¿Para qué sirve la demostración de la conjetura de Poincaré? (o aplicaciones del flujo de Ricci al cáncer)

Demostraciones tan importantes como la reciente demostración de la conjetura de Poincaré por Grisha Perelman (o hace unos años la demostración de Wiles del, así llamado, último teorema de Fermat) siempre se encuentran con el mismo hándicap: ¿para qué sirven? Por supuesto que son grandes avances de la Matemática, pero para la mayoría de nosotros, la cuestión que resuena en nuestras mentes es ¿para qué sirven? ¡Tantos años para una demostración que te haga famoso! Obvia al «demostrador» le son muy útiles (medallas Fields y otros premios importantes), sobre todo para pasar a la Historia de esta Magna disciplina.

La respuesta es muy simple. Tras la demostración, ciertas técnicas sólo del dominio de unos pocos matemáticos en el mundo se vuelven famosas, populares y MILES de otros matemáticos las estudian (por su fama, ya que en otro caso nunca lo hubieran hecho sólo por su importancia). Son estos otros matemáticos, siempre en el anonimato (para los grandes mass media), los que responden a la pregunta, encontrando múltiples problemas que se resuelven con las técnicas utilizadas en la demostración original. Seguramente ya sabrás que las técnicas de curvas elípticas racionales y modulares usadas por Wiles se utilizan en criptografía (cifrado de datos). ¿Para qué sirve la técnica de flujos de Ricci desarrollada por Perelman? Acaba de aparecer una aplicación al cáncer, al modelado del crecimiento de tumores: Tijana T. Ivancevic, Vladimir G. Ivancevic, «Ricci Flow Model for Avascular Tumor Decay Control,» ArXiv preprint, 5 June 2008 .

El artículo propone el uso de un modelo basado en el flujo de Ricci para el control de la formación de tumores multicelulares no irrigados (avasculares). Este modelo predictivo puede permitir un mejor control del proceso de proliferación celular en el cáncer, control que podrás ser interferido con medicamentes y, por tanto, con múltiples aplicaciones médicas. En concreto, los autores proponen una terapia basada en anticuerpos monoclonales (obviamente, todavía sólo una idea).

El desarrollo de tumores pasa por 3 etapas distintas, la avascular, la vascular y la metastática. Muchos tumores, en su primera etapa de desarrollo, en laboratorio (in vitro), forman agregados multicelulares esféricos 3-dimensionales, MTS, como el de la figura (fotografiado al microscopio, exhibiendo un extenso sistema de ramas, que en el medio celular in vivo se ramificarían en los tejidos vecinos al tumor).

(c) Guiot et al. Theoretical Biology and Medical Modelling 2007 4:4

Los autores proponen aplicar las técnicas matemáticas geométricas de flujo de Ricci desarrolladas por Hamilton y Perelmal para la demostración de la conjetura de Poincaré para el análisis de las ecuaciones de reacción-difusión que modelan la formación y crecimiento de las MTS, previamente desarrolladas en T. Roose, S.J. Chapman, P.K. Maini, «Mathematical Models of Avascular Tumor Growth,» SIAM Review, 49(2), 179-208, 2007 (gratis). Sin entrar en detalles técnicos, lo más interesante es el uso que hacen de la entropía de Perelman para el flujo de Ricci que aplican al análisis termodinámico de la ecuación del calor en el modelo de MTS. Para mí es curioso que la idea de Perelman de llamar a su funcional no decreciente como entropía acabe resultando en que «realmente» es la entropía de algo.

En resumen, para los matemáticos un artículo que merece la pena leer. Para los demás, espero que les haya dejado un «buen sabor de boca» saber que la Demostración de Poincaré sirve para algo tan importante como ayudar en el tratamiento de «lo común» en las más de 150 enfermedades que metemos en el «paraguas» del cáncer (que en 2007 mató a más de 7.6 millones de personas en todo el mundo).

Para saber más:

R. Álvarez-Nodarse, «Modelos matemáticos en biología: un viaje de ida y vuelta,» Bol. Soc. Esp. Mat. Apl., 1-40, preprint. Fácil de leer y comenta el modelado de crecimiento de tumores.