidad cuántica Scott Aaronson, “Computational complexity: Why quantum chemistry is hard,” Nature Physics 5: 707-708, 2009, haciéndose eco del artículo técnico de Norbert Schuch & Frank Verstraete, “Computational complexity of interacting electrons and fundamental limitations of density functional theory,” Nature Physics 5: 732-735, 2009.

La clase de complejidad del Protocolo Merlín-Arturo (MA) es la clase de problemas de decisión resolubles por el protocolo siguiente. Merlín tiene  recursos computacionales ilimitados y envía a Arturo una demostración de tamaño polinómico que prueba que la respuesta es “sí.” Arturo puede verificar dicha prueba en la clase BPP (en tiempo polinómico con un algoritmo probabilístico). Si la respuesta es “sí” existe una demostración que Arturo aceptará como correcta con una probabilidad mayor que 2/3 y si la respuesta es “no” todas las demostraciones serán aceptadas por Arturo con una probabilidad menor que 1/3.

La clase de complejidad cuántica del Protocolo Merlín-Arturo (QMA) es la versión cuántica de MA y corresponde a un Merlín que envía una mensaje con una prueba cuántica que Arturo puede verificar en la clase BQP (en tiempo polinómico utilizando un algoritmo cuántico). Si la respuesta es “sí” existe un estado cuántico (demostración) que Arturo aceptará como correcta con una probabilidad mayor que 2/3 y si la respuesta es “no” todos los estados (demostraciones) serán rechazados por Arturo con un probabilidad mayor que 2/3.

El modelo de Hubbard describe un gas de electrones fuertemente acoplados por potenciales de Coulomb en la retícula de un sólido y permite comprender la transición entre un material conductor y uno aislante. La técnica matemática más utilizada para simular este modelo físico es la llamada teoría del funcional densidad (density functional theory). El nuevo artículo demuestra que si dicho problema se puede simular de forma eficiente, las clases de complejidad QMA y P serán iguales. Esto implica un gran avance en dos frentes. Por un lado, en la propia teoría de la complejidad de algoritmos cuánticos. Y por otro lado, impone un límite fundamental a la propia teoría del funcional densidad ya que una demostración de que P =!= NP (lo que todo el mundo cree) implicaría que nunca podremos simular eficientemente problemas “aparentemente” tan sencillos como el modelo de Hubbard incluso utilizando ordenadores cuánticos.

Esto sorprenderá a muchos ya que la mayoría pensaba que la utilidad más importante de los ordenadores cuánticos (cuando los haya) será la simulación de sistemas cuánticos. Pero si un sistema cuántico tan sencillo como el modelo de Hubbard es tan complejo de simular en un ordenador cuántico como en uno clásico, dicha ventaja se cae por su propio peso. Los avances en computación cuántica no cesan y cada día nos sorprenden más a los que somos aficionados a este “arte,” a esta ciencia.

Adán Cabello de la Universidad de Sevilla concluye que el entrelazamiento cuántico no es necesario para la computación cuántica

La mecánica cuántica ofrece resultados estadísticos para los posibles resultados de una medida. ¿Tienen los sistemas cuánticos valores definidos para ciertos parámetros que nos son ocultos tales que el resultado de la medida es una observación de dichos valores? Es decir, ¿podría existir una descripción estadística subyacente a la mecánica cuántica, digamos una teoría de variables ocultas TVO? No. Todos los experimentos realizados hasta el momento demuestran que no es así. No hay una “realidad” subyacente a la mecánica cuántica. El realismo es la hipótesis que afirma que lo que existe en el mundo físico tiene propiedades que son independientes de la existencia de algún observador que las observe. Filosóficamente la mecánica cuántica no es realista. A muchos no les gusta porque es como si la “realidad” no existiera y se fuera construyendo conforme un observador la va observando.

Hay básicamente dos (tipos de) teoremas que han sido verificados experimentalmente y que demuestran estos hechos. Por un lado, el teorema de Bell, que afirma que dicha TVO no puede ser local (debe permitir viajar más rápido que la velocidad de la luz). Por otro lado, el teorema de Kochen-Specker, que afirma que la mecánica cuántica es contextual, el valor observado depende de cómo sea observado. En una teoría de variables ocultas no contextual, un sistema cuántico tendría una propiedad (un valor para un observable) independiente de cómo dicho valor vaya a ser medido (el contexto de la medida). Las propiedades de un sistema cuántico serían independientes del observador. La evidencia experimental de que la mecánica cuántica es contextual es muy fuerte.

En España tenemos a un experto mundial en este campo (la verificación experimental de los teoremas de Kochen-Specker), el físico español Adán Cabello, catedrático de la Universidad de Sevilla. Recientemente ha publicado un espectacular artículo en PRL (el cuarto en lo que va de año) que merece toda nuestra atención Elias Amselem, Magnus Rådmark, Mohamed Bourennane, Adán Cabello, “State-Independent Quantum Contextuality with Single Photons,” Phys. Rev. Lett. 103: 160405, 2009 [ArXiv preprint]. Pero Adán no sólo se conforma con publicar en PRL, este artículo es una secuela de un artículo previamente publicado en la mismísima Nature también este año, G. Kirchmair, F. Zähringer, R. Gerritsma, M. Kleinmann, O. Gühne, A. Cabello, R. Blatt, C. F. Roos, “State-independent experimental test of quantum contextuality,” Nature 460: 494-497, 23 July 2009 [ArXiv preprint]. He de quitarme la espinita que tengo clavada por no haber tenido tiempo en agosto de comentaros este último artículo.  Así que el nuevo PRL es una magnífica oportunidad para ello. Por cierto, este año Adán está “sembrado,” ya lleva 16 artículos en el ArXiv. 

El artículo de Nature presenta un experimento realizado en Innsbruck (Austria), demostraba la validez del teorema de Kochen-Specker para el entrelazamiento de pares de átomos. El nuevo artículo en PRL presenta un experimento realizado en Estocolmo (Suecia) que demuestra dicho teorema para un único fotón. No es necesario recurrir al entrelazamiento (como de hecho así ocurre en la demostración matemática) para verificar el teorema de Kochen-Sopecker. Sea cual sea el estado inicial de los fotones, hay 9 observables (medidas) combinadas de 6 formas distintas (contextos de medida) cuyos resultados concuerdan con lo esperado según la no contextualidad de la mecánica cuántica, violando, haciendo la media para los diferentes contextos, unas 655 desviaciones típicas el resultado esperado para una teoría de variables ocultas contextual (en uno de los casos la violación alcanza 1509 desviaciones típicas).

La figura que abre esta entrada muestra los 9 observables y los 6 contextos de medida estudiados. Como sistema cuántico han utilizado un solo fotón que almacena dos cubits de información cuántica. El primer cubit (s en la figura) está codificado por el camino que recorre el fotón tras atravesar un divisor de haz (beam splitter o BS en la figura), el rombo en las figuras, siendo los dos estados posibles (|0> y |1> del cubit) el camino reflejado y el transmitido (r y t en la figura). El segundo cubit es la polarización (p en la figura), siendo los dos estados posibles las polarizaciones horizontal y vertical (H y V en la figura).

Sin entrar en más detalles técnicos, hay que destacar que los resultados experimentales de Adán y sus colaboradores muestran que la violación por parte de la mecánica cuántica del teorema de Kochen-Specker se da incluso para los sistemas cuánticos más simples, sin necesidad de requerir el entrelazamiendo cuántico. Un único fotón permite observalo. Más aún, la violación se ha observado incluso para estados cuánticos con mezcla máxima, usualmente considerados estados “clásicos.” Adán Cabello interpreta sus resultados como que el entrelazamiento no es la característica de la física cuántica que la diferencia de la física clásica. El entrelazamiento cuántico no es el único recurso para el procesamiento de la información cuántica. Un uso adecuado del contexto de la medida permite aprovechar las ventajas de los ordenadores cuánticos. Si gracias a este resultado se desarrollan puertas lógicas cuánticas más sencillas, este artículo habrá sido un gran paso hacia los ordenadores cuánticos en el futuro.

¡Partículas de nuevo recorriendo parte del túnel del LHC este fin de semana pasado!

El fin de semana pasado (23-25 de octubre) haces de partículas han recorrido de nuevo el túnel del LHC (aunque sin lograr una vuelta completa) tras un descanso de un año debido al incidente de septiembre de 2008. Los haces de partículas han sido generados en el Super Sincrotón de Protones (SPS) del CERN. El viernes por la tarde se introdujo en el LHC un haz de iones de plomo que fue guiado con éxito hasta alcanzar el detector ALICE y más tarde, por la noche, hizo lo propio un haz de protones. El sábado por la tarde, otro haz de protones recorrió el túnel hasta alcanzar el detector LHCb. Todos los indicadores han mostrado que la máquina funciona perfectamente. En las próximas semanas nuevos haces de partículas recorrerán el túnel completo. Nos lo ha contado el servicio de noticias del CERN ”Particles are back in the LHC!,” CERN News, 26 October 2009. Se han hecho eco varios foros como “Beam is back in the LHC,” Symmetry Breaking, October 26, 2009, y “Beam particles re-enter the LHC,” Physics Today, October 26, 2009. Las noticias están ilustradas con la imagen del haz de iones de plomo justo antes de entrar en ALICE.

La teoría de las cascadas de bifurcaciones de periodo doble: Rutas genéricas para la aparición del caos determinista

Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista conforme varía dicho parámetro. La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de bifurcaciones de periodo doble. Se conocen muchos ejemplos pero no hay una teoría genérica sobre este tipo de rutas. Sander y Yorke nos presentan el nacimiento de dicha teoría, la  Teoría de las Cascadas de Periodo Doble, en un artículo que acabará siendo publicado en PRL (tiempo al tiempo). Habitualmente un sistema dinámico que presenta una cascada de este tipo presenta también infinitas más. Sander y Yorke lo demuestran en dimensión 1 y 2 y lo conjeturan en dimensión arbitraria. Hay que recordar que el caos no se da en sistemas dinámicos continuos (ecuaciones diferenciales ordinarias) en dichas dimensiones, pero sí en los discretos (aplicaciones o maps, en inglés). Aunque los autores no lo conjeturan explícitamente en su artículo, parece cantado conjeturar dicho resultado también en dimensión mayor de 2. El artículo técnico es Evelyn Sander, James A. Yorke, “The cascades route to chaos,” ArXiv, Submitted on 19 Oct 2009.

En la figura que abre esta entrada se presenta el diagrama de bifurcaciones de la aplicación logística. Conforme mu crece acercándose a un punto de acumulación en 3,5699457… se observa una sucesión infinita de bifurcaciones de periodo doble, que duplica el número de órbitas periódicas de periodo par hasta alcanzar virtualmente un valor infinito, tras el cual aparece una ventana con un periodo impar. La más curiosa de estas ventanas es la ventana de periodo 3 que aparece alrededor de 3,8284… Este comportamiento es bastante genérico y se observa en gran número de modelos discretos con aplicaciones prácticas.

Sander y Yorke han demostrado (en dimensión 1 (como la aplicación logística) y 2) que en un sistema discreto que presenta una cascada de bifurcaciones de doble periodo toda órbita periódica es parte de una cascada, luego hay siempre infinitas cascadas en un sistema caótico. Este comportamiento es genérico bajo hipótesis muy generales en el sistema discreto. Por ejemplo, si un sistema presenta sólo un número finito de cascadas (y cumple las condiciones del teorema), entonces no es caótico. Los resultados de Sande y Yorke muestran que las cascadas de doble periodo son tan fundamentales como las órbitas periódicas. En este sentido este artículo presenta el primer gran resultado de la teoría de las cascadas de doble periodo a la que desde este blog le auguramos un sustancioso futuro.

Dinámica no lineal, biestabilidad y oscilaciones en ciclos límites en el interruptor genético (toggle switch)

La Biología Sintética se define como “una aproximación rigurosa a la Biología desde la Ingeniería basada en la aplicación del diseño de sistemas a procesos biológicos complejos” [fuente]. Su objetivo fundamental es desarrollar una biblioteca de BioBricks (bioladrillos), ”unidades modulares básicas de ADN que realizan una función simple. Un BioBrick es un fragmento de ADN que codifica el código genético de un elemento funcional conocido y que puede ser empalmado con cualquier otro BioBrick para formar un módulo complejo.” Uno de los biobricks más famosos es el interruptor genético (genetic toggle switch) que se utiliza para controlar el apagado/encendido de la expresión de un gen. Desde un punto de vista matemático, un interruptor biológico es un sistema biológico que presenta una biestabilidad, que puede estar en dos estados posibles. Este sistema permite la generación de comportamiento oscilatorio autosostenido (un ciclo límite). Su análisis dinámico y numérico se presenta en bastante buen detalle en el artículo técnico de Didier Gonze, “Coupling oscillations and switches in genetic networks,” Biosystems, Article in Press, 2009, que desde aquí recomiendo no sólo a los aficionados a la biología sino también a los aficionados a la matemática.

He de confesar que recientemente yo mismo analicé el comportamiento matemático de este sistema biológico y descubrí por mí mismo muchos de los resultados que aparecen revisados en el artículo de Didier Gonze. Una revisión bibliográfica a posteriori me permitió comprender que lo que yo creía descubriemientos novedosos en realidad eran conocidos ya hace una década. Coronar una montaña, aunque uno no sea el primero en lograrlo, siempre es todo un logro. Contemplar el camino recorrido con los ojos de otros siempre nos muestra detalles que estuvieron a nuestro alcance pero que omitimos por distracción o ignorancia.

El interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli,” Nature 403: 339-342, 20 January 2000 [en la figura de la izquierda se omite la representación de las proteínas]. Es habitual modelar matemáticamente la inhibición (represión) mediante una ley de Hill con un exponente de cooperatividad n.  La formulación matemática de la izquierda está adimensionalizada.

La figura de arriba ilustra la dinámica del interruptor cuando los parámetros permiten la biestabilidad, cuando el parámetro a1 se encuentra en el intervalo entre las dos bifurcaciones de punto de silla (SN1=1.4 y SN2=6.8) que muestra la figura superior izquierda. En dicho caso, la intersección de las dos nullclinas (funciones no lineales del miembro derecho del modelo matemático) presenta tres puntos fijos, dos estables y uno inestable central (figura abajo izquierda). Las trayectorias en tiempo típicas del sistema se muestran en la figura superior derecha. Dependiendo de las condiciones iniciales el sistema puede converger a uno de los dos posibles estados estacionarios estables. Es importante recordar que cuando a1>SN2 o a1<SN1 el sistema se comporta de forma monoestable (sólo hay un punto estacionario estable), no ilustrado en la figura de arriba. El comportamiento oscilatorio es debido a la histéresis del sistema que se muestra en la figura inferior derecha y que conduce a oscilaciones autosostenidos de tipo ciclo límite (siguiendo las flechas en la figura). La variación del parámetro a1 requiere que se acople al gen X una proteína que active su expresión, normalmente mediante una ley de Michaelis-Menten. Esta proteína P1 se suele denominar represilador (no mostrada en el modelo matemático).

La parte más bonita del análisis matemático de este problema es el estudio del efecto de los parámetros del represilador P1 (que actúa como un forzamiento) en los diagramas de bifurcación del sistema. La figura de arriba muestra la aparición de comportamiento birrítmico para forzamientos alrededor de los dos puntos en los que se presenta la bifurcación de punto de silla. En este caso, las variables X o Y presentan una comportamiento oscilatorio de pequeña amplitud alrededor de sus valores en estado estacionario. Hasta dos ciclos límites estables se pueden observar en este caso. Todo depende del forzamiento introducido por el represilador, que permite inducir un comportamiento oscilatorio en un estado inicialmente estable.

Sin entrar en más detalles de este análisis dinámico me gustaría acabar recalcando que este su simplicidad permite utilizarlo como modelo de nivel intermedio en cursos de dinámica no lineal y caos. En dicho caso, conviene recalcar al alumno que este tipo de sistemas se ha observado biológicamente y ponerle algunos ejemplos (son fáciles de encontrar en la literatura).

Los grandes errores de Ígor Stravinski en su obra “Cánticos de Réquiem”

Un artista es libre de contradecirse a sí mismo durante la creación de su propia obra. Si un artista afirma que ha desarrollado una obra siguiendo ciertas reglas no tiene por qué ser cierto que realmente lo ha hecho así. La libertad del arte así lo requiere. Sin embargo, los historiadores del arte, si leen que el artista ha hecho dichas afirmaciones se atreven a calificar de errores las partes de la obra que no cumplen con dichas reglas. Errores, intencionados o no, que no lo son para el admirador de la obra. Paul Lombardi es un musicólogo que compone música y analiza por ordenador la música compuesta por otros. Afirma que Ígor Stravinski cometió errores garrafales en su obra coral “Cánticos de Réquiem” (Requiem canticles) de 1966, una de sus últimas obras y obra cumbre de su periodo dodecafónico o serialista, iniciado tras la muerte de Arnold Schoenberg, el inventor del dodecafonismo. Ha analizado dicha obra con las técnicas matemáticas que se usan para analizar la obra de Schoenberg y ha descubierto que viola ciertos invariantes que caracterizan la música serialista. Por tanto, Stravinski ha cometido errores graves (serial mistakes) en dicha obra. Por cierto, Ígor Stravinski en los 1960, ya anciano y genio reconocido por todos, tenía todo el derecho de decir lo que le viniera en gana y de componer lo propio. Los amantes de la música clásica y de las matemáticas disfrutarán de Paul Lombardi, Michael J. Wester, “Serial mistakes in Stravinsky’s Requiem Canticles,” Mathematics and Computers in Simulation, Article in Press, 2009.

Los experimentos de laboratorio en economía y ciencias sociales

El método científico en ciencias físicas y ciencias de la vida requiere una metodología basada en experimentos de laboratorio. Con la excepción de la psicología, el uso de experimentos de laboratorio es muy excepcional en ciencias sociales, también llamadas “ciencias no experimentales.” Hay que reconocer que el diseño experimental en ciencias sociales es muy difícil y que la interpretación de los resultados de los experimentos presenta limitaciones por la falta de “realismo” y de generalizabilidad, pero son la única vía posible para elevar las ciencias sociales al mismo status de las ciencias naturales. Nos lo cuentan Armin Falk, James J. Heckman, “Lab Experiments Are a Major Source of Knowledge in the Social Sciences,” Science 326: 535-538, 23 October 2009.

Un ejemplo, la economía. Los primeros experimentos de laboratorio en economía se realizaron a finales de los 1940. Hasta 1965 se publicaban menos de 10 artículos experimentales al año y hasta 1975 menos de 30. Estos números empezaron a crecer a mediados de los 1980. Falk y Heckman han calculado para las prestigiosas revistas de economía American Economic Review, Econometrica, y Quarterly Journal of Economics, la fracción de artículos que incluyen experimentos de laboratorio y han encontrado que ha estado entre el 0.84% y el 1.58% en los 1980, entre el 3.06% y el 3.32% en los 1990, y entre el 3.8% y el 4.15% entre 2000 y 2008. Esta fracción es mayor en revistas especializadas como la primera que apareció, Experimental Economics, fundada en 1998. En otros campos como las ciencias políticas, estos números son muy inferiores.

Un ejemplo. La relaciones laborales entre empleadores (empresas) y empleados se pueden estudiar con juegos de intercambio de regalos. Estos estudios de laboratorio mostraron que salarios más altos inducen en los trabajadores la necesidad de esforzarse más por la empresa, algo que estaba en contra de los que creían en un Homo economicus racional. Fenómenos como la reciprocidad o la aprobación social habían sido ignorados por las teorías económicas dominantes.

La reticencia de muchos científicos sociales hacia los experimentos de laboratorio se basa en la creencia de que no ofrecen datos sobre el “mundo real” tan fiables como la observación directa de éste. Los autores del artículo nos revisan con muchos ejemplos concretos las grandes ventajas de los experimentos de laboratorio, como la posibilidad de controlar la variación de los parámetros en estudio. El conocimiento causal (relaciones causa-efeto) requiere experimentos con variación controlada. Estos experimentos requiren el uso del laboratorio. La cuestión no es elegir entre laboratorio y datos de campo, ya que ambas metodologías son complementarias.

Medido el campo magnético de la luz en una fibra óptica

El campo eléctrico es medido en el canal 1 (Ch1) y el magnético en el canal 2 (Ch2). Se muestra el esquema del experimento así como la punta del microscopio óptico por campo cercano.

James Clerk Maxwell y Heinrich Hertz demostraron teórica y experimentalmente que la luz es una onda electromagnética. En las longitudes de onda ópticas los experimentos han logrado medir solamente la componente eléctrica del campo ya que la componente magnética es muchísimo más débil. Burresi et al. han logrado la primera medida directa de las componentes magnéticas de la luz a la salida de una fibra óptica de vidrio gracias a una sonda metálica nanoestructurada, una especie de microscopio por efecto túnel óptico. La microscopía óptica por campo cercano (SNOM o scanning near-field optical microscopy) permite observar la luz a una distancia menor que una longitud de onda (de dicha luz), es decir, su resolución no está limitada por la difracción de Abbe. Para la luz infrarroja en una fibra óptica, este límite difractivo impide observar la luz en distancias menores de 500 nm. (nanómetros). Gracias a la nueva técnica se han podido observar las características ópticas en la nanoescala de los campos magnéticos en pulsos de luz. Nos lo cuentan Harald Giessen, Ralf Vogelgesang, “Glimpsing the Weak Magnetic Field of Light,” Science 326: 529-530, 23 October 2009, haciéndose eco del artículo técnico de M. Burresi, D. van Oosten, T. Kampfrath, H. Schoenmaker, R. Heideman, A. Leinse, L. Kuipers, “Probing the Magnetic Field of Light at Optical Frequencies,” Science 326: 550-553, 23 October 2009.

El cociente entre la contribución al campo electromagnético de la luz de las componentes eléctrica y magnética por separado es de la constante de estructura fina al cuadrado, aproximadamente 4 órdenes de magnitud. Esta diferencia es tan grande que ha permitido observar experimentalmente la contribución magnética sólo en ondas de radio con una longitud de onda entre centímetros y metros. En el régimen óptico es necesario amplificar la componente magnética de alguna manera. En un metamaterial formado por pequeños anillos resonadores nanométricos (con un área de 100 nm. por 100 nm.) es posible realizar dicha amplificación de los campos magnéticos hasta en 6 órdenes de magnitud. Esta es la técnica que han utilizado Burresi et al. han logrado observar tanto el campo magnético como el eléctrico en una fibra óptica y han comprobado que están desfasados exactamente 90º, como la teoría predice, confirmando que la señal que interpretan como campo magnético realmente lo es.

Un nuevo principio físico fundamental: la causalidad de la información

¿Es la mecánica cuántica la teoría más general que permite las violaciones de las desigualdades de Bell? La mecánica cuántica es una teoría no determinista (sus predicciones son probabilísticas), no clonable (no permite la copia de un estado cuántico) y no permite señales superlumínicas (no permite el envío de información a una velocidad mayor que la luz en el vacío). ¿Es todo esto suficiente? No, no lo es, la mayoría de las teorías de variables ocultas que cumplen con esta última propiedad, no permiten señales superlumínicas, también cumplen con las demás. Estas teorías permiten correlaciones más fuertes que las cuánticas. ¿Hay algún principio físico que cumpla la mecánica cuántica pero que no cumplan estas otras teorías? Pawlowski y sus colaboradores proclaman hoy en Nature que dicho principio es el de la causalidad de la información. Enviar m bits clásicos permite obtener como mucho m bits de información. Este principio es cumplido por la mecánica clásica y por la mecánica cuántica, pero es violado por la mayoría de las teorías de variables ocultas que presentan correlaciones más fuertes que las de la mecánica cuántica. Nos lo cuentan en Marcin Pawlowski, Tomasz Paterek, Dagomir Kaszlikowski, Valerio Scarani, Andreas Winter, Marek Zukowski, “Information causality as a physical principle,” 461: 1101-1104, 22 October 2009 (los interesados en los detalles técnicos tendrán que consultar en reiteradas ocasiones la información suplementaria del artículo). El artículo está disponible en versión gratis en ArXiv, 14 May 2009. Para los interesados en más información divulgativa sobre este gran avance recomiendo “The Foundation of Reality: Information or Quantum Mechanics?,” ArXiv blog, Monday, May 18, 2009; Dave Bacon, “Information Causality,” The Quantum Pontiff, May 29, 2009; e “Information Causality,” Complementary Slackness, 2009 June 1.

El principio de la causalidad de la información relaciona la cantidad de información que un observador (Blas) puede obtener sobre un conjunto de datos que pertenece a otro observador (Alicia), cuyos contenidos le son completamente desconocidos. Blas usará  todos sus recursos locales (que podrían estar fuertemente correlacionados con recursos locales de Alicia) y un canal de comunicación clásico. La cantidad de información que Blas puede obtener está acotada por el volumen de información (m bits) que se comunicarán por el canal clásico, es decir, si Alicia le comunica a Blas m bits de información clásica, las correlaciones “ocultas” entre ambos no le permiten a Blas obtener más de m bits de información. Tanto la mecánica clásica como la mecánica cuántica se rigen por este nuevo principio. Sin embargo, muchas teorías de variables ocultas compatibles con las desigualdades de Bell gracias a correlaciones “ocultas” violan este nuevo principio físico.

El trabajo de Pawlowski et al. muestra la importancia de este nuevo principio físico en un caso particular, en un experimento concreto. Sin entrar en detalles más técnicos, ¿por qué este artículo es importante? Porque abre una vía hacia una “deducción” de la mecánica cuántica a partir de los principios básicos de la teoría de la información. Si se pudiera demostrar que entre todas las teorías que violan las desigualdades de Bell la única que cumple el principio de causalidad de la información es la mecánica cuántica, se tendría una deducción de la mecánica cuántica que la vuelve la única teoría posible. Por supuesto, estamos muy lejos de obtener este resultado, pero cada día parece menos utópico.

Al final, nadie puede luchar contra los elementos…

Y Margulis es todo un elemento. Los editores de PNAS no pueden luchar contra las “naves” de Margulis. Nos hicimos eco en “Lo siento, Margulis, el artículo sobre la evolución más polémico del año no aparecerá publicado en PNAS,” de que los editores de PNAS querían paralizar la publicación en papel de un polémico artículo “colado” por Margulis utilizando una puerta trasera y que ya había aparecido online. Desafortunadamente, dicho proceso afectó a un artículo de la propia Margulis que también iba a tener problemas para ser publicado (tampoco pasó por un proceso de revisión por pares o peer review). Sin embargo, Margulis es mucha Margulis y los editores han tenido que echarse para atrás. No pueden luchar contra los elementos… Si Margulis, miembro de la Academia Americana de Ciencias quiere que se publiquen se tienen que publicar por “cojones” (sin necesidad de revisores que los avalen). Así son las reglas y lo serán hasta el próximo verano. Pero este año, las reglas no se pueden cambiar. Así que los editores han dado su brazo a torcer, se han metido el rabo entre las piernas y han aceptado que ambos artículos aparezcan en la versión de PNAS en papel de la próxima semana (ya están online). Tanto el polémico artículo de Donald I. Williamson, “Caterpillars evolved from onychophorans by hybridogenesis,” PNAS published online before print August 28, 2009, como el artículo más “estándar” de Øystein Brorson, Sverre-Henning Brorson, John Scythes, James MacAllister, Andrew Wier, y Lynn Margulis, “Destruction of spirochete Borrelia burgdorferi round-body propagules (RBs) by the antibiotic Tigecycline,” PNAS published online before print October 20, 2009.

Rectificar es de sabios, dirán algunos, pero al comité editorial de la revista PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences) no les tiene que haber hecho ninguna gracia que los ninguneen. El editor principal Randy Schekman tras generar una disputa con la “señora” Lynn Margulis, bióloga celular de la Universidad de Massachusetts, Amherst, EEUU, ha tenido que comerse su lengua y reconocer que la palabra de un Académico es la palabra de un Académico y si dice que sus artículos se deben aceptar sin revisores, serán aceptados sin revisores, que quien no corre vuela y el año que viene ya no podrá hacerlo. ¡Cosas de los americanos!

¿Cuántos más papers colará Margulis en PNAS de aquí hasta que ya no se pueda hacer?

Sabiendo que muchos lectores de este blog son amantes de los libros de divulgación de Margulis (“¿Qué es la vida?” junto a su hijo es buenísimo), quisiera hacer constar que no tengo nada en contra de esta señora. Lo único que me molesta es que le moleste que sus artículos pasen por revisores sabiendo que con toda seguridad se los van a aceptar sin problemas. Sobre todo tras apoyar un artículo polémico y enconarse con el editor principal de PNAS. ¿Qué sentido tiene que ponga sus “cojones” por delante? ¿No es el avance de la ciencia el objetivo de las publicaciones científicas?

Nanocristales optomecánicos que acoplan modos fotónicos y fonónicos

Los cristales fotónicos son materiales microestructurados en los que la luz se comporta como los electrones en un semiconductor, produciendo una estructura de bandas que incluye bandas prohibidas o bandgaps. Los cristales fotónicos permiten detectar, generar y controlar vibraciones mecánicas (fonones) con lo que podemos hablar de cristales fonónicos. La estructura mostrada en la figura (a, arriba) consiste en una serie de pequeños escalones de una escalera, nanovigas de silicio, o lo que es lo mismo, una microviga con una serie de nanoagujeros de forma rectangular. La nanoviga optomecánica experimental ha sido fabricada con silicio aparece en la figura de la izquierda y tiene una anchura de 200 nm (nanómetros). El patrón de agujeros ha sido fabricado utilizando litografía con haces de electrones. Un análisis de elementos finitos de esta estructura permite determinar sus modos ópticos (figura b, arriba), como cristal fotónico, y sus modos mecánicos de vibración (figura c, arriba), como cristal fonónico.  Ambos tipos de ondas, ópticas y mecánicas, se acoplan fuertemente en esta estructura, como han demostrado Eichenfield et al. tanto numérica como experimentalmente. En su estructura han acoplado fotones de 200 THz (terahercios) con fonones de 2 GHz (gigahercios). Este tipo de dispositivos abre gran número de posibilidades para el análisis de sistemas electromecánicos utilizando tecnologías ópticas fotónicas. El artículo técnico es Matt Eichenfield, Jasper Chan, Ryan M. Camacho, Kerry J. Vahala, Oskar Painter, “Optomechanical crystals,” Nature advance online publication 18 October 2009.

Edward Lorenz y el caos determinista en el descenso de laderas nevadas

El libro de Edward N. Lorenz, el padre científico del efecto mariposa, titulado “The Essence of Chaos,” es una lectura obligada a los interesados en el caos determinista. Prácticamente sin fórmulas (salvo el capítulo sobre métodos numéricos) nos presenta muchos resultados interesantes. Uno de ellos es la caída caótica en una ladera ondulada, similar al efecto de la nieve llamado mogul en la jerga del esquí. Para los interesados en la formulación matemática detrás de las gráficas y comentarios de Lorenz, hemos de recomendar el trabajo en el software Mathematica desarrollado por (el ya emérito) Robert M. Lurie, “A Review and Demonstration of The Essence of Chaos by Edward N. Lorenz,” ArXiv, 12 Oct 2009 [publicado originalmente en Mathematica in Education and Research 11: 404-422, 2006]. El artículo incluye los códigos en Mathematica que permiten reproducir sus resultados. Los que sólo quieran jugar con el software pueden recurrir a “Chaos While Sledding on a Bumpy Slope,” Wolfram Demostrations Project, que incluye el código fuente. Los aficionados al caos, la matemática aplicada y/o Mathematica, que disfruten.

Una de chistes de matemáticos para matemáticos

¿Dónde buscar chistes de matemáticos? La web está repleta. Sin embargo, me ha sorprendido que en la revista Notices de la AMS (de la American Mathematical Society) hay un artículo sobre chistes de matemáticos, en inglés, claro, y para matemáticos: Paul Renteln, Alan Dundes, “Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor,” 51: 24-34, January 2005 [es de acceso gratuito]. El artículo recopila chistes de matemáticos escogidos de diferentes fuentes (SciJokes, MathJokes, ProJoke22, Jokes, y MathJokesWisc). Como suele ocurrir con los chistes, muchos usan dobles sentidos en inglés de difícil traducción al español. Además, la mayoría harán poca gracia a los que no son aficionados a la matemático. Yo, me lo he pasado muy bien leyendo el artículo en inglés, así que, desde aquí te lo recomiendo para tu propio disfrute. Para los demás, algunas chistes traducidos.

“¿Cuántos matemáticos Bourbaki son necesarios para cambiar una bombilla? El reemplazo de una bombilla es un caso especial del teorema general del mantenimiento y reparación de sistemas eléctricos. Para establecer una cota superior y otra inferior del personal requerido, se debe determinar si se aplican las condiciones suficientes para el Lema 2.1 (sobre disponibilidad de personal) y para el corolario 2.3.55 (sobre la motivación del personal). Si y sólo si dichas condiciones se cumplen se podrá deducir dicho resultado mediante la aplicación de los teoremas de la sección 3.1123. Obviamente, la cota superior se obtendrá en un espacio abstracto de medida, utilizando la topología débil-* correspondiente.”

“Demostración por omisión: El lector puede completar los detalles fácilmente. Los otros 253 casos se tratan análogamente.”

“Teorema. Todos los números naturales son interesantes. Demostración: Por reducción al absurdo. Supongamos que n es el número natural más pequeño que no sea interesante. En dicho caso, n es un número natural muy interesante.”

“¿Qué es una ciudad compacta? Una ciudad que puede ser protegida por un número finito de policias cortos de vista sin importar lo cortos de vista que sean.” De hecho, bastarían n policías que pudieran ver una distancia de sólo 1/2ⁿ⁺² para proteger el intervalo [0, 1] entero.

“¿Cuántos teóricos de números son necesarios para cambiar una bombilla? Nadie lo sabe, pero se ha conjeturado que serán un número primo.”

Ya a la venta en Japón las rosas azules (a partir del 3 de noviembre de 2009)

En este blog nos hicimos eco de los avances de la empresa japonesa Suntory para el desarrollo de rosas azules (en realidad, más bien moradas) en ”Una rosa azul para mi mujer en el día de San Valentín (o qué regalar en San Valentín el próximo año),” 14 Febrero 2008. Suntory anunció que estarían a la venta a finales de 2008 y por tanto serían un buen regalo para febrero de 2009. Sin embargo, hasta hoy, el 20 de octubre de 2009, no se ha hecho público el anuncio final de su puesta en venta, a partir del próximo 3 de noviembre. Espero que las tengamos en venta en Europa y en España para el próximo San Valentín.

Suntory Flowers Limited (Chiyoda-ku, Tokyo) ha anunciado la venta de la Rosa Azul de Suntory APLAUSO (SUNTORY blue rose APPLAUSE), que contiene prácticamente un 100% de pigmentos azules en sus pétalos. Se empezarán a vender en tiendas en Japón (en el Gran Tokio, en el área de Kioto-Osaka-Kobe y en la Prefectura de Aichi). El avance genético en estas flores ha sido logrado gracias a la empresa australiana Florigene (actualmente parte del grupo japonés de empresas Suntory). Os dejo el anuncio en inglés, si es que hay alguien interesado:

“SUNTORY blue rose APPLAUSE” have a bluish tinge reminiscent of the sky just after dawn and an elegant, alluring, fresh fragrance. With a coloring and fragrance all their own, the roses create an exquisite ambiance. Given to important people in one’s life just when years of pursuing a dream have come to joyful fruition, or when proposing marriage, commemorating wedding anniversaries, celebrating birthdays, or on other special occasions, the roses will make a memorable gift.

Página web de las rosas azules de Suntory: http://www.suntorybluerose.com/