No se sabe si todos los números naturales están en Pi (o sobre los números anormales)

“Todos los números están en Pi,” Microsiervos.com, nos recuerda que todos los números naturales estarían contenidos en la expresión decimal del número Pi, que es un número irracional y trascendente, si fuera un número normal. No se sabe si Pi es un número normal. Más aún, si fuera cierto, todo número natural estaría repetido en la expresión decimal de Pi infinitas veces.

Un número irracional es normal en base b si todos los números naturales escritos en base b aparecen infinitas veces en su represenatación (con infinitos dígitos) en base b (los matemáticos preferirán una definición más técnica). Un número irracional es (absolutamente) normal si lo es en todas las posibles bases b. Borel demostró en 1909 (la idea original es de 1898) que todo número irracional en [0,1] (y por ende, todo número real irracional) es normal con probabilidad 1, es decir, “lo normal es que un número irracional sea normal.” Turing también lo demostró pero no lo publicó (se publicó en 1992). El primer ejemplo explícito de número normal fue introducido por Sierpinski en 1916. Obviamente, lo normal es que un número normal no sea computable (como le ocurre a los números reales). Que yo sepa el único número normal que se haya demostrado que no es computable es la constante de Chaitin.

¿Es Pi un número normal en alguna base? No se sabe. Mucha gente cree que sí, pero hay que demostrarlo. ¿Por qué? Porque a los matemáticos les gusta demostrar estas cosas. Sí, pero no. Se ha demostrado que existen números irracionales (absolutamente) anormales. El primero fue encontrado por Greg Martin, “Absolutely Abnormal Numbers,” The American Mathematical Monthly 108: 746-754, 2001 (ArXiv preprint).

¿Podría ser Pi un número anormal? Sí, hasta que no se demuestre lo contrario (que es normal). Los interesados en más información sobre constantes famosas que pueden o no ser normales les recomiendo el artículo de David H. Bailey and Richard E. Crandall, “On the Random Character of Fundamental Constant Expansions,” Experimental Mathematics 10: 175-190, 2001. Los interesados en la historia de los número normales durante el s. XX disfrutarán de Glyn Harman, “One hundred years of normal numbers,” que se puede leer gracias Google Books. También disfrutaréis del breve artículo de Davar Khoshnevisan “Normal Numbers are Normal,” 2006.

Uno de los números normales (en base 10) más famosos es el de David Champernowne (1933), buen amigo de Alan Turing, que ves arriba (que “Champ” publicó cuando era estudiante de matemáticas, antes de acabar la carrera). Obviamente, demostrar que es un número normal es trivial en base 10, por construcción, pero ¿es normal en otras bases? Que yo sepa, nadie lo sabe aún, por cierto, el número se ha demostrado que es irracional transcendente. El genial Erdös, con Copeland, encontró un número normal (en base 10, no se ha demostrado que sea absolutamente normal) casi maravilloso, que también veis arriba (sus dígitos son los de los números primos). En trabajos posteriores, Erdös demostró que las dos construcciones de más arriba (las dos primeras líneas de la figura) con una función f que sea un polinomio también conduce a un número normal (en base 10). Recientemente se ha demostrado cómo generalizar dicha demostración cuando f es una función entera (de orden logarítmico), en Manfred G. Madritsch, Jörg M. Thuswaldner, Robert F. Tichy, “Normality of numbers generated by the values of entire functions,” Journal of Number Theory 128: 1127-1145, May 2008 (copia gratis).

¿Qué pasaría si f fuera un algoritmo? En dicho caso, Pi sería un número normal, ya que podemos construir un algoritmo que calcule el n-ésimo dígito de su desarrollo decimal (en cualquier base). No parece fácil seguir esta línea de razonamiento pero a mí se me antoja prometedora. Debe ser que no trabajo en teoría de números.

Por qué en algunas astrofotografías las estrellas tienen puntas y parecen estrelladas

La imagen astronómica del día del 4 de julio de 2009 nos muestra un bonito campo estelar con la Osa Mayor,  la estrella polar y Arturo (ampliada arriba a la izquierda). Si os fijáis con atención todas las estrellas tienen 6 puntas. ¿Por qué? Porque se ha utilizado un telescopio reflector o newtoniano con una montura interior para el espejo secundario de 3 radios. Estos radios sujetan el pequeño espejo diagonal que se encuentra en el interior del telescopio (arriba derecha). Dependiendo del número de radios, el patrón de difracción que muestran las estrellas es diferente. Estos patrones son más visibles cuanto más brillante es la estrella o planeta observado.

Las configuraciones típicas para los anclajes de soporte del espejo secundario las tenéis en la imagen de la izquierda. La que utiliza 4 radios (4 Vane Spider) es bastante común y presenta imágenes de las estrellas con 4 brazos radiales (el efecto de la difracción de los radios). La que presenta 3 radios (3 Vane Spider) genera un patrón de difracción con 6 brazos (no 3), menos intensos que en el caso anterior porque cada radio genera dos brazos en direcciones opuestas. Esta configuración es menos habitual y por eso me ha llamado la atención en la foto astronómica del día (de ahí que os presente esta entrada que a los aficionados a la astronomía les resultará innecesaria). Los telescopios reflectores más modernos suelen utilizar anclajes curvos para el espejo, con lo que se consigue un patrón de difracción más complejo, con 4 brazos difuminados, que se notan mucho menos que en las configuraciones anteriores. Integrando la intensidad óptica en el patrón de difracción se observa que es prácticamente igual que en el caso de 3 radios, pero distrae menos no observar los brazos en las estrellas.

Los telescopios refractores y otros como los Cassegrain, no presentan patrones ”estrellados” para las estrellas, ya que el patrón de diffracción tiene simetría (aproximadamente) circular.

Los patrones de difracción con puntas tienen también su utilidad: sirven para enfocar bien el telescopio. Se venden unos patrones en forma de cruz doble que se colocan delante de la apertura del telescopio para reforzar el efecto de la difracción, por ejemplo, produciendo 4 puntas dobles en las estrellas. Cuando el objetivo del telescopio está mal enfocado se observan 8 puntas, pero cuando está bien enfocado, éstas se superponen entre sí, y solo se observan 4. En el apartado 4, aquí, tenéis un magnífico ejemplo.

CORRECCIÓN (5 julio 2009): El autor de la foto astronómica del día que comentamos en esta entrada no utiliza telescopio, solo su cámara con un objetivo de 50 mm. Las puntas de las estrellas son debidas a la difracción provocada por la forma hexagonal del diafragma en la apertura de dicho objetivo. Gracias a Fcasarra por el comentario.

Como combatir contra el principio de Peter: las personas ascienden a puestos de mayor nivel hasta alcanzar su nivel máximo de incompetencia

Un nuevo estudio sociofísico computacional ha estudiado como combatir el principio del psicólogo canadiense Laurence J. Peter: en una empresa las personas que realizan bien su trabajo son promocionadas a puestos de mayor responsabilidad hasta que alcanzan su nivel máximo de incompetencia. El Principio de Peter es negativo para la eficiencia de la empresa, como se demuestra en este estudio. ¿Cómo evitarlo y mejorar la eficiencia de la empresa? Los autores proponen dos alternativas: elegir aleatoriamente a quien promocionar, o elegir a cara o cruz a quien promocionar entre los mejores o entre los peores. Este último tipo de elección óptima me recuerda a como se ha venido asciendiendo/promocionando al PDI en la Universidad española hasta la llegada de la LOU y su Reforma. A partir de estas últimas, el Principio de Peter se ha venido aplicando en el sistema universitario español, aunque con algunas excepciones. El artículo técnico es Alessandro Pluchino, Andrea Rapisarda, Cesare Garofalo, “The Peter Principle Revisited: A Computational Study,” ArXiv, Submitted on 2 Jul 2009.

Pluchino et al. han utilizado simulaciones por ordenador basadas en sistemas de agentes virtuales y teoría de juegos. La tabla de arriba resume los resultados obtenidos. Básicamente han tomado dos modelos, uno en el que el Principio de Peter es válido (los mejores acaban siendo peores, notad la errata ortográfica “Hypothesys”) y otro en el que lo es el Principio del Sentido Común (los mejores acaban siendo mejores), y cuatro estrategias de selección de personal, elegir a los mejores, elegir a los peores, elegir aleatoriamente, o elegir a cara o cruz entre los mejores o los peores. Partiendo de un nivel de eficiencia del 70%, si el Principio de Peter se cumple, la promoción sólo de los mejores reduce la eficiencia a un 60% y, sorprendentemente, la promoción de solo los peores la incrementa hasta un 82%. Las dos elecciones aleatorias mejoran ligeramente la eficiencia hasta el 71% y 71.5%. Aplicando el Principio del Sentido Común, elegir a los mejores incrementa la eficiencia al 79%, elegir a los peores la reduce al 65%, y elegir aleatoriamente la incrementa ligeramente hasta el 72% y 71.5%. En resumen, si creemos en el Principio de Peter, lo mejor es promocionar a los peores en cada nivel de ocupación de la empresa. Si creemos en el Sentido Común, lo mejor es promocionar a los mejores. Y si no lo tenemos claro, lo mejor son las estrategias aleatorios, que cambiarán poco la eficiencia de la empresa pero siempre a favor.

Los estudios sociofísicos computacionales me recuerdan a “La Fundación” de Asimov. ¿Por qué será? Como ya sabéis los lectores de este blog, yo no creo que estos estudios tengan la más mínima utilidad y suelo calificarlos de Curioso Pero Inútil (aunque sé que muchos de vosotros no compartís mi opinión y disfrutáis con ellos).

PS (17 julio 2009): El artículo de Vladan Pankovic, “Peter and Anti-Peter Principle as the Discrete Logistic Equation,” ArXiv, Submitted on 15 Jul 2009, será de interés para algunos de los lectores de este blog. Propone que el efecto se explica si la comptencia sigue una ecuación logística (o de Verhulst). En dicho caso, también se observa el principio opuesto, que el autor llama anti-Peter (en una organización los miembros más incompetentes ascienden en categoría hasta alcanzar su mayor grado de competencia). En mi opinión, el modelo logístico no tiene ni pies ni cabeza, pero como la discretización de esta ecuación es un sistema caótico, como añadido permite comprender el caos de las organizaciones y empresas.

PS (03 agosto 2009): Más sobre el efecto Peter (el principio de Peter tiene dos subprincipios) utilizando la ecuación logística en V. Pankovic, M. Krmar, R. Glavatovic, “(ANTI)PETER Principle – Discrete (INVERSE) Logistic Equation with Imprecisely Estimated and Stimulated Carrying Capacity,” ArXiv, Submitted on 30 Jul 2009.

Los últimos datos sobre la anomalía de las sondas Pioneer apuntan a la materia oscura y a nueva física más allá del Modelo Estándar

En este blog le tenemos especial cariño a las sondas Pioneer 10 y 11, los objetos humanos que más se han adentrado en los confines más allá del Sistema Solar. Una de las primeras entradas de este blog trataba de una explicación sencilla y efectiva a la anomalía de las sondas Pioneer, una radiación de calor anisotrópica en los componentes de la propia sonda (El sistema solar como un gran laboratorio para la gravedad (o ideas sobre la anomalía de las sondas Pioneer), Enero 28, 2008). Sin embargo, los datos más recientes muestran que dicha explicación sobreestima la anomalía, conduce a una aceleración en la dirección opuesta al Sol de 41 x 10^-10 m/s², cuando los nuevos datos solo indican un valor de solo (8.74 +/- 1.33) x 10^-10 m/s², según publican los mismos autores de la explicación anterior en Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth, “The Pioneer Anomaly in the Light of New Data,” ArXiv, Submitted on 2 Jun 2009, gracias al estudio de los nuevos datos disponibles de telemetría de vuelo y radiometría Doppler en las sondas. Estos datos ratifican que la anomalía existir, existe, algo que ya sabíamos (Descubrimientos recientes sobre la anomalía de las sondas Pioneer (Earth flyby anomaly en 5 sondas espaciales), Marzo 5, 2008). ¿Explica la anomalía el hecho de que el sistema solar no sea esférico? No, los nuevos datos no apoyan esta explicación, que a mí también me gustaba, por sencilla y simple (¿Es el sistema solar esférico? (o Voyager y Pioneer en los límites del Sistema Solar), Marzo 7, 2008).

Todo apunta a “nueva física” más allá del Modelo Estándar. Como afirman literalmente los autores del nuevo estudio “As the search for a conventional explanation for the anomaly appeared unsuccessful, this provided a motivation to seek an explanation in “new physics”.” Ahora es el turno de los teóricos, que tendrán que apuntarse al carro de la anomalía de las sondas Pioneer.

El primero en saltar la liebre ha sido John C. Hodge, “Comments on “The Pioneer Anomaly in the Light of New Data”,” ArXiv, Submitted on 2 Jul 2009, quien afirma que su teoría de un nuevo campo escalar (en el Modelo Estándar todavía no hay ninguno) es la única que explica todos los fenómenos reportados por el estudio de Slava G. Turyshev y Viktor T. Toth. Todos y cada uno de los 12 resultados experimentales observados en este estudio casan a la perfección en la teoría de Hodge (en su opinión, yo no lo he comprobado en detalle).

La teoría de Hodge propone un campo escalar para explicar los efectos aparentes de la “materia oscura” del universo en las curvas de rotación de galaxias y en cúmulos de galaxias. La publicó en dos artículos “Scalar potential model of spiral galaxy HI rotation curves and rotation curve asymmetry,” ArXiv, Submitted on 1 Nov 2006, y “Scalar potential model of galaxy central mass and central velocity dispersion,” ArXiv, Submitted on 22 Nov 2006. La posibilidad de que dicha teoría, además de la materia oscura, permita explica la anomalía de las sondas Pioneer la expuso en su artículo ”Scalar potential model of the Pioneer Anomaly,” ArXiv, Submitted on 20 Dec 2006. Por cierto, confiesa que esta posibilidad se la sugirió un revisor anónimo del primero de los artículos anteriores.

La gran ventaja de las teorías de Hodge respecto a otras teorías alternativas es que no afecta a la teoría de la gravedad de Einstein, ni al Principio de Equivalencia, ni a las leyes de la inercia, etc. Además, mata dos pájaros de un tiro. Habrá que estar al loro a ver si se confirma.

Publica o perece, investiga una vez y publica dos veces en la misma revista y número

Entiendo que un proyecto de Gran Ciencia con muchísimos investigadores quiera exprimir al máximo sus resultados. Pero me sorprende que en revistas como Science o Nature permitan que de un único resultado se publique más de un artículo en un mismo número de la revista. Si yo fuera el editor principal les obligaría a unificar ambos resultados en un solo artículo, pero por lo que parece esa no es la política de los editores de estas revistas. Hay muchos ejemplos en los últimos años, el próximo será el que presenta los resultados del Fermi LAT (Large Area Telescope) obtenidos durante 2008. Ya tienen aceptado el artículo A. A. Abdo et al. “Detection of 16 Gamma-Ray Pulsars Through Blind Frequency Searches Using the Fermi LAT,” Science Express, Accepted on June 24, 2009, en el que presentan el descubrimiento de 16 nuevos púlsares que emiten rayos gamma intensos (la mayoría son remanentes de supernovas). Estudian sus espectros en detalle, no, faltaría más, eso requiere otro artículo, A. A. Abdo et al., “A Population of Gamma-Ray Millisecond Pulsars Seen with the Fermi Large Area Telescope,” Science Express, Accepted on June 24, 2009, donde comparan el espectro de los nuevos púlsares con el de otros púlsares ya conocidos, con la novedad de que todos los espectros son calculados con el Fermi LAT.

Pura envidia. El que puede, puede. A los demás, se nos cae la baba.

Todo el mundo aplica la matemática, excepto los matemáticos aplicados

No es mi opinión. Es la que David P. Wilson expresa en su artículo ”Mathematics is applied by everyone except applied mathematicians,” Applied Mathematics Letters 22: 636-637, May 2009. La Matemática se utiliza en una gran variedad de aplicaciones del mundo real, sin embargo, el autor alega que la mayoría de los matemáticos en Departamentos de Matemática Aplicada por todo el mundo no aplica a nada en particular los trabajos matemáticos que desarrollan.

Muchos matemáticos se defienden alegando que aplicar las matemáticas no es lo mismo que Matemática Aplicada, a eso se dedican los que trabajan en Modelado Matemático. Sin embargo, el autor también alega que la mayoría de estos estudios de modelado matemático no tienen ningún impacto en el ámbito aplicado. Para los científicos e ingenieros aplicados resultan ser inútiles y complicados teoremas matemáticos sin ninguna relevancia práctica.

Wilson opina que esto es un autoengaño y que se están gastando muchos meses de investigación de grandes mentes matemáticas solo para lograr publicar artículos en revistas de impacto como el Journal of Biomathematical Meaninglessness (título inventado, la “revista biomatemática de los sinsentidos”). Aunque el análisis matemático presentado en esos artículos pueda ser de interés para otros matemáticos aplicados, no tiene ningún interés en el contexto de una aplicación real.

El problema es la dificultad de la multidisciplinaridad. Si un matemático aplicado quiere trabajar en cierta aplicación tiene que colaborar con expertos en dicho campo y no con otros matemáticos aplicados, aunque a estos últimos los entienda mejor. Los expertos en el ámbito de aplicación no sólo deben ser consultados, han de ser partícipes del diseño de la investigación a realizar, garantizando que es realista y que los resultados de la misma podrán ser interpretados en su contexto. Sin embargo, en matemática aplicada, la interdisciplinariedad tiene un problema claro: todo el mundo ve a los matemáticos estereotipados como nerds, sin vida social y con los que es muy difícil hablar.

Para Wilson es importante recordar que el énfasis en la frase “Matemática Aplicada” no está ni debe estar en la palabra “Matemática”, sino el término ”Aplicada”.

No es mi opinión, empecé diciendo, pero he de confesar que estoy de acuerdo con ella.

PS (12 julio 2009): Muy interesante el artículo de Mikel Lezaun, profesor en la Universidad del País Vasco, “¿Matemáticas para la industria, matemáticas de segunda?,” El País, 07/07/2009. “En la comunidad matemática de nuestro país sólo hay unos pocos grupos con actividad permanente de Transferencia de Tecnología Matemática. En el mundo universitario está muy extendida la opinión de que las matemáticas de los proyectos con empresas son matemáticas fáciles, de segunda. Los matemáticos prestan muy poca atención a esas matemáticas y algunos incluso las menosprecian. [...] Que la comunidad académica matemática española se involucre más en la transferencia de tecnología es una necesidad. [...] No hay que olvidar al futuro, a nuestros estudiantes. Tenemos que motivar a los estudiantes de matemáticas a interesarse por los problemas industriales. Debemos aprovechar las posibilidades que ofrecen los nuevos planes de estudio, en particular los proyectos de fin de carrera, para abordar problemas reales de las empresas y de otras disciplinas. [...] En el fondo, lo que está en juego detrás de todo esto es el mantenimiento de los niveles de vida y bienestar de los que hoy disfruta la sociedad española.”

Resuelto el mayor enigma del hormigón: la fluencia lenta tiene un origen nanogranular

El hormigón (una mezcla de cemento Portland, agua y arena) es el material de construcción más utilizado en el mundo. El hormigón sometido a una carga (esfuerzo) sufre una deformación lenta. Esta fluencia lenta deteriora y reduce la vida de las estructuras de hormigón. Tras décadas de investigación el origen íntimo de la fluencia lenta todavía era un misterio. Matthieu Vandamme yFranz-Josef Ulm han publicado en PNAS una posible explicación. El hormigón es como un medio granular para los nanogranos de hidrato de silicato de calcio (C–S–H), componente fundamental del cemento Portland. Estos nanogranos tienen 3 estados posibles (densidad baja o LD, alta o HD, y ultraalta o UHD) lo que provoca que se muevan entre sí (deslicen como granos de arena) en el interior del hormigón provocando la fluencia lenta. Se estima que se fabrican al año 20 mil millones de toneladas de hormigón y que solo en Estados Unidos se requieren 79 mil millones de dólares en mantenimiento de autopistas y puentes debido en parte a la fluencia lenta. Este nuevo descubrimiento permitirá que se usen técnicas de nanoingeniería para diseñar hormigones que minimicen la fluencia lenta y las pérdidas en las estructuras de hormigón que acarrea. El artículo técnico es Matthieu Vandamme, Franz-Josef Ulm, “Nanogranular origin of concrete creep,” PNAS 106: 10552-10557, June 30, 2009. El trabajo de investigación lo ha realizado el primer autor en su tesis doctoral.

Nicolas Gisin ha ganado el Premio Bell del CQIQC, otorgado en 2009 por primera vez

El Premio John Stewart Bell para Investigaciones en los Fundamentos de la Mecánica Cuántica y sus Aplicaciones, concedido por el reciente inaugurado Center for Quantum Information and Quantum Control (el palindrómico CQIQC) ha sido otorgado al Profesor Nicolas Gisin de la Université de Genève, por sus contribuciones recientes (tienen que tener menos de 6 años según las bases del premio) en distribución de claves segura para cifrado (criptografía) cuántica y por sus tests de las desigualdades de Bell que refutan ciertas teorías que asumen que el origen del colapso de la función de onda es gravitatorio. En el jurado del Premio se encontraban los “grandes” de la cuántica: Alain Aspect, Aephraim Steinberg, Gilles Brassard, Richard Hughes, y Peter Zoller (todos amigos personales del premiado, dicho sea de paso).

El último artículo (D. Salart, A. Baas, J.A.W. van Houwelingen, N. Gisin, H. Zbinden, “Space-like Separation in a Bell Test assuming Gravitationally Induced Collapses,” ArXiv, Submitted on 17 Mar 2008) refuta la teoría de Penrose-Diósi (L. Diósi, la propuso en “A universal master equation for the gravitational violation of quantum mechanics,” Physics Letters A 120: 377-381, 1987, Penrose hizo famosa en su famoso libro “La Nueva Mente del Emperador” y “corrigió” en un artículo posterior la fórmula dividiéndola por un factor de 2) según la cual la duración del colapso de la función de onda depende del campo gravitatorio generado por la masa contenida en el volumen de espacio donde se produce el colapso de la función de onda (la fórmula del tiempo de colapso está en la figura de arriba).

Brevemente, el experimento es como sigue. Entrelazan dos fotones y los envían en direcciones opuestas por dos fibras ópticas hasta sendos detectores separados 18 km. En cada receptor hay dos espejos de oro de 2 mg (miligramos) conectados a unos actuadores piezoeléctricos controlados por un voltaje que pueden mover (ligeramente) los espejos. Si actúan con el voltaje sobre uno de los espejos, el fotón que colapse en el otro espejo “instantáneamente” hará que colapse el primer fotón antes de alcanzar su espejo y se conocerá el resultado “antes de tiempo.” La actuación sobre el voltaje (unos 0,3 V) es muy rápida, de unos 0.1 microsegundos, y provoca un desplazamiento del espejo de 12,6 nm (nanómetros). Según la fórmula de Penrose-Diósi, el tiempo del colapso es 7,1 microsegundos, unas 60 veces mayor que el tiempo de conmutación del voltaje. Como el experimento verifica las desigualdades de Bell y con ellas un colapso “instantáneo” de la función de onda (la luz recorre en 0.1 microsegundos solamente 0,3 km, muy inferior a los 18 km del experimento) la teoría de Penrose-Diósi queda experimentalmente refutada.

Por cierto, hay otras teorías que conectan el colapso de la función de onda con la gravedad y que conducen a tiempos de colapso muy inferiores (incluso del orden del tiempo de Planck con lo que son experimentalmente no refutables). Hay varios físicos españoles trabajando en este tema. Ya hablaremos de su trabajo en otra ocasión. Os confieso que yo me encuentro entre los que creen que gravedad y colapso de la función de onda están relacionados. Si tenéis acceso en papel (no está en la web) os recomiendo el artículo J. L. Rosales, S. Bergia, F. Cannata, José L. Sánchez-Gómez, “El papel de la gravitación en la fundamentación de la Mecánica cuántica: problemas abiertos y perspectivas,” Revista Española de Física, 6: 18-28, 1992 (José Luis Sánchez-Gómez es catedrático de Física de la Universidad Autónoma de Madrid).

Dos profesores no deberían impartir una única asignatura, si los estudiantes aprendiesen como una red de neuronas artificiales

A veces, los que trabajan en redes de neuronas artificiales (RNA) se pasan un poco: concluyen cosas sobre el comportamiento humano. ¿Aprende un humano como aprende una red de neuronas artificiales? Nadie lo sabe. Juan P. Neirotti afirma que si una RNA aprende mal con dos reglas de aprendizaje, entonces cualquier estudiante aprende mal cuando tiene dos profesores para la misma materia. Curioso. Si hay alguien interesado en modelos del alumno basados en RNA (por cierto, triviales) puede que le interese Juan P. Neirotti, “Can a student learn optimally from two different teachers?,”  ArXiv, Submitted on 30 Jun 2009. Literalmente en inglés “We found that, in the general case, the application of the optimal algorithm to the wrong teacher produces a residual generalization error, even if the right teacher is harder. Simulations carried in finite networks validate the estimate found.” Por cierto, el artículo cita al trabajo del tucumano Leonardo Franco de la Universidad de Málaga, España (junto a Sergio Alejandro Cannas (publicaciones) de la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina). De Sergio os recomiendo el discreto artículo “Redes Neuronales: biología, computación o física?“

Sobre la teoría de la gravitación de Xavier Terri Castañé

Xavier nos ha dejado dos comentarios (iguales) en dos entradas en este blog llamándonos la atención sobre su teoría de la gravitación alternativa a la Relatividad General de Einstein, espero que no deje más comentarios similares, ya que con dos hay suficiente. Para los lectores de este blog que se planteen leerse el Extracto sobre la Teoría Conectada de Xavier (de acceso gratuito) os hago un resumen breve. Tienen matemáticas, pero están al alcance de cualquiera que conozca y/o comprenda la relatividad especial de Einstein.

La teoría conectada proclama generalizar la teoría de la relatividad especial de forma alternativa a la teoría general de la relatividad evitando la existencia de agujeros negros (otras teorías como la teoría relativista de la gravedad de Logunov también lo proclaman). A mucha gente, incluido el propio Einstein, los agujeros negros les molestan “metafísicamente,” aunque hay cierta evidencia experimental en astrofísica al respecto de su existencia. 

¿Qué es lo más llamativo de la teoría de Xavier? En teoría de la relatividad especial es imposible que algo acelere desde el reposo hasta una velocidad superior a la velocidad de la luz. Está terminantemente prohibido (y experimentalmente así ha sido confirmado). En relatividad general también está prohibido. En la teoría de Xavier, no lo está: “Otra conclusion inexorable de la teoría conectada es la predicción de velocidades superiores a las de la velocidad [de la luz] simbolizada por la conocida constante c.” [pág. 16]

Xavier toma un métrica para el espacio tiempo g_mn dada, impuesta, pero no dice cómo se calcula. La teoría general de Einstein nos dice cómo se calcula esta métrica a partir de una distribución de materia dada. ¿Cómo se calcula en la teoría de Xavier? De ninguna manera. Ad hoc. Es un dato de entrada. No existe en su teoría conectada ecuación alguna para la métrica. La métrica se impone. Luego Xavier puede imponer métricas arbitrarias y/o no permitidas por la teoría de Einstein, p.ej. esféricamente simétricas, que en infinito se reduzcan a la de Minkowski y que no permitan horizontes de sucesos, como la de Schwarzschild (que conduce a agujeros negros no rotatorios y sin carga eléctrica). Xavier las llama métricas Anti-Schwarzschild (para recalcar que no permiten la existencia de agujeros negros). En mi opinión este es el gran problema de la teoría conectada de Xavier. ¿Cómo se calcula la métrica?

La ecuaciones fundamentales de la teoría conectada de Xavier son las siguientes. Por un lado, la definición de fuerza en relatividad especial pero para una métrica general (no necesariamente minkowskiana), dada por su ec. (75) [pág. 141], básicamente una generalización covariante de la ecuación newtoniana fuerza igual a masa por aceleración. Por otro lado, cómo surge la fuerza gravitatoria en función de la distribución de masa. A partir de un potencial que se superpone sobre la métrica dada. ¿Qué ecuación cumple el potencial gravitatorio? Una generalización de la ecuación de Poisson de la mecánica newtoniana dada por su ec. (149) [pág. 171]. Esta ecuación corresponde a la versión linealizada de las ecuaciones de la gravitación universal de Einstein.

Como hemos dicho, las dos ecuaciones de Xavier no permiten calcular la métrica, de la que dependen. Literalmente “Conocida la métrica del espacio-tiempo, el campo queda unívocamente determinado, a través de las 10 ecuaciones independientes de [la ec.] (149), por las fuentes gravitatorias.” [pág. 171] El propio Xavier nos ayuda aclarándonos el gran problema de su teoría “Luego es imposible que las solas fuentes determinen absolutamente la métrica.” [pág. 172]. Todos los ejemplos de su libro utilizan métricas impuestas y extremadamente simples. ¿Qué hacer en un caso realmente complicado? “Si se consideran varias fuentes gravitatorias, no bastará con añadir un sumatorio extendido a todas las soluciones particulares correspondientes a cada una de estas fuentes, pues las ecuaciones de campo conectadas, como es fácil comprobar, no son lineales.” [pág. 173] Por cierto yo no veo por qué no son lineales (impuesta la métrica). Debo ser torpe.

Curioso título para una nota al márgen “¿Se puede comprobar experimentalmente que un círculo es cuadrado?” [pág. 178].

En resumen, una propuesta curiosa y un buen ejercicio de relatividad especial para quien quiera realizar ejercicios de relatividad especial.

DZERO del Fermilab descarta bosones de Higgs cargados (supersimétricos) de masa inferior a 165 veces la masa del protón

El modelo estándar de las partículas elementales predice solo un bosón de Higgs neutro H⁰, sin embargo, su extensión más simple que incorpora la supersimetría (MSSM) predice cinco bosones de Higgs, tres neutros y dos cargados (H^±). El detector DØ (DZERO) del Tevatrón en el Fermilab ha estudiado la posible desintegración de un quark top en un bosón de Higgs cargado (t →H⁺b) y ha descartado que existan en el rango de masas de 80 a 155 GeV/c² con una confianza del 95%. El artículo técnico es The DZERO Collaboration (V.M. Abazov et. al) “Search for charged Higgs bosons in decays of top quarks,” ArXiv, Submitted on 29 Jun 2009.

La búsqueda de los bosones de Higgs cargados predichos por el Modelo Minimal SuperSimétrico (MSSM) ya se realizó en el extinto LEP2 del CERN resultando en que no existían con una masa inferior a 78.6 GeV/c². Búsquedas indirectas en la desintegración de mesones B han conducido a que su masa no puede ser inferior a 295 GeV/c², sin embargo, al ser búsquedas indirectas todavía ha lugar a su posible existencia, de ahí la importancia del nuevo estudio de DZERO.

Este resultado de DZERO, como otros del CDF, también en el Fermilab, son un buen punto de partida para plantearnos si estamos asistiendo o no a una revolución científica en el sentido de Khun que lleve al sustituto del Modelo Estándar, o así lo hace E. Donth, en “Comment on “Search for the Standard Model Higgs Boson in the Missing Energy and Acoplanar b-Jet Topology at 1.96$ TeV”,” ArXiv, Submitted on 30 Jun 2009.

Según Donth, las revoluciones científicas que llevan a un cambio de paradigma requieren la competencia fuerte entre múltiples grupos de investigación por todo el mundo. Los grandes experimentos que aúnan a múltiples grupos en una causa común minimizan esta competencia. Por ejemplo, el artículo de la Colaboración DØ tiene 519 autores de 82 grupos de investigación en 35 instituciones por todo el mundo. ¿Cómo se comunican entre sí estos científicos? ¿Cómo contrastan ideas y propuestas (contradictorias) entre ellos? Donth va más allá y alega que la probabilidad de que surga un nuevo paradigma a partir de estos experimentos de “ciencia a lo grande” (Big Science) es muy pequeña, casi despreciable. Por supuesto, su manera de calcular estas probabilidades es muy discutible y controvertida. Pero me ha resultado curisoso su propuesta (el artículo solo tiene una página). Casi todo el mundo cree que el LHC del CERN descubrirá física más allá del Modelo Estándar y este señor está entre los que opinan que no, que ese no es el camino. Curioso.

La materia oscura del universo podrían ser agujeros negros primordiales (MACHOs)

Las medidas astrofísicas actuales no pueden descartar que la materia oscura, el 24% del universo, esté formada por MACHOs, en concreto, agujeros negros primordiales de una masa superior a 30 M⊙ (masas solares) e inferior a 500 M⊙. ¿Por qué agujeros negros? Porque podrían explicar la entropía total del universo, cuya medida natural es el googol (10¹⁰⁰). Alrededor de 1-10^-15 de la misma provendría de agujeros negros y solo el resto (10^-15) de todo lo demás. Desde el punto de vista de la física estadística la hipótesis de que los MACHOs son agujeros negros es la más natural, según Paul H. Frampton, “Identification of All Dark Matter as Black Holes,” Submitted on 22 May 2009.

Los candidatos a materia oscura que no son partículas elementales se suelen llamar generalmente como MACHOs (Massive Astrophysical Compact Halo Objects). Agujeros negros con una masa entre 30M⊙ < MMACHO < 500M⊙ serían suficientemente compactos (con un tamaño inferior al de la Tierra) como para no ser detectables mediante telescopios. La figura de arriba muestra los límites observacionales (en gris) de este tipo de agujeros negros: la masa que podrían aportar al halo galáctico (la fracción de su masa que podrían explicar) en función de las masa de los agujeros negros. Actualmente hay una amplia banda (en blanco) fuera de los límites observacionales actuales. La figura está extraída del artículo de D.P. Quinn, M.I. Wilkinson, M.J. Irwin, J. Marshall, A. Koch, V. Belokurov, “On the Reported Death of the MACHO Era,” Submitted on 9 Mar 2009, en el que se descartan MACHOs con una masa inferior a 30M⊙ pero se deja abierta la ventana utilizada por Frampton para su propuesta.

PS (13 julio 2009): Nuevo artículo (review cortito) de Paul H. Frampton sobre el tema “Black Holes as Dark Matter,” ArXiv, Submitted on 10 Jul 2009.